第五讲 Cauchy积分公式

以下将对这些公式的正确性加以证明。
定理 解析函数f ( z )的导数仍为解析函数 ,
它的n阶导数为 f
( n)
n! ( z0 ) 2i
C ( z z
f (z)
0)
n1
dz
( n 1,2,)
其中C为在f ( z )的解析区域D内围绕z0的 任意正向简单闭曲线 , 而且它的内部 D.
上面定理表明 F ( z ) f ( )d 是f (z)的一个 z0 原函数。
z
设H (z)与G(z)是f (z)的任何两个原函数，
[G( z ) H ( z )]' G' ( z ) H ' ( z ) f ( z ) f ( z ) 0
G( z ) H ( z ) c, (c为任意常数)

C1
f ( z ) 0 dz z z0
z0
C1
f ( z0 )

C1
1 dz 2if ( z 0 ) z z0
这个猜想是对的 , 这就是下面的定理 .
定理(Cauchy 积分公式) 1)设f ( z )在D内处处解析,
2)C是D内任意一条正向简单闭 曲线, 它的内部完全含于 D,
f ( z ) f ( z0 )
lim
R 0 K
f (z) 1 f (z) dz 2if ( z0 ) f ( z0 ) dz 2i C z z0 z z0
(1)若 定 理 条 件 改 为 f ( z )在C所 围 区 域 D
内解析, 及 在C D D上 连 续 , Cauchy 积分公式仍成立.
1 解 1) 2i
2)
z 4

sin z dz sin z 0 z 0 z
z 4

1 2 ( )dz z 1 z 3
z 4

dz z 1
z 4

2 dz z3
f ( z ) 1及 2

2i 1 2i 2 6i
例2
2z 1 求 2 dz C z z C为包含 z 1在内的任意简单正向曲 线.
f (z) f (z) dz dz C1 z z z z0 0
C
z0
C1

C
特别取 C1 { z z z0 ( 0可充分小)}
f ( z )的连续性, 在C上的函数值 f (z) 当 0时, f ( z ) f ( z0 )
∴猜想积分
C
D

C
f (z) dz z z0
证明 用数学归纳法和导数定义。
先证n 1的情形. z0 D f ( z 0 z ) f ( z 0 ) f ' ( z0 ) lim z 0 z
f
( n)
n! f (z) ( z0 ) dz n 1 2i C ( z z0 )
定理表明f ( z )在z平面上D内解析 f ( z )在D内
解
C2 1 x
4i
2 3 7 1 2 2 例3 设C 表圆周x y 3, f ( z ) d , C z
求f ' (1 i ).
解
3 z 7 z 1在全平面上处处解析，
2
z 3 3 7 1 0 f (z) d 2 C z 2 i ( 3 z 7 z 1) z 3 z 3 0 又 f '(z) 2i (6 z 7) z 3
只 须证 明 : lim
R0

K
即要证 : 0, 0 , z z0 R


K
f (z) dz 2if ( z0 ) z z0


K
f (z) dz 2if ( z 0 ) z z0
f ( z ) f ( z0 ) dz z z0

K
f (z) dz f ( z 0 ) z z0

K
1 dz z z0

K

K
f ( z ) f ( z0 ) ds ds 2 z z0 R K
lim f ( z ) f ( z0 )
z z0
0, 0 z z0 R

C
f (z) dz z z0
1 2i

0
2
0
f ( z0 Rei ) i Rie d i Re
1 2

2
f ( z0 Re )d
i
一个解析函数在圆心处的值等于它在 圆周上的平均值.
例1
1 求： 1) 2i
sin z 1 2 dz 2) （ ）dz z z 1 z 3 z 4 z 4
C 2 : z i 2 , C1 , C 2不 相 交 且 在 C的 内 部 ,


C
2 2
dz

ez (1 z )
2 2
C1
dz

ez (1 z )
2 2
C2
dz


ez ( z i )2 (z i)
2
C1
dz


ez ( z i )2 (z i)



i
0
i z sin zdz sin z z cos z |0 sin i i cos i
小结
c n
求积分的方法
n k 1
(1) f ( z )dz lim f ( k )xk
( 2) f ( z )dz udx vdy i vdx udy
第五讲
1、原函数与不定积分 2、Cauchy积分公式 3、解析函数的高阶导数
§3.4 原函数与不定积分

1. 原函数与不定积分的概念
2. 积分计算公式
1. 原函数与不定积分的概念
由§2基本定理的推论知：设f (z)在单连通区域 D内解析，则对D中任意曲线C, 积分c fdz与路径无 关，只与起点和终点有关。 当起点固定在z0, 终点z在D内变动,c f (z)dz
一点与实变函数有本质区别。
形式上，
1 对积分公式 f ( z0 ) 2i

C
f (z) dz( z0 D ) z z0
两边在积分号下对 z0求导得 1 f (z) f ' ( z0 ) dz 2 2i C ( z z0 )
2! f (z) f " ( z0 ) dz 3 2i C ( z z0 ) n! f (z) ( n) f ( z0 ) ( n 1,2,) n1 dz 2i C ( z z0 )
解2)
1 1 在D内 解 析 , 又 ln z是 的 一 个 原 函 数 ， z z 1 故 dz ln z ln 1 ln z ( z D ). C z

例3 计算下列积分：



i
i
n
z3 i 2i z dz | i 3 3
2
1 n1 1 n1 n1 z | z dz n1 n1


z1
z0
f ( z )dz F ( z1 ) F ( z0 ) (z0 , z1 B )
此公式类似于微积分学中的牛顿－莱布尼兹公式. 但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强
例1 计算下列积分： 1 1) 2 dz C z 其中C为半圆周： z 3, Re z 0,
. 具有各阶导数 , 即在D内解析 无穷次可导
一个解析函数的导数仍为解析函数。
用途 : 可计算积分
f (z) 2i ( n ) C ( z z0 )n1 dz n! f ( z0 )
例1 求下列积分值
C: z r 1 z cos z e 1) dz 2) dz 5 2 2 C ( z 1) C (1 z )

2
故
f ' (1 i ) 2i[6(1 i ) 7] 2 (13i 6)
§6 解析函数的高阶导数
内 容 简 介
本节研究解析函数的无穷次可导性，并导 出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函 数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值 也可用函数在边界上的值通过积分来表示。这
(2) Cauchy积 分 公 式 表明函数在 C内 部 任 一 点 的值可以用它在边界的 值来表示 . 即 若f ( z ) 在区域边界上的值一经 确 定, 则 它 在 区 域 内部任一处的值也就确 定了 .
i ( 3 ) 若 C : z z Re 则 0
1 f ( z0 ) 2i
, F ' (z) f (z)
§3.5 Cauchy积分公式
内 容 简 介
利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上 的推广,即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解
析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了百度文库析
函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数
的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭
路积分的方法.
分析 设D 单 连 通 , f ( z )在D内 解 析 ,
z 0 D, C是D内 围 绕 z 0的 一 条 闭 曲 线 ,则 f (z) 在z 0不 解 析 . z z0

C
f (z) 一 般 dz 0 z z0
D
由复合闭路定理得 , 任意包含 z0在 内 部 的 曲 线C 1 C的 内 部
在D内就定义了一个变上限的单值函数，记作
F ( z ) f ( )d
z0
z
(1)
定理 设f (z)在单连通区域D内解析，则F(z)在 D内解析，且F ' ( z ) f ( z ) （P112定理3.6）
定义 若函数 (z) 在区域D内的导数等于f (z) ，即
' ( z ) f ( z ),称 (z)为f (z)在D内的原函数.
c
( 3) f ( z )dz f [ z( t )]z( t )dt
c


(4)若f ( z )解析, D单连通 , C D, 则 f ( z )dz 0
c

(5)若f ( z )在D内 解 析 , D单 连 通 ,则

z1
z0
f ( z )dz F ( z )
z1 z0
2z 1 2z 1 2z 1 C z 2 z dz C1 z 2 z dz C2 z 2 z dz 2z 1 2z 1 y z dz C z 1 dz C1 C2 z 1 z C1 由C积分公式 2 z 1 2z 1 o 2i 2i z 1 z0 z z 1
起点为 3i , 终点为3i;
解1)
1 z
2
在 Re z 0，z 0上解析 ,
1 3i 2i dz | 3i 2 z 3 z 1
故
解2：

1 z
C
C

2
dz
9e
2 2

3ie i
2 i
1 d 3
e
2 i 2

i
2i d 3
1 2) dz C z 其中C为单连通区域 D： arg z 内 起点为 1, 终点为z的任意曲线 .
1 3) z0为C内任意一点 f ( z0 ) 2i

C
f (z) dz z z0
证明
设K { z z z 0 R} C的内部 .


C
f (z) dz z z0

K
f (z) dz与K的 半 径 R无 关, z z0 f (z) dz 2if ( z 0 ). z z0
(见第二章§2例3) 这表明：f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
定义 设F(z)是f (z)的一个原函数，称F(z)+c(c为 任意常数)为f (z)的不定积分，记作
f ( z )dz F ( z ) c
2. 积分计算公式
定理 设f (z)在单连通区域D内解析， F(z)是f (z) 的一个原函数，则
解
1) cos z在全平面处处解析

2i ( 4) dz (cos z ) 5 C ( z 1) （ 51 ） !
cos z
z 1
5 2i ( 4 ) i 4! 12
2)
ez ( z 1)
ez (1 z )
2 2
在z i处 不 解 析 .取C1 : z i 1