7-10常系数线性微分方程组解法举例

x cos t , 二、 1. y sin t ; 1 t x 2 cos t 4 sin t e, 2. 2 t y 14 sin t 2 cos t 2e .
二、求下列微分方程组 满足所给初始条件的通 解： d 2 x dy 2 x 0, x t 0 1, 2 dt dt 1. dx y 0, y 0; t 0 dt dy 3 dx t 2 4 x y e , x , t 0 dt dt 2 2. dx 3 x y 0, y 0. t 0 dt
解得特征根为
r1, 2
1 5 , r3,4 i 2
5 1 , 2
易求一个特解 y e t , 于是通解为
y C1e t C2e t C3 cos t C4 sint e t .
将(６)代入(３)得
(６ )
x 3C1e t 3C2e t 3C3 cos t 3C4 sint 2e t .
练习题答案
x 3 C1 cos t C 2 sin t , 一、 1. y C1 sin t C 2 cos t ; C1 3C 2 3C1 C 2 2 x sin t cos t t t 3, 5 5 2. 2 y C cos t C sin t 2 t 3 t 4. 1 2
方程组通解为
x 3C1e t 3C 2e t 3C 3 cos t 3 t C4 sin t 2e t t t y C1e C 2e C 3 cos t C4 sin t e
注意：在求得一个未知函数的通解以后，再求另 一个未知函数的通解时，一般不再积分．
可进行相加和相乘的运算．
d 2 x dy t x e dt 2 dt 例2 解微分方程组 2 d y dx y 0. dt 2 dt d 解 用记号D 表示 ,则方程组可记作 dt 2 t (１ ) ( D 1) x Dy e 2 (２ ) Dx ( D 1) y 0
(1) ( 2)
解 设法消去未知函数 y ， 由(2)式得
1 dz y z ( 3) 2 dx dy 1 d 2 z dz , 两边求导得， 2 dx 2 dx dx
把(3), (4)代入(1)式并化简, 得
( 4)
d 2z dz 2 z0 2 dx dx
类似解代数方程组消去一个未知数,消去 x
(1) ( 2) D : ( 2) ( 3) D :
x D3 y e t ,
( D4 D2 1) y De t .
4 2 t
(３ )
(４ )
(５ )
即
( D D 1) y e
非齐线性方程
其特征方程为 r 4 r 2 1 0
二、常系数线性微分方程组的解法
步骤:
１． 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导 数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性 微分方程． ２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知 函数. ３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 不必经过积分就可求出其余的未知函数．
例1
dy dx 3 y 2 z , 解微分方程组 dz 2 y z . dx
三、小结
１．注意微分算子D的使用；
２．注意求出其中一个解，再求另一个解时， 宜用代数法，不要用积分法．避免处理两次 积分后出现的任意常数间的关系．
练 习 题
一、求下列微分方程组 的通解： dx dy x y 3, dt dt 1. dx dy x y 3; dt dt dy dx 2x y t, dt dt 2. 5 x dy 3 y t 2 . dt
解之得通解 z (C1 C2 x )e x ,
(5)
1 x y ( 2 C C 2 C x ) e . ( 6) 再把(5)代入(3)式, 得 1 2 2 2
原方程组的通解为
1 x y ( 2 C C 2 C x ) e 1 2 2 2 , x z ( C C x ) e 1 2
*第十节
பைடு நூலகம்
第七章
常系数线性微分方程组 解法举例
解方程组
消元
代入法
算子法
高阶方程求解
一、微分方程组
微分方程组 由几个微分方程联立而成的方程组 称为微分方程组．
注意：这几个微分方程联立起来共同确定了几 个具有同一自变量的函数． 常系数线性微分方程组 微分方程组中的每一个 微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线 性微分方程组．
d 用 D 表示对自变量 x 求导的运算 , dx
例如， y
(n)
a1 y ( n1) an1 y an y f ( x )
n 1
用记号 D 可表示为
( D a1 D
n
a n 1 D a n ) y f ( x )
注意:
D n a1 D n1 an1 D an 是 D 的多项式