广安友谊中学2014级自主招生考试数学试题

广安友谊中学高2014级自主招生考试
数 学 试 卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 计算－（－5）的结果是（ ）．
（A ）5 （B ）－5 （C ）15 （D ）－1
5
2. 如图，立体图形的主视图是（ ）．
3. 下列等式成立的是（ ）．
（A ）
26a a =3
（） （B ）223a a a -=- （C ）632a a a ÷= （D ）2(4)(4)4a a a +-=- 4. 三根木条的长度如图，能组成三角形的是（ ）．
5. 计算111
x
x x ---结果是（ ）． （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）x 6. 如图，小球从点A 运动到点B ，速度v （米/秒）和时间t （秒）的函数关系式是v ＝2t ．如果小球运动到点B 时的速度为6米/秒，小球从点A 到点B 的时间是（ ）． （A ）1秒 （B ）2秒 （C ）3秒 （D ）4秒
7. A 、B 、C 、D 四个班各选10名同学参加学校1 500米长跑比赛，各班选手平均用时及方
（A ）
A 班
（B ）B 班 （C ）C 班 （D ）D 班
正面
（第2题）
（A ） （B ） （C ） （D ）
2cm 2cm 5cm
（A ）
2cm
2cm 4cm
（B ）
2cm
3cm 5cm
（C ）
2cm
3cm 4cm
（D ）
（第6题）
8. 甲箱装有40个红球和10个黑球，乙箱装有60个红球、40个黑球和50个白球．这些球除了颜色外没有其他区别．搅匀两箱中的球，从箱中分别任意摸出一个球．正确说法是（ ）．
（A ）从甲箱摸到黑球的概率较大
（B ）从乙箱摸到黑球的概率较大
（C ）从甲、乙两箱摸到黑球的概率相等
（D ）无法比较从甲、乙两箱摸到黑球的概率
9. 如图，直线2y x =+与双曲线k
y x
=相交于点A ，点A 的纵坐标为3，k 的值为（ ）． （A ）1 （B ）2
（C ）3 （D ）4
10. 如图，直线l 1∥l 2，⊙O 与l 1和l 2分别相切于点A 和点B ．点M 和点N 分别是l 1和l 2上的动点，MN 沿l 1和l 2平移．⊙O 的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误．．的是（
）． （A ）MN =
（B
）若MN 与⊙O 相切，则AM =（C ）若∠MON ＝90°，则MN 与⊙O 相切 （D ）l 1和l 2的距离
为2
二、填空题（每小题3分，共12
分） 请将答案直接填写在题中横线上．
11.有意义的x 取值范围是＿＿＿＿＿＿．
12.如图，□ABCD 中，点A 关于点O 的对称点是点＿＿＿＿． 13.在“抛掷正六面体”的试验中，如果正六面体的六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”和“6”，如果试验的次数增多，出现数字“1”的频率的变化趋势是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
14.如果方程2430x x -+=的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 最小的角为A ，那么tanA 的值为＿＿＿＿＿＿＿． 三、（每小题6分，共
18分）
15.计算：()2
28cos303-+︒--．
16.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点M 是BC 的中点，且MA ＝MD ． 证：四边形ABCD 是等腰梯形．
17.电视台在南充城市某居民小区对电视节目的收视情况进行抽样调查，每人只能在被调查的五类电视节目中选择一类“最喜欢”的电视节目，将统计结果绘制了两幅不完整的统计图（图1，图2）．请根据图中信息解答问题： （1）这次抽样调查了多少人？
（第9题）
2
B
N
（第10题）
（第12题）
B
（2）在扇形统计图中，最喜欢娱乐节目对应的圆心角比最喜欢戏曲节目对应的圆心角大90°，调查中最喜欢娱乐节目比最喜欢戏曲节目的多多少人？ （3）估计南充城区有100万人中最喜欢体育节目的有多少人？
四、（每小题8分，共16分）
18.关于x 的一元二次方程230x x k --=有两个不相等的实数根．
（1）求k 的取值范围．
（2）请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根．
19.如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点D 在AC 上，连结BD 并延长与CE 交于点E ．
（1）求证：△ABD ∽△CED ．
（
2）若AB ＝6，AD ＝2CD ，求BE 的长．
五、（本题满分8分） 20.如图，在水平地面点A 处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为
B ．有人在直线AB 上点
C （靠点B 一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB ＝4米，AC ＝3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？（2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？
0200
400
600 800
1000
1200
（图1） （图2）
六、（本题满分8分）
21.如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC， OE＝
1
2
BC．
（1）求∠BAC的度数．
（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．求证：四边形AFHG是正方形．
（3）若BD＝6，CD＝4，求AD的长．
七、（本题满分8分）
22.已知抛物线2
1
4
2
y x bx
=-++上有不同的两点E2
(3,1)
k k
+-+和F2
(1,1)
k k
---+．（1）求抛物线的解析式．
（2）如图，抛物线2
1
4
2
y x bx
=-++与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．
（3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．
H H
参考答案及评分意见
11.
12. C ； 13. 接近1
6
；
14.
13
．
三、
15. 解：原式＝4283+⨯- ……（4分） ＝43+
＝1． ……（6分） 16. 证明：∵ MA ＝MD ，∴ △MAD 是等腰三角形，
∴ ∠DAM ＝∠ADM ． ……（1分） ∵ AD ∥BC ，
∴ ∠AMB ＝∠DAM ，∠DMC ＝∠ADM ．
∴ ∠AMB ＝∠DMC ． ……（3分） 又∵ 点M 是BC 的中点，∴ BM ＝CM ． ……（4分） 在△AMB 和△DMC 中，
,,,AM DM AMB DMC BM CM =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ △AMB ≌△DMC ． ……（5分） ∴ AB ＝DC ，四边形ABCD 是等腰梯形． ……（6分）
17. 解：（1）这次抽样调查人数为：600
300020%
=（人）； ……（2分） （2）最喜欢娱乐节目比最喜欢戏曲节目的多：90
3000360
⨯＝750（人）；…（4分）
（3）估计南充城区最喜欢体育节目的有：10025%⨯＝25（万人）． ……（6分） 答：（1）这次抽样调查了3000人；（2）最喜欢娱乐节目比最喜欢戏曲节目的多750人；（3）估计南充城区最喜欢体育节目的有25万人． 四、
18. 解：（1）方程有两个不相等的实数根，∴ 2(3)4()k ---＞0．
即 49k >-，解得，9
4
k >-． ……（4分）
（2）若k 是负整数，k 只能为－1或－2． ……（5分）
如果k ＝－1，原方程为 2310x x -+=．
解得，1x =
，2x = ……（8分） （如果k ＝－2，原方程为2320x x -+=，解得，11x =，22x =．） 19. （1）证明：∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠BAC ＝∠ACB ＝60°．∠ACF ＝120°． ∵ CE 是外角平分线， ∴ ∠ACE ＝60°． ∴ ∠BAC ＝∠ACE ． ……（2分） 又∵ ∠ADB ＝∠CDE ，
∴ △ABD ∽△CED ． ……（4分） （2）解：作BM ⊥AC 于点M ，AC ＝AB ＝6．
∴ AM ＝CM ＝3，BM ＝AB ·sin60
°＝
∵
AD ＝2CD ，∴ CD ＝2，AD ＝4，MD ＝1． ……（6分） 在Rt △BDM 中，BD
． ……（7分） 由（1）△ABD ∽△CED 得，
BD AD ED CD
=
2=， ∴ ED
BE ＝BD ＋ED
＝ ……（8分） 五、
20. 解：（1）以点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图）． ……（1分）
M （0，5），B （2，0），C （1，0），D （32
，0）
设抛物线的解析式为2y ax k =+，
抛物线过点M 和点B ，则 5k =，5
4
a =-． 即抛物线解析式为
2554y x =-+． ……（4分）
当x ＝时，y ＝154；当x ＝32时，y ＝35
16．
即P （1，154），Q （32，35
16
）在抛物线上．
当竖直摆放5个圆柱形桶时，桶高＝310×5＝3
2
．
∵ 32＜154且32＜35
16
，∴网球不能落入桶内． ……（5分）
（2）设竖直摆放圆柱形桶m 个时网球可以落入桶内，
由题意，得，35
16≤310
m ≤154． ……（6分）
解得，77
24≤m ≤1122
． ∵ m 为整数，∴ m 的值为8，9，10，11，12．
∴ 当竖直摆放圆柱形桶8，9，10，11或12个时，网球可以落入桶内．……（8分）
六、
21. （1）解：连结OB 和OC ．
∵ OE ⊥BC ，∴ BE ＝CE ．
∵ OE ＝1
2
BC ，∴ ∠BOC ＝90°，∴ ∠BAC ＝45°． ……（2分）
（2）证明：∵ AD ⊥BC ，∴ ∠ADB ＝∠ADC ＝90°． 由折叠可知，AG ＝AF ＝AD ，∠AGH ＝∠AFH ＝90°，
∠BAG ＝∠BAD ，∠CAF ＝∠CAD ， ……（3分） ∴ ∠BAG ＋∠CAF ＝∠BAD ＋∠CAD ＝∠BAC ＝45°． ∴ ∠GAF ＝∠BAG ＋∠CAF ＋∠BAC ＝90°．
∴ 四边形AFHG 是正方形． ……（5分） （3）解：由（2）得，∠BHC ＝90°，GH ＝HF ＝AD ，GB ＝BD ＝6，CF ＝CD ＝4． 设AD 的长为x ，则 BH ＝GH －GB ＝x －6，CH ＝HF －CF ＝x －4． ……（7分） 在Rt △BCH 中，BH 2＋CH 2＝BC 2，∴ （x －6）2＋（x －4）2＝102． 解得，x 1=12，x 2＝－2（不合题意，舍去）．
∴ AD ＝12． ……（8分） 七、
22. 解：（1）抛物线21
42
y x bx =-++的对称轴为122b
x b =-
=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭
． ……..（1分 ∵ 抛物线上不同两个点E 2(3,1)k k +-+和F 2(1,1)k k ---+的纵坐标相同， ∴ 点E 和点F 关于抛物线对称轴对称，则 (3)(1)
12
k k b ++--=
=，且k ≠－2．
∴ 抛物线的解析式为21
42
y x x =-++． ……..（2分）
（2）抛物线21
42
y x x =-++与x 轴的交点为A （4，0），与y 轴的交点为B （0，4），
∴ AB
＝AM ＝BM
＝． ……..（3分） 在∠PMQ 绕点M 在AB 同侧旋转过程中，∠MBC ＝∠DAM ＝∠PMQ ＝45°，
H
在△BCM 中，∠BMC ＋∠BCM ＋∠MBC ＝180°，即∠BMC ＋∠BCM ＝135°， 在直线AB 上，∠BMC ＋∠PMQ ＋∠AMD ＝180°，即∠BMC ＋∠AMD ＝135°． ∴ ∠BCM ＝∠AMD ．
故 △BCM ∽△AMD ． ……..（4分） ∴
BC BM AM AD =，即
m =
，8n m =． 故n 和m 之间的函数关系式为8
n m =
（m ＞0）． ……..（5分） （3）∵ F 2(1,1)k k ---+在21
42
y x x =-++上，
∴ 221
(1)(1)412
k k k ---+--+=-+，
化简得，2430k k -+=，∴ k 1＝1，k 2＝3．
即F 1（－2，0）或F 2（－4，－8）． ……..（6分） ①MF 过M （2，2）和F 1（－2，0），设MF 为y kx b =+，
则 2220.k b k b +=⎧⎨-+=⎩， 解得，121.k b ⎧
=⎪⎨⎪=⎩，
∴ 直线MF 的解析式为112y x =+．
直线MF 与x 轴交点为（－2，0），与y 轴交点为（0，1）．
若MP 过点F （－2，0），则n ＝4－1＝3，m ＝8
3
；
若MQ 过点F （－2，0），则m ＝4－（－2）＝6，n ＝4
3． ……..（7分）
②MF 过M （2，2）和F 1（－4，－8），设MF 为y kx b =+，
则 2248.k b k b +=⎧⎨-+=-⎩， 解得，53
4.
3k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， ∴ 直线MF 的解析式为5433y x =-．
直线MF 与x 轴交点为（45，0），与y 轴交点为（0，4
3
-）．
若MP 过点F （－4，－8），则n ＝4－（43-）＝163，m ＝3
2；
若MQ 过点F （－4，－8），则m ＝4－45＝165，n ＝5
2
． ……..（8分）
故当118,
33,m n ⎧
=⎪⎨⎪=⎩
226,
4,3m n =⎧⎪⎨=⎪⎩
333,2163m n ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩或4416,5
52
m n ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，∠PMQ 的边过点F ．（12分）。