(江西版)高考数学总复习 第十一章11.6 数系的扩充与复数的引入教案 理 北师大版

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第十一章11.6 数系的

扩充与复数的引入

考纲要求

1．理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件． 2．了解复数的代数表示法及其几何意义．

3．会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．

知识梳理 1．数系扩充的脉络是：______→______→______，用集合符号表示为____⊆____⊆____，实际上前者是后者的真子集．

2．复数的有关概念 (1)复数的概念

形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的____和____．若______，则a ＋b i 为实数；若______，则a ＋b i 为虚数；若__________，则a ＋b i 为纯虚数．

(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔__________(a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔______(a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，______叫做实轴，______叫做虚轴．实轴上的点表示______；除原点外，虚轴上的点都表示__________；各象限内的点都表示非纯虚数．复数集C 和复平面内__________组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以______为起点的向量组成的集合也是一一对应的．

(5)复数的模 向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作______或__________，其中|z |＝|a ＋b i|＝____________.

3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则

①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝____________； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝____________； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝____________；

④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)

(c ＋d i)(c －d i)

＝______________(c ＋d i≠0)．

(2)复数加法的运算律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝________，(z 1＋z 2)＋z 3＝____________.

(3)复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1·z 2＝______，(z 1·z 2)·z 3＝______，z 1·(z 2＋z 3)＝______.

4．熟记下列结论：

(1)i 4n

＝1，41

i

n ＋＝i ，42

i

n ＋＝－1，43

i

n ＋＝－i(n ∈N ＋)．

(2)(1±i)2

＝±2i，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，1i

＝－i.

(3)设ω＝－12＋32i ，则ω2＝ω＝1ω＝－12－32i,1＋ω＋ω2＝0，ω3

＝1，|ω|＝1.

(4)若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，z ·z ＝|z |2

＝|z 2

|＝|z |2

＝|z 2

|＝a 2

＋b 2

. 基础自测

1．下列命题中，正确命题的个数是( )．

①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1；②若a ，b ∈R 且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i ；

③若x 2＋y 2

＝0，则x ＝y ＝0.

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

2．(2011福建高考，理1)i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )．

A ．i∈S

B ．i 2∈S

C ．i 3

∈S D ．2i

∈S

3．(2011湖南高考，文2)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )． A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1

4．(2011广东高考，理1)设复数z 满足(1＋i)z ＝2，其中i 为虚数单位，则z ＝( )． A ．1＋i B ．1－i C ．2＋2i D ．2－2i

5．(2011辽宁高考，文2)i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1

i

7＝( )．

A ．0

B ．2i

C ．－2i

D ．4i 思维拓展

1．两个复数能比较大小吗？

提示：任意两个复数，只有相等与不等的关系，不能像实数那样比较大小．只有当两个复数都为实数时，才可以比较大小；两个复数相等，当且仅当它们的实部与虚部分别对应相等，∴a ＋b i ＝0⇔a ＝b ＝0.

2．把实数扩充到复数的背景是什么？有什么具体要求？

提示：(1)为了解决x 2

＋1＝0这样的方程在实数集中无解的问题，人们引进了一个新数i ，

叫做虚数单位，并且规定i 2

＝－1.这样原数集中不能解决的问题在新数集中就能够解决了．

(2)规定i 与实数可以进行四则运算，在进行运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．

一、复数的分类

【例1】已知m ∈R ，复数z ＝

m (m －2)m －1

＋(m 2

＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z ∈R ；(2)z 是纯虚数；(3)z 对应的点位于复平面的第二象限；(4)z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上．

方法提炼1．判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证含参数的式子有意义，忽略这一要求会酿成根本性的错误；其次对参数值的取舍，是取“并”还是“交”，非常关键．因此，解答后进行验算是很有必要的．

2．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，既要从整体的角度去认识它，把复数z 看成一个整体，又要从实部与虚部的角度将其分解成两部分去认识它，这是解复数问题的重要思路之一．

请做[针对训练]1

二、复数相等的充要条件

【例2】已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2

＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．

方法提炼复数相等是一个重要概念，它融合了复数的运算和复数的划分等重要概念；它也是复数问题实数化的重要工具，通过设复数的代数形式，借助两个复数相等，可列方程来求未知数的值．若z 是复数，可设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )；若z 是虚数，可设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)；若z 是纯虚数，可设z ＝b i(b ∈R ，b ≠0)．特别地，若所求复数能够从给定的解析式中分离出来，则可借助于复数的运算来求复数的值．

请做[针对训练]2

三、复数的几何意义

【例3－1】复数z 1＝3＋4i ，z 2＝0，z 3＝(26)i c c ＋－在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若∠BAC 是钝角，求实数c 的取值范围．

【例3－2】已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )且|z －2|＝3，求y x

的最大值及最小值．