高三一轮复习《不等式》

第五部分：不等式专题（线性规划，一元二次不等式，基本不等式）

不等式是高中数学重要的知识，考试中涉及的考点也很多，从江苏目前的高中数学要求来说，除了不等式证

明以外，其他形式的考察还是很多的。就内容来说，这部分分为高一难度和高考难度；从题型上来说，包含：线性规划，基本不等式，解不等式，不等式恒（能）成立，还有一些转化为不等式问题的题型。

高一难度的不等式问题主要是线性规划，基本不等式的常规考察，解不等式（包含含参形式），涉及常规函数

的不等式恒（能）成立问题。

1、线性规划

（1）掌握好线性规划，首先需要知道，线性规划的考题特点：已知条件一般是一个不等式组或者一条曲线方程，问题一般是求解一个含有两个变量式子的范围、最值。所以，有的时候是要根据题目的条件形式和所求问题的形式，将所求解问题转化为线性规划问题。

比如：已知等差数列{}n a ，2,185≤≥a a ，则12a 的取值范围是

（2）线性规划性的常规考题相对简单一些，从问题来说有三个常见形式：（1）截距型：by ax +；（2）距离型：

()()2

2b y a x -+-；（3）斜率型：

a

x b

y --；如果直接考这几个类型倒还好。 比如：已知y x ,满足条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≥≤-+≥00120y y x x ，则y x +2的最大值是 ，

()()2212-+-y x 的最小

值是 ，

3

+x y

的取值范围是 。

（3）有的时候会求解不等式组对应区域的面积等稍微活一点的题目。 比如：

① 已知),(b a P 满足不等式组⎪⎩

⎪

⎨⎧≥++≤+≥-040202y x y x y x ,则P 所在区域的面积是

② 已知y x ,满足条件⎪⎩⎪

⎨⎧≥≤-+≥00120y y x x ，使得y ax +取得最大值的点有无数个，则实数a 的值是

③ 已知y x ,满足条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≥≤-+≥00120y y x x ，且y ax +在点（1,0）处取得最大值，则实数a 的范围是

（4）稍微难的是需要转化为这几个类型的的时候要能够看得出。

比如：已知y x ,满足条件⎪⎩

⎪

⎨⎧≥≤-+≥0

0120

y y x x ，则2

2)1(652-++--x y y x xy 的取值范围是

2、解不等式

解不等式分为含参和不含参之分，普通解不等式倒还好，不管是解一元一次不等式，一元二次不等式，分数不等式（注意分母不为零），指数、对数不等式，还是需要用“换元”解决的一些复合不等式，都还不算难；有时候可以用函数单调性解不等式，但是需要考虑定义域，这个需要在解题的时候能够想到，一般会条件这么给“已知或者能求出单调性，知道函数的零点”。

另外需要注意的是，其实解不等式和解方程的过程是差不多的，所以不等式的解集中式“边界”和不等 式对应的根式有关系的，比如：已知不等式012

≥--bx ax 的解是3

1

21-≤≤-x ，则不等式02<-+a bx x 的解是________．

解含参不等式是相对难一点的，不过过了高一后，真正到后面的函数学习中，又不多见这种情况，只是作为不等式的内容之一，也要好好的学一学，理清楚分类讨论的思路和步骤。

而含参不等式中，最为重要的就是一元二次不等式的分类讨论，因为在高二所学的导数那部分知识中会涉及这个内容。关于这个分类讨论，条理性要注意的：首先考虑是否是一元二次不等式，其次考虑对应的一元二次方程根的情况（是否有根，有几个根，大小怎么样，是否在定义域中），最后根据题目变量x 的取值范围去得出不等式的解集。 例1、解不等式)0( 01)1

(2

≠<++-a x a

a x

分析： 首先因式分解)1)((a x a x --，二次函数=y )1)((a x a x --的两根为a

x a x 1

,21==，解应该是两根之间，但是两根大小关系不确定，这就需要进行分情况讨论，

1°a a 1=

，解不存在；2°a a 1>，即1>a 或01<<-a ，a x a

<<1

；3°a a 1<，即1-

x a 1<

<

例2、解不等式：()0112

>+++x a ax

分析：因式分解0)1)(1(>++x ax ，考虑到影响因素，到底解是在两根之间还是两根之外是由二次项系数决定的，所以a 的取值是关键，联系到二次函数)1)(1(++=x ax y ，两根为1,1

21-=-

=x a

x 1°0=a ，不等式变为01>+x ，解为1->x ， 2°0-

a ，12x x x <<，解为a

x 11-<<-，

3°0>a ，a 1

-和1-的大小关系不一定，这个时候就需要进行二者的讨论， 当a 1->1-时，即1>a ，a x 1->或1-

-<1-时，1

->x 或a

x 1

-<

例3、解不等式()

()R m x x m ∈≥+-+01412

2

分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1≠1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨

论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：

⑴ 当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。 ⑵ 当－10, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。 ⑶ 当m=3时，⊿=4（3－m ）=0，图象开口向上，与x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程2

4410

x x -+=的根。

⑷ 当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为∅。

3、不等式恒成立、不等式有解常见方法

1) 恒成立问题

（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > （2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < （3）特别的，若上述的()()min max

x f x f 取不到，则最后的参数范围需要加上“=”.

（4）有一些可以转化为恒成立问题的，比如：“函数()x f 的图像横在()x g 的图像的上方()()x g x f >⇔恒成立”。

2) 能成立问题（也就是有解问题）

若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.