函数模型的应用实例学案
高中数学3.2.2函数模型的应用实例第1课时教学设计新人教A版必修1-经典通用宝藏文档
函数模型的运用实例(第一课时)【教学设计】一、教学内容本课是普通高中课程标准实验教科书（人民教育出版社A版）数学1（必修），3.2.2 函数模型的运用实例的第一课时。
经过对例3，例4的教学让先生学习领会利用已知的函数模型解决成绩和建立确定的函数模型解决理论成绩，进而掌握建立数学模型解决理论成绩的普通步骤。
二、教学目标知识与技能目标：1.能根据图象和表格提供的有关信息和数据，发掘隐含条件，建立函数模型；2.领会分段函数模型的理论运用，规范分段函数的标准方式；3.掌握用待定系数法求解已知函数类型的函数模型；4.学会验证数学模型与理论情况能否吻合的方法及运用数学模型进行预测。
5.会利用建立的函数模型解决理论成绩，掌握求解函数运用题的普通步骤；6.培养先生浏览理解、分析成绩、数形结合、抽象概括、数据处理、数学建模等数学能力.过程与方法目标：1.经过实例分析，巩固练习,结合多媒体教学，培养先生读图的能力；2.经过实例使先生感受函数的广泛运用，领会建立函数模型解决理论成绩的普通过程；3.浸透数形结合、转化与化归等数学思想方法.情感、态度与价值观目标：1.经过切身感受数学建模的过程，让先生体验数学在理论生活中的运用，领会数学来源于生活又服务于生活，体验数学在解决理论成绩中的价值和作用，激发学习数学的兴味与动力，加强学好数学的认识。
2.培养先生的应意图识、创新认识和勇于探求、勤于考虑的精神，优化先生的理性思想和求真务虚的科学态度。
三、教材分析本课时共有2个例题，其中例3是根据图形信息建立确定的函数模型解决理论成绩；例4 是利用已知的确定的函数模型解决理论成绩，并验证求解出的数学模型与理论情况的吻合程度及用数学模型进行预测。
分别在汽车和人口成绩这两种不同运用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决理论成绩.教学重点1.根据图形信息建立函数模型解决理论成绩.2.用待定系数法求解函数模型并运用.3.将理论成绩转化为数学成绩的过程。
高中数学《函数模型的应用实例》导学案
第5课时函数模型的应用实例1.进一步运用基本初等函数解决实际应用问题.2.掌握求函数应用题的基本步骤,并运用待定系数法求函数解析式及运用配方法、分离常数法和函数单调性法求解实际问题中的最值.3.能够根据实际问题中已有的数据建立拟合函数,解决实际问题.前面我们学习了几种不同增长的函数模型,并重点学习了利用函数模型解决一些简单的实际问题.另外,在一些实际问题中,还会遇到对函数模型的灵活应用以及选择的问题,本节课就来研究这类问题.问题1:写出常见的函数模型:(1)正比例函数模型,形如;(2)反比例函数模型,形如;(3)一次函数模型,形如;(4)二次函数模型,形如;(5)指数函数模型,形如;(6)对数函数模型,形如;(7)幂函数模型,形如.问题2:(1)建立数学模型的方法是怎样的?(2)在解决实际问题过程中,该如何做才能找到合适的数学模型?(1)一般地,设自变量为x,函数为y,必要时引入其他相关辅助变量,并用x、y和辅助变量表示各相关量,然后根据问题的,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立,在此基础上将问题转化为一个问题,实现问题的数学化,即所谓的建立数学模型.(2)①:建立直角坐标系,画出散点图;②:根据散点图设想比较接近的可能的函数模型.例如:一次函数型、二次函数型、指数函数型、对数函数型.③:利用待定系数法求出各解析式,并对各模型进行分析评价,选出合适的函数模型.问题3:(1)解函数应用问题的基本步骤是什么?(2)数学模型的实质是什么?(1)第一步:阅读理解,审清题意.第二步:引进数学符号,建立.第三步:利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答,求得结果.第四步:将所得结果再转译成具体问题的答案.(2)数学模型是用模拟现实的一种模型,它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来,并用数学语言来表达,数学模型可采用各种形式,如方程(组),函数解析式,图形与网络等.问题4:什么是数据拟合?所谓数据拟合,是指我们在通过一些数据寻求事物规律时,往往是通过给出这些数据在直角坐标系中的点,观察这些点的整体特征,看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象,选定函数形式后,将一些数据代入这个函数的一般表达式,求出函数的具体表达式,再做必要的检验,基本符合实际,就可以确定这个函数基本反映的事物规律,这种方法叫作数据拟合.用已知函数模型解决实际问题有一个受到污染的湖泊,其湖水的容积为V m3,每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量,都为r m3.现假设下雨和蒸发正好平衡,且污染物质与湖水能很好地混合.用g(t)表示经过时间t(天)后每立方米湖水所含污染物质的克数,我们称其为经过时间t(天)后的湖水污染质量分数.已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水,湖水污染质量分数满足关系式g(t)=+[g(0)-]- (p≥0),其中g(0)是湖水污染的初始质量分数.(1)当湖水污染质量分数为常数时,求湖水污染的初始质量分数;(2)如果政府加大治污力度,使得湖泊的所有污染停止,那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%?分段函数模型的应用WAP手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)按30元计费;超过500分钟则超过部分按0.15元/分钟计费.假如上网时间过短,在1分钟以下不计费,1分钟以上(包括1分钟,不超过60分钟)按0.5元/分钟计费.WAP 手机上网不收通话费和漫游费.问:(1)小周12月份用WAP手机上网20小时,要付多少上网费?(2)小周10月份付了90元的上网费,那么他这个月用手机可以上多少个分钟的网?(3)你会选择WAP手机上网吗?若用电脑上网的收费为60元/月,你觉得选用哪一种方式上网更划算?建立拟合函数模型解决实际问题某地区今年1月、2月、3月份患某种传染病的人数分别为52、61、68.为了预测以后各月的患病人数,甲选择了模型y=ax2+bx+c,乙选择了模型y=pq x+r,其中y为患病人数,x为月份数,a、b、c、p、q、r都是常数.结果4月、5月、6月份的患病人数分别为74、78、83,你认为谁选择的模型较好?甲厂以x kg/h的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是100(5x+1-)元.(1)求证:生产a kg该产品所获得的利润为100a(5+-)元;(2)要使生产该产品900 kg时获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?最大利润是多少?第5课时函数模型的应用实例知识体系梳理问题1:(1)y=kx(k≠0)(2)y=(k≠0)(3)y=kx+b(k≠0)(4)y=ax2+bx+c(a≠0)(5)y=k·a x+b(k≠0,a>0且a≠1)(6)y=k·log a x+b(k ≠0,a>0且a≠1,x>0)(7)y=k·x n+b(k≠0,x>0,n为常数)问题2:(1)已知条件关系式实际函数(2)建系初步选择函数模型择优函数模型问题3:(1)数学模型(2)数学语言重点难点探究探究一:【解析】(1)∵g(t)为常数,∴g(0)-=0,∴g(0)=(p≥0).(2)污染源停止,即p=0,此时g(t)=g(0)·-.设要经过t天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%,即g(t)=5%·g(0),即有5%·g(0)=g(0)·-.由实际意义知g(0)≠0,∴=-.∴t=ln 20,即需要ln 20天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.【小结】在认真审题,读懂题意之后, 根据函数关系中的有关量的实际含义和取值范围解答实际问题.探究二:【解析】设使用WAP手机上网的时间为x分钟,由已知条件可知:当1≤x≤60时,以0.5元/分钟计费;当60<x≤500时,一律按30元收费;当x>500时,在30元的基础上,超过500的部分按0.15元/分钟计费.故所付上网费为y=≤-(1)当x=20×60=1200(分钟)时,应将1200代入第三段解析式,得y=135,即小周要付135元上网费.(2)90元已经超过30元,所以上网时间超过500分钟,由函数解析式可得x=900,即小周这个月用手机可以上网900分钟.(3)当1≤x≤60时,y max≤30元;当60<x≤500时,y max=30元;当x>500时,令30+0.15(x-500)=60,则x=700.综上所述,若每月上网时间少于700分钟,则选用WAP手机上网;若等于700分钟,则选择两种上网方式都可以;若上网时间超过700分钟,则选用电脑上网.【小结】分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,并将各段的变化规律分别用函数关系式表达出来,再将其合到一起.要注意各段自变量的范围,特别是端点值.探究三:【解析】由⇒所以甲选择的函数模型为y=-x2+12x+41.当x=4时,y=73;当x=5时,y=76;当x=6时,y=77.与实际结果相差较大.由···⇒所以乙选择的函数模型为y=-×()x+.当x=4时,y≈74;当x=5时,y≈78,当x=6时,y≈81.与实际结果非常接近.因此乙选择的模型较好.【小结】选择合适的拟合函数模型对解决实际问题并作出预测、判断、风险评估等具有实际意义.全新视角拓展【解析】(1)生产a kg该产品,所用的时间是 h,所获得的利润为100(5x+1-)·(1≤x≤10).所以生产a kg该产品所获得的利润为100a(5+-)(1≤x≤10)元.(2)生产900 kg该产品,所用的时间是 h,获得的利润为90000(5+-),1≤x≤10.记f(x)=-++5,1≤x≤10,则f(x)=-3(-)2++5,当且仅当x=6时,f(x)取得最大值f(6)=.获得的最大利润为90000×=457500元.因此甲厂应以6 kg/h的速度生产,可获得最大利润457500元.思维导图构建建系求出函数模型检验检验。
函数模型的应用实例教学设计新部编版.doc
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《函数模型的应用实例》教学设计一、教学内容普通高中课程标准实验教科书（人民教育出版社A版）数学1（必修），3.2.2 函数模型的应用实例.二、教学目标知识与技能目标：1.能根据图象和表格提供的有关信息和数据，建立函数模型；2.会利用建立的函数模型解决实际问题；3.培养学生阅读理解、抽象概括、数据处理、语言转换、数学建模等数学能力.过程与方法目标：1.通过实例分析，使学生感受函数的广泛应用，体会建立函数模型解决实际问题的思维过程；2.渗透数形结合、分类讨论、化归转换等数学思想方法.情感、态度与价值观目标：1.让学生体验“问题解决”的成功喜悦，激发学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心；2.培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度；3.经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟“认识来源于实践又服务于实践”的辩证观点.三、教材分析本小节教材共有4个例题，大致分为两类，其中例3和例5是根据图表信息建立确定性函数模型解决实际问题；例4和例6是建立拟合函数模型解决实际问题.本小节分两个教学课时，本节课是第一课时.我以教材例3和例5为基础，分别在图形和数表两种不同应用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决实际问题.因此，本节课的教学重点是：根据图、表信息建立函数模型解决实际问题.四、学情分析学生已掌握了一些基本初等函数的相关知识，并在上一节《几类不同增长的函数模型》的学习中，初步体会了建立函数模型解决实际问题的过程，这为本节课的学习奠定了知识基础.但学生的应用意识、应用能力比较弱，且正确运用数学知识解决实际问题，需要有较高的抽象概括能力、整体驾驭能力和局部处理能力，这些能力要求对学生的学习造成了一定的困难.因此，本节课的教学难点是：将实际问题抽象为数学问题，完成从文字语言、图表语言向符号语言的转化，并建立函数模型.五、教学过程（一）交流成果提出课题学生交流上节课作业题“请举出生活中函数模型的应用实例”的成果，提出课题.【设计意图】让学生体会函数与现实生活的密切联系，感受建立函数模型解决实际问题的必要性，从而激发他们的学习内驱力，也很自然地引入课题.（二）分析探究解决实例【例1】一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系，如图1所示.（1）求出图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际意义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2010 km ，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s (km )与时间t (h )的函数解析式，并作出相应的图象.【教学活动1】第（1）题：阴影部分面积为五个小矩形的面积之和，那么只要知道求其中一个矩形的面积并知道其实际意义，就能解决整个问题.因此，我借助多媒体设置动画，引导学生对第一个矩形进行分析，让学生说出它的长度、宽度各是多少？其实际意义分别是什么？根据“矩形面积＝长×宽＝速率×时间＝路程”，学生就能很快说出第一个矩形的面积及其实际意义，整个问题也就迎刃而解了.【设计意图】利用从“局部到整体”、“特殊到一般”的思想分析问题, 从而化解难点, 教会学生分析问题的方法.【教学活动2】第（2）题：重点分析如何建立s 与t 的函数关系式.由于“汽车里程表读数s ＝2010 ＋汽车行驶路程”，而汽车行驶的路程＝速率×时间，分析v 与t 的图象，得v 是t 的分段函数，从而s 是t 的分段函数.求这个分段函数的解析式，关键是求出前两段的函数解析式.其中求第二段函数解析式是难点.由第一问可知“路程”的几何意义为“图形的面积”，于是可以将求路程转化为求图形的面积.设置多媒体动画重点分析：t 在0至2小时内变化时，s 与t 的函数解析式变化，使得有效突破难点.然后让学生自主完成整个题目的解答，并利用实物投影仪展示学生的解答过程，师生共同点评，得出下列结论：（1）阴影部分的面积为50×1＋80×1＋90×1＋75×1+65×1＝360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km .(2)据v 与t 的关系图，有这个函数的图象如图2所示.【设计意图】通过本例的教学，让学生体会建立分段函数模型的思维过程，培养学生读图、识图、解图、画图的能力，渗透数形结合、分类整合的数学思想，养成自主探究与合作交流相结合的学习习惯.【例2】某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5销售单价/元6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？【教学活动】对本例的教学，重点解决如下三个问题：（1）指导学生审题后提炼出题目中的已知条件与要解决的任务.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+<≤+<≤+<≤+<≤+=.54,204565,43,200575,32,196090,21,198080,10,201050t t t t t t t t t t s已知：固定成本为200元；每桶水的进价是5元；销售单价与日均销售量之间的数据表格；任务：定价为多少时利润最大？（2）指导学生分析表格数据，建立日均销售量与销售单价之间的函数模型；从而建立利润与售价之间的函数关系；（3）实际问题中自变量取值范围的确定.为此我设计了下列问题，引导学生自主探究、讨论交流：①利润与哪些量有关？试用等式表示.利润＝销售的金额－销售成本－固定成本（或利润＝单桶水的销售利润×销售量－固定成本）.②分析表格数据，日均销售量随销售单价的变化规律是什么？销售单价在6元基础上每涨价1元销售量就减少40桶.③当销售单价为x元/桶时，销售量为多少？销售量＝480－40(x－6)＝720－40x(桶).④销售单价x受哪些条件的制约？其取值范围是什么？x＞5且720－40x＞0，即5＜x＜18.在解决上述问题后要求学生自主完成本例的解答，再用实物投影仪展示学生的解题作品.考虑到本例的自变量还可以是每桶水在进价基础上的增加量，因而我设置了链接，以达到预设与生成的和谐统一.【设计意图】让学生体验解决实际问题的过程和方法.培养学生分析归纳、概括能力. 从而初步体验解应用题的规律和方法.通过上述分析，预设学生得出以下两种解法：解法一：设每桶水定价为x元时，日均销售利润为y元.因为销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，则日均销售量＝480－40(x－6)＝720－40x(桶).由于x＞5且720－40x＞0，即5＜x＜18，所以y＝(720－40x)(x－5)－200＝－40x2＋920x－3800，5＜x＜18.易知，当x＝11.5时，y有最大值. 故将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.解法二：设每桶水在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y 元.因为销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，则日均销售量＝480－40(x－1)＝520－40x(桶).由于x＞0且520－40x＞0，即0＜x＜13，所以y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200，0＜x＜13.易知，当x＝6.5时，y有最大值. 故将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润.【设计意图】通过本例的教学，使学生感知提取数表信息、抽象函数关系的思维过程，领悟建立函数模型解决最值问题的基本方法，渗透化归转换的数学思想.（三）反思过程发现规律【教学活动】通过比较、概括上述两个实例的求解过程，我引导学生总结出建立函数模型解决实际问题的思维流程：【设计意图】 学会归纳、总结解决数学问题的思维方法，掌握建立函数模型解决实际问题的一般规律，提高理性思维能力.（四）反馈调控 方法迁移【练习】某上市公司股票在30天内每股的日交易均价P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，且点(t ，P )落在图中的两条线段上.该股票在30天内（含30天）的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：（1）写出这支股票每股的日交易均价P （元）与时间t （天）所满足的函数关系式；（2）根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式；（3）求这30天中第几天的日交易额最大，最大值为多少万元？【教学活动】通过前面的学习与思考，学生对解决这类问题已有一定的方法基础，面对本题表现出一种一展身手的亢奋状态.我要求学生以自主探索与合作交流相结合的方式对本问题求解，老师巡视答疑，再抽取几份不同解答的答卷作实物投影展示，师生一起评价、纠错，形成共同解答.【解析】 (1) 当N t t ∈<≤且,200时,设11b t k P +=,由图象得⎩⎨⎧=+=6202111b k b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==25111b k ，即251+=t P ； 同样的方法可求得当N t t ∈≤≤且,3020时，8101+-=t P . 综上可得，).(3020,8101200,251N t t t t t P ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-<≤+= (2)设b kt t Q +=)(,由题意知：⎩⎨⎧==30)10(36)4(Q Q ，即⎩⎨⎧=+=+3010364b k b k ，解得⎩⎨⎧=-=401b k . 所以：),300(40)(N t t t t Q ∈≤≤+-= 第t 天 4 10 16 22Q (万股) 36 30 24 18（3）设第t 天的日交易额为f (t )万元，则 )(,3020),40)(8101(,200),40)(251()(N t t t t t t t Q P t f ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-+-<≤+-+=⋅= 即)(,3020,40)60(101,200,125)15(51)(22N t t t t t t f ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--<≤+--= 当N t t ∈<≤且,200时，;125)15()(max ==f t f当N t t ∈≤≤且,3020时，;120)20()(max ==f t f所以这30天中第15天的日交易额最大，最大日交易额为125万元.【设计意图】选择一个既有图形，又有数表的实例，能有效地检测、反馈学生对两类建立函数模型的应用问题的掌握程度，同时培养学生在综合问题情境中对知识和方法的迁移能力.（五）归纳小结 深化认识引导学生从总结解题方法，提炼数学思想等方面对本节课所学内容进行归纳小结.（1）建立函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？（2）在本节课的学习过程中，运用到了哪些数学思想方法？【设计意图】启发学生对本节课学习的内容进行总结，提醒学生重视研究问题的方法和过程.（六）布置作业 巩固提高课外作业：必做题：教材P 106练习第1题，P 107习题3.2A 组第3，4题.选做题：P 108习题3.2B 组第2题.【设计意图】让学生巩固函数建模的思想方法，并进行自我检测与评价.通过分层作业，体现对不同能力层次的学生有不同学习要求.。
江西省西山学校高一数学《函数模型的应用实例》学案
一、自学目标：1会利用已知函数模型解决实际问题；2能建立函数模型解决实际问题。
二、知识要点：（二）建模及函数模型应用的基本过程三、课前预习 题型（一）：已知函数模型的应用题思路：若题目给出的是含参数的函数关系式则利用“待定系数法”先求出相关参数的值，得到确定的函数关系式； 例题1：（课本P104例4）人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效的控制人口增长提供依据，早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出列自然状态下的人口增长模型：ey rty 0（其中t 表示经过的时间，y表示t=0时的人口数，r 表示人口的年用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；（2）如果按表3-8的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？题型（二）建立函数模型的应用题 思路：（1）认真审题，明确问题的实际背景；（2）恰当的设未知数，列出函数解析式，特别注意标出函数的定义域，将实际问题转化为函数问题，即实际问题函数化；（3）运用所学的数学知识解答函数问题，得到函数问题的解； （4）将所得的函数问题的解还原成实际问题的结论。
例题2：（P105例5）某桶装水经营部每天的房租，人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表3-9所示。
四、课堂练习课本P107 A 组 第2， 5题 五、课后作业2011年8月12-22日为世界大学生运动会，大运会纪念品专卖店购进一批单价为20元的纪念品，若按每件30元的价格销售，每天能卖出400件，为获得更高的利润，销售点准备提高销售价格，经试验发现，在每件销售价的基础上，售价每提高1元，销售量减少20件，问价格提高多少时，才能获得最大利润？每天最大利润是多少？函数模型的应用实例（二）·导学案一、自学目标：1会利用已知函数模型解决实际问题； 2能建立函数模型解决实际问题。
高中数学《函数模型的应用实例》导学案
3.2.2 函数模型的应用实例1．函数模型应用的两个方面(1)利用□1已知函数模型解决问题；(2)建立恰当的□2函数模型，并利用所得函数模型□3解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．2．应用函数模型解决问题的基本过程1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝kx ＋8(k ≠0)在R 上是增函数．( )(2)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ，4ac －b 24a .( ) (3)(教材改编P 105T 6)函数y ＝12·3x ＋1属于幂函数模型．( )答案 (1)× (2)× (3)×2．做一做(1)函数y ＝2x 2－x 的图象的对称轴是________．(2)y ＝－x ＋1，x ∈[1,16]的值域是________．(3)(教材改编P 102例3)某人从A 地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B 地，在B 地停留2小时，则汽车离开A 地的距离y (单位：千米)是时间t (单位：小时)的函数，该函数的解析式是________．答案 (1)直线x ＝14 (2)[－3,0](3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧80t ，0≤t ≤2，160，2<t ≤4『释疑解难』(1)解决函数应用问题的基本步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：①审题；②建模；③求模；④还原．这些步骤用框图表示如图：(2)常见的函数模型函数模型函数解析式 一次函数型f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 二次函数型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)1例1 某种商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为：P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20(0<t <25)，－t ＋100(25≤t ≤30)(t ∈N *)． 设该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0<t ≤30，t ∈N *)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？解 设日销售金额为y (元)，则y ＝PQ ，所以y ＝⎩⎨⎧ －t 2＋20t ＋800(0<t <25)，t 2－140t ＋4000(25≤t ≤30)(t ∈N *)． ①当0<t <25且t ∈N *时，y ＝－(t －10)2＋900，所以当t ＝10时，y max ＝900(元)． ②当25≤t ≤30且t ∈N *时，y ＝(t －70)2－900，所以当t ＝25时，y max ＝1125(元)．结合①②得y max ＝1125(元)．因此，这种商品日销售额的最大值为1125元，且在第25天时日销售金额达到最大．拓展提升构造函数模型解决实际问题(1)用已知函数模型解决问题时，将题中的数据代入函数模型，即可求得函数模型中的参数，再转化为求函数值或自变量的值．(2)在函数应用题中，已知的等量关系是解题的依据，像此题中的利润＝总收益－总成本，又如“销售额＝销售价格×销售数量”等．像几何中的面积、体积公式，物理学中的一些公式等，也常用来构造函数关系．【跟踪训练1】灌满开水的热水瓶放在室内，如果瓶内开水原来的温度是θ1度，室内气温是θ0度，t分钟后，开水的温度可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，这里，k是一个与热水瓶类型有关的正的常量．现有一只某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100 ℃，过1小时后又测得瓶内水温变为98 ℃.已知某种奶粉必须用不低于85 ℃的开水冲调，现用这种类型的热水瓶在早上六点灌满100 ℃的开水，问：能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调上述奶粉？(假定该地白天室温为20 ℃)解根据题意，有98＝20＋(100－20)e－60k，整理得e－60k＝3940.利用计算器，解得k＝0.0004222.故θ＝20＋80e－0.0004222t.从早上六点至中午十二点共过去6小时，即360分钟．当t＝360时，θ＝20＋80e－0.0004222×360＝20＋80e－0.152，由计算器算得θ≈88 ℃>85 ℃，即能够在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调奶粉．探究2自建函数模型的应用题例2某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元．市场调研表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．设每辆汽车降价x 万元，每辆汽车的销售利润为y 万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．(1)求y 与x 之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x 的取值范围；(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z 万元，试写出z 与x 之间的函数关系式；(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？解 (1)因为y ＝29－25－x ，所以y ＝－x ＋4(0≤x ≤4)．(2)z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋x 0.5×4y y ＝(8x ＋8)(－x ＋4)＝－8x 2＋24x ＋32(0≤x ≤4)． (3)由(2)知，z ＝－8x 2＋24x ＋32＝－8(x －1.5)2＋50(0≤x ≤4)． 故当x ＝1.5时，z max ＝50.所以当销售单价为29－1.5＝27.5万元时，每周的销售利润最大，最大利润为50万元．拓展提升建立数学模型应注意的问题用函数有关的知识建立数学模型，难点是理解题意，把实际问题数学化，建立数学模型一定要过好三关：(1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口．(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达文字关系．(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．【跟踪训练2】 渔场中鱼群的最大养殖量为m (m >0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x 小于m ，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出该函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值．解 (1)根据题意知，空闲率是m －x m ，故y 关于x 的函数关系式是y ＝kx ·m －x m ，0<x <m .(2)由(1)知，y ＝kx ·m －x m ＝－k m x 2＋kx ＝－k m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22＋mk 4，0<x <m . 则当x ＝m 2时，y max ＝mk 4.所以，鱼群年增长量的最大值为mk 4.探究3 拟合数据构建函数模型解决实际问题例3 某个体经营者把开始六个月试销A ，B 两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：B 两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．解 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如下图所示．观察散点图可以看出，A 种商品所获纯利润y 与投资额x 之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图1所示．取(4,2)为最高点，则y ＝a (x －4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a (1－4)2＋2，解得a ＝－0.15，所以y ＝－0.15(x －4)2＋2.B 种商品所获纯利润y 与投资额x 之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图2所示．设y ＝kx ＋b ，取点(1,0.25)和(4,1)代入，得⎩⎨⎧ 0.25＝k ＋b ，1＝4k ＋b ，解得⎩⎨⎧ k ＝0.25，b ＝0，所以y ＝0.25x . 即前六个月所获纯利润y 关于月投资A 种商品的金额x 的函数关系式是y ＝－0.15(x －4)2＋2；前六个月所获纯利润y 关于月投资B 种商品的金额x 的函数关系式是y ＝0.25x .设下月投入A 、B 两种商品的资金分别为x A ，x B (万元)，总利润为W (万元)，那么⎩⎨⎧ x A ＋x B ＝12，W ＝y A ＋y B ＝－0.15(x A －4)2＋2＋0.25x B .所以W ＝－0.15⎝ ⎛⎭⎪⎫x A －1962＋0.15×⎝ ⎛⎭⎪⎫1962＋2.6.当x A ＝196≈3.2(万元)时，W 取最大值，约为4.1万元，此时x B ＝8.8(万元)．即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A 种商品，8.8万元投资B 种商品，可获得最大利润约为4.1万元．拓展提升选择较好的数学模型用待定系数法求解析式(1)根据几组数据，从所给的几种函数模型中选择较好的函数模型时，通常是先根据所给的数据确定各个函数模型中的各个参数，即确定解析式，然后再分别验证、估计，选出较好的函数模型．(2)函数拟合与预测的一般步骤是：①根据原始数据，绘出散点图；②通过考查散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；③根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； ④利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据．【跟踪训练3】 某皮鞋厂，从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，将会采取什么办法估算以后几个月的产量？解作出图象如图．方案一：(一次函数模拟)设模拟函数为y＝ax＋b，将B，C两点的坐标代入函数式，有⎩⎨⎧3a＋b＝1.3，2a＋b＝1.2，解得⎩⎨⎧a＝0.1，b＝1.所以得y＝0.1x＋1.此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太可能的．方案二：(二次函数模拟)设y＝ax2＋bx＋c，将A，B，C三点坐标代入，有⎩⎪⎨⎪⎧a＋b＋c＝1，4a＋2b＋c＝1.2，9a＋3b＋c＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－0.05，b＝0.35，c＝0.7，所以y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.由此法计算4月产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降(图象开口向下，对称轴x＝3.5)，不符合实际．方案三：(幂函数模拟)设y ＝a x ＋b ，将A ，B 两点的坐标代入有⎩⎨⎧ a ＋b ＝1，2a ＋b ＝1.2，解得⎩⎨⎧ a ≈0.48，b ≈0.52，所以y ＝0.48x ＋0.52.当x ＝3时，y ＝1.35；当x ＝4时，y ＝1.48.与实际产量差距较大．方案四：(指数函数模拟)设y ＝ab x ＋c ，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝1.2，ab 3＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4.所以y ＝－0.8×0.5x ＋1.4.把x ＝4代入得y ＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较以上四个模拟函数，以指数函数模拟误差最小，因此选用y ＝－0.8×0.5x ＋1.4作模拟函数．1.函数模型的应用实例主要包括的三个方面(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化.1．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是()A．310元B．300元C．390元D．280元答案B解析由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1300)，可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300.2．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数：m＝162－3x，若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为()A．40元/件B．42元/件C．54元/件D．60元/件答案B解析设每天获得的销售利润为y元，则y＝(x－30)·(162－3x)＝－3(x－42)2＋432，∴当x＝42时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件．3．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是()A．y＝2x B．y＝2x－1C．y＝2x D．y＝2x＋1答案D解析分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x次后y＝2x＋1个．4．现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1；乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好．答案甲解析图象法，即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象(图略)，比较发现选甲更好．5．某工厂生产某种产品的固定成本为2000万元，并且每多生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k是单位产品数Q的函数k(Q)＝40Q－120Q2，求总利润L(Q)的最大值．解总利润L(Q)＝40Q－120Q2－(10Q＋2000)＝－120(Q－300)2＋2500，故当Q＝300时，总利润L(Q)的最大值为2500万元．A级：基础巩固练一、选择题1．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )答案 B解析 图反映随着水深h 的增加，注水量V 增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小．2．拟定从甲地到乙地通话m min 的电话费f (m )＝1.06·(0.50[m ]＋1)，其中m >0，[m ]是大于或等于m 的最小整数(如[3]＝3，[3.7]＝4，[5.2]＝6)，则从甲地到乙地通话时间为5.5 min 的通话费为( )A ．3.71B ．3.97C ．4.24D ．4.77答案 C解析 5.5 min 的通话费为f (5.5)＝1.06×(0.50×[5.5]＋1)＝1.06×(0.50×6＋1)＝1.06×4＝4.24.3．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧c x ，x <A ，c A ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A 件产品用时15 min ，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16答案 D解析 由题意知，组装第A 件产品所需时间为c A＝15，故组装第4件产品所需时间为c 4＝30，解得c ＝60.将c ＝60代入c A＝15，得A ＝16.4．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽______次(已知lg 2≈0.3010)( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 C解析 由题意得(1－0.6)n <0.1%，即0.4n <0.1%，即n >lg 0.1%lg 0.4≈7.5，故至少需8次．5．如图，平面图形中阴影部分面积S 是h (h ∈[0，H ])的函数，则该函数的图象是( )答案 D解析 当h 取0时，阴影部分所示为整个平面图形，此时面积S 最大；当h 取H 时，阴影部分的面积S 最小，为0，由此可排除A ，B ；易知当h 在[0，H ]上变化时，阴影部分的面积S 开始变化较快，后来变化较慢，D 中图象符合．二、填空题6．如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km 的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h ，晚到1 h ；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h 后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5 h 后与骑自行车者速度一样．其中正确信息的序号是________．答案 ①②③解析 看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误．7．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满，这样继续下去，则所倒次数x 和酒精残留量y 之间的函数关系式为______．答案 y ＝20×⎝ ⎛⎭⎪⎫1920x解析 第一次倒完后，y ＝19；第二次倒完后，y ＝19×1920＝192201；第三次倒完后，y ＝19×1920×1920＝193202；…第x 次倒完后，y ＝19x 20x －1＝20×⎝ ⎛⎭⎪⎫1920x . 8．如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y (m 2)与时间t (月)的关系为y ＝a t ，有以下几种说法：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m 2；③浮萍从4 m 2蔓延到12 m 2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等．其中正确的命题序号是________．答案 ①②解析 由图象知，t ＝2时，y ＝4，∴a 2＝4，故a ＝2，①正确；当t ＝5时，y ＝25＝32>30，②正确；当y ＝4时，由4＝2t 1知t 1＝2，当y ＝12时，由12＝2t 2知t 2＝log 212＝2＋log 23. t 2－t 1＝log 23≠1.5，故③错误；浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，④错误．三、解答题9．某地区为响应上级号召，在2017年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.(1)经过x年后，该地区的廉价住房为y万平方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；(2)作出函数y＝f(x)的图象，并结合图象，求经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？解(1)经过1年后，廉价住房面积为200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后为200(1＋5%)2；…经过x年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x，∴y＝200(1＋5%)x(x∈N*)．(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)的图象，如图所示．作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时所经过的时间x 的值．因为8<x 0<9，则取x 0＝9，即经过9年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米．B 级：能力提升练10．经市场调查，某门市部的一种小商品在过去的20天内的日销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且日销售量近似满足函数g (t )＝80－2t ，而日销售价格近似满足于f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 15＋12t (0≤t ≤10)，25－12t (10<t ≤20).(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．解 (1)由已知得：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋12t (80－2t )(0≤t ≤10)，⎝ ⎛⎭⎪⎫25－12t (80－2t )(10<t ≤20) ＝⎩⎨⎧－t 2＋10t ＋1200(0≤t ≤10)，t 2－90t ＋2000(10<t ≤20).(2)由(1)知①当0≤t ≤10时， y ＝－t 2＋10t ＋1200＝－(t －5)2＋1225，该函数在t ∈[0,5]递增，在t ∈(5,10]递减，∴y max ＝1225(当t ＝5时取得)，y min ＝1200(当t ＝0(舍)或10时取得)．②当10<t ≤20时，y ＝t 2－90t ＋2000＝(t －45)2－25，该函数在t∈(10,20]递减，y min＝600(当t＝20时取得)．由①②知，y max＝1225(当t＝5时取得)，y min＝600(当t＝20时取得)．。
人教a版必修1学案：3.2.2函数模型的应用实例(含答案)
3.2.2 函数模型的应用实例自主学习1．掌握几种初等函数的应用．2．理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法． 3．了解应用实例的三个方面和数学建模的步骤．1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)________________________________________________； (2)________________________________________________； (3)________________________________________________． 2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：(1)________________；(2)________；(3)______________； (4)______________； (5)________；(6)______________．对点讲练已知函数模型的应用问题【例1】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x >400).其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)变式迁移1 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t的函数关系式为y ＝(116)t －a (a 为常数)如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为__________________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．自建函数模型的应用问题【例2】某公司每年需购买某种元件8 000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货(不分进货量大小)费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？变式迁移2 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域．(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．函数模型的选择【例3】某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y＝ab x＋c(其中a，b，c为常数，a≠0)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．变式迁移3 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)(1)Q 与上市时间t 的变化关系；Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t ；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．1．解答应用题的基本步骤： (1)设：合理、恰当地设出变量；(2)写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题； (3)算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；(4)答：将数学问题的解还原到实际生活问题中，给出最终的答案． 2．在中学阶段，用函数拟合解决实际问题的基本过程是：课时作业一、选择题1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律，其中最接近的一个是( )A ．V ＝log 2tB ．V ＝log 12t C ．V ＝t 2－12D ．V ＝2t －22．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格可降为( )A ．2 400元B ．900元C ．300元D ．3 600元3. 一个高为H ，盛水量为V 0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h 时水的体积为V ，则函数V ＝f (h )的图象大致是( )4．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡() A．3人B．4人C．5人D．6人二、填空题5．60年国庆，举国欢腾，某旅游胜地的客流量急速增加．某家客运公司为招揽游客，推出了客运定票的优惠政策：如果行程不超过100 km，票价是0.4元/km；如果超过100 km，则超过100 km的部分按0.3元/km定价．则客运票价y元与行程公里x km之间的函数关系是______________________________．6. 右图表示一位骑自行车和一位骑摩托车者在相距为80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用6 h(含途中休息的1 h)，骑摩托车者用了2 h．有人根据这个函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后追上骑自行车者．其中正确的序号是__________________________________________________．三、解答题7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不赔本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是多少．8．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，凡多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？3.2.2函数模型的应用实例答案自学导引1．(1)利用给定的函数模型解决实际问题 (2)建立确定性的函数模型解决问题 (3)建立拟合函数模型解决实际问题2．(1)收集数据 (2)描点 (3)选择函数模型 (4)求函数模型 (5)检验 (6)用函数模型解决实际问题对点讲练【例1】 解 (1)设每月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000 (0≤x ≤400)60 000－100x (x >400).(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000，∴当x ＝300时，有最大值25 000；当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数， f (x )<60 000－100×400<25 000. ∴当x ＝300时，f (x )取最大值．∴每月生产300台仪器时，利润最大， 最大利润为25 000元．变式迁移1 (1) y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110， t >110(2)0.6解析 (1)设y ＝kt (k ≠0)，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10， ∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)；由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a过点(0.1,1)得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ， a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)．∴y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110，t >110.(2)由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6， 故至少需经过0.6小时．【例2】 解 设每年购买和贮存元件总费用为y 元，其中购买成本费为固定投入， 设为c 元，则y ＝500n ＋2×8 000n ×12＋c＝500n ＋8 000n ＋c ＝500(n ＋16n )＋c＝500(n －4n )2＋4 000＋c ，当且仅当n ＝4n，即n ＝4时，y 取得最小值且y min ＝4 000＋c .所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．变式迁移2 解 (1)设污水处理池的长为x m ，则宽为200xm ，总造价为y .∴y ＝400(2x ＋2×200x )＋248×200x ×2＋80×200＝800(x ＋324x )＋16 000.∵⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<200x≤16，∴12.5≤x ≤16.故其定义域为[12.5,16]．(2)先讨论y ＝800(x ＋324x)＋16 000在[12.5,16]上的单调性．设x 1，x 2∈[12.5,16]且x 1<x 2，则y 1－y 2＝800[(x 1－x 2)＋324(1x 1－1x 2)]＝800(x 1－x 2)(1－324x 1x 2)．∵x 1，x 2∈[12.5,16]，x 1<x 2， ∴x 1·x 2<162<324.∴1－324x 1x 2<0，x 1－x 2<0.∴y 1－y 2>0.∴此函数在[12.5,16]上单调递减． ∴当x ＝16时，y min ＝45 000(元)，此时，宽为20016m ＝12.5 m.∴当池长为16 m ，宽为12.5 m 时， 总造价最低为45 000元．【例3】 解 设f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝p ＋q ＋r ＝1，f (2)＝4p ＋2q ＋r ＝1.2，f (3)＝9p ＋3q ＋r ＝1.3.解得p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7. ∴f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7，∴f (4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3. 设g (x )＝ab x ＋c (a ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝ab ＋c ＝1，g (2)＝ab 2＋c ＝1.2，g (3)＝ab 3＋c ＝1.3.解得a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4. ∴g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4，∴g (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.经比较可知，用g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4作为模拟函数较好． 变式迁移3 解 (1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的， 故只能选取Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c 108＝a ×1102＋b ×110＋c 150＝a ×2502＋b ×250＋c， 解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100， ∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102 kg. 课时作业 1．C 2.A3．D [考察相同的Δh 内ΔV 的大小比较．] 4．B [设最多用t 分钟，则水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ，当t ＝172时，y 有最小值，此时共放水34×172＝289(升)，可供4人洗澡．]5．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.4x ，0<x ≤100，40＋0.3(x －100)，x >1006．①②解析 ③错，骑摩托车者出发1.5 h 时走了60 km ，而从图中可看出骑自行车者走的距离大于60 km.7．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3 000＋20x －0.1x 2≤25x 0<x <240解得150≤x <240，x ∈N *∴生产者不赔本时的最低产量是150台．8．解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550(个)．∴当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元． (2)当0<x ≤100时，P ＝60； 当100<x <550时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－0.02x ； 当x ≥550时，P ＝51.∴P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x <550，51， x ≥550(x ∈N ＋)．(3)设销售商一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为S 元，则 S ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x <550，11x ， x ≥550(x ∈N ＋)当x ＝500时，S ＝22×500－0.02×5002＝6 000(元)；当x ＝1 000时，S ＝11×1 000＝11 000(元)．∴当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果一次订购1 000个零件时，利润是11 000元．。
函数模型的应用实例教案
函数模型的应用实例教案教案：函数模型的应用实例一、课程背景在数学教学中，函数是一个非常重要的概念，在实际生活中也有许多应用。
函数模型是数学中一种常用的模型方法，它可以很好地描述和解决一些实际问题。
本课程将以函数模型的应用实例为切入点，帮助学生理解函数模型的概念和运用方法。
二、教学目标1.知识与能力目标：-理解函数模型的基本概念；-掌握函数模型的建立方法；-运用函数模型解决实际问题。
2.过程与方法目标：-引导学生发现问题和解决问题的方法；-培养学生的创新思维和实际应用能力；-培养学生的合作学习和表达能力。
3.情感态度和价值观目标：-培养学生对数学的兴趣和热爱；-培养学生的团队协作和分享精神；-培养学生的实际问题解决能力。
三、教学过程1.引入（10分钟）-介绍函数的概念和作用，以及函数模型在实际中的应用；-分享一个有关函数模型的实际问题，如汽车行驶的距离与时间的关系。
2.探究（20分钟）- 提出一个问题：假设一辆汽车以60km/h的速度行驶，行驶时间为t小时，求行驶的距离d；-学生们自主讨论解决此问题的思路和方法；-指导学生建立函数模型：行驶距离d与行驶时间t之间的关系可以用函数d(t)表示，其中d(t)=60t。
3.拓展（30分钟）-提出更多有关函数模型的实际问题，如货物运输成本与距离的关系、人口增长与时间的关系等；-学生们自主讨论解决这些问题的方法，并建立相应的函数模型；-学生们分为小组，互相分享并比较各自的解决方法和函数模型。
4.总结（15分钟）-引导学生总结函数模型的建立方法：观察题目中的各种因素，确定变量及其之间的关系，建立函数模型；-引导学生总结函数模型的应用领域：经济、物理、生物等各个领域均有函数模型的应用。
5.展示（20分钟）-邀请几个学生上台演示他们解决实际问题的步骤和函数模型；-学生们展示自己的函数模型，分享成功的经验和困惑；-整理和归纳学生们的展示内容，进行点评和讨论。
六、教学评价1.形成性评价：观察学生的探究过程和成果，给予及时的反馈和指导；2.自评和互评：学生们根据课堂表现、参与度和拓展能力进行自我评价和互评；3.总结性评价：布置作业，让学生运用函数模型解决其他实际问题，并提交书面报告。
《函数模型的应用实例》教案
《函数模型的应用实例》教案第一章：引言1.1 课程背景本节课将引导学生了解函数模型在实际生活中的应用，通过具体的实例让学生感受函数模型的重要性。
1.2 教学目标（1）了解函数模型的概念及其在实际问题中的应用。
（2）通过实例分析，学会建立函数模型解决实际问题。
1.3 教学内容（1）函数模型的定义及其特点。
（2）函数模型在实际问题中的应用实例。
第二章：线性函数模型2.1 课程背景本节课将引导学生了解线性函数模型，并通过实例让学生学会如何建立线性函数模型解决实际问题。
2.2 教学目标（1）了解线性函数模型的定义及其特点。
（2）学会建立线性函数模型解决实际问题。
2.3 教学内容（1）线性函数模型的定义及其特点。
（2）线性函数模型在实际问题中的应用实例。
第三章：二次函数模型3.1 课程背景本节课将引导学生了解二次函数模型，并通过实例让学生学会如何建立二次函数模型解决实际问题。
3.2 教学目标（1）了解二次函数模型的定义及其特点。
（2）学会建立二次函数模型解决实际问题。
3.3 教学内容（1）二次函数模型的定义及其特点。
（2）二次函数模型在实际问题中的应用实例。
第四章：指数函数模型4.1 课程背景本节课将引导学生了解指数函数模型，并通过实例让学生学会如何建立指数函数模型解决实际问题。
4.2 教学目标（1）了解指数函数模型的定义及其特点。
（2）学会建立指数函数模型解决实际问题。
4.3 教学内容（1）指数函数模型的定义及其特点。
（2）指数函数模型在实际问题中的应用实例。
第五章：总结与拓展5.1 课程背景本节课将对前面所学的函数模型进行总结，并通过拓展实例让学生进一步感受函数模型在实际生活中的应用。
5.2 教学目标（1）总结本节课所学的内容，巩固所学知识。
（2）通过拓展实例，进一步感受函数模型在实际问题中的应用。
5.3 教学内容（1）对前面所学的函数模型进行总结。
（2）通过拓展实例，感受函数模型在实际问题中的应用。
《函数模型的应用实例》教案
《函数模型的应用实例》教案一、教学目标1. 理解函数模型在实际问题中的应用。
2. 学会构建函数模型解决实际问题。
3. 培养学生的数学建模能力和创新思维。
二、教学内容1. 函数模型概述2. 常见函数模型及其应用3. 函数模型的构建方法4. 函数模型在实际问题中的应用案例分析5. 函数模型的评估与优化三、教学重点与难点1. 教学重点：函数模型在实际问题中的应用，函数模型的构建方法。
2. 教学难点：函数模型的评估与优化。
四、教学方法1. 案例分析法：通过实际问题案例，引导学生学会构建函数模型解决问题。
2. 讨论法：分组讨论，分享不同函数模型在实际问题中的应用。
3. 实践操作法：让学生动手实践，优化函数模型。
五、教学准备1. 教学PPT2. 实际问题案例及解决方案3. 计算机软件（如MATLAB、Excel等）4. 练习题教案内容示例：第一课时：函数模型概述1. 导入：介绍函数模型在实际生活中的应用，如线性规划、最优化问题等。
2. 讲解：讲解函数模型的概念、特点和分类。
3. 案例分析：分析实际问题案例，引导学生理解函数模型。
4. 练习：让学生练习构建简单的函数模型。
第二课时：常见函数模型及其应用1. 导入：介绍常见函数模型，如线性函数、二次函数等。
2. 讲解：讲解常见函数模型的性质及其在实际问题中的应用。
3. 案例分析：分析实际问题案例，引导学生运用常见函数模型解决问题。
4. 练习：让学生运用常见函数模型解决实际问题。
后续课时依次讲解函数模型的构建方法、函数模型在实际问题中的应用案例分析、函数模型的评估与优化等内容。
教学反思：在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够掌握函数模型在实际问题中的应用。
注重培养学生的创新思维和动手实践能力，提高他们的数学建模能力。
六、教学活动设计1. 课堂讲解：介绍函数模型的基本概念和重要性。
2. 案例分析：分析实际问题，引导学生识别和构建函数模型。
函数模型的应用实例 优秀教案
函数模型的应用实例【教学目标】1．知识与技能：能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题。
2．过程与方法：感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性。
3．情感、态度、价值观：体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值。
【教学重难点】1．教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题。
2．教学难点：将实际问题转变为数学模型。
【教学过程】一、问题情境：问题1：函数的定义是什么？函数的三要素是什么？函数关系有几种表现形式？问题2：根据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP （国内生产总值）年平均增长率可望达到7．3%，那么在2001年至2020年，各年的GDP 可望为2000年的多少倍？二、生活动与数学运用：例1.某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元。
分别写出总成本C （万元）、单位成本P （万元）、销售收入R （万元）以及利润L （万元）关于总产量x （台）的函数关系式。
例2.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T-T a =（T 0-T a ）·（21）h t，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期。
现有一杯用880C热水冲的速溶咖啡，放在24C0的房间中，如果咖啡降温到400C需要20min，那么降温到350C时，需要多长时间？例3.在经济学中，函数f（x）的边际成本函数Mf（x）定义为Mf（x）=f（x+（1）-f（x）。
某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台（x∈N*）的收入函数为R（x）=3000x-20x2（单位：元），其成本函数为C（x）=500x+4000（单位：元），利润是收入与成本之差。
函数模型的应用举例 说课稿 教案教学设计
函数模型的应用举例导入新课思路1.(事例导入)一辆汽车在水平的公路上匀加速行驶，初速度为v 0,加速度为a,那么经过t 小时它的速度为多少？在这t 小时中经过的位移是多少？试写出它们函数解析式，它们分别属于那种函数模型？v=v 0+at,s=v 0t+21at 2,它们分别属于一次函数模型和二次函数模型. 不仅在物理现象中用到函数模型，在其他现实生活中也经常用到函数模型，今天我们继续讨论函数模型的应用举例. 思路2.(直接导入)前面我们学习了函数模型的应用，今天我们在巩固函数模型应用的基础上进一步讨论函数拟合问题. 推进新课 新知探究 提出问题①我市某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情期该企业年产量发展变化的函数模型，并求之. 2°2006年(即x ＝7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2006年的年产量应该约为多少？ ②什么是函数拟合？③总结建立函数模型解决实际问题的基本过程. 讨论结果：①1°如图3-2-2-5， 设f(x)＝ax ＋b,代入（1，4）、（3，7）,得⎩⎨⎧=+=+7,b 3a 4,b a 解得a=23，b=25.∴f(x)=23x+25. 检验：f(2)＝5.5，|5.58-5.5|=0.08<0.1； f(4)＝8.5，|8.44-8.5|=0.06<0.1. ∴模型f(x)=23x+25能基本反映产量变化. 2°f(7)＝13，13×70%＝9.1，2006年年产量应约为9.1万件.图3-2-2-5②函数拟合：根据搜集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合比较选出最恰当函数模型的过程.③建立函数模型解决实际问题的基本过程为：图3-2-2-6应用示例思路1例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元.销售销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶480 440 400 360 320 280 240解：根据上表,销售单价每增加1元,日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后,日均销售利润为y元,而在此情况下的日均销售量就为480－40(x－1)=520－40x(桶).由于x＞0,且520－40x＞0,即0＜x＜13,于是可得y=(520－40x)x－200=－40x2+520x－200,0＜x＜13.易知,当x=6.5时,y 有最大值.所以,只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润. 例2某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表: 身高∕cm 60708090100110120130140150160170体重∕kg6.137.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05（1）根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.(2)若体重超过相同身高男性体重的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg 的在校男生的体重是否正常？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：根据表的数据画出散点图.观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线.根据这些点的分布情况，可以考虑用y=a·b x 这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 的函数关系. 解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图（图3-2-2-7）.根据点的分布特征，可以考虑用y=a·b x 作为刻画这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 关系的函数模型.如果取其中的两组数据（70，7.90）,(160,47.25),代入y=a·b x ,得⎩⎨⎧1•=•=.0025.47,9.770b a b a用计算器算得a≈2,b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y=2×1.02x .将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象（图3-2-2-8），可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.(2)将x=175代入y=2×1.02x ，得y=2×1.02175， 由计算器算得y≈63.98. 由于78÷63.98≈1.22>1.2, 所以这个男生偏胖.图3-2-2-7 图3-2-2-8思路2例1某自来水厂的蓄水池有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t 小时内供水总量为1206t 吨,其中0≤t≤24.(1)从供水开始到第几小时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象?活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导.思路分析：首先建立函数模型，利用函数模型解决实际问题. 解：设供水t 小时，水池中存水y 吨，则 (1)y=400+60t-1206t =60(t 6-)2+40(1≤t≤24),当t=6时，y min =40(吨),故从供水开始到第6小时，蓄水池中的存水量最少，最少存水为40吨. (2)依条件知60(t 6-)2+40<80,1≤t≤24,解得38<t<332,33238-=8. 故一天24小时内有8小时出现供水紧张.例22007泰安高三期末统考，文18某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1 000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本.若每个蛋糕成本增加的百分率为x （0<x<1），则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x ，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x ，已知日利润=（出厂价一成本）×日销售量，且设增加成本后的日利润为y.(1)写出y 与x 的关系式；(2)为使日利润有所增加，求x 的取值范围. 解：(1)由题意得 y=［60×(1+0.5x)-40×(1+x)］×1 000×(1+0.8x) =2 000(-4x 2+3x+10)(0<x<1).(2)要保证日利润有所增加，当且仅当⎩⎨⎧<<>⨯--,10,01000)4060(x y即⎩⎨⎧<<>+-.10,0342x x x 解得0<x<43.所以为保证日利润有所增加，x 应满足0<x<43. 点评：函数模型应用经常伴随方程和不等式的应用，它们是有机的整体.。
学案3：3.2.2 函数模型的应用实例
3.2.2 函数模型的应用实例导入新知1．常见的函数模型(1)正比例函数模型：f (x )＝ (k 为常数，k ≠0)； (2)反比例函数模型：f (x )＝ (k 为常数，k ≠0)； (3)一次函数模型：f (x )＝ (k ，b 为常数，k ≠0)； (4)二次函数模型：f (x )＝ (a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(5)指数函数模型：f (x )＝ (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)； (6)对数函数模型：f (x )＝ (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1)； (7)幂函数模型：f (x )＝ (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)． 2．建立函数模型解决问题的框图表示化解疑难求解函数应用题的程序常考题型题型一 二次函数模型例1 已知某种商品涨价x 成(1成＝10%)时，每天的销售量减少45x (其中x >0)成．(1)应该涨价多少，才能使每天的营业额(售出的总金额)最大？ (2)如果适当涨价，能使每天的营业额增加，求x 的取值范围． 类题通法利用二次函数模型解决问题的方法在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．活学活用1.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值．题型二分段函数模型例2提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时)．类题通法构建分段函数模型的关键点建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式． 活学活用2.某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4 μg 时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问：一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？题型三 指数、对数型函数模型例3 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p %,10年后森林面积变为a 2.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的14.已知到今年为止，森林面积为22a . (1)求p %的值．(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)该森林今后最多还能砍伐多少年？ 类题通法指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y ＝N (1＋p )x (其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．活学活用3.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问：至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知： lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)随堂即时演练1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x (1≤x ≤4，x ∈N *)之间关系的是( ) A ．y ＝100x B ．y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2xD ．y ＝100x2．已知A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A 地，则汽车离开A 地的距离x 关于时间t (时)的函数解析式是( ) A ．x ＝60t B ．x ＝150－50tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5150－50t ，t >3.5D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5150，2.5＜t ≤3.5150－50t －3.5，3.5＜t ≤6.53．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机15年后的价格应降为________元．4.如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y (元)与通话时间t (分)之间的函数关系图象，根据图象填空：(1)通话2分钟，需付的电话费为________元；(2)通话5分钟，需付的电话费为________元；(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分)之间的函数关系式为________．5．在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销量价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．(1)当商品的价格为每百件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？参考答案导入新知1．(1) kx(2) k x(3) kx＋b(4)ax2＋bx＋c(5) ab x ＋c (6)m log a x ＋n (7) ax n ＋b例1 解：设商品原价格为m ，每天的原销售量为n ，则每天的原营业额为m ·n ，涨价后每天的营业额为y ＝m ·⎝⎛⎭⎫1＋x 10·⎝⎛⎭⎫1－45·x10·n . (1)y ＝m ·⎝⎛⎭⎫1＋x 10·⎝⎛⎭⎫1－45·x 10·n ＝⎣⎡⎦⎤－1125⎝⎛⎭⎫x －542＋8180·m ·n . 当x ＝54，即涨价125%时，每天的营业额最大．(2)要使涨价后每天的营业额比原来增加， 则需m ·⎝⎛⎭⎫1＋x 10·⎝⎛⎭⎫1－45·x10·n ＞m ·n ， 即2x 2－5x ＜0，变形得x (2x －5)<0. 又x >0，故0＜x ＜52.∴x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，52. 活学活用1. 解：(1)作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝(8－y )米，EQ ＝(x －4)米． 又△EPQ ∽△EDF ， 所以EQ PQ ＝EFFD ，即x －48－y ＝42.所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米， 则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50， S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x ＝10， 所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增．所以当x ＝8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，为48平方米. 例2 解：(1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20＜x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b (a ≠0)，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13(200－x )，20＜x ≤200.(2)依题意并结合(1)可得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x (200－x )，20＜x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20＜x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )＝－13(x －100)2＋10 0003≤10 0003，当且仅当x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333. 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时． 活学活用2. 解：(1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6t ，0≤t ≤1，－23t ＋203，1＜t ≤10.(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时，则－23t 1＋203＝4，解得t 1＝4，因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4，解得t 2＝9，故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t 3(t 3>10)小时，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4，解得t 3＝13.5，故第四次服药应在20：30.例3 解：(1)由题意得a (1－p %)10＝a2，即(1－p %)10＝12，解得p %＝1－⎝⎛⎭⎫12. (2)设经过m 年森林面积为22a ， 则a (1－p %)m＝22a ，即⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12，m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年 ，n 年后森林面积为22a ·(1－p %)n . 令22a (1－p %)n ≥14a ， 即(1－p %)n ≥24， ⎝⎛⎭⎫12≥⎝⎛⎭⎫12，得n 10≤32，解得n ≤15， 故今后最多还能砍伐15年． 活学活用3.解：依题意，得2100·⎝⎛⎭⎫23n ≤11 000，即⎝⎛⎭⎫23n ≤120. 则n (lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，故n ≥1＋lg 2lg 3－lg 2≈7.4，考虑到n ∈N ，即至少要过滤8次才能达到市场要求．随堂即时演练 1．【答案】C【解析】当x ＝4时，A 中，y ＝400；B 中，y ＝700；C 中，y ＝800；D 中，y ＝1004.故选C. 2．【答案】D【解析】显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的，故应分三段表示函数． 3．【答案】2 400【解析】y ＝a ·⎝⎛⎭⎫1－13，所以当x ＝15时，y ＝8 100×⎝⎛⎭⎫1－133＝8 100×827＝2 400(元)． 4. 【答案】(1)3.6 (2)6 (3)y ＝1.2t (t ≥3)【解析】(1)由题图可知，当t ≤3时，电话费都是3.6元． (2)由题图可知，当t ＝5时，y ＝6，即需付电话费6元．(3)当t ≥3时，y 关于x 的图象是一条直线，且经过(3，3.6)和(5,6)两点， 故设函数关系式为y ＝kt ＋b ，11010m1210n325x则⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝3.6，5k ＋b ＝6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.2，b ＝0.故y 关于t 的函数关系式为y ＝1.2t (t ≥3)． 5． 解：设该店月利润余额为L 元，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，① 由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50，14≤P ≤20，－32P ＋40，20<P ≤26，代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧(－2P ＋50)(P －14)×100－5 600，14≤P ≤20，⎝⎛⎭⎫－32P ＋40(P －14)×100－5 600，20<P ≤26， (1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元； 当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元． 故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．(2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20.即最早可望在20年后脱贫．。
教学设计：3.2.2 函数模型的应用实例
§3.2.2函数模型的实际应用教学目标：知识与技能：将实际问题转化为函数模型．过程与方法：能够借助函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）解决实际问题，了解函数模型的广泛应用．情感、态度、价值观：体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．教学重点：重点：将实际问题转化为函数模型，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．教学过程例1某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.而每月所获利润=卖报收入的总价－付给报社的总价.卖报收入的总价包含三部分：①可卖出400份的20天里，收入为20·0.30x；②可卖出250份的10天里，收入为10·0.30·250；③10天里多进的报刊退回给报社的收入为10·0.05·(x－250).付给报社的总价为30·0.20x.解：设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.于是每月所获利润y为y=20·0.30x+10·0.30·250+10·0.05·(x－250)－30·0.20x=0.5x+625，x∈［250，400］.因函数y在［250，400］上为增函数，故当x=400时，y有最大值825元.例2某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳？图3－2－1－15解：(1)依题意，得y =⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤.101,32032,10,6t t t t (2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时，则32-t 1+320=4，t 1=4.因而第二次服药应在11:00； 设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有32-t 2+32032-(t 2－4)+320=4，解得t 2=9小时，故第三次服药应在16:00； 设第四次服药在第一次后t 3小时(t 3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，32-(t 2－4)+32032-(t 2－9)+320=4，解得t 3=13.5小时，故第四次服药应在20:30.变式训练通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f (x )表示学生接受概念的能力〔f (x )的值愈大，表示接受的能力愈强〕，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式： f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤<++-.3016.1073,1610.59,100.436.21.02x x x x x x(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？解：(1)当0<x ≤10时，f (x )=－0.1x 2+2.6x +43=－0.1(x －13)2+59.9，由f (x )的图象，知当x =10时，［f (x )］max =f (10)=59；当10<x ≤16时，f (x )=59；当16<x ≤30时，f (x )=－3x +107，由f (x )的图象，知f (x )<－3×16+107=59.因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟.(2)∵f (5)=－0.1×(5－13)2+59.9=53.5，f (20)=－3×20+107=47<53.5，∴开讲后5分钟时学生的接受能力比开讲后20分钟强.点评：解析式与图象的转换是函数应用的重点，关于分段函数问题更应重点训练. 拓展提升探究内容①在函数应用中如何利用图象求解析式.②分段函数解析式的求法.③函数应用中的最大值、最小值问题.举例探究：(2007山东省青岛高三教学质量检测，理21)某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A 上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图3－2－1－18(1)、图3－2－1－18(2)、图3－2－1－18(3)所示.其中图3－2－1－18(1)的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图3－2－1－18(2)的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图3－2－1－18(3)的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系.图3－2－1－18(1)分别写出国外市场的日销售量f (t )、国内市场的日销售量g (t )与第一批产品A 上市时间t 的关系式；(2)第一批产品A 上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6 300万元? 分析：1.利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式.2.在t ∈［0，40］上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段.3.回忆函数最值的求法.解：(1)f (t )=⎩⎨⎧≤<+-≤≤,4030,2406,300,2t t t t g (t )=203-t 2+6t (0≤t ≤40).(2)每件A 产品销售利润h (t )=⎩⎨⎧≤≤≤≤.4020,60,200,3t t t . 该公司的日销售利润F(t )=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤+-≤≤--,4030),240203(60,3020),8203(60,200),8203(3222t t t t t t t t t ， 当0≤t ≤20时，F(t )=3t (203-t 2+8t )，先判断其单调性. 设0≤t 1＜t 2≤20，则F(t 1)－F(t 2)=3t 1(203-t 12+8t 1)－3t 2(203-t 22+8t 2)=209-(t 1+t 2)(t 1－t 2)2. ∴F(t )在［0，20］上为增函数.∴F(t )max =F(20)=6 000<6 300.当20<t ≤30时，令60(203-t 2+8t )>6 300，则370<t <30; 当30<t ≤40时，F(t )=60(203-t 2+240)<60(203-×302+240)=6 300， 故在第24、25、26、27、28、29天日销售利润超过6 300万元.点评：1.利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式，重点是找出关键点.2.在t ∈［0，40］上，有几个分界点，t =20，t =30两点把区间分为三段.3.二次函数的最值可用配方法，另外利用单调性求最值也是常用方法之一.课堂小结本节学习了:幂函数、指数函数、对数函数的应用.作业课本P 107习题3.2A 组3、4.。
函数模型的应用举例 优秀教案
下：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 … y 300×20 = 6000 (300 – 10×1)(20 + 2×1) = 6380 (300 – 10×2)(20 + 2×2) = 6720 (300 – 10×3)(20 + 2×3) = 7020 (300 – 10×4)(20 + 2×4) = 7280 (300 – 10×5)(20 + 2×5) = 7500 (300 – 10×6)(20 + 2×6) = 7680 (300 – 10×7)(20 + 2×7) = 7820 (300 – 10×8)(20 + 2×8) =7920 (300 – 10×9)(20 + 2×9) = 7980 (300 – 10×10)(20 + 2×10) = 8000 (300 – 10×11)(20 + 2×11) = 7980 (300 – 10×12)(20 + 2×12) = 7920 (300 – 10×13)(20 + 2×13) = 7820 …
培养学生 分析归纳、概 括能力.从而初 步体验解应用 题的规律和方 法.
让学生自己读题，并回答下列问 2．二次函数模型的 应用 例 2 某农家旅游公司 有客房 300 间，每间日 房租 20 元，每天都客 满.公司欲提高档次，并 提高租金.如果每间客房 每日增加 2 元，客房出 租数就会减少 10 间.若 不考虑其他因素，旅社 将房间租金提高到多少 时，每天客房的租金总 收入最高？ 师生合作由实际问题建模，让学生尝试 解答. 例 2 解答：方法一 依题意可列表如 题： ①题目求什么，应怎样设未知量； ②每天客房的租金收入与每间客房 的租金、客房的出租数有怎样的关系； ③学生完成题目. 法一：用列表法求解.此法可作为学 生探求思路的方法，但由于运算比较繁 琐，一般不用，应以法二求解为重点.对 法二让学生读题，回答问题.教师指导， 学生自己动手解题. 解应用题 首先要读懂题 意，设计出问 题指导学生审 题，建立正确 的数学模型. 同时，培养学 生独立解决问 题的能力.
高中数学教材必修一《函数模型的应用实例》教学案
§3.2.2 函数模型的应用实例在中学阶段，学生在处理函数拟合与预测的问题时，通常需要掌握以下步骤：⑴能够根据原始数据、表格，绘出散点图．⑵通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是不可能发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．⑶根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．⑷利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．教科书中已经给出了三个典型的实例，读者可以通过这些例题的学习基本掌握函数模型应用的处理方法.下面再通过一个实例，进一步熟练过程，提高函数模型应用的操作能力.例随着生活质量的不断提高，购房和买车成了一些居民消费的热点．某家庭最近看中了一款价值15万元的轿车，并想在某地段购买面积为100 m2，单价是0.3万元／m2的一套商品房．目前，该家庭仅有积蓄 10万元，收入为 0.5万元／月，正常开支为0.15万元／月，他们准备以要购买的车、房作抵押向银行贷款，且选择消费额70％的贷款比例．表1和表2分别是1万元的住房和汽车消费贷款还本付息表．表1(住房)上贷款买车，等积累一定资金后再贷款购房．如果购车后每月要增加开支0.1万元，车价平均每月比上一月下降1％，房价平均每月比上一月上涨0．8％，如果不考虑银行贷款政策的变化，那么请你为该家庭选择一个能尽快购到车和房的合理贷款方案．分析：根据贷款政策（消费额70％的贷款比例），消费者在购买商品时要首付30%的款．而选择这两种方案的重要依据则是家庭资金积累情况．解：⑴方案一：先购房后买车．为了能尽快买到车，住房贷款选30年期．按70%的比例（总购房款30万元）可贷住房款21万元，首付30%后家中（仅有积蓄 10万元）还剩资金1万元．设购房后x（月）买车，现建立买车前家庭积累资金y（万元）关于x的函数关系式y=家庭余款+（月收入-月生活支出-月支付购房款）×月数＝1+(0.5-0.15-2l×0.005728)x，即y＝1+0.229712x，（x N）选(轿车的价值15万元)70％比例的汽车贷款，则首付汽车u(万元)关于x的函数关系式为u=15(l-1%)x×30％，即u=4.5×0.99x（x∈N）．，则刚买车后家庭的结余资金为y1=买车前家庭积累资金-首付汽车款y1＝(1+0.229712x)-4.5×0.99x，即买车后家庭的结余资金为：=-4.5×0.99x＋0.229712x+1（x∈N）．y1用计算机作出其图象：可知x=12.86时，y=0．1说明购房13个月后该家庭有能力买车．但是为了保证买车后家庭的收支平衡，最早买车时间应为还清汽车贷款时家庭结余为0时x的值．现建立买车后家庭月支出v（万元）关于x的函数关系式:因为按此方案，汽车贷款为15(l-1%)x70%，在资金紧张时，贷款期限选5年较为合理，也利于提前买车，所以v=月支付购车款+月支付购房款+月生活支出+购车后每月要增加开支＝0.019347×15(l-1%)x70%＋21×0.005728+0.15+0.1，即买车后家庭月支出为：v=0.203144×0.99x+0.370288 （x∈N）．因此，还清汽车贷款时的家庭结余为＝买车后家庭的结余资金+[月收入-买车后家庭月支出] ×五年y2＝y1+60[0.5-v]＝( -4.5×0.99x＋0.229712x+1)+60[0.5-(0.203144×0.99x+0.370288)]，＝-16.68864×0.99x＋0.229712x+8.78272即还清汽车贷款时的家庭结余为y2=-16.68864×0.99x＋0.229712x+8.78272 （x∈N）．用计算机作出其图象：可知x=20.75时，y2=0．综上所述，按方案一，说明可在购房21个月后再购车．方案二：先买车后购房．为了能尽快购房，同时缓解资金紧张问题，汽车和住房贷款分别选5年期和30年期．按70%的比例可贷汽车款10.5万元，首付30%后（4.5万元），家中（家庭有积蓄10万元）还剩资金5.5万元．同理，可得在汽车贷款期内购房前的家庭积累资金y3＝剩余资金+（月收入-月生活支出-购车后月增支-月支付购车款）×月数＝5.5+(0.5-0.15-0.1-10.5×0.019347)xy 3=5.5+0.0468565x（x∈N，60≤x），而此时购房需首付y4=30×(1+0.8%)x30%=9×1.008x刚买后家庭的结余资金为5y，则5y=买房前家庭积累资金-首付房款＝y3－y4＝5.5+0.0468565x－9×1.008x，即买房首付后家庭的结余资金为：5y=－9×1.008x+0.0468565x+5.5（x N）．用计算机作出其图象：由图像知，在汽车贷款期内购房前的家庭积累资金一直不够购房需首付资金∴说明方案二购房买车所需的时间比方案一长，该方案不可取．因此，从以上两个方案看，选择方案一才能尽快购到车和房．即先按30年期、70%的比例向银行贷款购房，21个月后再按5年期、70%的比例向银行贷款买车．数学是预测的重要工具，而预测是管理和决策的依据，就像汽车的明亮的前灯一样，良好的预测展示的前景有助于决策者根据这些条件来采取行动．预测既是一门科学，也是一门艺术．科学预测的力量在于：经过长期的实践，职业的预测者胜过那些没有受过专业训练的、非系统的、或使用非科学方法——例如根据月亮的盈亏来预测的人．我国数学工作者在对天气、台风、地震、病虫害、海浪等的研究方面进行过大量的统计，对数据进行处理，拟合出一些直线或曲线，用于进行预测和控制．例如，中科院系统对我国粮食产量的预测. 连续11年与实际产量的平均误差只有1％．。
3.2.2-1《函数模型的应用实例》教案(新人教版必修1)
3.2.2-1 函数模型的应用实例一、 教学目标：1、 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题．2、 感受运用函数概念建立模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价．3、 体会数学在实际问题中的应用价值二、 教学重点与难点：重点 利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题．难点 利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价．三、 学法与教学用具1. 学法：学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究.2. 教学用具：多媒体教学过程（一）创设情景，提出课题新课引入：前节课主要是讲授指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异，本节课我们主要是通过一些生活中常遇到的实例来进一步说明函数模型在解决实际问题中的应用.（二）结合实例，探求新知例1．(P102)一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示．1） 求图中阴影部分的面积，关说明所求面积的实际含义；2） 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km ，试建立汽车行驶 这段路程时汽车里程表读数s 与时间t 的函数解析式，并作出相应的图象．分析:让学生主动参与，认真观察分析所给图象，独立思考后，讨论，教师可以作以下引导 首先引导学生写出速度v 关于时间t 的函数解析式其次引导学生写出汽车行驶路程y 关于时间t 的函数关系式，并作图象(见P102)h ）V= 50 ( 0≤t<1 ) 80 ( 1≤t<2 )90 ( 2≤t<3 )75 ( 3≤t<4 )65 ( 4≤t ≤5 )S = 50t+2004, ( 0≤t<1 ) 80(t-1)+2054, ( 1≤t<2 ) 90(t-2)+2134, ( 2≤t<3 )75(t-3)+2224, ( 3≤t<4 )再次探索：1）将图中的阴影部分隐去，得到的图象表示什么？表示分段函数v(t)的图象.2）图中每一个矩形的面积的意义是什么？表示在1个小时的时间段内汽车行驶的路程.3）汽车的行驶里程与里程表读数之间有什么关系？它们关于时间的函数图象又有何关系？ 汽车的行驶里程=里程表读数-2004；将里程表读数关于时间t 的函数图象向下平移2004个单位后,就得到汽车的行驶里程关于时间t 的函数图象。
人教版高中必修13.2.2函数模型的应用实例课程设计
人教版高中必修13.2.2函数模型的应用实例课程设计引言函数模型是高中数学重要的内容之一，也是实际应用中常用的数学模型之一。
在高中数学教学中，教师应该重视函数模型的现实应用，有效引导学生掌握函数模型的基本方法和技巧。
本文将介绍人教版高中必修13.2.2函数模型的应用实例课程设计，希望能对广大数学教师提供参考和指导。
基本概念函数模型是指将某个变化关系用函数的形式表示出来，以便于对其进行研究和应用的数学模型。
在实际应用中，函数模型有着广泛的应用，如物理学、经济学、工程学等领域。
课程设计教学目标本次课程设计的教学目标如下：1.掌握函数模型的基本概念和应用；2.能够用函数模型解决实际问题；3.能够熟练使用函数模型进行分析和演算。
教学内容本次课程教学内容主要包括以下三个方面：1.函数模型的基本概念及其应用；2.函数模型在实际问题中的应用；3.函数模型的分析及演算。
本次课程教学主要采用如下几个方法：1.讲解法：通过讲解函数模型的基本概念及其应用，使学生掌握相关知识；2.分组讨论法：将学生分为小组，引导学生利用函数模型解决实际问题；3.实践演练法：通过大量的实例演练，让学生熟练掌握函数模型的分析和演算方法。
教学过程第一阶段：讲解函数模型的基本概念及其应用1.首先，引导学生回顾函数的基本概念，如定义域、值域、单调性、奇偶性等；2.然后，讲解函数模型的基本概念，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等，以及它们在实际问题中的应用；3.接着，讲解函数模型的图像特征，如顶点坐标、对称轴、零点等，以及它们的应用。
第二阶段：引导学生利用函数模型解决实际问题1.将学生分为小组，让每个小组选定一个实际问题；2.针对每个实际问题，引导学生构建相应的函数模型，分析其特征和趋势；3.探讨函数模型在解决实际问题中的应用，如寻找最优解、确定规律等。
第三阶段：实践演练，提高应用能力1.设计大量的函数模型应用实例，引导学生进行分析和演算；2.引导学生利用所学到的函数模型知识，解决更加复杂的实际问题；3.鼓励学生自主探索函数模型的应用，提高分析和应用能力。
函数模型的应用实例学案
《函数模型的应用实例》学案例1：（课本第104页例5）某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示，请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？例2：（课本第105页例6）某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：（身高：cm；体重：kg）1）根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重kg与身高cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式．2）若体重超过相同身高男性体重平均值的倍为偏胖，低于倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？课堂练习（课本P106练习NO：1）例3：根据市场调查商品在最近40天内的价格P（万元）与时间t的关系，用图(1)中的一条折线表示，销售量Q与时间t的关系用图(2)中的线段表示（t∈N＋）。
(1) 分别写出图(1)表示的价格与时间的函数P＝f(t)，图(2)表示的销售量与时间的函数关系Q＝g(t)；(2) 求这种商品的销售额最大值及此时的时间。
布置作业：1．某人骑自行车沿直线匀速行驶，先前进了a千米，休息了一段时间，又沿原路返回b千米(b<a)，再前进c千米，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是()2．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为()3．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过()A．12小时B．4小时C．3小时D．2小时4．规定的个人稿酬纳税办法是：不超过800元不纳税，超过800元不超过4 000元的按超过800元的14%纳税，超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税，某人出版了一本书，共纳税420元，他的稿费为________元．5.某游乐场每天的盈利额y(单位：元)与售出的门票数x(单位：张)之间的函数关系如图，其中200元为普通顾客的心理价位的上线，超过此上线普通顾客人数将下降并减少盈利，试分析图象，解决下列问题：(1)求y=f(x)的函数关系式；(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，那么每天至少应售出多少张门票？6.了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系如图所示．(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜．。
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函数模型的应用实例学习目标:通过一些实例，来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用；了解分段函数、指数函数、对数函数等函数模型的应用学习重点：分段函数和指数型函数的应用学习难点：解决实际问题中选择适当的函数模型的建立与过程体验学习过程：一 探究新知1.数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．例如：已知一支钢笔3元，现需购x 支，其需要钱数为y ，则y 与x 的函数关系是：____________2.数学模型方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法．例如：一个正方形边长为x ，其面积为y ，则y 与x 的函数关系是：__________3.解答应用题的基本步骤：①合理、恰当假设；②抽象概括数量关系，并能用数学语言表示；③分析、解决数学问题；④数学问题的解向实际问题还原．例如：一个细胞一次分裂成二个，第二次由这两个分裂成四个，等等，经x 次分裂后得到y 个细胞，则y 与x 的函数关系是：__________.4.在实际问题中函数的定义域必须根据自变量所代表的实际意义来确定，准确确定函数的定义域是建立函数模型解答实际问题的一个关键环节，不可忽视．5.根据收集到的数据，作出散点图，然后通过观察图象判断问题所适用的函数模型，再用得到的函数模型解决相应问题，这是函数应用的一个基本过程．6.我们已经学习到的用来与实际问题拟合的函数有：一次函数、反比例函数、二次函数、指数型函数、对数型函数等．7.在没有给出具体模型的问题中，如何建立函数模型？首先画出散点图，然后根据散点图描绘出函数草图，联想熟悉的函数图象预测可能的函数模型，最后要检测所求函数模型与实际误差的大小，在多个模型中选择最优模型．关于函数拟合与预测的主要步骤有：根据原始数据、表格，绘出散点图；通过考查散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情．但在实际应用中，这种情况是不可能发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．8.若已知函数模型的类型，如何确定函数模型的解析表达式？已知函数模型的类型后，可以用待定系数法求函数模型的解析表达式．如一次函数模型可设y ＝ax ＋b ，需两个条件求待定系数a ，b;二次函数模型可设y ＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)，需三个条件求待定系数a ，b ，c.指数型函数模型可设y ＝ka x ＋b ，需三个条件求待定系数k ，a ，b.9.函数模型的应用实例主要包括三个方面：利用给定的函数模型解决实际问题；建立确定性函数模型解决问题；建立拟合函数（通过实验选择较合适的函数）模型解决实际问题10.面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：收集数据；画散点图；选择函数模型；求函数模型；检验是否符合实际；用函数模型解释实际问题二 课内自测1.①某物体一天中的温度T(°C)是时间t (小时)的函数：3360T t t =-+.0t =表示12：00，其后t 取值为正，则上午8：00的温度是（ ）A ．112°C B.58°C C.18°C D.8°C②下列函数关系中，可以看着是指数型函数x y ka =（,01)k R a a ∈>≠且模型的是（ ）A.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）B.我国人口年自然增长率为1﹪，这样我国人口总数随年份的变化关系C.如果某人ts内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系D.信件的邮资与其重量间的函数关系③甲、乙两店出售同一商品所得利润相同，甲店售价比市场最高限价低10元，获利为售价的10%，而乙店售价比限价低20元，获利为售价的20%，那么商品的最高限价是（）A．30元 B.40元 C.70元 D.100元④一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为（）A、na(1-b%)B、a(1-nb%)C、a[(1-(b%))nD、a(1-b%)n⑤拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)＝1.06(0.50×[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是大于或等于m 的最小整数（如[3]＝3，[3.7]＝4， [3.1]＝4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为（）A、3.71B、3.97C、4.24D、4.772.①若函数2()2f x x x a=++没有零点，则实数a的取值范围是②产品的总成本y（万元）与产量x之间的函数关系式是23000200.1y x x=+-，(0,240).x∈若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量为③1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的平均增长率为x%，2000年底世界人口数为y(亿)，那y与x的函数关系是④某工厂1995年12月份的产值是1月份的产值的a倍，那么1995年1至12月份的产值平均每月比上月增长的百分率是⑤某产品的总成本C（万元）与产量x(台)之间有函数关系式：C=3000+20x-0、1x2,其中 x∈(0,240)。
若每台产品售价为25万元，则生产者不亏本的最低产量为台3.某书店对学生实行促销优惠购书活动，规定一次所购书的定价总额：①如不超过20元，则不予优惠；②如超过20元但不超过50元，则按实价给予9折优惠；③如超过50元，其中少于50元包括50元的部分按②给予优惠，超过50元的部分给予8折优惠．①试求一次购书的实际付款y元与所购书的定价总额x元的函数关系；②现在一学生两次去购书，分别付款16.8元和42.3元，若他一次购买同样的书，则应付款多少？比原来分两次购书优惠多少？4.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：请根据数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?5.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝(116)t－a(a为常数)如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为__________________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室6.在中国轻纺城批发市场，季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势. 设某服装开始时定价为10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元的平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周降价2元，直到16周末，该服装已不再销售.①试建立价格P 与周次t 之间的函数关系；②若此服装每件进价Q 与周次t 之间的关系式为[]20.125(8)12,0,16,Q t t t N =--+∈∈，试问该服装第几周每件销售利润最大？7.某公司每年需购买某种元件8 000个用于组装生产，每年分n 次等量进货，每进一次货(不分进货量大小)费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？8.某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m 2的三级污水处理池(平面图如图所示)，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m ，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域．(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．9.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x<240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不赔本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是多少．10.某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，凡多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P ＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？三课堂达标1.①以半径为R的半圆上任一点P为顶点，以直径AB为底边的△PAB的面积S与高PD=x的函数关系式是（）A. S=RXB. S=2Rx（x＞0）C. S=Rx（0＜x＜R）D. S=πx2（0＜x≤R）②一等腰三角形的周长是20，则其底边长y关于其腰长x的函数关系式是（）A.y=20-2x（x≤10）B. y=20-2x（x＜10）C. y=20-2x（5＜x＜10）D. y=20-2x（0＜x＜10）③在一定范围内，某种产品的购买量为yt，与单价x元之间满足一次函数关系,如果购买1000t，每吨为800元，如果购买2000t，每吨为700元，一客户购买400t，单价应该为( )A.820 元 B.840元 C.860元 D.880元④某地土地沙化严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y(公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是( )A．y＝0.2 xB．y＝110(x2＋2x)C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x⑤在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示出的图象如右图所示，现给出下面说法：①前5分钟温度增加的速度越来越快；②前5分钟温度增加的速度越来越慢；③5分钟以后温度保持匀速增加；④5分钟以后温度保持不变.其中正确的说法是（）Ａ.①④ B.②④ C.②③ D.①③2.①某杂志能以每本1.20的价格发行12万本，设定价每提高0.1元，发行量就减少4万本. 则杂志的总销售收入y万元与其定价x的函数关系是 .②某新型电子产品2002年投产，计划2004年使其成本降低36℅. 则平均每年应降低成本 %.③某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2，L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆，则能获得的最大利润为_________④某产品的总成本y万元与产量x台之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2，x∈（0,240），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是_________⑤一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留物质约是原来的4／5，经过n年，剩留的物质是原来的64／125，则n=________3.甲、乙两店出售同一商品所得利润相同，甲店售价比市场最高限价低10元，获利为售价的10%，而乙店售价比限价低20元，获利为售价的20%，求商品的最高限价4.某市一种出租车标价为1.20元/km，但事实上的收费标准如下：最开始4km内不管车行驶路程多少，均收费10元(即起步费)，4km后到15km之间，每公里收费1.20元，15km后每公里再加收50%，即每公里1.80元.试写出付费总数f与打车路程x之间的函数关系5.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金增加50元时，未租出的车将会增加1辆，租出的车每辆需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？6.要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价7.某城市现有人口数为100万人，如果年自然增长率为1.2﹪，试解答下面的问题：（1）写出该城市人口总数y （万人）与年份x（年）的函数关系式；（2）计算10年后该城市人口总数（精确到0.1万人）；（3）大约多少年后，该城市人口将达到120万人？（精确到1年）；（4）若20年后，该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应控制在什么范围内？8.某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度．本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿度)与x－0.4(元)成反比例．又当x＝0.65时，y＝0.8.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%?9.某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52,61,68.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y=ax2+bx+c，乙选择了模型y=pq x+r，其中y为患病人数，x为月份数，a,b,c,p,q,r都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人分别为74,78,83，你认为谁选择的模型较好？10.某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1 .2万件、1.3万件、1.37万件. 由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好. 为了在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，你能解决这一问题吗？。