反比例函数知识点总结和重点题型归纳
反比例函数知识点总结和重点题型归纳(汇编)
精品文档 反比例函数重点知识总结和归纳1. 反比例函数定义2.反比例函数的性质3.待定系数法4.反比例函数的图像和画法一、 反比例函数的比较大小问题1.若点A （1，y 1）和点B （2，y 2）在反比例函数y =图象上，则y 1与y 2的大小关系是：y 1 y 2（填“＞”、“＜”或“=”）．2.已知(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)是反比例函数y ＝－4x的图象上的三点，且x 1＜x 2＜0，x 3＞0，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )．A ．y 3＜y 1＜y 2B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 3＜y 2＜y 1二、反比例函数与直线相交问题3.直线y=mx 与双曲线y ＝k x相交于A 、B 两点，A 点的坐标为（1，2） （1）求反比例函数的表达式；（2）计算线段AB 的长．（3）根据图象直接写出当mx ＞k x时，x 的取值范围；4.已知：如图，反比例函数y 1＝k x的图象与一次函数y 2=x +b 的图象交于点A （1，4）、点B （﹣4，n ）．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAB 的面积；（3）直接写出y 1＞y 2，y 1＜y 2，y 1=y 2时自变量x 的取值范围．精品文档5.如图，一次函数y =kx +b 与反比例函数的图象交于A （m ，6），B （3，n ）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出的x 的取值范围； （3）求△AOB 的面积．6.如图,在平面直角坐标系中,直线y =x －2与y 轴相交于点A ,与反比例函数k y x在第一象限内的图象相交于点B （m ,2）. ⑴ 求反比例函数的关系式;⑵ 将直线y =x －2向上平移后与该反比例函数的图象在第一象限内交于点C ，且△ABC 的面积为18,求平移后的直线的函数关系式.精品文档三、 反比例函数交点问题7.函数y=的图像与直线y=2x 没有交点，k 的取值范围？8.y= 与y=x-2的图像的交点横坐标为a,b,则 的值四、 反比例函数中线段比的问题---转化为点的坐标问题9.如图，直线y=与双曲线y=（k ＞0，x ＞0）交于点A ，将直线y=向上平移4个单位长度后，与y 轴交于点C ，与双曲线y=（k ＞0，x ＞0）交于点B ，若OA=3BC ，则k 的值为（ ）精品文档10.如图，已知函数y=x 与反比例函数y=（x ＞0）的图象交于点A ．将y=x 的图象向下平移6个单位后与双曲线y=交于点B ，与x 轴交于点C ．（1）求点C 的坐标；（2）若=2，求反比例函数的解析式．五、 k 的几何意义------面积问题11.如图，反比例函数（x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别于AB 、BC 交于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为9，则k 的值为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ．4 12.如图，A 、B 是双曲线y=上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴，交OB 于D点，垂足为C ．若△ADO 的面积为1，D 为OB 的中点，则k 的值为（ ）A ．B ．C ． 3D ． 4精品文档13.如图，已知双曲线)0(k y >=k x经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交与点C 。
反比例函数专题知识点归纳 常考(典型)题型 重难点题型(含详细答案)
反比例函数专题知识点归纳+常考（典型）题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录 (1)二、基础知识点 (2)1.知识结构 (2)2.反比例函数的概念 (2)3.反比例函数的图象 (2)4.反比例函数及其图象的性质 (2)5.实际问题与反比例函数 (4)三、常考题型 (6)1.反比例函数的概念 (6)2．图象和性质 (6)3．函数的增减性 (8)4．解析式的确定 (10)5．面积计算 (12)6．综合应用 (17)三、重难点题型 (22)1.反比例函数的性质拓展 (22)2.性质的应用 (23)1.求解析式 (23)2.求图形的面积 (23)3. 比较大小 (24)4. 求代数式的值 (25)5. 求点的坐标 (25)6. 确定取值范围 (26)7. 确定函数的图象的位置 (26)二、基础知识点1.知识结构2.反比例函数的概念（k≠0）可以写成y=x−1（k≠0）的形式，注意自变量x 1．y=kx的指数为－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k≠0这一限制条件；（k≠0）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反2．y=kx比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；的自变量x≠0，故函数图象与x轴、y轴无交点．3．反比例函数y=kx3.反比例函数的图象的图象时，应注意自变量x的取值在用描点法画反比例函数y=kx不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．4.反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：y=k（k≠0）x2．自变量的取值范围：x≠03．图象：（1）图象的形状：双曲线．|k|越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．|k|越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：①与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．②当k＞0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；③当k＜0时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（－a，－b）在双曲线的另一支上．②图象关于直线y=±x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）和（－b，－a）在双曲线的另一支上．（4）k的几何意义图1上任意一点，作PA⊥x①如图1，设点P（a，b）是双曲线y=kx轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO|k|）．和三角形PBO的面积都是12图2②如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|．（5）说明：①双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．的关系：②直线y=k1x与双曲线y=k2x当k1k2＜0时，两图象没有交点；当k1k2＞0时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．5.实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．三、常考题型1.反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B．y－3=2x C．3xy=1 D．y=x2答案：A为正比例函数B为一次函数C变型后为反比例函数D为二次函数（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=14x B．y=−1x2C．y=1x−1D．y=1+1x答案：A为反比例函数，k为14B、C、D都不是反比例函数2．图象和性质（1）已知函数y=（k+1）x k2+k−3是反比例函数。
反比例函数知识点知识点总结
反比例函数知识点知识点总结反比例函数知识点总结一、反比例函数的定义一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。
其中，x 是自变量，y 是因变量，k 叫做比例系数。
需要注意的是，反比例函数中自变量 x 的取值范围是x≠0，因为在分母中，分母不能为 0。
二、反比例函数的表达式反比例函数常见的表达式有以下三种形式：1、 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0），这是最基本的形式。
2、 xy ＝ k（k 为常数，k≠0），通过对 y ＝ k/x 两边同时乘以 x 得到。
3、 y ＝ kx^（－1)（k 为常数，k≠0），这是用幂的形式表示。
三、反比例函数的图像反比例函数的图像属于双曲线。
当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小。
当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。
反比例函数的图像是以原点为对称中心的中心对称的两条曲线。
四、反比例函数的性质1、单调性当 k＞0 时，函数在区间（∞，0）和（0，＋∞）上分别单调递减；当 k＜0 时，函数在区间（∞，0）和（0，＋∞）上分别单调递增。
2、对称性反比例函数的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形。
它有两条对称轴，分别是直线 y ＝ x 和 y ＝ x；对称中心是原点（0，0）。
3、渐近线当 x 趋近于正无穷或负无穷时，曲线无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。
4、取值范围当 k＞0 时，y＞0 或 y＜0；当 k＜0 时，y＜0 或 y＞0。
五、反比例函数中 k 的几何意义1、过反比例函数 y ＝ k/x（k≠0）图像上任意一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM、PN，垂足分别为 M、N，则矩形 PMON 的面积 S ＝PM×PN ＝｜y|×｜x| ＝｜xy| ＝｜k|。
反比例函数知识点总结典型例题大全
反比例函数知识点总结典型例题大全一、反比例函数的基本概念反比例函数是一种特殊的函数，其函数关系为y=k/x(k≠0)。
其中，k被称为反比例函数的比例常数，x和y分别为自变量和因变量。
反比例函数的图像是一个开口朝下（或者朝上）的双曲线，在直角坐标系中呈现为一组对称性质。
二、反比例函数的特征1. 反比例函数的图像反比例函数的图像是一个以原点为中心对称的双曲线，图像的形状取决于比例常数k的正负和大小。
当k>0时，图像开口朝上；当k<0时，图像开口朝下。
2. 反比例函数的定义域和值域反比例函数的定义域是除去x=0的所有实数集，值域是除去y=0的所有实数集。
3. 反比例函数的性质反比例函数的性质主要包括：随着x的增大，y值逐渐减小；当x趋近于0时，y值趋近于无穷大（或者负无穷大）；同理，当x趋近于无穷大时，y值趋近于0。
三、反比例函数的典型例题1. 已知反比例函数y=k/x(k≠0)的图象关于x轴对称，求该反比例函数的解析式。
解：由于函数图象关于x轴对称，所以当x不等于0时，k/x和-k/x的图象关于x轴对称。
由此可得k/x=-k/x，即k=-k。
解得k=0。
所以该反比例函数的解析式为y=0，即y=0。
2. 若y是反比例函数y=k/x的函数，且满足y=2时，x=4。
求k的值。
解：根据反比例函数的定义，y=k/x。
已知y=2，x=4。
将这组值代入反比例函数的定义中，得到2=k/4，解得k=8。
所以k=8。
3. 如果反比例函数y=k/x的图象经过点(2, 6)，求k的值。
解：根据反比例函数的定义，点(2, 6)满足y=k/x。
将点(2, 6)代入反比例函数的定义中，得到6=k/2，解得k=12。
所以k=12。
四、反比例函数的应用反比例函数在实际生活中有许多应用。
在电阻和电流的关系中，电阻是和电流成反比例关系的。
又在人口和土地的关系中，人口密度和土地面积也呈现出反比例关系。
五、个人观点和理解反比例函数作为数学中的重要概念，对于学习数学的同学来说是一个非常基础和重要的内容。
初中数学反比例函数知识点及经典例题
初中数学反比例函数知识点及经典例题反比例函数是数学中常见的一类函数，它是由一元二次函数反过来得到的。
反比例函数的特点是，自变量的增大导致函数值的减小，自变量的减小导致函数值的增大。
本文将介绍反比例函数的定义、性质、图像、经典例题以及解题思路。
一、反比例函数的定义反比例函数是指当两个变量之间满足一个恒等关系时，这个关系可以用一个反比例关系式表示。
一般地，反比例关系式可以表示为：y=k/x，其中k为常数。
二、反比例函数的性质1.反比例函数的定义域是非零实数集。
2.反比例函数的值域是非零实数集。
3.反比例函数的图像是一个经过原点的开口向右下方的双曲线。
4.当自变量等于1时，反比例函数的值等于常数k。
5.反比例函数的平行于y轴的渐近线是x=0。
三、反比例函数的图像反比例函数的图像是一个经过原点的开口向右下方的双曲线。
当自变量趋于正无穷时，函数值趋近于0；当自变量趋于负无穷时，函数值趋近于无穷大。
反比例函数的图像与x轴和y轴均不相交，且在第一象限和第三象限上。
四、反比例函数的经典例题及解题思路解题思路：根据题意可得到等式3=k/2，解方程可得到k=6、因此，此反比例函数为y=6/x。
例题2：证明反比例函数y=3/x与y=4/x在坐标原点处相交。
解题思路：将两个函数分别带入坐标原点，可得到y1=3/0=0，y2=4/0=0，因此，两个函数在坐标原点处相交。
例题3：如果一个反比例函数的变量x增加了50%，那么函数值y会发生什么变化？解题思路：根据反比例函数的定义可以得到y=k/x，将x增加了50%相当于原来的x增加了1.5倍，那么y就变成了原来的1.5倍。
例题4：如果一个反比例函数的函数值y减少了60%，那么自变量x会发生什么变化？解题思路：根据反比例函数的定义可以得到y=k/x，将y减少了60%相当于原来的y减少了0.6倍，那么x就变成了原来的0.6倍。
总结：反比例函数是一类常见的函数，它的特点是自变量的增大导致函数值的减小，自变量的减小导致函数值的增大。
九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题(附答案解析)
九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题一、基础知识（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析1．反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B．C．3xy=1 D．（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．B．C．D．答案：（1）C；（2）A．2．图象和性质（1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A．B．C．D．答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．3．函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A．正数B．负数C．非正数D．非负数（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（3）下列四个函数中：①；②；③；④．y随x的增大而减小的函数有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．答案：（1）A；（2）D；（3）B．注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小．4．解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x 成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？答案：（1）B；（2）4，8，（，）；（3）依题意，且，解得．（4）①依题意，解得②一次函数解析式为，反比例函数解析式为．（5）①，，；②30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效．5．面积计算（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．第（1）题图第（2）题图（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x 轴，△ABC的面积S，则（）．A．S=1 B．1＜S＜2C．S=2 D．S＞2（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．第（3）题图第（4）题图（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x 轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．第（5）题图第（6）题图（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．①求B点坐标和k的值；②当时，求点P的坐标；③写出S关于m的函数关系式．答案：（1）D；（2）C；（3）6；（4），，矩形O Q 1P1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为，前者大．（5）1．（6）①双曲线为，直线为；②直线与两轴的交点分别为（0，）和（，0），且A（1，）和C（，1），因此面积为4．（7）①B（3，3），；②时，E（6，0），；③．6．综合应用（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（）．A．互为倒数B．符号相同C．绝对值相等D．符号相反（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．①求反比例函数和一次函数的解析式；②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．①求点A、B、D的坐标；②求一次函数和反比例函数的解析式．（4）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．①利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；②双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（5）不解方程，判断下列方程解的个数．①；②．（2）①反比例函数为，一次函数为；②范围是或．（3）①A（0，），B（0，1），D（1，0）；②一次函数为，反比例函数为．（4）①反比例函数为，；②存在（2，2）．（5）①构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；②构造双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．。
反比例函数及其图象和性质(4大考点9大题型)(解析版)
反比例函数及其图象和性质（4大考点9大题型）课程标准学习目标结合具体情境用实例体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式；会用描点法画出反比例函数的图象；知道当k>0和k<0时反比例函数ky x= (k ≠0)图象的整体特征．1、理解反比例函数的概念，会判断一个函数是不是反比例函数。
2、能结合具体问题确定反比例函数的表达式，并会确定实际问题中自变量的取值范围，求出函数值。
3、能画出反比例函数的图象，知道反比例函数的图象是双曲线。
4、理解反比例函数的性质，并能运用其性质解决相关的问题。
5、理解反比例函数)0(≠=k xky 中的比例系数k 的几何意义，并能运用其意义求与反比例函数图象有关的图形面积问题。
知识点一：反比例函数的概念及表达式如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xy k =，或表示为ky x=，其中k 是不等于零的常数.一般地，形如ky x= (k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.知识点二：反比例函数图象的画法（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y 值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由k 的符号决定的：当0k >时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当0k <时，两支曲线分别位于第二、四象限内．知识点三：反比例函数的图象与性质1、 反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.2.反比例函数的性质（1）当0k >时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小；（2）当0k <时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大；（3）反比例的图像关于原点的对称、关于直线y x =±对称；知识点四：反比例函数表达式中比例系数k 的几何意义通过反比例函数上一点向一条坐标轴作垂线，这个点与垂足和原点所构成的三角形面积为12k ，与两条坐标轴围成矩形面积为k ，注意加绝对值时，有正负两个答案．题型01 用反比例函数表示数量关系1．下列说法正确的是（ ）A ．一个人的体重与他的年龄成正比例关系；B ．车辆行驶的速度v 一定时，行驶的路程s 与时间t 成反比例关系；C ．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系；D ．圆的周长与直径成正比例关系．【答案】D【分析】分别利用反比例函数、正比例函数关系分别分析得出答案．【详解】解：A 、一个人的体重与他的年龄成正比例关系，错误，不符合题意；B 、车辆行驶的速度v 一定时，行驶的路程s 与时间t 成正比例关系，不符合题意；；C 、周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系,错误，不符合题意；D 、圆的周长l d p =故与直径成正比例关系,符合题意．故选：D【点睛】此题主要考查了反比例函数、正比例函数关系，正确得出函数关系是解题关键．2．已知压力F 、受力面积S 、压强P 之间的关系是FP S=．则下列说法不正确的是（ ）A ．当压强P 为定值时，压力F 与受力面积S 成正比函数关系；B ．当压强P 为定值时，受力面积S 越大，压力F 也越大；C ．当压力F 为定值时，压强P 与受力面积S 成正比例函数关系；D ．当压力F 为定值时，压强P 与受力面积S 成反比例函数关系．【答案】C【分析】根据正比例函数关系和反比例函数关系的定义进行判断即可．【详解】解：A ．在FP S=中，当压强P 为定值时，压力F 与受力面积S 成正比函数关系，故选项正确，不符合题意；B ．在FP S=中，当压强P 为定值时，受力面积S 越大，压力F 也越大，故选项正确，不符合题意；C ．在FP S=中，当压力F 为定值时，压强P 与受力面积S 成反比例函数关系，故选项不正确，符合题意；D ．在FP S=中，当压力F 为定值时，压强P 与受力面积S 成反比例函数关系，故选项正确，不符合题意．故选：C ．【点睛】此题考查了正比例函数关系和反比例函数关系，熟练掌握正比例函数关系和反比例函数关系的定义是解题的关键．3．若某城市市区人口x 万人，市区绿地面积100万平方米，平均每人拥有绿地y 平方米，则y 与x 之间的函数表达式为 ．【答案】100y x=【分析】根据题意平均每人拥有绿地面积=总面积总人口，列出函数关系式即可得出答案．【详解】解：由城市市区人口x 万人，市区绿地面积100万平方米，则平均每人拥有绿地面积为100y x=．故答案为：100y x=【点睛】本题主要考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式进行求解是解决本题的关键．4．计划修建铁路1200km ，那么铺轨天数(d)y 是每日铺轨量(km /d)x 的反比例函数吗？【答案】1200y x=，y 是x 的反比例函数【分析】铺轨天数=铁路长¸y 与x 之间的函数关系式，根据反比例函数的一般形式判断是否为反比例函数即可．【详解】解：Q 铺轨天数=铁路长¸每天铺轨量，1200y x\=，∴y 是x 的反比例函数．【点睛】本题考查反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式为(0)ky k x=≠，关键是得到y 与x 之间的函数关系式．题型02 根据反比例函数定义求参数5．若函数2n y nx -=是反比例函数，n 的值是（ ）A ．1±B ．1C ．1-D ．不能确定【答案】A【分析】本题考查的是反比例函数的定义，熟知反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义求出n 的值即可．【详解】∵2n y nx -=是反比例函数，∴21n -=-，解得1n =±．故选：A6．若函数1m y x -=为反比例函数，则m 的值是 ．【答案】0【分析】本题考查的是反比例函数的定义，根据题意列出关于m 的方程是解题的关键．根据反比例函数的定义列出关于m 的方程求解即可．【详解】解：∵函数1m y x -=为反比例函数，∴11m -=-，解得0m =．故答案为：0．7．若函数()232m y m x -=-是反比例函数，则m =．【答案】2-【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义即可解答．【详解】解：∵函数()232m y m x -=-是反比例函数，∴20m -≠，231m -=-，解得2m =-．故答案为：2-8．已知()322m y m m x -=+是关于x 的反比例函数，则()20232m -= ．【答案】0【分析】本题考查了反比例函数的定义、求代数式的值，反比例函数的一般形式是ky x=（k 为常数，0k ≠），先根据反比例函数的定义求出m 的值，再代入计算即可得出答案．【详解】解：由题意得：220m m +≠，31m -=-，解得：2m =，∴()()202320232220m -=-=，故答案为：0．题型03 求反比例函数的自变量或函数值9．如果y 是x 的反比例函数，那么当x 增加它的12时，y 将（ ）A ．减少它的12B ．减少它的13C ．增加它的12D ．增加它的13【答案】B【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据y 是x 的反比例函数，得出xy k =，根据当x 增加它的12时，自变量变为32x ，设因变量y 变为1y ，得出132x y xy k ×==，求出123y y =，得出答案．【详解】解：∵y 是x 的反比例函数，∴xy k =，当x 增加它的12时，自变量变为32x ，设因变量y 变为1y ，则：132x y xy k ×==，∴123y y =，∴y 将减少它的13，故选：B ．10．在反比例函数5y x=中，当10x =时，y = ．【答案】12/0.5【分析】本题考查了反比例函数的定义，将10x =代入反比例函数5y x=中，解出y 即可．由已知函数解析式和函数值求相应的自变量的值．【详解】解：当10x =时，51102y ==．故答案为：12．11．反比例函数6y x=中，2x =，则y = ．【答案】3【分析】本题考查反比例函数解析式，直接将2x =代入求出y 的值即可．【详解】解：反比例函数6y x=中，当2x =时，6632y x ===，故答案为：3．12．某蓄电池的电压为60V ，使用此蓄电池时，电流I （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）的函数表达式为60I R=，当12R =W 时，I 的值为 A ．【答案】5【分析】本题考查了求反比例函数值，掌握反比例函数图像的点必然满足函数解析式成为解题的关键．把12R =W 代入函数表达式即可求出I 的值．【详解】解：当12R =W 时，60512I I ==．故答案为：5．13．已知反比例函数12y x=-的图象经过点()1,4A a +，则a = ．【答案】4-【分析】直接将点()1,4A a +代入12y x=-求出a 即可．【详解】解：直接将点()1,4A a +代入12y x =-，则1241a =-+，解得：4a =-．故答案为：4-．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数知识和计算准确性是解决本题的关键，难度较小．14．已知反比例函数12y x=-．(1)说出这个函数的比例系数和自变量的取值范围．(2)求当3x =-时函数的值．(3)求当y =时自变量x 的值．【答案】(1)12,0k x =-≠(2)4(3)【分析】（1）根据k 是反比例函数的比例系数，x 在分母上求出取值范围即可；（2）把3x =-，代入解析式，求出y 值，即可得解；（3）把y =x 值，即可得解．【详解】（1）解：∵12y x=-，∴12,0k x =-≠；（2）解：把3x =-，代入12y x =-得：1243y =-=-；∴当3x =-时函数的值为：4；（3）解：把y =12y x =-得：12x=-，解得：x =；∴当y =x的值为：【点睛】本题考查反比例函数的定义以及求自变量或函数值．熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键．题型04 利用反比例函数求解析式15．已知12y y y =-，并且1y 与x 成正比例2y 与(2)x -成反比例，当2x =-时，7y =-；当3x =时，13y =．(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)求当5x =时的函数值．【答案】(1)432y x x =+-(2)493【分析】该题主要考查了正反比例函数的定义，解题的关键是正确理解正反比例函数．（1）设12,2m y kx y x ==-，则2my kx x =--，然后利用待定系数法即可求得；（2）把5x =代入（1）求得函数解析式求解．【详解】（1）解：设12,2my kx y x ==-，则2my kx x =--，根据题意得：274313m k k m ì--=-ï-íï-=î，解得：34k m =ìí=-î，则函数解析式是：432y x x =+-；（2）解：当5x =时，44935523y =´+=-．16．已知12y y y =+，1y 与(1)x -成正比例，2y 与(1)x +成反比例，当0x =时，=3y -，当1x =时，1y =-．(1)求y 的表达式；(2)求当2x =-时y 的值．【答案】(1)211y x x =--+(2)1-【分析】（1）先根据题意得出11(1)y k x =-，221k y x =+，根据12y y y =+，当0x =时，=3y -，当1x =时，1y =-得出x 、y 的函数关系式即可；（2）把2x =-代入（1）中的函数关系式，求出y 的值即可．本题考查的是反比例函数及正比例函数的定义，能根据题意得出y 与x 的函数关系式是解答此题的关键．【详解】（1）解：1y Q 与(1)x -成正比例，2y 与(1)x +成反比例，11(1)y k x \=-，221k y x =+，12y y y =+Q ，当0x =时，=3y -，当1x =时，1y =-．\1223112k k k -=-+ìïí-=ïî，22k \=-，11k =，211y x x \=--+；（2）解：当2x =-，221211121y x x =--=---=-+-+．17．已知函数12y y y =+，1y 与1x +成正比例函数，2y 与x 成反比例函数，当1x =时，7y =，当3x =时，9y =．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)求当=1x -时，y 的值．【答案】(1)322y x x=++(2)=3y -【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是理解正比例、反比例的含义．（1）根据正比例与反比例的定义设出y 与x 之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式，计算即可得解；（2）把=1x -代入（1）中所求函数解析式，计算求y 即可．【详解】（1）解：设()111y k x =+，()22120,0k y k k x=≠≠ 则()21211k y y y k x x=+=++把()1,7()3,9代入得122127493k k k k +=ìïí+=ïî，∴1223k k =ìí=î∴322y x x=++（2）当=1x -时 2323y =--+=-18．已知 121y y y y =+，与 x 成正比例，2y 与 23x -成反比例． 并且当 2x =时，5y =；当 12x =，74y =-求 y 与 x 之间的函数关系式．【答案】14223y x x =+-【分析】本题考查求函数表达式，设2112,23k y k x y x ==-，待定系数法求出12,k k ，即可．掌握待定系数法求函数解析式，是解题的关键．【详解】解：设2112,23k y k x y x ==-，则：212123k y y y k x x =+=+-，由题意，得：21212522317124232k k k k ì+=ï´-ïí+=-ï´-ïî，解得：12124k k ì=ïíï=î，∴14223y x x =+-．题型05 反比例函数图象与参数之间的关系19．若反比例函数21m y x -=的图像在第二、四象限，则m 的最大整数值是（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B 【分析】本题考查了是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键；根据图像所在的象限，可知210m <－，即可求解；【详解】解：210m <Q －，0.5m \<，m \的最大整数是1-，∴选：B.20．若反比例函数21m y x -=的图象经过第二、四象限，则m 的取值范围是（ ）A ．12m £B ．12m ³C ．12m <D ．12m >【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与其系数的关系，解题的关键是熟练掌握反比例函数()0k y k x =≠的性质：当0k >时，图象在一、三象限；当0k <时，图象在二、四象限，据此求解即可．【详解】解：∵反比例函数21m y x-=的图象经过第二、四象限，∴210m -<，∴12m <，故选：C ．21．如图是反比例函数(0)ky x x =>的图像，写出一个符合要求的整数k 的值是 ．【答案】1（或2或3）【分析】本题主要考查反比例函数图像的性质：（1）0k >时，图像是位于一、三象限；（2）0k <时，图像是位于二、四象限．反比例函数(ky k x =是常数，0)k ≠的图像在第一象限，则0k >，再根据反比例函数k y x=的图像经过点(2,2)A ，找出符合上述条件的k 的一个值即可．【详解】解：∵反比例函数的图像在一象限，0k \>，又∵反比例函数k y x=的图像经过点(2,2)A 时，224k =´=．04k \<<，∴k 的值可以是1．故答案为：1．22．如图是反比例函数2m y x -=的图象，那么实数m 的取值范围是 ．【答案】2m >【分析】根据反比例的函数图象经过第一、三象限，得m ―2>0，直接解答即可．本题主要考查了反比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．【详解】解：∵反比例的函数图象经过第一、三象限∴m ―2>0，故2m >．故答案为：2m >．题型06 反比例函数的增减性与参数之间的关系23．在函数()0k y k x=<的图象上有三点()11,x y ，()23,x y ，()33,x y ，已知1230x x x <<<，那么下列各式中，正确的是（ ）A ．213y y y >>B ．312y y y >>C ．231y y y >>D ．132y y y >>【答案】A【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，判断出反比例函数在每个象限的增减性，进而可得到答案．【详解】解：∵0k <，∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，又∵1230x x x <<<，∴213y y y >>．故选：A ．24．若点()()()122331,,,,,A x y B x y C x y 都在反比例函数21k y x+=的图象上，若1230x x x <<<则123,,y y y 的大小关系是．（请用“<”号连接）【答案】213y y y <<【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．由210k +>，可得函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y 随着x 的增大而减小，进而得到123,,y y y 的大小关系．【详解】解：210k +>Q ，\反比例函数21k y x +=的图象在第一、三象限，在每个象限内，y 随着x 的增大而减小，又1230x x x <<<Q ，1230,0,0<<>\y y y ，且32y y >，213y y y \<<，故答案为：213y y y <<．25．反比例函数3y x =的图象，当0x >时，y 随x 的增大而 ．【答案】减小【分析】根据反比例函数解析式及反比例函数的性质即可解答．本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数()0k y k x=≠中，当0k >时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小是解答此题的关键．【详解】解：∵反比例函数的解析式为3y x =，∴30k =>，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小，∴当0x >时，y 随x 的增大而减小，故答案为：减小．26．如果反比例函数34a y x -=的图像在每一个象限内y 随x 的增大而减小，那么a 满足的条件是 ．【答案】3a <【分析】本题考查了反比例函数的性质，理解反比例函数的图像与性质是解题关键．对于反比例函数()0k y k x=≠，当0k >时，该反比例函数的图像在第一、三象限，且在每一个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而减小；当0k <时，该反比例函数的图像在第二、四象限，且在每一个象限内，函数值y 随自变量x 增大而增大．根据反比例函数的性质可得340a ->，再解不等式即可．【详解】解：∵反比例函数34a y x -=的图像在每一个象限内y 随x 的增大而减小，∴340a ->，解得34a <．故答案为：34a <．27．反比例函数||3(1)k y k x -=-+，在图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，则k =【答案】2-【分析】此题主要考查了反比例函数的性质和定义，反比例函数的图象是双曲线；当0k >，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；当0k <，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．直接利用反比例函数的性质和定义得出10k -+>且31k -=-，进而得出k 的值．【详解】解：在反比例函数||3(1)k y k x -=-+的图象的每一支上，y 都随x 的增大而减少，10k \-+>且31k -=-，2k \=-，故答案为：2-．28．已知点()()121,,2,A y B y 都在反比例函数1m y x +=的图象上，且12y y <，则m 的取值范围为 ．【答案】1m <-【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数图象上得到坐标特征解答即可．【详解】解：12<Q ，12y y <，\反比例函数在各个象限内，y 随x 的增大而增大，点A 、B 在同在第四象限，10+<m ，即1m <-．故答案为：1m <-．题型07 利用图形面积求比例系数k29．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在反比例函数()0k y x =>的图象上，过点A 作AC y ^轴于点C ，过点B 作BD x ^轴于点D ，AC BD =，若3OC =，AOB V 的面积为4，则k 的值为（ ）A ．52B ．3C ．72D ．4【答案】B【分析】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，图象点的坐标特征．延长CA DB ，交于点E ，得到,33k A æöç÷èø，3,3k B æöç÷èø，再根据题意得到2113323342323k k æö´-´´´--=ç÷èø，计算即可求解．【详解】解：如图，延长CA DB ，交于点E ，∵点A ，B 在反比例函数()0k y x x=>的图象上，AC BD =，3OC =，∴,33k A æöç÷èø，∴3,3k B æöç÷èø，∴33k AE =-，33k BE =-，∵AOB V 的面积为4，∴2113323342323k k æö´-´´´--=ç÷èø，解得13k =，23k =-（舍去）．故选：B ．30．如图，过反比例函数k y x=()0x <图象上的一点A 作AB x ^轴于点B ，连接AO ，若4AOB S D =，则k 的值是（ ）A ．4B ．4-C ．8D ．8-【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数值k 的几何意义，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键．根据反比例函数 k 值的几何意义可知28AOB S k ==V |，再根据图象所在象限确定 k 的符号即可．【详解】解：2248AOB k S ==´=V Q ，8k \=±，Q 函数图象在第二象限，8k \=-．故选：D ．31．如图，点A 是函数3y x =-（0x <）图象上一点，点B 是k y x=（0k >，0x >）图象上一点，点C 在x 轴上，连结AB ，CA ，CB ．若x 轴，4ACB S =△，则k =（ ）．A ．4B ．2C ．2.5D ．5【答案】D 【分析】本题考查反比例函数k 的几何意义，读懂题意，数形结合是解决问题的关键．连接OA OB 、，如图所示，得到ABC ABO S S =V V ，再结合反比例函数k 的几何意义即可得到3422k +=，解方程即可得到答案．【详解】解：连接OA OB 、，如图所示：Q AB x ∥轴，322ABC ABO k S S \==+△△，Q 4ACB S =△，3422k \+=，解得5k =，故选：D ．32．如图，在平面直角坐标系中，若将点()0,2A 向右平移后，其对应点A ¢恰好落在反比例函数k y x =的图象上，已知点()4,0B ，连接AB 、A B ¢，则图中阴影部分的面积为4则该函数的解析式k y x=中的k 值是（ ）A ．4B ．8C ．4-D ．8-【答案】B 【分析】本题考查的是平移的性质，反比例函数图象的性质.如图，过A ¢作A H OB ¢⊥于H ，由将点()0,2A 向右平移后，其对应点A ¢恰好落在反比例函数()>0k y x x =的图象上，可得142S k =´=阴影，从而可得答案．【详解】解：如图，过A ¢作A H OB ¢⊥于H ，∵将点()0,2A 向右平移后，其对应点A ¢恰好落在反比例函数()>0k y x x=的图象上，∴142S k =´=阴影∴8k =，故选：B.33．如图，平行四边形的顶点B 在x 轴上，点A 在()0k y k x=<上，且AB x ^轴，对角线DB 的延长线交y 轴于点E ，若3BCE S =V ，则k =（ ）A ．3-B ．6-C ．―8D ．9-【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数k 值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积、平行四边形的性质，熟练掌握k 值几何意义是关键．设DC 与x 轴交于点F ，连接A F 、O A ，根据12OAF S OF AB =×V ，12CDE S OF CD =×V ， 且CD AB =，可得 OAF CDE S S =V V ，再利用ABF DCB S S =V V ，3ABO BCE S S ==V V ，继而求出k 值．【详解】解：设DC 与x 轴交于点F ，连接A F 、OA ，∵ 12OAF S OF AB =×V ，12CDE S OF CD =×V ， 且CD AB =，OAF CDE S S \=V V ，又∵ABF DCB S S =V V ，3ABO BCE S S \==V V ，26ABO k S \==V ，Q 反比例函数在第二象限，6k \=-.故选：B.题型08 利用比例系数k 求图形面积34．如图，两个反比例函数5y x=和3y x =在第一象限内的图象分别是1C 和2C ，设点P 在1C 上，PA x ^轴于点A ，交2C 于点B ，则POB V 的面积为( )A ．1B ．2C ．4D ．无法计算【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数k 值的几何意义．根据反比例函数k 值的几何意义进行解答即可．【详解】解：Q 点P 在反比例函数5y x=的图象上，\52POA S D =，Q 点B 在反比例函数3y x =的图象上，32BOA S D \=，53122POB POA BOA S S S D D D \=-=-=．故选：A ．35．如图，反比例函数6y x-=，点A 位于反比例函数图像上，AB 垂直于x 轴，点C 在y 轴从上往下运动的过程中，三角形ABC 的面积变化情况是（ ）A ．不变B ．一直变大C ．先变大后变小D ．先变小后变大【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，反比例函数比例系数的几何意义，ABC AOB S S =△△，根据平行线的性质和反比例函数比例系数的几何意义可得632ABC AOB S S -===V V ，据此可得答案．【详解】解：如图所示，连接OA ，∵AB OB ^，∴AB OC ∥，∴ABC AOB S S =△△，∵点A 位于反比例函数图像上，∴632ABC AOB S S -===V V ，故选：A ．36．如图，在平面直角坐标系中，点A ，D 分别在y 轴、x 轴上，BD x ^轴，与双曲线()160y x x =-<交于点B ，与双曲线()220y x x=-<交于点C ，若四边形OABC 为平行四边形，则平行四边形OABC 的面积是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象与平行四边形综合，利用反比例函数的几何意义或利用设元法解决是关键．设6,B m m æö-ç÷èø，可表示出点C 坐标，便得BC 和OD 的长，即可得平行四边形OABC 的面积．【详解】解：设6,(0)B m m m æö-<ç÷èø，∵BD x ^轴，点B 在双曲线()160y x x =-<上，点C 在双曲线()220y x x=-<上，∴2,C m m æö-ç÷èø，∴6BD m =-，2CD m=-，∴624BC BD CD m m m=-=-+=-，∵四边形OABC 为平行四边形，∴平行四边形OABC 的面积()44BC OD m m =´=-´-=，故选：D ．37．如图，反比例函数()0k y k x=≠经过A 、B 两点，分别过A 、B 作x 轴的垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，连接AO ，连接BO 交AC 于点E ，若AEO △的面积为3，则四边形BDCE 的面积是（ ）A ．2B ．32C ．3D ．1【答案】C【分析】本题考查了反比例函数k 的几何意义，由k 的几何意义得ACO BDO S S k ==V V ，即AEO OCE OCE BDCE S S S S +=+V V V 四边形，即可求解；理解k 的几何意义“过反比例函数上任意一点作x 轴（y 轴）的垂线，则此点、垂足、坐标原点所构成的三角形面积为12k ．”是解题的关键．【详解】解：由题意得ACO BDO S S k ==V V ，AEO OCE OCE BDCE S S S S \+=+V V V 四边形，AEO BDCE S S \=V 四边形，3AEO BDCE S S \==V 四边形；故选：C ．38．如图，点,A B 均在反比例函数()00k y k x x=≠>，的图象上，AC x ^轴于点,C BD x ^轴于点D ，连接BC ，若()24,6A CD =，，则BCD △的面积为 ．【答案】3【分析】由()24A ，可得到k 的值为8，由6CD =方得到()80D ，，再结合BD x ^轴，点B 在反比例函数的图象上，可得到()8,1B ，则116132BCD BD S ==´´=，△．本题考查了反比例函数的面积计算，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．【详解】解：由()24A ，，得到k 的值为8，由6CD =，得到()80D ，，∵BD x ^轴，点B 在反比例函数的图象上，∴()8,1B ，∴116132BCD BD S ==´´=，△．故答案为：3．题型09 反比例函数图象和性质的综合判断39．对于反比例函数1y x =，下列说法错误的是（ ）A ．它的图象分布在第一、三象限B ．它的两支图象关于原点对称C ．当120x x <<时，则210y y <<D ．y 随x 的增大而减小【答案】D【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比函数的图象与性质逐项分析判断即可．【详解】解：A 、由10k =>得反比例函数1y x =的图象分布在第一、三象限，正确，不符合题意；B 、反比例函数1y x =的两支图象关于原点对称，正确，不符合题意；C 、当120x x <<时，反比例函数1y x =的图象在第三象限，且y 随x 的增大而减小，则210y y <<，原说法正确，不符合题意；D 、反比例函数1y x =的图象经过第一、三象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而减小，原说法错误，符合题意，故选：D ．40．已知反比例函数 2y x=，则下列描述不正确的是（ ）A ．图象位于第一、三象限B ．图象必经过()1,2C ．图象不可能与坐标轴相交D ．y 随x 的增大而减小【答案】D【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质；根据反比例函数的图象与系数的关系，以及反比例函数图象上点的坐标特征逐项判断即可．【详解】解：A.∵20k =>，∴图象位于第一、三象限，正确；B.∵当1x =时，22y x==，∴图象必经过()1,2，正确；C.图象不可能与坐标轴相交，正确D.∵20k =>，∴图象位于第一、三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小，描述错误；故选：D ．41．已知反比例函数3y x=-，下列结论不正确的是（ ）A ．图象必经过点()1,3-B ．在每一象限内，y 随x 的增大而增大C ．若1x >，则3y >-D ．图象位于第二、四象限内【答案】C【分析】本题主要考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质：当0k <，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．进行判断即可．掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：A 、反比例函数3y x=-的图象必经过点()1,3-，原说法正确，不合题意；B 、30k =-<，在每一象限内，y 随x 的增大而增大，原说法正确，不符合题意；C 、若1x >，则30y -<<，原说法错误，符合题意；D 、30k =-<，函数的图象分别位于第二、四象限，原说法正确，不符合题意；故选：C ．42．下列说法中不正确的是（）A ．函数5y x =的图象经过原点B ．函数3y x =的图象位于第一、三象限C ．函数32y x =-的图象不经过第二象限D ．函数2y x=-的值随x 值增大而增大【答案】D【分析】本题考查了正比例函数、一次函数及反比例函数的性质，属于函数的基础性知识，解题的关键是了解有关函数的性质，难度不大．利用正比例函数、一次函数及反比例函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、Q 函数5y x =是正比例函数，\函数5y x =的图象经过原点，故A 正确，不符合题意；B 、30>Q ，\函数3y x=的图象位于第一、三象限，故B 正确，不符合题意；C 、30>Q ，20-<，\函数32y x =-的图象经过第一、三、四象限，故C 正确，不符合题意；D 、20-<Q ，\当0x <或0x >时，函数2y x=-的值随x 值增大而增大，故D 错误，符合题意．故选：D ．43．下列关于函数说法错误的个数为（ ）（1）已知反比例函数k y x=的图像在第一象限，则k 的取值范围是0k >且0x >；（2）单曲线不是反比例函数（3）只要满足xy k =且自变量k 为不为0的常数的函数，就是反比例函数（4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定（5）直线1y =是常值函数，常值函数不是函数（6）直线1x =不是函数A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】本题主要考查了反比例函数的定义、函数的定义、二次函数图像的性质等知识点，理解相关定义成为解题的关键．根据反比例函数的定义、函数的定义、二次函数图像的性质逐个判断即可．【详解】解：（1）已知反比例函数k y x=的图像在第一象限，则k 的取值范围是0k >且0x >，说法正确；（2）单曲线不是反比例函数，说法错误；（3）只要满足xy k =且自变量k 为不为0的常数的函数，就是反比例函数，说法正确；（4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定，说法错误；（5）直线1y =是常值函数，常值函数是函数，说法错误；（6）直线1x =不是函数，说法错误．综上，正确的有2个正确．故选B ．44．如图：点P 、Q 是反比例函数k y x=图象上的两点，PA y ^轴于点A ，QN x ^轴于点N ，作PM x ^轴于点M ，QB y ^轴于点B ，连接PB 、QM ，ABP V 的面积记为1S ，QMN V 的面积记为2S ，则1S 与2S 的大小关系是（ ）。
(完整版)中考——反比例函数知识点【经典】总结
反比例函数一、基础知识1.定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。
还可以写成xk y =k o k ≠x ky =kxy =1-2.反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分y k k 母中含有自变量，且指数为1.x ⑵比例系数0≠k ⑶自变量的取值为一切非零实数。
x ⑷函数的取值是一切非零实数。
y 3.反比例函数的图像⑴图像的画法：描点法①列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）②描点（有小到大的顺序）③连线（从左到右光滑的曲线）⑵反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所xky =k 0≠k 0≠x 0≠y 以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或）。
x y =x y -=⑷反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线 （）上任意引x k y =0≠k k xky =0≠k 轴轴的垂线，所得矩形面积为。
x y k 4．反比例函数性质如下表：的取值k 图像所在象限函数的增减性ok >一、三象限在每个象限内，值随的增大而减小y xo k <二、四象限在每个象限内，值随的增大而增大y x 5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）k 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。
xky =7. 反比例函数的应用题型总结：一．反比例函数的图象与性质【例1】对与反比例函数，下列说法不正确的是（ ）xy 2=A ．点（）在它的图像上 1,2--B ．它的图像在第一、三象限C ．当时，0>x 的增大而增大随x yD ．当时，0<x 的增大而减小随x y 【例2】已知反比例函数的图象经过点（1，-2），则这个函数的图象一定经过（ ()0ky k x=≠）A 、（2，1）B 、（2，-1）C 、（2，4）D 、（-1，-2）【例3】在同一直角坐标平面内，如果直线与双曲线没有交点，那么和的关系x k y 1=xk y 2=1k 2k 一定是（ ）A. +=0B. ·<0C. ·>0D.=1k 2k 1k 2k 1k 2k 1k 2k 【例4 】已知,且反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而增大,如果点3=b xby +=1y x 在双曲线上，求a 是多少？()3,a xb y +=1【例5】两个反比例函数y=k x 和y=1x 在第一象限内的图像如图3所示， 点P 在y=kx的图像上，PC⊥x 轴于点C ，交y=1x 的图像于点A ，PD⊥y 轴于点D ，交y=1x的图像于点B ， 当点P 在y=kx的图像上运动时，以下结论： ①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是_______（把你认为正确结论的序号都填上， 少填或错填不给分）．二．反比例函数的判定l t y ABC【例1】若与成反比例，与成正比例，则是的（ ）y x x z y z A 、正比例函数 B 、反比例函数 C 、一次函数 D 、不能确定【例2】如果矩形的面积为6cm 2，那么它的长cm 与宽cm 之间的函数图象大致为（ ）y x 三．反比例函数的解析式特征（的指数，值与图像分布关系）：x k 【例1】如果函数的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？222-+=k k kxy 【例2】如果函数22(1)my m x -=-为反比例函数，则m 的值是 （ ）A 、1-B 、0C 、21 D 、1四.比较反比例函数图象上点的横纵坐标大小关系：【例1】在反比例函数的图像上有三点，，，，，。
九年级数学反比例函数重点、难点、综合运用题型
九年级数学反比例函数重点、难点、综合运用题型☞考点归纳归纳 1：反比例函数的概念基础知识归纳：一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写成的形式。
自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．基本方法归纳：判断一个函数是否是反比例函数关键是看它的横纵坐标的乘积k是否为一个非零常数．注意问题归纳：当k及自变量x的指数含字母参数时，要同时考虑k0及指数为-1．【例1】（株洲）已知反比例函数y=的图象经过点（2，3），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）A．（﹣6，1）B．（1，6）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）【例2】（宁夏）已知两点、在函数的图象上，当时，下列结论正确的是（）A. B. C. D.【例3】（呼和浩特）已知函数的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c＋1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2＋bx＋c = 0的两根x1，x2判断正确的是（）A．x1 ＋ x2 >1，x1·x2 > 0 B．x1 ＋ x2 < 0，x1·x2 > 0C．0 < x1 ＋ x2 < 1，x1·x2 > 0 D．x1 ＋ x2与x1·x2 的符号都不确定【例4】【山东省聊城市】如图，一次函数y1=k1x+b的图象和反比例函数y2=的图象交于A（1，2），B （﹣2，﹣1）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（）A． x＜1 B． x＜﹣2 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D． x＜﹣2或0＜x＜1【例5】（遵义）如图，反比例函数（k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，若E是AB 的中点，S△BEF=2，则k的值为．同步练习1．（山东省威海市乳山市中考一模）在平面直角坐标系中，若一个点的横纵坐标互为相反数，则该点一定不在（）A．直线y=-x上 B．直线y=x上 C．双曲线y= D．抛物线y=x2上2．（山东省济南市平阴县中考二模）下列函数中，在0≤x≤2上y随x的增大而增大的是（）A．y=-x+1 B．y=x2-4x+5 C．y=x2 D．y=3．（四川省成都市外国语学校中考直升模拟）一次函数y=-kx+4与反比例函数的图象有两个不同的交点，点（-，y1）、（-1，y2）、（，y3）是函数图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＜y3＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y14．（山东省威海市乳山市中考一模）如图，等边△ABC的边长是2，内心O是直角坐标系的原点，点B在y轴上．若反比例函数y=（x＞0），则k的值是（）A． B．C． D．5．（山东省聊城市中考模拟）如图，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC=BD．其中正确的结论是（）A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③④6．（山东省青岛市李沧区中考一模）函数（a≠0）与y=a（x﹣1）（a≠0）在同一坐标系中的大致图象是（）7．（山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）点A为双曲线y=（k≠0）上一点，B为x轴上一点，且△AOB为等边三角形，△AOB的边长为2，则k的值为（）A．2 B．±2 C． D．±8．（广东省广州市中考模拟）如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过顶点A（m，2）和CD边上的点E（n，），过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G（0，-2），则点F的坐标是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）9．（河北省中考模拟二）如图，两双曲线y=与y=-分别位于第一、四象限，A是y轴上任意一点，B是y=-上的点，C是y=上的点，线段BC⊥x轴于点 D，且4BD=3CD，则下列说法：①双曲线y=在每个象限内，y随x的增大而减小；②若点B的横坐标为3，则点C的坐标为（3，-）；③k=4；④△ABC的面积为定值7，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（湖北省黄石市6月中考模拟）如图，反比例函数（k＞0）与一次函数的图象相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB交y轴与C，当|x1﹣x2|=2且AC=2BC时，k、b的值分别为（）A．k=，b=2 B．k=，b=1 C．k=，b= D．k=，b=11．（山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模）设函数y=x+5与y=的图象的两个交点的横坐标为a、b，则的值是．12．（四川省成都市外国语学校中考直升模拟）双曲线y=（x＞0）与直线y=x在坐标系中的图象如图所示，点A、B在直线上AC、BD分别平行y轴，交曲线于C、D两点，若BD=2AC 则4OC2-OD2的值为．13．（安徽省安庆市中考二模）如图，直线y1=x+b与双曲线y2=交于点A（1，4）和点B，经过点A的另一条直线与双曲线y2=交于点C．则：①直线AB的解析式为y1=x+3；②B（﹣1，﹣4）；③当x＞1时，y2＜y1；④当AC的解析式为y=4x时，△ABC是直角三角形．其中正确的是．（把所有正确结论的序号都写在横线上）14．（山东省日照市中考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在x轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象过点B，E．若AB=2，则k的值为．15．（山东省日照市中考模拟）如图，一次函数y=mx与反比例函数y=的图象交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM=3，则k的值是．17．（广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图，点P在双曲线（k≠0）上，点P′（1，2）与点P 关于y轴对称，则此双曲线的解析式为．18．（广东省深圳市龙华新区中考二模）如图，已知反比例函数y=（k＞0）的图象与正方形OABC的边AB、BC分别交于点D、E．若正方形OABC的边长为1，△ODE是等边三角形，则k的值为．19．（江苏省南京市建邺区中考一模）在同一平面直角坐标系中，反比例函数y1=（k为常数，k≠0）的图象与正比例函数y2=ax（a为常数，a≠0）的图象相交于A．B两点．若点A的坐标为（2，3），则点B的坐标为．20．（浙江省宁波市江东区4月中考模拟）如图，点A在双曲线y=第三象限的分支上，连结AO并延长交第一象限的图象于点B，画BC∥x轴交反比例函数y=的图象于点C，若△ABC的面积为6，则k的值是．（20题图）（21题图）21．（湖北省黄石市6月中考模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（3，1），C（3，3），反比例函数y=（x＞0）的图象过点D，点P是一次函数y=kx+3﹣3k（k≠0）的图象与该反比例函数的一个公共点．对于一次函数y=kx+3﹣3k（k≠0），当y随x的增大而增大时，则点P横坐标a的取值范围__________．22．（山东省聊城市中考模拟）如图，已知A（-4，0.5），B（-1，2）是一次函数y=ax+b与反比例函数y＝（m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？（2）求一次函数解析式及m的值；（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．23．（山东省潍坊市昌乐县中考一模）已知正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为P点，已知△OAP的面积为1．（1）求反比例函数的解析式；（2）如果点B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且点B的横坐标为2，在x轴上求一点M，使MA+MB最小．24．（四川省成都市外国语学校中考直升模拟）如图（1），直线y=k1 x+b与反比例函数y=的图象交于点A（1，6），B（a，3）两点．（1）求k1、k2的值；（2）如图（1），等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点F，当梯形OBCD的面积为12时，请判断FC和EF的大小，并说明理由；（3）如图（2），已知点Q是CD的中点，在第（2）问的条件下，点P在x轴上，从原点O出发，沿x轴负方向运动，设四边形PCQE的面积为S1，△DEQ的面积为S2，当∠PCD=90°时，求P点坐标及S1：S2的值．25．（山东省济南市平阴县中考二模）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为（2，0），tan∠AOB=．（1）求k的值；（2）将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y=（x＞0）的图象恰好经过DC上一点E，且DE：EC=2：1，求直线AE的函数表达式；（3）若直线AE与x轴交于点，N，与y轴交于点M，请你探索线段AM与线段NE的大小关系，写出你的结论并说明理由．26．（山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴的正半轴上，且OA=3，OC=2，将矩形OABC向上平移4个单位得到矩形O1A1B1C1．（1）若反比例函数y=和y=的图象分别经过点B、B1，求k1和k2的值；（2）将矩形O1A1B1C1向左平移得到O2A2B2C2，当点O2、B2在反比例函数y=的图象上时，求平移的距离和k3的值．27．（湖北省黄石市6月中考模拟）如图，正方形ABCO的顶点A，C分别在x轴，y轴上，O为坐标原点，点B在第二象限，边长为m，双曲线线y=（x≠0）经过BC的中点H．（1）用m的代数式表示出k；（2）当m=3时，过B作直线BD，分别交x轴，y轴于G、F，分别交双曲线线y=（x≠0）的两个分支于E、D，求证：GE=DF；（3）在（2）的前提下，将直线BD绕点B旋转适当的角度在第二象限与双曲线线y=（x≠0）交于P、Q，分别过P、Q作直线AC的垂线PM、QN，垂足为M、N，试探究PQ与PM+QN的数量关系并证明．九年级数学反比例函数重点、难点、综合运用题型参考答案☞考点归纳归纳 1：反比例函数的概念基础知识归纳：一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。
初中数学反比例函数知识点与题型总结大全
一、概述反比例函数是初中数学中的重要知识点之一。
掌握反比例函数的知识，对于学生理解数学规律和解决实际问题具有重要意义。
本文将系统总结反比例函数的相关知识点和常见题型，帮助学生更好地掌握这一部分内容。
二、反比例函数的定义1. 反比例函数的概念反比例函数是指两个变量之间的关系，当一个变量的值增加时，另一个变量的值减少。
通常用y=k/x（k≠0）来表示，其中k为比例系数。
2. 反比例函数的特点（1）反比例函数图像呈现出一条经过原点且斜率逐渐减小、趋近于x轴的曲线。
（2）当x增大时，y减小；当x减小时，y增大。
（3）反比例函数的图像经过点（1，k）和（k，1），其中k为比例系数。
三、反比例函数的性质1. 零点问题反比例函数y=k/x的零点为x≠0，y=0时的值。
2. 单调性问题当x1<x2时，y1>y2；当x1>x2时，y1<y2。
即当x增大时，y减小；当x减小时，y增大。
3. 渐近线问题反比例函数的图像有两个渐近线，分别为x轴和y轴。
四、反比例函数的图像与性质1. 反比例函数的图像（1）当k>0时，反比例函数图像位于第一象限和第三象限。
（2）当k<0时，反比例函数图像位于第二象限和第四象限。
2. 反比例函数图像的特点（1）当k>0时，图像呈现出y轴的镜像关系；当k<0时，图像呈现出x轴的镜像关系。
（2）当k的绝对值增大时，图像离x轴和y轴越远。
五、反比例函数的题型1. 反比例函数的应用题（1）水管填水：如何选择合适的水管来填满一个容器。
（2）工人齐心协力地工作，完成相同的工作需要的时间和工人数量。
（3）如何选择合适的空调功率。
2. 实际问题的数学抽象（1）根据实际问题找出反比例函数的表达式。
（2）利用反比例函数解决实际问题，如何做到最大效益。
3. 反比例函数的图像题（1）根据给定的k值绘制反比例函数的图像。
（2）根据图像判断k值的大小和符号。
六、结语反比例函数作为初中数学中的一个重要知识点，涉及到很多实际问题的解决。
初中数学反比例函数知识点及经典例题
初中数学反比例函数知识点及经典例题一、反比例函数的定义反比例函数是指形如y=k/x的函数，其中k是一个非零常数，x和y 是实数。
二、反比例函数的图像特征1.当x=0时，反比例函数无定义；2.当x≠0时，随着x的增大，函数值y逐渐减小；3.反比例函数的图像通常是一条平面上的双曲线。
三、反比例函数的性质1. 对于反比例函数 y = k/x，k 是一个非零常数，任意给定的 x 和y，都有 xy = k 成立；2.如果反比例函数过点(x1,y1)，则对于任意其它点(x2,y2)，都有x1y1=x2y2成立；3.反比例函数的图像关于原点对称；4.反比例函数的导数为负。
四、反比例函数的应用反比例函数在实际生活中有很多应用，例如：1.工程中的消耗问题：项工程需要的材料数量与施工时间成反比；2.速度和时间的关系：当物体行驶的速度越快时，到达目的地所需时间越短；3.汽车的油耗问题：汽车行驶的路程与每升汽油的价格呈反比；4.人口增长与资源消耗：人口越多，资源消耗越快。
五、经典例题1.小明开车从A地到B地，全程360公里。
如果他保持每小时60公里的速度，需要多长时间到达目的地？解答：根据题意可知，小明的速度和到达目的地所需的时间成反比。
设到达目的地所需的时间为t，则有60t=360，解得t=6、所以小明需要6小时到达目的地。
2.水龙头4分钟可以装满一个水箱，水箱在3分钟内漏掉了60%的水，那么继续放水多少分钟可以装满这个水箱？解答：设继续放水的时间为t。
根据题意可知，放水的时间t和装满水箱的时间成反比。
所以有4×(1-60%)=(3+t)×100%，化简得到t=1.2、所以继续放水1.2分钟可以装满水箱。
3.假设一个圆的周长和面积的比值为k，如果圆的半径扩大3倍，求此时新圆的周长和面积的比值。
解答：设新圆的半径为r，则原圆的半径为(1/3)r。
原圆的周长和面积的比值为k，即2π(1/3)r/π((1/3)r)²=k。
反比例函数知识点与题型归纳非常全面
反比例函数讲义第1节 反比例函数■例1下列函数中是反比例关系的有___________________填序号; ①3x y -= ②131+=x y ③x y 2-= ④2211x y -= ⑤xy 23-= ⑥21=xy ⑦28xy = ⑧1-=x y ⑨2=x y ⑩x ky =k (为常数,)0≠k■ 例2由欧姆定律可知,电压不变时,电流强度I 与电阻R 成反比例,已知电压不变,电阻R=欧姆,电流强度I=安培;（1） 求I 与R 的函数关系式； （2） 当R=5欧姆时,求电流强度;本节作业：1、小明家离学校,小明步行上学需x min,那么小明的步行速度min)/(m y 可以表示为xy 1500=；水名地面上重1500N 的物体,与地面的接触面积为x 2m ,那么该物体对地面的压强)/(2m N y 可以表示为x y 1500=;函数表达式xy 1500=还可以表示许多不同情境中变量之间的函数关系,请你再列举一例; 2、某工人打算利用一块不锈钢条加工一个面积为2m 的矩形模具,假设模具的长与宽分别为y 与x ;1你能写出y 与x 之间的函数表达式吗 变量y 与x 之间是什么函数2若想使模具的长比宽多,已知每米这种不锈钢条6元钱,求加工这个模具共花多少钱3、若函数满足023=+xy,则y 与x 的函数关系式为______________,你认为y 是x 的______________函数;4、已知y =21y y +,1y 与x 成正比例,2y 与x 成反比例,并且当x =2时,y = —4；当x = —1时,y =5,求出y 与x 的函数关系式;5、已知y 是x 的函数,且其对应数据如下表所示,你认为y 是x 的正比例函数还是反比例函数你能写出函数的表达式,并填上表格中的空缺吗6、函数xky =的图象经过点A1,—2,则k 的值为 ; A ．21 B. 21- C. 2 D. —27、若函数132)1(+++=m mx m y 是反比例函数,则m 的值为 ;A ．m = —2 B. m = 1 C. m = 2或m = 1 D. m = —2,或m = —1 8、若甲、乙两城市间的路程为1000千米,车速为每小时x 千米,从甲市到乙市所需的时间为y 小时,那么y 与x 的函数表达式是_______________________不必写出x 的取值范围,y 是x 的__________函数;9、已知y 是x 的反比例函数,当x =5时,y = —1,那么,当y =3时,x =_________；当x =3时,y =________;第2节 反比例函数的图象与性质1、 反比例函数的图象及其画法 反比例函数图象的画法——描点法：（1） 列表——自变量取值应以0但)0(≠x 为中心,向两边取三对或三对以上互为相反数的数,再求出对应的y 的值；（2） 描点——先描出一侧,另一侧可根据中心对称点的性质去找；（3） 连线——按照从左到右的顺序连接各点并延伸,注意双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不与坐标轴相交;反比例函数xky =的图象是由两支曲线组成的;当0>k 时,两支曲线分别位于第一、三象限内,当0<k 时,两支曲线分别位于第二、四象限内;小注：1这两支曲线通常称为双曲线;2这两支曲线关于原点对称; 3反比例函数的图象与x 轴、y 轴没有公共点; 例1：画出反比例函数x y 6=与xy 6-=的图象; 解：1列表：2描点：（3） 连线;1 反比例函数的性质反比例函数 xky =)0(≠k k 的符号k >0k<0图象 双曲线x 、y 取值范围 x 的取值范围x ≠0 y 的取值范围y ≠0 x 的取值范围x ≠0 y 的取值范围y ≠0 位置第一,三象限内第二,四象限内增减性 每一象限内,y 随x 的增大而减小 每一象限内,y 随x 的增大而增大渐近性 反比例函数的图象无限接近于x,y 轴,但永远达不到x,y 轴,画图象时,要体现出这个特点.对称性 反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形.反比例函数的图象也是轴对称图形.例2 已知 2(1)m y m x -=+是反比例函数,则函数的图象在A 、一、三象限B 、二、四象限C 、一、四象限D 、三、四象限例3 函数2y kx =-与ky x=k ≠0在同一坐标系内的图象可能是例4 已知反比例函数xky =的图象经过点P 一l,2,则这个函数的图象位于 A ．第二、三象限 B ．第一、三象限 C ．第三、四象限 D ．第二、四象限3反比例函数xky =)0(≠k 中的比例系数k 的几何意义难点k 的几何含义：反比例函数y ＝k x k ≠0中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y ＝kxk ≠0上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线,设垂足分别为A 、B,则所得矩形OAPB 的面积为 .例5 A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点,BC ∥x 轴,AC ∥y 轴,△ABC 的面积记为S ,则A ． 2S =B ． 4S =C ．24S <<D ．4S >例6如图A 在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上,AM x ⊥轴于点M ,AMO △的面积为3,则k =4反比例函数与正比例函数图象的交点凡是交点问题就联立方程例7如图,一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象交于(21)(1)A B n -，，，两点．1试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； 2求AOB △的面积．O BxyC A 图1OyxBA本节练习一、选择题每小题6分,共36分1. 已知2(1)my m x-=+是反比例函数,则函数的图象在A、一、三象限B、二、四象限C、一、四象限D、三、四象限2.若反比例函数kyx=的图象经过点(12)-，,则这个函数的图象一定经过点Ａ、(21)--，Ｂ、122⎛⎫-⎪⎝⎭，Ｃ、(21)-，Ｄ、122⎛⎫⎪⎝⎭，3.反比例函数5nyx+=的图象经过点2,3,则n的值是A、－2B、－1C、0D、14.反比例函数1kyx-=的图象在每个象限内,y随x的增大而减小,则k的值可为A、1- B、0 C、1 D、25.如果两点1P1,1y和2P2,2y都在反比例函数1yx=的图象上,那么A．2y＜1y＜0B．1y＜2y＜0C．2y＞1y＞0 D．1y＞2y＞06.函数(0)ky kx=≠的图象如图所示,那么函数y kx k=-的图象大致是A B C D二、填空题每小题6分,共24分7.如果反比例函数kyx=0k≠的图象经过点1,－2,则这个函数的表达式是_________.当0x<时,y随x的增大而______ 填“增大”或“减小8.如图7,双曲线xky=与直线mxy=相交于A、B两点,B点坐标为－2,－3,则A点坐标为_________．9. 如图8,点A 在反比例函数xky =的图象上,AB 垂直于x 轴,若4=∆AOB S ,那么这个反比例函数的解析式为__________.图810.老师给出一个函数,甲、乙各指出了这个函数的一个性质：甲：第一、三象限有它的图象； 乙：在每个象限内,y 随x 的增大而减小． 请你写一个满足上述性质的函数______________________三、解答题每小题,共40分11. 20分如图,一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xmy =图象交于A －2,1、B1,n 两点．1求反比例函数和一次函数的解析式；2根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．12. 20分如图,已知反比例函数1(0)my m x=≠的图象经过点(21)A -，,一次函数2(0)y kx b k =+≠的图象经过点(03)C ，与点A ,且与反比例函数的图象相交于另一点B ．1分别求出反比例函数与一次函数的解析式；2求点B 的坐标．第3节 反比例函数的应用 本节内容：运用函数的图象和性质解答实际问题例题1 .面积一定的梯形,其上底长是下底长的21,设下底长x =10 cm 时,高y =6 cm 1求y 与x 的函数关系式； 2求当y =5 cm 时,下底长多少16.一定质量的二氧化碳,当它的体积V=6 m 3时,它的密度ρ= kg/m 3. 1求ρ与V 的函数关系式.2当气体体积是1 m 3时,密度是多少3当密度为 kg/m 3时,气体的体积是多少例题2如图,Rt △AOB 的顶点A 是一次函数y =－x +m +3的图象与反比例函数y =xm的图象在第二象限的交点,且S △AOB =1,求点A 的坐标.例题3某厂要制造能装250mL1mL=1 cm 3饮料的铝制圆柱形易拉罐,易拉罐的侧壁厚度和底部厚度都是 cm,顶部厚度是底部厚度的3倍,这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来,设一个底面半径是x cm 的易拉罐用铝量是y cm 3.用铝量=底面积×底部厚度+顶部面积×顶部厚度+侧面积×侧壁厚度,求y 与x 间的函数关系式.综合检测题一、填空题：1、u 与t 成反比,且当u ＝6时,81=t ,这个函数解析式为 ； 2、函数2x y -=和函数xy 2=的图像有 个交点； 3、反比例函数x k y =的图像经过－23,5点、a ,－3及10,b 点,则k ＝ ,a ＝ ,b ＝ ；4、若函数()()414-+-=m x m y 是正比例函数,那么=m ,图象经过 象限；5、若反比列函数1232)12(---=k kx k y 的图像经过二、四象限,则k = _______6、已知y -2与x 成反比例,当x =3时,y =1,则y 与x 间的函数关系式为 ；7、已知正比例函数kx y =与反比例函数3y x=的图象都过A m ,1,则m ＝ ,正比例函数与反比例函数的解析式分别是 、 ； 8、 设有反比例函数y k x=+1,(,)x y 11、(,)x y 22为其图象上的两点,若x x 120<<时,y y 12>,则k 的取值范围是___________9、右图3是反比例函数xk y =的图象,则k 与0的大小关系是k 0.10、函数xy 2-=的图像,在每一个象限内,y 随x 的增大而 ； 11、反比例函数()0>=k xky 在第一象限内的图象如图,点M 是图像上一点,MP 垂直x 轴于点P,如果△MOP 的面积为1,那么k 的值是 ； 12、()7225---=m mx m y 是y 关于x 的反比例函数,且图象在第二、四象限,则m 的值为 ；二、选择题： 分数3分×14=42分,并把答案填在第12题后的方框内 1、下列函数中,反比例函数是 A 、 1)1(=-y x B 、 11+=x y C 、 21xy = D 、 x y 31=2、已知反比例函数的图像经过点a ,b ,则它的图像一定也经过yO PMA 、 －a ,－bB 、 a ,－bC 、 －a ,bD 、 0,0 3、如果反比例函数xky =的图像经过点－3,－4,那么函数的图像应在 A 、 第一、三象限B 、 第一、二象限C 、 第二、四象限D 、 第三、四象限 4、若y 与－3x 成反比例,x 与z4成正比例,则y 是z 的 A 、 正比例函数B 、 反比例函数C 、 一次函数 D 、 不能确定 5、若反比例函数22)12(--=m x m y 的图像在第二、四象限,则m 的值是A 、 －1或1B 、小于21的任意实数 C 、 －1 Ｄ、 不能确定 6、函数x k y =的图象经过点－4,6,则下列各点中不在xky =图象上的是A 、 3,8B 、 3,－8C 、 －8,－3D 、 －4,－67、正比例函数kx y =和反比例函数ky =在同一坐标系内的图象为8、如上右图,A 为反比例函数xky =图象上一点,AB垂直x 轴于B 点,若S △AOB ＝3,则k的值为 A 、6B 、3C 、23 D 、不能确定9、如果矩形的面积为6cm 2,那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数关系用图象表示大致A10、在同一直角坐标平面内,如果直线x k y 1=与双曲线xk y 2=没有交点,那么1k 和2k 的关系一定是 A 1k <0,2k >0B 1k >0,2k <0C 1k 、2k 同号D 1k 、2k 异号11、已知变量y 与x 成反比例,当x =3时,y =―6；那么当y =3时,x 的值是 A 6 B ―6 C 9 D ―912、当路程s 一定时,速度v 与时间t 之间的函数关系是A 正比例函数B 反比例函数C 一次函数D 二次函数 13、2001北京西城在同一坐标系中,函数x ky =和3+=kx y 的图像大致是14、已知反比例函数)0(<=k xky 的图像上有两点A 1x ,1y ,B 2x ,2y ,且21x x <,则21y y -的值是A 、 正数B 、 负数C 、 非正数D 、 不能确定 三、解答题：第1、2小题各7分、第3小题8分,共22分1、在某一电路中,保持电压不变,电流I 安培与电阻R 欧姆成反比例,当电阻R=5欧姆时,电流I=2安培;1求I 与R 之间的函数关系式 2当电流I=安培时,求电阻R 的值；2、如图,Rt △ABO 的顶点A 是双曲线xky =与直线)1(+--=k x y 在第二象限的交点, AB ⊥x 轴于B 且S △ABO =23 1求这两个函数的解析式2求直线与双曲线的两个交点A,C 的坐标和△AOC 的面积;3、如图,一次函数b kx y +=的图像与反比例函数xmy =的图像相交于A 、B 两点, 1利用图中条件,求反比例函数和一次函数的解析式2根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围2001江苏苏州。
新人教版初中数学——反比例函数-知识点归纳及典型题解析
新人教版初中数学——反比例函数知识点归纳及典型题解析一、反比例函数的概念1．反比例函数的概念一般地，函数kyx=（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx-=的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．2．反比例函数kyx=（k是常数，k≠0）中x，y的取值范围反比例函数kyx=（k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数．二、反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．表达式kyx=（k是常数，k≠0）k k>0 k<0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限2．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．3．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数kyx=中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x 的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．三、反比例函数解析式的确定1．待定系数法确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数kyx=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为kyx=（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．四、反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S △ABC =2S △ACO =|k |；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数ky x=交于A 、B 两点，且一次函数与x 轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+； （3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-． 五、反比例函数与一次函数的综合 1．涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对12y y >时自变量x 的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x 的范围.例如，如下图，当12y y >时，x 的取值范围为A x x >或0B x x <<；同理，当12y y <时，x 的取值范围为0A x x <<或B x x <．2．求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．六、反比例函数的实际应用解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．考向一反比例函数的定义1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式．2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x的指数为1．典例1 下列函数中，y与x之间是反比例函数关系的是A．xy2B．3x+2y=0C．y=kxD．y=21x【答案】A【解析】A、xy=2属于反比例函数，故此选项正确；B、3x+2y=0是一次函数，故此选项错误；C、y=kx（k≠0），不属于反比例函数，故此选项错误；D 、y =21x +，是y 与x +1成反比例，故此选项错误． 故选A ．1．下列函数：①2x y =；②2y x =；③12y x=-；④12y x -=中，是反比例函数的有 A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个考向二 反比例函数的图象和性质当k >0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k <0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y 随x 的增大而增大．双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．典例2 在同一平面直角坐标系中，函数y =﹣x +k 与y =kx（k 为常数，且k ≠0）的图象大致是 A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】∵函数y =﹣x +k 与y =kx（k 为常数，且k ≠0），∴当k >0时，y =﹣x +k 经过第一、二、四象限，y =k x 经过第一、三象限，故选项D 错误，当k <0时，y =﹣x +k 经过第二、三、四象限，y =kx经过第二、四象限，故选项C 正确，选项A 、B 错误，故选C ． 典例3 反比例函数3y x=-的图象在 A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限D ．第二、四象限【答案】D【解析】因为30k =-<，故图象在第二、四象限，故选D ． 典例4 已知点A （1，m ），B （2，n ）在反比例函数(0)ky k x=<的图象上，则 A ．0m n << B ．0n m << C ．0m n >>D ．0n m >>【答案】A【解析】∵反比例函数(0)k y k x =<，它的图象经过A （1，m ），B （2，n ）两点，∴m =k <0，n =2k<0，∴0m n <<，故选A ．2．对于函数4y x=，下列说法错误的是 A ．这个函数的图象位于第一、第三象限B ．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C ．当x >0时，y 随x 的增大而增大D ．当x <0时，y 随x 的增大而减小3．下列函数中，当x <0时，y 随x 的增大而减小的是 A ．y =x B ．y =2x –1 C ．y =3x D ．y =–1x4．如图是三个反比例函数y =1k x ，y =2kx ，y =3k x在x 轴上方的图象，由此观察得到k 1，k 2，k 3的大小关系为A ．k 1>k 2>k 3B ．k 3>k 2>k 1C ．k 2>k 3>k 1D ．k 3>k 1>k 2考向三 反比例函数解析式的确定1．反比例函数的解析式ky x=（k ≠0）中，只有一个待定系数k ，确定了k 值，也就确定了反比例函数，因此要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x ，y 的对应值或图象上一个点的坐标，代入k y x=中即可．2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y 的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k ，则点在图象上，若乘积不等于k ，则点不在图象上．典例5 若反比例函数的图象经过点()32，-，则该反比例函数的表达式为 A ．6y x = B ．6y x =-C ．3y x=D ．3y x=-【答案】B【解析】设反比例函数为：ky x=．∵反比例函数的图象经过点（3，-2），∴k =3×（-2）=-6．故反比例函数为：6y x=-，故选B ． 典例6 如图，某反比例函数的图象过点M （-2，1），则此反比例函数表达式为A．y=2xB．y=-2xC．y=12xD．y=-12x【答案】B【解析】设反比例函数表达式为y=kx，把M（2-，1）代入y=kx得，k=（-2）×1=-2，∴2yx=-，故选B．典例7 如图，C1是反比例函数y=kx在第一象限内的图象，且过点A（2，1），C2与C1关于x轴对称，那么图象C2对应的函数的表达式为__________（x>0）．【答案】y=–2 x【解析】∵C2与C1关于x轴对称，∴点A关于x轴的对称点A′在C2上，∵点A（2，1），∴A′坐标（2，–1），∴C2对应的函数的表达式为y=–2x，故答案为y=–2x．5．已知反比例函数y=-6x，下列各点中，在其图象上的有A．（-2，-3）B．（2，3）C．（2，-3）D．（1，6）6．点A为反比例函数图象上一点，它到原点的距离为5，则x轴的距离为3，若点A在第二象限内，则这个函数的解析式为A．y=12xB．y=-12xC．y=112xD．y=-112x7．在平面直角坐标系中，点P（2，a）在反比例函数y=2x的图象上，把点P向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到点Q，则经过点Q的反比例函数的表达式为__________．考向四反比例函数中k的几何意义三角形的面积与k的关系（1）因为反比例函数kyx中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若三角形的面积为12|k|，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．典例8 如图，矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴，y轴上，顶点A在第二象限，点B的坐标为（﹣2，0）．将线段OC绕点O逆时针旋转60°至线段OD，若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过A、D两点，则k值为__________．163【解析】如图，过点D作DE⊥x轴于点E，∵点B 的坐标为（﹣2，0），∴AB =﹣2k ，∴OC =﹣2k ， 由旋转性质知OD =OC =﹣2k，∠COD =60°，∴∠DOE =30°， ∴DE =12OD =﹣14k ，OE =OD ·cos30°=32×（﹣2k ）=﹣34k ， 即D （﹣34k ，﹣14k ），∵反比例函数y =kx（k ≠0）的图象经过D 点， ∴k =（﹣34k ）（﹣14k ）=316k 2，解得：k =0（舍）或k =﹣1633，故答案为：﹣1633． 典例9 如图，已知双曲线ky x经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ，若 △OBC 的面积为9，则k =__________．【答案】6【解析】如图，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，∵△ODE的面积和△OAC的面积相等．∴△OBC的面积和四边形DEAB的面积相等且为9．设点D的横坐标为x，纵坐标就为kx，∵D为OB的中点．∴EA=x，AB=2kx，∴四边形DEAB的面积可表示为：12（kx+2kx）x=9；k=6．故答案为：6．【名师点睛】过反比例函数图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线段，垂线段与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|，结合函数图象所在的象限可以确定k的值，反过来，根据k的值，可以确定此矩形的面积．在解决反比例函数与几何图形综合题时，常常需要考虑是否能用到k的几何意义，以简化运算．8．如图，A、B两点在双曲线4yx=的图象上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知1S=阴影，则12S S+=A．8 B．6 C．5 D．49．如图，点A，B是反比例函数y=kx（x>0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA、BC，已知点C（2，0），BD=3，S△BCD=3，则S△AOC为A．2 B．3 C．4 D．610．如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y=kx（x>0）的图象上运动，且AC=BC，则△ABC的面积大小变化情况是A．一直不变B．先增大后减小C．先减小后增大D．先增大后不变考向五反比例函数与一次函数的综合反比例函数与一次函数综合的主要题型：（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．典例10 在同一平面直角坐标系中，函数1yx=-与函数y=x的图象交点个数是A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】∵y=x的图象是过原点经过一、三象限，1yx=-的图象在第二、四象限内，但不过原点，∴两个函数图象不可能相交，故选A．典例11 已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=kx在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1<y2时，x的取值范围是A．x<-1或0<x<3 B．-1<x<0或x>3 C．-1<x<0 D．x>3【答案】B【解析】根据图象知，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=kx的交点是（-1，3），（3，-1），∴当y1<y2时，-1<x<0或x>3，故选B．【名师点睛】本题主要考查函数图象的交点，把不等式转化为函数图象的高低是解题的关键，注意数形结合思想的应用．典例12 如图，已知直线y=–13x+10与双曲线y=kx（x>0）交于A、B两点，连接OA，若OA⊥AB，则k的值为A．910B．2710C 910D2710【答案】B【解析】如图，过A 作AE ⊥OD 于E ，∵直线解析式为y =–13x +10，∴C （0，10），D （310，0）， ∴OC =10，OD =310，∴Rt △COD 中，CD =22 O C OD +=10， ∵OA ⊥AB ，∴12CO ×DO =12CD ×AO ， ∴AO =3，∴AD =22OD OA -=9， ∵12OD ×AE =12AO ×AD ，∴AE =91010， ∴Rt △AOE 中，OE =22AO AE -=229103()10-=31010，∴A （31010，91010）， ∴代入双曲线y =k x ，可得k =31010×91010=2710，故选B ．11．已知反比例函数y =kx（k ≠0），当x >0时，y 随x 的增大而增大，那么一次函数y =kx -k 的图象经过 A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限12．如图，已知A （–4，n ），B （2，–4）是一次函数y =kx +b 和反比例函数y =mx的图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB 的面积．考向六反比例函数的应用用反比例函数解决实际问题的步骤（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；（5）解：用函数解析式去解决实际问题．典例13 某化工车间发生有害气体泄漏，自泄漏开始到完全控制利用了40min，之后将对泄漏有害气体进行清理，线段DE表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数关系（0≤x≤40），反比例函数y=kx对应曲线EF表示气体泄漏控制之后车间危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数关系（40≤x≤？）．根据图象解答下列问题：（1）危险检测表在气体泄漏之初显示的数据是__________；（2）求反比例函数y =__________的表达式，并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x 的值．【解析】（1）当0≤x ≤40时，设y 与x 之间的函数关系式为y =ax +b ， （10，35）和（30，65）在y =ax +b 的图象上， 把（10，35）和（30，65）代入y =ax +b ，得10353065a b a b +=+=⎧⎨⎩，得 1.520a b ==⎧⎨⎩， ∴y =1.5x +20，当x =0时，y =1.5×0+20=20， 故答案为：20；（2）将x =40代入y =1.5x +20，得y =80，∴点E （40，80）， ∵点E 在反比例函数y =kx的图象上， ∴80=40k，得k =3200， 即反比例函数y =3200x ，当y =20时，20=3200x，得x =160，即车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x 的值是160．13．如图为某种材料温度y （℃）随时间x （min ）变化的函数图象．已知该材料初始温度为15℃，温度上升阶段y 与时间x 成一次函数关系，且在第5分钟温度达到最大值60℃后开始下降；温度下降阶段，温度y 与时间x 成反比例关系．（1）分别求该材料温度上升和下降阶段，y 与x 间的函数关系式；（2）根据工艺要求，当材料的温度高于30℃时，可以进行产品加工，问可加工多长时间？1．下列函数中，y 是x 的反比例函数的是 A ．x (y –1)=1B ．15y x =- 1C 3y x=． 21D y x=．2．已知反比例函数y =8k x-的图象位于第一、三象限，则k 的取值范围是 A ．k >8 B ．k ≥8 C ．k ≤8D ．k <83．如图，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数y 1=1k x（x >0）及y 2=2k x （x >0）的图象分别交于点A ，B ，连接OA ，OB ，已知△OAB 的面积为2，则k 1-k 2的值为A ．2B ．3C ．4D ．-44．若点A （–5，y 1），B （–3，y 2），C （2，y 3）在反比例函数3y x=的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 A ．y 1<y 3<y 2 B ．y 2<y 1<y 3 C ．y 3<y 2<y 1D ．y 1<y 2<y 35．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y 1=kx +b （k 、b 是常数，且k ≠0）与反比例函数y 2=cx（c 是常数，且c ≠0）的图象相交于A （-3，-2），B （2，3）两点，则不等式y 1>y 2的解集是A ．-3<x <2B ．x <-3或x >2C ．-3<x <0或x >2D ．0<x <26．一次函数y =ax +b 与反比例函数a by x-=，其中ab <0，a 、b 为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是 A ． B ．C．D．7．反比例函数y=ax(a>0，a为常数)和y=2x在第一象限内的图象如图所示，点M在y=ax的图象上，MC⊥x轴于点C，交y=2x的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y=2x的图象于点B．当点M在y=ax的图象上运动时，以下结论：①S△ODB=S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B 是MD的中点．其中正确结论的个数是A．0个B．1个C．2个D．3个8．如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别落在x、y轴上，点B坐标为（6，4），反比例函数y=6x的图象与AB边交于点D，与BC边交于点E，连接DE，将△BDE沿DE翻折至△B'DE处，点B'恰好落在正比例函数y=kx图象上，则k的值是A．-25B．-121C．-15D．-1249．已知(),3A m、()2,B n-在同一个反比例函数图像上，则mn=__________．10．如图，直线分别与反比例函数2yx=-和3yx=的图象交于点A和点B，与y轴交于点P，且P为线段AB的中点，作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴交于点D，则四边形ABCD的面积是__________．11．如图，正方形ABCD的边长为2，AD边在x轴负半轴上，反比例函数y=kx（x<0）的图象经过点B和CD边中点E，则k的值为__________．12．如图，点A，B在反比例函数kyx=（k>0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是__________．13．如图，已知反比例函数kyx=与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，-k+4）．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．14．如图，已知A （-4，n ），B （2，-4）是一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数my x=的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积； （3）求方程0x xk b m+-<的解集（请直接写出答案）．15．一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x （分钟）的变化规律如图所示（其中AB 、BC 为线段，CD 为双曲线的一部分）． （1）分别求出线段AB 和双曲线CD 的函数关系式；（2）若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟？1．已知点A （1，–3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y=kx的图象上，则实数k的值为A．3 B．1 3C．–3 D．–1 32．若点（–1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y=kx（k<0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是A．y1>y2>y3B．y3>y2>y1 C．y1>y3>y2D．y2>y3>y13．在同一平面直角坐标系中，函数y=﹣x+k与y=kx（k为常数，且k≠0）的图象大致是A．B．C．D．4．如图，函数y=1(0)1(0)xxxx⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩的图象所在坐标系的原点是A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q5．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OABC 的顶点A 在反比例函数y =1x上，顶点B 在反比例函数y =5x上，点C 在x 轴的正半轴上，则平行四边形OABC 的面积是A ．32B ．52C ．4D ．66．在平面直角坐标系xOy 中，点A （a ，b ）（a >0，b >0）在双曲线y =1k x上，点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线y =2k x，则k 1+k 2的值为__________． 7．如图，在平面直角坐标中，点O 为坐标原点，菱形ABCD 的顶点B 在x 轴的正半轴上，点A 坐标为（–4，0），点D 的坐标为（–1，4），反比例函数y =k x（x >0）的图象恰好经过点C ，则k 的值为__________．8．如图，菱形ABCD 顶点A 在函数y =3x （x >0）的图象上，函数y =kx（k >3，x >0）的图象关于直线AC 对称，且经过点B 、D 两点，若AB =2，∠BAD =30°，则k =__________．9．已知y 是x 的反比例函数，并且当x =2时，y =6． （1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x =4时，求y 的值．10．如图，一次函数y =k 1x +b 的图象与反比例函数y =2k x的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（–1，4），点B 的坐标为（4，n ）． （1）根据图象，直接写出满足k 1x +b >2k x的x 的取值范围； （2）求这两个函数的表达式；（3）点P 在线段AB 上，且S △AOP ∶S △BOP =1∶2，求点P 的坐标．1．【答案】C【解析】①不是正比例函数，②③④是反比例函数，故选C ． 2．【答案】C【解析】根据反比例函数的图象与性质，可由题意知k =4>0，其图象在一三象限，且在每个象限内y 随x 增大而减小，它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，故选C ． 3．【答案】C【解析】A 、为一次函数，k 的值大于0，y 随x 的增大而增大，不符合题意； B 、为一次函数，k 的值大于0，y 随x 的增大而增大，不符合题意； C 、为反比例函数，k 的值大于0，x <0时，y 随x 的增大而减小，符合题意；变式拓展D、为反比例函数，k的值小于0，x<0时，y随x的增大而增大，不符合题意；故选C．4．【答案】B【解析】由图知，y y y k1<0，k2>0，k3>0，又当x=1时，有k2<k3，∴k3>k2>k1，故选B．5．【答案】C【解析】∵反比例函数y=-6x中，k=-6，∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为-6的点在函数图象上，四个选项中只有C选项符合，故选C．6．【答案】B【解析】设A点坐标为（x，y）．∵A点到x轴的距离为3，∴|y|=3，y=±3．∵A点到原点的距离为5，∴x2＋y2=52，解得x=±4，∵点A在第二象限，∴x=-4，y=3，∴点A的坐标为（-4，3），设反比例函数的解析式为y=kx，∴k=-4×3=-12，∴反比例函数的解析式为y=12x，故选B．7．【答案】y=15 x【解析】∵点P（2，a）在反比例函数y=2x的图象上，∴代入得：a=22=1，即P点的坐标为（2，1），∵把点P向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到点Q，∴Q的坐标是（5，3），设经过点Q的反比例函数的解析式是y=cx，把Q点的坐标代入得：c=15，即y=15x，故答案为：y=15x．8．【答案】B【解析】∵点A、B是双曲线y=4x上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∴S1+S2=4+4-1×2=6，故选B．9．【答案】D【解析】在Rt △BCD 中， ∵12×CD ×BD =3，∴12×CD ×3=3，∴CD =2， ∵C （2，0），∴OC =2，∴OD =4，∴B （4，3）， ∵点B 是反比例函数y =kx（x >0）图象上的点，∴k =12， ∵AC ⊥x 轴，∴S △AOC =2k=6，故选D ． 10．【答案】A【解析】如图，作CD ⊥AB 交AB 于点D ，则S △ACD =2k，∵AC =BC ，∴AD =BD ，∴S △ACD =S △BCD ， ∴S △ABC =2S △ACD =2×2k =k ，∴△ABC 的面积不变，故选A ．11．【答案】B【解析】∵当x >0时，y 随x 的增大而增大，∴反比例函数ky x=（k ≠0）的图象在二、四象限，∴k <0，∴一次函数y =kx -k 的图象经过第一、二、四象限，故选B ． 12．【解析】（1）∵B （2，–4）在y =mx图象上， ∴m =–8．∴反比例函数的解析式为y =–8x． ∵点A （–4，n ）在y =–8x图象上， ∴n =2，∴A （–4，2）．∵一次函数y =kx +b 图象经过A （–4，2），B （2，–4），∴4224k b k b -+=+=-⎧⎨⎩，解得12k b =-=-⎧⎨⎩．∴一次函数的解析式为y =–x –2；（2）如图，令一次函数y =–x –2的图象与y 轴交于C 点，当x=0时，y=–2，∴点C（0，–2）．∴OC=2，∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=12×2×4+12×2×2=6．13．【解析】（1）当0≤x<5时，为一次函数，设一次函数表达式为y=kx+b，由于一次函数图象过点（0，15），（5，60），所以15560bk b=+=⎧⎨⎩，解得：159bk==⎧⎨⎩，所以y=9x+15，当x≥15时，为反比例函数，设函数关系式为：y=mx，由于图象过点（5，60），所以m=300．则y=300x；（2）当0≤x<5时，y=9x+15=30，得x=53，因为y随x的增大而增大，所以x>53，当x≥5时，y=300x=30，得x=10，因为y随x的增大而减小，所以x<10，10–53=253．答：可加工253min．1．【答案】C考点冲关【解析】由反比例函数的定义知，13y x=是y 关于x 的反比例函数，其余的不是y 关于x 的反比例函数.故选C ． 2．【答案】A【解析】∵反比例函数y =8k x-的图象位于第一、三象限，∴k –8>0，解得k >8，故选A ． 3．【答案】C【解析】根据反比例函数k 的几何意义可知：△AOP 的面积为12k ，△BOP 的面积为22k， ∴△AOB 的面积为12k −22k ， ∴12k −22k =2，∴k 1–k 2=4，故选C ． 4．【答案】B【解析】∵点（–5，y 1）、（–3，y 2）、（2，y 3）都在反比例函数y =3x上， ∴y 1=–35，y 2=–1，y 3=32． ∵–35<–1<32，∴y 2<y 1<y 3，故选B ．5．【答案】C【解析】∵一次函数y 1=kx +b （k 、b 是常数，且k ≠0）与反比例函数y 2=cx（c 是常数，且c ≠0）的图象相交于A （-3，-2），B （2，3）两点， ∴不等式y 1>y 2的解集是-3<x <0或x >2， 故选C ． 6．【答案】C【解析】A ．由一次函数图象过一、三象限，得a >0，交y 轴负半轴，则b <0，满足ab <0， ∴a −b >0，∴反比例函数y =a bx-的图象过一、三象限，所以此选项不正确； B ．由一次函数图象过二、四象限，得a <0，交y 轴正半轴，则b >0，满足ab <0， ∴a −b <0，∴反比例函数y =a bx-的图象过二、四象限，所以此选项不正确； C ．由一次函数图象过一、三象限，得a >0，交y 轴负半轴，则b <0，满足ab <0， ∴a −b >0，∴反比例函数y =a bx-的图象过一、三象限，所以此选项正确； D ．由一次函数图象过二、四象限，得a <0，交y 轴负半轴，则b <0，满足ab >0，与已知相矛盾，所以此选项不正确，故选C ． 7．【答案】D【解析】根据反比例函数的图象与系数k 的意义，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有x 1y 1=x 2y 2=2可知S △ODB =S △OCA =1，故①正确；同样可知四边形OCMD 的面积为a ，因此四边形OAMB 的面积为a –2，故不会发生变化，故②正确；当点A 是MC 的中点时，y 2=2y 1，代入x 1y 2=a 中，得2x 1y 1=a ，a =4，由题得1242x x =，整理得x 1=2x 2，因此B 为MD 的中点，故③正确，故选D ． 8．【答案】B【解析】∵矩形OABC ，∴CB ∥x 轴，AB ∥y 轴，∵点B 坐标为（6，4），∴D 的横坐标为6，E 的纵坐标为4，∵D ，E 在反比例函数y =6x 的图象上，∴D （6，1），E （32，4），∴BE =6-32=92，BD =4-1=3，∴ED =22BE BD +=3213，连接BB ′，交ED 于F ，过B ′作B ′G ⊥BC 于G ，∵B ，B ′关于ED 对称，∴BF =B ′F ，BB ′⊥ED ，∴BF •ED =BE •BD ，即3213BF =3×92，∴BF =913，∴BB ′=1813，设EG =x ，则BG =92-x ，∵BB ′2-BG 2=B ′G 2=EB ′2-GE 2，∴（1813）2-（92-x ）2=（92）2-x 2，∴x =4526，∴EG =4526，∴CG =4213，∴B ′G =5413，∴B ′（4213，-213），∴k =-121，故选B ．9．【答案】23-【解析】设反比例函数解析式为()0ky k x=≠，将(),3A m 、()2,B n -分别代入，得 3k m =，2k n =-，∴2332k m k n ==--， 故答案为：23-． 10．【答案】5【解析】如图，过点A 作AF y ⊥轴，垂足于点F ；过点B 作BE y ⊥轴，垂足为点E ．∵点P 是AB 中点，∴PA PB =．易得△APF ≌△BPE ， ∴APFBPESS=,∴ABCDACOFEODBSSS=+23=-+5=，故答案为5．11．【答案】-4【解析】∵正方形ABCD 的边长为2，∴AB =AD =2，设B （2k ，2），∵E 是CD 边中点，∴E （2k-2，1），∴2k-2=k ，解得k =-4，故答案为：-4． 12．【答案】372【解析】如图，过点B 作直线AC 的垂线交直线AC 于点F ，∵△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍，E 是AB 的中点， ∴S △ABC =2S △BCE ，S △ABD =2S △ADE ，∴S △ABC =2S △ABD ，且△ABC 和△ABD 的高均为BF ， ∴AC =2BD ，∴OD =2O C ． ∵CD =k ， ∴点A 的坐标为（3k ，3），点B 的坐标为（–23k ，–32）， ∴AC =3，BD =32， ∴AB =2AC =6，AF =AC +BD =92， ∴CD =k2==13．【解析】（1）∵已知反比例函数ky x=经过点A （1，-k +4）， ∴41kk -+=，即-k +4=k ， ∴k =2，∴A （1，2）．∵一次函数y =x +b 的图象经过点A （1，2）， ∴2=1+b ，∴b =1，∴反比例函数的表达式为2y x=， 一次函数的表达式为y =x +1．（2）由12y x y x ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，消去y ，得x 2+x -2=0， 即（x +2）（x -1）=0， ∴x =-2或x =1． ∴y =-1或y =2． ∴21x y ⎧=-⎨=-⎩或12x y ⎧=⎨=⎩．∵点B 在第三象限， ∴点B 的坐标为（-2，-1），由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，x 的取值范围是x <-2或0<x <1．14．【解析】（1）∵B （2，-4）在y =mx上， ∴m =-8．∴反比例函数的解析式为y =-8x． ∵点A （-4，n ）在y =-8x上， ∴n =2． ∴A （-4，2）．∵y =kx +b 经过A （-4，2），B （2，-4），∴4224k b k b -+=⎧⎨+=-⎩， 解之得12k b =-⎧⎨=-⎩．∴一次函数的解析式为y =-x -2． （2）∵C 是直线AB 与x 轴的交点， ∴当y =0时，x =-2． ∴点C （-2，0）．∴OC =2． ∴S △AOB =S △ACO +S △BCO =12×2×2+12×2×4=6． （3）不等式0mkx b x+-<的解集为：-4<x <0或x >2． 15．【解析】（1）设线段AB 所在的直线的解析式为y 1=k 1x +30，把B （10，50）代入得，k 1=2， ∴AB 解析式为：y 1=2x +30（0≤x ≤10）． 设C 、D 所在双曲线的解析式为22k y x=， 把C （44，50）代入得，k 2=2200， ∴曲线CD 的解析式为：y 2=2200x（x ≥44）； （2）将y =40代入y 1=2x +30得：2x +30=40，解得：x =5，将y=40代入y2=2200x得：x=55．55-5=50．所以完成一份数学家庭作业的高效时间是50分钟．1．【答案】A【解析】点A（1，–3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），把A'（1，3）代入y=kx得k=1×3=3．故选A．2．【答案】C【解析】∵k<0，∴在每个象限内，y随x值的增大而增大，∴当x=–1时，y1>0，∵2<3，∴y2<y3<y1，故选C．3．【答案】C【解析】∵函数y=﹣x+k与y=kx（k为常数，且k≠0），∴当k>0时，y=﹣x+k经过第一、二、四象限，y=kx经过第一、三象限，故选项D错误，当k<0时，y=﹣x+k经过第二、三、四象限，y=kx经过第二、四象限，故选项C正确，选项A、B错误，故选C．4．【答案】A【解析】由已知可知函数y=1(0)1(0)xxxx⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩关于y轴对称，所以点M是原点，故选A．5．【答案】C【解析】如图，过点B作BD⊥x轴于D，延长BA交y轴于E，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB∥OC，OA=BC，∴BE⊥y轴，∴OE=BD，∴Rt△AOE≌Rt△CBD（HL），直通中考。
一文搞定反比例函数7个模型,13类题型
反比例函数是高中数学中的重要内容，也是考试中经常出现的题型之一。
掌握反比例函数的基本概念和解题方法对于提高数学成绩至关重要。
本文将通过七个模型和十三类题型，帮助读者全面了解并掌握反比例函数的相关知识。
一、反比例函数的基本概念1. 反比例函数的定义反比例函数是一种特殊的二元一次函数，其函数关系可以表示为y=k/x，其中k为比例系数。
当x增大时，y减小；当x减小时，y增大。
反比例函数的图像呈现出一条经过原点的曲线，并且不过原点，是一对对称的点。
2. 反比例函数的特点反比例函数的图像呈现出一种特殊的“反比例”关系，即x与y成反比。
在实际问题中，反比例函数常常用来描述一种随着某个变量的增大而导致另一个变量的减小，或者随着某个变量的减小而导致另一个变量的增大的情况。
二、反比例函数的模型分析1. 比例系数为正数的反比例函数模型当比例系数k大于0时，反比例函数的图像为一条经过第一象限和第三象限的曲线，随着x的增大，y的值减小；随着x的减小，y的值增大。
2. 比例系数为负数的反比例函数模型当比例系数k小于0时，反比例函数的图像为一条经过第二象限和第四象限的曲线，随着x的增大，y的值增大；随着x的减小，y的值减小。
3. 比例系数为零的反比例函数模型当比例系数k等于0时，函数变为y=0，即y始终为0，这时反比例函数的图像为一条水平直线。
4. 比例系数为整数的反比例函数模型当比例系数k为整数时，反比例函数的图像呈现出一种更为规律的变化规律，可以通过整数的变化来探究x和y之间的反比关系。
5. 比例系数为分数的反比例函数模型当比例系数k为分数时，反比例函数的图像表现出更为复杂的变化规律，需要通过分数的变化来揭示x和y之间的反比关系。
6. 反比例函数的图像变换反比例函数的图像可以通过平移、缩放、翻转等变换来形成新的图像，这些变换对于理解反比例函数的性质和特点非常重要。
7. 反比例函数的应用举例反比例函数在日常生活中有很多应用，比如收费问题、速度与时间问题、密度与体积问题等等。
反比例函数讲义(知识点+典型例题)
变式1 如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 变式2 若函数11-=m xy (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．题型二：反比例函数解析式例3 已知A （﹣1，m ）与B （2，m ﹣3）是反比例函数图象上的两个点．则m 的值 ．例4 已知y 与2x －3成反比例，且41=x 时，y ＝－2，求y 与x 的函数关系式．变式3已知y 与x 成反比例，当x ＝2时，y ＝3．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)当y ＝－23时，求x 的值．变式4 已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值．1、反比例函数的图像（1）形状与位置：反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
（2）变化趋势：由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
2、反比例函数的性质（1）对称性：反比例函数的图像是关于原点对称的中心对称图形，同时也是轴对称图形，有两条对称轴，分别是一、三象限和二、四象限的角平分线，即直线y x =±。
（注：过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称）（2）双曲线的位置：当k>0时，双曲线位于一、三象限（x ，y 同号）；当k<0时，双曲线位于二、四象限（x ，y 同号异号），反之也成立。
（3）增减性： 当k>0时，双曲线走下坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0时，双曲线走上坡路，在同一象限内，y 随x 的增大而增大。
(完整版)反比例函数知识点归纳总结与典型例题
反比例函数知识点归纳总结与典型例题(一)反比例函数的概念：知识要点：1、一般地，形如y = — ( k是常数,k = 0 )的函数叫做反比例函数。
x注意：(1)常数k称为比例系数，k是非零常数；(2)解析式有三种常见的表达形式：(A) y = k (k w 0) , (B) xy = k (k 丰 0) (C) y=kx-1 (kw0)x例题讲解：有关反比例函数的解析式1 1 1 x 1 (1)下列函数，① x(y 2) 1②.y ——③y /④.y ——⑤y —⑥y —；其中是y关x 1 x 2x 2 3x 于x的反比例函数的有：。
a2 2 ....... …(2)函数y (a 2)x 是反比例函数,则a的值是( )A.—1B. — 2C. 2D.2 或—21 .................(3)若函数y 七彳勤是常数)是反比例函数，则m=,解析式为 .xk(4)反比例函数y — (k 0)的图象经过(一2, 5)和(J2 , n),x求1) n的值；2)判断点B ( 4J2 , 短)是否在这个函数图象上，并说明理由(二)反比例函数的图象和性质：知识要点：1、形状：图象是双曲线。
2、位置：(1)当k>0时双曲线分另位于第象限内；(2)当k<0时，双曲线分另位于第象限I 3、增减性：(1)当k>0 时,,y 随x的增大而 ;(2)当k<0时,,y随x的增大而。
4、变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴，但永远不会与坐标轴相交5、对称性：(1)对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点; (2)对于k取互为相反数的两个反比例函数(如：y = 6和丫= ―)来说，它们是关于x轴，y轴。
x x例题讲解：反比例函数的图象和性质：(1)写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限m2 2⑵若反比例函数v (2m 1)x的图象在第二、四象限，则m的值是( )A—1或1； B、小于-的任意实数；C、一1; D、不能确定2(3)下列函数中，当x 0时，y随x的增大而增大的是( )1 一一4 _ 1A y 3x 4B y - x 2 C. y - D. y ——.3 x 2x2 ____ ,. 一 . 一(4)已知反比例函数y ——的图象上有两点A ( x1，y1)，B ( x2, y2),且x1 x2,则y i y 的值是（）A.正数B.负数C.非正数D.不能确定2 .（5）右点（x i, y 1）、（X 2, y 2）和（X 3,y 3）分别在反比例函数 y —的图象上，且X iX 2 0 X 3,x则下列判断中正确的是（）A . y i y y 3B . y 3 y i y 2C . y 2 y 3 y iD . y 3 y y ik 1 ................... 一 ...（6）在反比例函数 y --- 的图象上有两点（x1，y 1）和（x 2, y 2）,右x 10 x 2时，y i y 2 ,则k 的x取值范围是.（7）老师给出一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第二象限；乙:函数的图象经过第四象限；丙:在每个象限内，y 随x 的增大而增大.请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数 ：.（三）反比例函数与面积结合题型。
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反比例函数重点知识总结和归纳
1. 反比例函数定义
2.反比例函数的性质
3.待定系数法
4.反比例函数的图像和画法
一、 反比例函数的比较大小问题
1.若点A （1，y 1）和点B （2，y 2）在反比例函数y =图象上，则y 1与y 2的大小关系是：y 1 y 2（填“＞”、“＜”或“=”）．
2.已知(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)是反比例函数y ＝－4x
的图象上的三点，且x 1＜x 2＜0，x 3＞0，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )．
A ．y 3＜y 1＜y 2
B ．y 2＜y 1＜y 3
C ．y 1＜y 2＜y 3
D ．y 3＜y 2＜y 1
二、反比例函数与直线相交问题
3.直线y=mx 与双曲线y ＝k x
相交于A 、B 两点，A 点的坐标为（1，2） （1）求反比例函数的表达式；（2）计算线段AB 的长．
（3）根据图象直接写出当mx ＞k x
时，x 的取值范围；
4.已知：如图，反比例函数y 1＝k x
的图象与一次函数y 2=x +b 的图象交于点A （1，4）、点B （﹣4，n ）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAB 的面积；
（3）直接写出y 1＞y 2，y 1＜y 2，y 1=y 2时自变量x 的取值范围．
5.如图，一次函数y =kx +b 与反比例函数
的图象交于A （m ，6），B （3，n ）两点．（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出
的x 的取值范围； （3）求△AOB 的面积．
C A O Y x B 6.如图,在平面直角坐标系中,直线y =x －2与y 轴相交于点A ,与反比例函数k y x
在第一象限内的图象相交于点B （m ,2）. ⑴ 求反比例函数的关系式;⑵ 将直线y =x －2向上平移后与该反比例函数的图象在第一象限内交于点C ，且△ABC 的面积为18,求平移后的直线的
函数关系式.
三、 反比例函数交点问题
7.函数y=
k+1x 的图像与直线y=2x 没有交点，k 的取值范围？
8.y=1x 与y=x-2的图像的交点横坐标为a,b,则1a +1b 的值
四、 反比例函数中线段比的问题---转化为点的坐标问题
9.如图，直线y=与双曲线y=（k ＞0，x ＞0）交于点A ，将直线y=向上平移4个单位长度后，与y 轴交于点C ，与双曲线y=（k ＞0，x ＞0）交于点B ，若OA=3BC ，则k 的值为（ ）
10.如图，已知函数y=x 与反比例函数y=（x ＞0）的图象交于点A ．将y=x 的图象向下平移6个单位后与双曲线y=交于点B ，与x 轴交于点C ．
（1）求点C 的坐标；
（2）若
=2，求反比例函数的解析式．
五、 k 的几何意义------面积问题
11.如图，反比例函数（x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别于AB 、BC 交于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为9，则k 的值为（ ）
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
12.如图，A 、B 是双曲线y=上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴，交OB 于D
点，垂足为C ．若△ADO 的面积为1，D 为OB 的中点，则k 的值为（ ）
A ．
B ．
C ． 3
D ． 4
13.如图，已知双曲线)0(k y >=k x
经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交与点C 。
若⊿OBC 的面积为3，则k= 。
第11题图 第12题图 第13题图
六、反比例函数中的几何最值问题
14.如图，正比例函数y= x的图象与反比例函数（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小。
七、反比例函数中探求平行四边形
15.如图，点A（m，m＋1），B（m＋3，m－1）都在反比例函数y=k/x的图象上．（1）求m，k的值；（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．。