量子力学第1章-波函数
量子力学中的波函数解析
量子力学中的波函数解析量子力学是一门研究微观世界行为的科学，其基础是波函数，它能够描述微观粒子的性质和运动。
波函数解析是解方程求解波函数的过程，本文将简要介绍量子力学中的波函数解析方法和其在物理学研究中的应用。
一、波函数的定义与性质在量子力学中，波函数（Ψ）是描述微观粒子状态的数学函数。
它是一个复数函数，可用于计算粒子位置、能量以及其他物理量的概率分布。
波函数的物理意义由其模的平方给出，即|Ψ|^2代表粒子在空间中的概率分布密度。
二、波函数解析的数学方法1. 独立粒子体系的波函数解析独立粒子体系是指粒子间不存在相互作用的情况，这时波函数可以通过求解薛定谔方程得到。
薛定谔方程可以用于描述单个微观粒子的行为，并由以下形式给出：ĤΨ = EΨ其中Ĥ是哈密顿算符，E是粒子的能量。
对于简单系统，如自由粒子或受限粒子，可以将波函数分解为一个平面波的线性组合，进一步简化求解过程。
2. 受限系统的波函数解析对于受限系统，波函数解析的过程相对复杂。
例如，对于一维势阱中的粒子，需要边界条件和势能函数来求解波函数。
该问题的解析解可以通过求解边界值问题和应用适当的边界条件来得到。
三、波函数解析在物理学研究中的应用波函数解析在物理学研究中具有广泛的应用，以下介绍几个重要的应用领域。
1. 量子力学中的波函数叠加原理根据波函数叠加原理，两个或多个波函数可以相互叠加形成新的波函数。
叠加后的波函数描述了多粒子系统的相互作用和态叠加的情况。
这一原理在解析解中起到了重要的作用。
2. 基态和激发态的分析波函数解析可以用于分析系统的基态和激发态。
通过求解波函数，可以得到系统能量的本征值和本征态，从而确定基态和激发态的性质。
3. 波函数在相互作用系统中的应用对于相互作用系统，波函数解析可以提供系统能量和粒子位置之间的关系，从而探索系统中粒子间的相互作用情况。
这对于研究分子物理学、凝聚态物理学以及量子场论等领域非常重要。
结语波函数解析是量子力学中的重要概念，其通过数学方法求解薛定谔方程，描述了微观粒子的行为以及物理量的概率分布。
量子力学专题讲座-1-波函数的统计解释与薛定鄂方程
一、波函数的统计解释在量子力学中，我们用波函数),(t x ψ来描述一个微观粒子的状态，从这个波函数我们可以得到微观粒子的所用信息。
如何从波函数得到微观粒子的信息是量子力学的一个主要内容。
波恩的统计解释：{}2.(,)baa b x t dx t ψ=⎰在时刻发现粒子处于和之间的几率也就是说，ψψ=ψ*2),(t x 是几率密度，它给出在t 时刻粒子处于x 处单位体积内的几率。
由于这个性质，波函数必须满足1. 是归一化的1),(2=ψ⎰∞∞-dx t x（或者说是可归一化的，dx t x ⎰∞∞-ψ2),( 积分为有限值）2. 满足波函数的标准条件：有限性（不排除在个别点上，ψ和它的微商在保持平方模可积条件下可以趋于无限大。
）；单值性（ψ应该是坐标和时间的单值函数，这样才能使粒子的几率密度在时刻t ，坐标x 有唯一确定值）；连续性（由于几率密度应当连续，波函数和它的微商也必须连续，不排除微商在势能为无限大处不连续）。
由波函数的统计解释，对处于ψ态的一个粒子，对其坐标多次测量的平均值（期待值）是dx x 2⎰ψ是你所得到结果的平均值。
而是相反：第一次测量(其结果是不确定的)将使波函数坍塌至位于实际获得的测量值处的一个尖峰，以后的测量(如果它们立即进行)将得到同样的结果。
.测量引起波函数的坍塌而x是所有测量都是对处在ψ态的粒子所进行的平均值，这意味着你要么发现某种方法使测量后粒子的状态回到ψ态，要么你准备一个系综,其中每个粒子都处在ψ态，然后测量每个粒子的位置, x是所有结果的平均值。
(你们可以想象在一个书架上放一行瓶子,每个瓶子中放一个处在ψ态(相对瓶子的中心)的粒子，每一个学生被分配拿一把尺子测量一个瓶子中粒子的位置，一声令下他们同时开始测量自己瓶子中粒子的位置。
计算平均值,它应该符合x。
简短而言，期待值是对含有相同体系的一个系综中不同体系的重复测量的平均值,而不是对同一个体系的重复测量的平均值。
量子力学 第1章-1-2(第3讲)
越来越多的实验事实证明，波函数的位相是非常重要的物理 概念，只限于统计解释还不能完全穷尽对波函数的认识。
量子波函数的概率解释有不足
玻恩的概率解释：“波函数的振幅的平方是粒 子被发现的概率” 。不是完整诠释，只关注 所谓的可观察量（振幅），忽略了相位（因为 不属于可观察量）。
杨振宁说，规范场论就是相位场。相位是其根 本。振幅与相位合起来用复数表示。
x=0
dx
由于
d 2(x,t)
dx2
0
x0
故 x 0 处，粒子出现概率最大。
注意
（1）归一化后的波函数
(r , t
)
仍有一个模为一的因
子 ei 不定性（ δ为实函数）。
若 r,t 是归一化波函数，那末， r,tei 也是
归一化波函数，与前者描述同一概率波。
（2）只有当概率密度 (r,t) 对空间绝对可积时，才
2
(r,t) dx
A2
ea2x2 dx
A2
1
a2
归一化常数
1/ 2
A a/
归一化的波函数1/ 2Fra bibliotek1a2x2 i t
(r,t) a / e 2 2
（2）概率分布： (x, t) (x, t) 2 a ea2x2
（3）由概率密度的极值条件
d(x, t) a 2a2 xea2x2 0
相位是复杂性之源，相位导致纠缠，纠缠导致 记忆与电子相干。自由度的纠缠和相干，往往 会造就许多意想不到的结果。
作业题
1. 下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态? 并指出每
个状态由哪几个波函数描写。
1 ei2x / , 4 ei3x / ,
2 ei2x/ , 5 ei2x / ,
量子力学中的波函数与测量
量子力学中的波函数与测量在量子力学中，波函数是一种用来描述量子系统的数学工具。
它包含了关于系统可能状态的信息，并且可以通过测量得到物理量的概率。
本文将探讨波函数的定义与性质，以及与测量相关的一些重要概念。
1. 波函数的定义与性质波函数是量子力学中描述一个量子系统的核心概念。
它通常用符号Ψ表示，是一个复数函数。
波函数的模的平方，即|Ψ|²，描述了在给定条件下观测到系统处于某一状态的概率分布。
波函数的性质包括归一化和线性叠加原理。
首先，波函数必须满足归一化条件，即积分对全空间的结果为1。
这意味着系统必定处于某个状态，而且在任意时刻只能处于一个状态。
其次，根据线性叠加原理，波函数可以叠加多个可能的状态。
当系统处于叠加态时，它同时具有多种可能的属性，直到测量发生才会塌缩到某一确定态。
2. 波函数的演化在量子力学中，波函数的演化由薛定谔方程描述。
薛定谔方程是一个时间依赖的偏微分方程，它描述了波函数随着时间的演化规律。
根据薛定谔方程，波函数会随着时间的推移而发生变化。
在没有测量的情况下，波函数会按照一定的规律进行演化，从而展现出粒子或系统的特定行为，如干涉和衍射等。
3. 测量与波函数的塌缩在量子力学中，测量是一个重要的概念。
波函数描述了系统所有可能状态的概率分布，而测量则是对系统状态的获取。
测量将导致波函数的塌缩，即从多个可能状态中塌缩到一个确定的状态。
测量的结果是一个确定值，而不是概率。
在测量时，波函数塌缩到一个特定的本征态，该本征态对应一个特定的物理量的固定值。
而在测量之前，系统处于叠加态，即多种可能状态的叠加。
4. 测量与不确定性原理在量子力学中，测量不可避免地带来不确定性。
根据不确定性原理，对于某些物理量，例如位置和动量，无法同时精确测量。
不确定性原理指出，如果我们对一个物理量进行测量并得到一个确定值，那么对于另一个与之相对的物理量的测量结果将有不确定性。
这意味着精确测量一个物理量将导致另一个物理量的测量结果变得不确定。
量子力学中的波函数与态矢量
量子力学中的波函数与态矢量量子力学是揭示微观世界的定律和规律的理论框架，其核心概念之一就是波函数与态矢量。
波函数是对量子体系状态的数学描述，而态矢量则是波函数所在向量空间的表示。
本文将从基本概念、数学表达以及物理解释等方面，对量子力学中的波函数与态矢量进行详细探讨。
一、波函数的基本概念与性质波函数是量子力学中描述量子体系状态的核心概念。
它通常用ψ(x,t)表示，其中x为位置，t为时间。
波函数的平方模|ψ(x,t)|²代表了在某个位置和时间上找到粒子的概率密度。
对于一维自由粒子来说，其波函数可以用平面波形式表示：ψ(x,t) = Ae^(i(kx-ωt))，其中A为振幅，k为波数，ω为角频率。
波函数的一些基本性质也值得注意。
首先，波函数必须是归一化的，即∫|ψ(x,t)|²dx = 1，这意味着粒子在整个空间中被找到的概率为100%。
其次，波函数满足薛定谔方程，即iħ∂ψ(x,t)/∂t = -ħ²/(2m)∂²ψ(x,t)/∂x²，其中ħ为约化普朗克常量，m为粒子质量。
这个方程描述了量子体系的演化规律。
二、态矢量的数学表达与物理解释态矢量是波函数所在向量空间的表示。
一般用符号|ψ⟩表示，其中ψ是波函数的数学表达式。
态矢量具有一些重要性质。
首先，态矢量可线性叠加，即如果|ψ₁⟩和|ψ₂⟩是两个态矢量，那么它们的线性组合a|ψ₁⟩+ b|ψ₂⟩（其中a和b是复数）也是一个合法的态矢量。
这种叠加可以用来描述量子体系的叠加态和纠缠态等现象。
其次，态矢量可以表示物理量的测量结果。
在量子力学中，物理量由算符表示，而每一个物理量对应于一系列本征态，即特定的态矢量。
当测量某个物理量时，观测到的结果是对应本征值的概率。
例如，对于位置算符，其本征态是一个delta函数，即|δ(x-x₀)⟩，其中x₀是粒子的位置。
测量结果为x₀的概率就是|⟨x₀|ψ⟩|²，其中⟨x₀|ψ⟩是态矢量|ψ⟩在位置表象下的表示。
第一章 波函数
第一章 波函数与dinger oSchr 方程 一 内容提要1 波函数的统计解释[1] 在量子力学中用波函数描述微观体系的运动状态 ； [2] 2),(t rψ表示粒子在空间出现的几率密度； [3] 波函数归一化条件1),(2=ψ⎰t r ；[4] 波函数应满足的基本条件：单值、有限、连续。
2态的叠加原理设 ,,,,321n ψψψψ是体系的可能状态，那么态的线性叠加∑ψ=ψnn n c也是体系的一个可能状态；3 dinger o Schr方程 [1] 含时间的dinger o Schr方程 ψ+ψ∇μ-=∂ψ∂),(222t r V t i[2]定态dinger o Schr方程 当)(r V 不显含时间t 时，波函数的解为定态解：/)(),(iEt er t r -ψ=ψ)(r ψ满足定态dinger oSchr 方程ψ=ψ+∇μ-E r V )](2[22该方程也是能量算符的本征值方程。
4 几率流密度)(2ψ∇ψ-ψ∇ψμ=**i j 与几率密度ψψ=ρ*满足连续性方程 0=⋅∇+∂ρ∂j t5 量子力学中的初值问题已知量子态的初态波函数)0,(r ψ，原则上可以利用S,eq 求出任意时刻的波函数),(t r ψ二 例题讲解1 粒子在一维无限深势阱中运动，阱宽为a ， （1）设axASinx π=ψ)(，求归一化系数A 。
（2）设)()(x a Ax x -=ψ，求归一化系数A 并求粒子的最可几位置。
[解] （1）令12)()(2202==π=ψ⎰⎰aA dx a x ASindx x aa则 aA 2= 那么ax Sin a x π=ψ2)( （2）令130)]([)(5222==-=ψ⎰⎰a A dx x a x A dx x aa则530a A = 2 证明具有不同能量的两个束缚态，其波函数的重叠积分为零。
解：设1ψ、2ψ分别为对应能量1E 、2E 束缚态波函数，21E E ≠，要证明等式0)()(2*1=ψτψ⎰r r d 。
量子力学波函数
量子力学波函数量子力学是描述微观粒子的行为的一门科学，其中最基本的概念就是波函数。
波函数包含了微观粒子的所有信息，它具有波动性和粒子性，并通过它的演化来描述粒子的运动和性质。
本文将介绍量子力学波函数的概念和性质，以及它在量子力学中的重要作用。
首先，让我们来了解一下量子力学波函数的定义。
波函数用希腊字母Ψ（Psi）表示，它是关于时间和空间的复数函数。
对于一个定态粒子（即能量确定的粒子），它的波函数是解薛定谔方程得到的。
薛定谔方程是描述微观粒子运动的基本方程，它能够给出粒子的能量、位置和动量等信息。
波函数具有波动性和粒子性的特点，这意味着在一些实验中，粒子表现出波动性；而在其他实验中，粒子又表现出粒子性。
这种二象性特征是量子力学的核心观念之一。
波动性体现在波函数的幅度，它描述了粒子在空间中的分布情况；而粒子性则体现在波函数的平方，它描述了发现粒子的概率。
波函数的演化是量子力学研究的关键问题之一。
在确定态的情况下，波函数的演化由薛定谔方程控制，它描述了波函数随时间的变化情况。
随着波函数的演化，粒子的位置、能量和动量等性质也会发生变化。
由于波函数的演化是连续的，每一个时刻的波函数都受到之前时刻波函数的影响，因此粒子的运动是连续的，不存在经典力学中的轨迹概念。
波函数还具有一个重要的性质——归一化。
归一化是指波函数的平方积分等于1，这意味着在整个空间范围内，粒子存在的概率是100%。
通过归一化，我们可以获得粒子存在于不同位置的概率分布，并进行实际观测和实验验证。
波函数在量子力学中有着广泛的应用。
它不仅可以用来计算和描述粒子的位置、能量和动量等性质，还可以用来解释一系列实验结果，如干涉、衍射和束缚态等现象。
波函数还是量子力学中其他重要概念的基础，如态矢量、算符和观测等。
最后，让我们来谈一谈波函数的难点和挑战。
波函数是一种数学对象，它的物理解释需要通过实验和观测进行验证。
然而，由于波函数的数学性质非常复杂，我们往往只能通过近似和数值计算来获得波函数的结果。
量子力学课件1-2章-波函数-定态薛定谔方程
V (x,t) (x,t)
假定在 t 0 时刻波函数归一化,随时间演化时它能否保持归一化？ 答案：薛定谔方程自动保持波函数的归一化.
证明:
d (x,t) 2 dx (x,t) 2 dx.
dt
t
2 * * *
i
t
( x, t )
2
2m
d2 dx2
V
( x, t )
接收器上从来没有在两个以上地方同时接收到电子的一部分。电子表现
出“粒子性”。
2）电子表现出的干涉是自己与自己的干涉，不是不同电子之间的
干涉，“波动性”是单个电子的行为。
问题：一个电子怎样通过双缝产生干涉现象呢？ 结论：微观粒子与物质相互作用时，表现粒子性；运动过程中体现波动性。
§ 3 概率
假设一个屋子中有14个人，他们的年龄分布为：
j2 j2P( j). 0
注意：一般情况下平方的平均是不等于平均的平方的。
普遍地, 可以给出j的函数的平均值
f ( j) f ( j)P( j).
0
显然，两个图具有同样的中值、平均值、最可几值和 同等数目的元素，如何表示出分布对平均值“弥散”程度 的不同？
j j j ,
2 (j)2 . 分布方差
经典物理描述物体运动的范式和途径：
宏观物体，经典力学： （1）求出任意时刻物体的位置 x(t)
（2）求出速度v dx ，动量p mv ，动能 T 1 mv2
dt
2
方法: 牛顿方程
m
d2x dt 2
V (x,t) x
,
F(x,t) V (x,t) x
初始条件 x(0), v(0)
等等，
微观粒子,量子力学:
14岁 1人，
量子力学中的波函数描述
量子力学中的波函数描述量子力学是一门研究微观世界的物理学科，它描述了微观粒子（如电子和光子）的行为和性质。
在量子力学中，波函数是一种重要的概念，它用来描述粒子的状态和可能的测量结果。
本文将探讨波函数的概念、性质和一些常见的描述方法。
一、波函数的概念和性质波函数（Wave function）是量子力学中对一个量子系统的状态进行数学描述的函数。
它是包含在希尔伯特空间中的一个向量，可以用来预测粒子在不同位置的可能性分布。
根据量子力学的原理，波函数的平方模表示了在相应位置上找到粒子的概率密度。
波函数具有一些重要的性质。
首先，它必须满足归一化条件，即波函数的平方模在整个空间中的积分等于1。
这保证了粒子的概率存在且始终为正。
其次，波函数必须是连续且可微的函数，以满足量子力学的运动方程。
二、波函数的数学表示在量子力学中，常用的表示波函数的方法有薛定谔表示和路径积分表示。
薛定谔表示（Schrodinger representation）是一种常见的描述方法，它以波函数的时间演化为基础，利用薛定谔方程来计算波函数的变化。
薛定谔方程是描述量子力学体系时间演化的基本方程。
它以时间偏导数和位置偏导数为基础，结合哈密顿算符，给出了波函数随时间的变化规律。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子在空间中的波函数分布随时间的演化过程。
另一种常见的描述方法是路径积分表示（Path integral representation）。
路径积分表示以路径积分的概念为基础，它将波函数的时间演化看作是从一个初始位置到末态位置的所有可能路径的叠加。
路径积分表示在量子场论和统计力学中有广泛的应用。
三、波函数的物理意义和应用波函数作为描述量子体系的数学工具，其物理意义和应用十分广泛。
首先，波函数的平方模表示了找到粒子在某个位置的概率密度。
通过波函数，可以预测粒子在空间中的可能位置和概率分布。
其次，波函数可以用来计算并预测粒子的能级和能量谱。
由于波函数包含了粒子的所有信息，通过对波函数的求解，可以得到粒子能级和能量的一些特性。
量子力学中的波函数及其物理意义
量子力学中的波函数及其物理意义波函数是描述量子力学中粒子性质与行为的重要概念。
它可以用数学方式表示，并提供了有关粒子位置、动量和能量等信息。
本文将探讨波函数的定义、性质以及其在量子力学中的物理意义。
一、波函数的定义与性质量子力学中的波函数用Ψ表示，它是一个复数函数，并且必须满足归一化条件。
波函数的平方值|Ψ|²表示了在给定位置上找到粒子的概率密度。
1. 归一化条件波函数必须满足归一化条件，即积分后的平方和为1。
一般来说，波函数在一定区域内的平方和代表了该粒子在该区域出现的概率。
2. 波函数的复数性质波函数是一个复数函数，其中实部和虚部分别表示了粒子的实部和虚部。
这两部分的相对大小和相位关系对波函数的演化和测量结果均有影响。
3. 波函数的连续性波函数必须在整个空间内是连续的，包括可能出现的间断点。
这个条件保证了波函数的物理意义和可解性。
二、波函数的物理意义波函数不是物理量本身，而是通过运算符作用于波函数上得到物理量的期望值。
波函数提供了以下重要信息：1. 粒子的位置分布通过波函数的平方值|Ψ|²，我们可以得到粒子在空间中出现的概率分布。
这反映了粒子的位置不确定性以及可能出现的空间区域。
2. 粒子的动量与能量波函数的动量空间表示称为动量波函数，它提供了粒子动量的概率分布。
从动量空间的角度来看，波函数的形态表现了粒子的动量空间分布。
3. 量子力学的态叠加与变化波函数可以通过超定线性组合的方式表示多个不同态的叠加状态。
这种态的叠加在量子力学中被称为叠加态，可以描述一系列可能发生的物理过程。
4. 测量与波函数塌缩当我们对粒子进行测量时，波函数会发生塌缩。
塌缩后的波函数代表了测量结果所对应的状态。
波函数的塌缩是量子力学中一种重要的随机现象。
三、波函数演化与时间依赖性波函数对时间的依赖性是量子力学中一个重要的研究方向。
根据薛定谔方程，波函数会随着时间的推移而发生演化。
波函数的时间演化可以揭示粒子的运动规律和行为。
量子力学的波函数与量子态
量子力学的波函数与量子态波函数是描述量子系统状态的数学工具，在量子力学中起着至关重要的作用。
它不仅描述了一个粒子或系统的位置和动量信息，还同时包含了关于它的其他物理性质的信息。
量子态则是描述量子系统整体状态的概念，是波函数的集合。
本文将探讨波函数与量子态的定义、性质以及它们在量子力学中的应用。
一、波函数的定义与性质波函数是量子力学中用数学方式来描述粒子或系统状态的函数，用符号Ψ表示。
常见的波函数有定态波函数和非定态波函数。
定态波函数是指描述一个能量确定的粒子的波函数，满足定态薛定谔方程。
非定态波函数则是描述一个处于叠加态的粒子或系统的波函数，满足时间依赖薛定谔方程。
波函数的模的平方给出了粒子出现在不同位置的概率密度。
波函数还需要满足归一化条件，即波函数的平方在整个空间内积分等于1。
这要求波函数在空间中是正交归一的，确保了粒子或系统的存在概率为1。
波函数的正交性也导致可以构造一个正交归一的基底，用这组基底展开波函数。
基底的选择主要取决于系统的边界条件和对称性。
二、量子态的定义与性质量子态是指描述一个量子系统整体状态的概念，它是波函数的集合。
一个量子系统可以处于一组可能的量子态中的任意一个。
量子态可以用矢量表示，并在量子力学中用符号|ψ⟩表示。
它是一个复数的多维向量，可以表示一个或多个粒子的组合态。
量子态具有叠加原理，即当一个量子系统可以处于两个或多个可能的状态时，它可以同时处于这些状态的叠加态。
在观测之前，量子系统处于叠加态，观测之后，系统将塌缩到其中一个可能的状态上。
量子态的演化由薛定谔方程或量子力学的哈密顿方程决定。
随着时间的推移，量子态会发生变化，由一个态演化成另一个态。
这种演化的过程可以用量子力学的幺正演化算符来描述。
三、波函数与量子态在量子力学中的应用波函数和量子态是量子力学的核心概念，它们在描述和分析量子系统行为中起着重要作用。
首先，波函数和量子态能够预测和解释粒子的各种性质和现象。
例如，根据波函数的模的平方可以计算粒子在空间中的分布概率。
曾谨言量子力学第1章
即自由粒子的物质波包必然要扩散。 结论： 物质波包的观点夸大了波动性的一面，而抹杀了粒子性的 一面。
2.波由粒子组成的疏密波
P
电子源
P
O Q
感 光 屏
O Q
就如水波，声波，由分子数密度疏密变化而形成的一种分布 一样，物质波也是一种疏密波。这种看法是与实验矛盾的， 它不能解释长时间单个电子衍射实验。电子一个一个的通过 小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这 说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有 的现象，单个电子就具有波动性。 事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原 子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子 化这样一些量子现象。波由粒子组成的看法夸大了粒子性 的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，也具有片面性。
λ h / p,
ν E/h
(1)
这就称为de. Broglie关系。
h ( E, p) (, )
这组de Broglie关系是物质世界的普遍规律。其中将两种图象 联系起来的Planck常数数值很小，是波粒二象性可以显现出来 的标度。假如在所研究问题中能够认为h→0，波和粒子便截然 分开，波粒二象性的现象便可以忽略。比如，由原先粒子的(E,p)， 利用(1)第一式便得到λ→0，与此粒子相联系的波动性便可以忽略。 于是可以说， 经典力学是量子力学当时h→0的极限情况。 当然，这里是相对而言，并非真要(本就是常数的)变小，而是 要求研究对象的动量足够大(从而波长足够短)，以及运动涉及 的空间尺度足够大，使得
全
在空间各点的相对概率分布
2 2 Cψ ( r1 ) ψ ( r1 ) Cψ ( r2 ) ψ ( r2 )
显然，Ψ与CΨ所描述的相对概率分布式相同的，这点与经典波不同。 2 3 )0 波函数的归一化： 全 ψ ( r ) d r A( real num ber
量子力学第一、二章习题课
第一部分 状态与波函数
1、量子力学中用波函数描写微观体系的状态 、 2、 态叠加原理：设 ψ 1 ,ψ 2 ,ψ 3 ,⋯ψ n ⋯是体系的可能状态，那么， 、 态叠加原理： 是体系的可能状态，那么， 这些态的线性叠加 状态。 状态。
ψ = ∑ cnψ n
n
也是体系的一个可能
3、波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出： 、波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出：
j= iℏ (ψ∇ψ ∗ −ψ ∗∇ψ ) 2µ
ρ = ψ ∗ψ 与几率密度
∂ρ +∇⋅ j = 0 满足连续性方程 ∂t
第二部分 一维运动
1、一维无限深势阱 、 本征值 本征函数
0 V ( x) = ∞ 0<x<a x ≤ 0或者x ≥ a
n 2π 2 ℏ 2 En = , n = 1,2,3, ⋯ 2 2 µa
dm p = dp mc 2
dm p υg = c = =υ dp m
2
的物体， 三、如果我们需要观测一个大小为 2.5 Α 的物体，可用的光子的 最小能量是多少？若把光子改为电子呢？（ ？（要 最小能量是多少？若把光子改为电子呢？（要） 解：为了发生散射，光波的波长必须与所观测物体的大小同 为了发生散射， 数量级或者更小。 数量级或者更小。故在本问题中能够采用的光的最大波长 ，这样相应的光子的最小能量为： 这样相应的光子的最小能量为：
ℏ2 2 ∂Ψ ih =− ∇ Ψ + V (r , t )Ψ ∂t 2µ
当势场
V (r ) 不显含时间
t
时，其解是定态解
Ψ (r , t ) = ψ (r )e −iEt / ℏ
ψ (r ) 满足定态薛定谔方程
波函数
练习： 3.在何处找到粒子的概率最大？
解： 1. 由归一化条件
A
1 ix
2
dx
A2 1 x2
dx
A2arctgx
A2
1
得： A 1
x
1
1 ix
2. 概率密度为：
p x2
dx
2
1
1 ix
1
1
x2
3. 令： 得：
d x2 0
dx
x0
即在 x = 0 处粒子的概率密度最大。
求解问题的步骤：
1. 写出具体问题中势函数U(r)的形式，代入一维定态 薛定谔方程的一般形式，得本问题中的薛定谔方程。
设粒子在一维无限深势阱运动
U
势函数
0 (0 < x < a)
U(x) =
x 0, x a
o
ax
代入一维定态薛定谔方程的一般形式
d2
d x2
2m 2
(
E
U )
0
得本问题中的薛定谔方程: 0<x<a
用 |Ψ |2 对屏上电子数分布 作概率性描述
一般：t 时刻,到达空间 r（x,y,z）处某体积dV内的粒子数
dN N |Ψ |2 dV
|Ψ (x, y, z,t) |2 Ψ Ψ* dN N dV
|Ψ ( x, y, z, t) |2 的物理意义：
➢ t 时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的 粒子数与总粒子数之比
t
)
0e
i(
Et
px
x)
（取实部）
推广 ：三维自由粒子波函数
(r,
t)
0e
i (Et
量子力学中的波函数描述
量子力学中的波函数描述量子力学是一门研究微观世界的科学，它的基础理论之一就是波函数描述。
波函数描述了微观粒子的性质和行为，是量子力学中最重要的概念之一。
波函数是一个数学函数，用来描述微观粒子的状态。
它包含了粒子的位置、动量、能量等信息。
根据量子力学的原理，波函数包含了所有关于粒子的统计信息，但却不能直接被观测到。
波函数的基本特征是它是一个复数函数，即具有实部和虚部。
这与我们在日常生活中所熟悉的实数函数有所不同。
波函数的实部描述了粒子的位置空间分布，而虚部则描述了粒子的动量空间分布。
这种特性被称为波函数的双重性。
以单个粒子为例，它的波函数可以用数学表示为ψ(x)，其中x表示位置。
波函数的模的平方|ψ(x)|²代表了粒子在位置x上的概率分布。
也就是说，如果我们对这个粒子进行位置测量，那么在不同的位置上观测到粒子的概率就由波函数的模的平方决定。
除了位置之外，波函数还可以包含其他物理量的信息。
例如，可以将波函数表示为ψ(x, t)，其中t表示时间。
这样的波函数描述了粒子在不同时间点上的状态。
根据量子力学的演化方程，我们可以通过波函数的时间演化来预测粒子的运动轨迹。
另一个重要的概念是波函数的叠加原理。
根据量子力学的原理，当一个系统处于多个可能的状态时，它的波函数可以表示为这些状态的线性组合。
这种线性叠加的结果是一个新的波函数，它包含了系统处于不同状态的概率分布。
波函数的叠加原理是量子力学中的一个核心概念。
它解决了微观粒子同时处于多个可能状态的问题。
例如，在双缝实验中，粒子可以通过两个缝孔中的任意一个通行。
这种情况下，粒子的波函数可以表示为两个通行路径的叠加。
根据波函数的叠加原理，我们可以计算出在屏幕上观测到的干涉图样。
虽然波函数的叠加原理解决了一些困扰科学家多年的问题，但它也带来了一些哲学上的难题。
例如，根据叠加原理，一个量子系统可以同时处于多个状态，直到被观测时才会坍缩到其中的一个状态。
这引发了许多关于现实世界的本质和观察者的角色的争议。
量子力学知识：量子力学中的波函数解析
量子力学知识：量子力学中的波函数解析量子力学是现代物理学的一部分，它描述了微观世界中的粒子运动规律。
在这个领域，波函数是一个非常重要的概念，因为它可以提供一个数学描述粒子运动的方式。
本文将介绍量子力学中的波函数解析，讨论其含义、性质和应用。
波函数的含义波函数是一个复数函数，通常表示为Ψ，它描述了粒子位置、运动速度、能量和角动量等物理量的概率分布。
价态波函数Ψ(r)描述了一个粒子在空间中的位置分布，而动量波函数Ψ(k)描述了粒子的动量分布。
波函数解析是一种求解波函数的方法，它利用数学算法来描述粒子的运动和行为。
波函数解析能够给出精确的结果，并且在量子力学研究中非常常用。
波函数的性质波函数具有一些重要的性质，它们在量子力学研究中非常有用。
首先，波函数必须满足归一化条件，也就是说，波函数的平方值在整个空间中的积分等于1。
这意味着粒子在空间中所有可能的位置都有一定概率存在。
其次，波函数必须满足薛定谔方程，这是一个描述量子力学中粒子运动的方程。
通过薛定谔方程，可以求解波函数对时间的演化，从而得到粒子位置、速度等物理量的变化规律。
波函数的应用波函数广泛应用于量子力学的研究和实验中。
它非常重要的应用就是描述粒子的量子态。
例如，在量子计算机中，计算结果就通过电子的量子态来表示。
此外，波函数解析也被广泛应用于化学研究中。
化学反应中的电子运动可以通过波函数解析进行研究，从而更好地理解化学反应的本质。
总结量子力学中的波函数解析是一个非常重要的概念，它能够提供精确的数学描述粒子的运动。
波函数具有归一化条件和薛定谔方程等性质，这些性质在量子力学研究中非常重要。
波函数的应用广泛，涉及化学、物理、工程等多个领域。
因此，对波函数解析的研究将会对未来科学技术的发展产生深远影响。
量子波函数
量子波函数量子波函数（Quantum Wave Function）指的是描述量子力学中微观粒子状态的数学函数，是量子力学理论的核心概念之一。
量子波函数的数学表示式为Ψ(x, t)，其中x代表粒子的位置，t代表时间。
波函数的平方值|Ψ(x, t)|^2代表了粒子处于某个状态的可能性大小。
这个可能性与波函数的真实物理意义密切相关，是量子力学理论的基础。
在量子力学中，粒子的位置、速度、能量等物理量并非具有确定的值，而是受波函数的影响而表现出概率性。
因此，确定波函数的形式及其演化规律对于理解微观粒子行为具有重要意义。
波函数的演化受薛定谔方程的支配。
薛定谔方程是量子力学最基本的方程之一，描述了波函数的时间演化。
薛定谔方程如下：iℏ（∂Ψ/∂t）=HΨ其中i代表虚数单位，ℏ为普朗克常数，H为哈密顿算符，Ψ为波函数。
薛定谔方程可用于解析或数值求解波函数，从而得到微观粒子的状态。
量子力学中常见的波函数有平面波、高斯波包等。
平面波波函数是一种简单的波函数，是一条单频调制的线性波，其数学形式为：Ψ(x, t)=Aexp(i(k·x-ωt))其中A为振幅，k为波矢，ω为角频率。
可以用平面波定态来描述自由粒子的运动状态。
高斯波包波函数由德布罗意波和波包的思想结合而来，是粒子在空间中分布的概率密度函数，其数学形式为：其中A为振幅，x0为波包中心，k为波矢，ω为角频率，σ为波包的标准差。
高斯波包波函数常用于描述限制在有限区域内运动的粒子。
总体来说，量子波函数是描述微观粒子状态的基本工具，其演化规律和数学性质是量子力学研究的重要内容。
波函数的重要性在于其表述了微观实体的量子特性，为人类理解微观世界提供了新的思路和视角。
第一章量子力学基础
（3）粒子的动量平方px2值
假设三：本征方程
2 2 2 nx h d 2 ˆ x n 2 2 p sin 4 dx l l h 2 d n 2 nx 2 cos 4 dx l l l
h n 2 nx 2 sin 4 l l l
l
2 l nx ih d nx sin sin dx l 0 l 2 dx l
ih l
nx nx d sin 0 sin l l
l
2 xl
ih sin (nx / l) 0 l 2 x 0
2 ˆ ˆ H － 2 ＋V 8 m h2
：拉普拉斯算符
2 2 2 2 ＝ 2 ＋ 2 ＋ 2 x y z
19
假设三：本征方程
Schrö dinger方程算法解析
一个质量为m的 粒子，在一维 势井中的运动。
0 ， 0 ﹤x ﹤ l V= ∞ ， x ≤0 和 x≥ l
一维势箱中粒子的波函数、能级和几率密度
假设三：本征方程
总结: 势箱中粒子的量子效应：
1.存在多种运动状态，可由Ψ1 ，Ψ2 ，…，Ψn 等描述；
2.能量量子化；
3.存在零点能；
4.没有经典运动轨道，只有几率分布；
5.存在节点，节点多，能量高。
假设三：本征方程 箱中粒子的各种物理量
（1）粒子在箱中的平均位置
力学量 算符 力学量 算符
位置
x
ˆx x
ˆ p
ih ＝ － x 2 π x
x y y x
势能 V
1-波函数的统计解释与薛定鄂方程
专题1−波函数的统计诠释在量子力学中，我们用波函数),(t x ψ来描述一个微观粒子的状态，从这个波函数我们可以得到微观粒子的所用信息。
如何从波函数得到微观粒子的信息是量子力学的一个主要内容。
波恩的统计诠释：{}2.(,)baa b x t dx t ψ=⎰在时刻发现粒子处于和之间的几率也就是说，ψψ=ψ*2),(t x 是几率密度，它给出在t 时刻粒子处于x 处单位体积内的几率。
由于波函数的诠释，物理上的波函数必须是归一化1),(2=ψ⎰∞∞-dx t x（或者说是可归一化的，dx t x ⎰∞∞-ψ2),( 积分为有限值）由波函数的统计诠释，波函需要满足标准条件：有限性（不排除在个别点上，ψ和它的微商在保持平方模可积条件下可以趋于无限大。
）；单值性（ψ应该是坐标和时间的单值函数，这样才能使粒子的几率密度在时刻t，坐标x有唯一确定值）；连续性（由于几率密度应当连续，波函数和它的微商也必须连续，不排除微商在势能为无限大处不连续）。
由波函数的统计解释，对处于ψ态的一个粒子，对其坐标多次测量的平均值（期待值）是期待值是对含有相同体系的一个系综中不同体系的重复测量的平均值,而不是对同一个体系的重复测量的平均值。
.测量引起波函数的坍塌存在两类完全不同的物理过程:“正常”类，波函数按薛定鄂方程“从容不迫”的演化，“测量”类，由于测量，波函数突然和不连续的坍塌。
对于坐标这个力学量，由波函数我们可以得出它的信息(几率密度、期待值)，那么其他力学量呢？ 力学量的期待值当粒子处于态),(t x ψ时，对于一个力学量，如果我们还想知道测量这个力学量可以得到那些特定值，得到某个特定值的几率是多少，那么该如何做？波函数的统计解释（广义统计解释）给出。
首先，我们需要知道这个力学量的本征函数。
,n n n F Φ=Φ∧λ ,...3,2,1=n 分立谱本征函数满足正交归一条件（分立谱）nm n mdx δ=ΦΦ⎰∞∞-*将体系的状态波函数ψ用算苻ˆF的本征函数nΦ展开nnncΦ=ψ∑则在ψ态中测量力学量ˆF得到结果为nλ的几率是2n c，在测量后波函数坍塌为nΦ。
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多粒子体系 Hamilton 量
第一章 波函数 微观粒子具有波粒二象性，与经典理论不同， 现在我们需要需要用一个波函数(r,t)来描述 微观粒子的运动状态。我们需要首先解决下 面两个问题： 1：给定势能（相当于经典中给定作用在粒子 上的力），如何得到这个波函数？ 2. 这个波函数是怎样描写的粒子的状态的？
1.1 薛定谔（Schrodinger）方程 （一）引进方程的基本考虑
而原子核对第 i 个电子的 Coulomb 吸引能为：
Ze2 Ui (ri ) ri
1.2 波函数的统计解释
波函数(x,t)是在空间的一个分布,这样一个波函数如何描述 一个微观粒子的运动状态呢?
波是由它所描写的粒子组成? 为什么不是?
P
电子源
P
O Q
感 光 屏
O Q
实验事实:入射电子流强度大，很快显示衍射图样. 入射电子流强度小，电子一个一个发射，开始显示 电子的微粒性，长时间亦显示同样的衍射图样.我们知道，衍射现象是由波的干涉而产生的，如果波真 是由它所描写的粒子所组成，则粒子流的衍射现象应当是由于组成波的这些粒子相互作用而形成的。 但事实证明，在粒子流衍射实验中衍射图样和入射粒子流强度无关。如果减小粒子流强度，同时延长 实验的时间，是入射的粒子总数保持不变，则得到的衍射图样将完全相同。即使把粒子流强度减小到 使粒子一个一个地被衍射，只要时间足够长，所得到的衍射图样也还是一样。这说明每一个粒子被衍 射的现象与其他粒子无关，因此衍射图样不是由粒子之间的相互作用而产生的。
i (p py yp Et ) i xx zz Ae p x x x 2 p 2 x 2 ， x2
2 2 2 12 2 2 [ p p p ] y z 2 2 2 2 x x y z
2 2 ˆ H [ U ( r )] V ( r , r , , r ) i i i 1 2 N i 1 2 i N
例如：
对有 Z 个电子的原子，电子间相互作用为 Coulomb 排斥作用：
2 Z e V ( r ,r , ,r ) 1 2 Z r i j |r i j|
同理有 py 2 y2 2 pz 2 2 2 z
2 2
2 2 1 p 2 2 2 p 或 ( 2 )–(2)式，得
2 p 自 由 粒 子 ， E 2 m
2 2 2 p ( i ) ( E ) t 2 m 2 m
一维直角系中的薛定谔方程为
2 (,) x t 2 i V () x (,) x t 2 t m x 2
多粒子体系的 Schrödinger 方程
设体系由 N 个粒子组成， 质量分别为 mi (i = 1, 2,..., N) 体系波函数记为 ( r1, r2, ..., rN ; t) 第i个粒子所受到的外场 Ui(ri) 粒子间的相互作用 V(r1, r2, ..., rN) 则多粒子体系的 Schrödinger 方程可表示为：
（2）量子情况 1．因为 t = t0 时刻，已知的初态是(r,t0) 且只知道这 样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能 含ψ对时间的一阶导数。 2．要满足态叠加原理，即，若1( r, t ) 和2( r, t ) 是方程的解，那末 ( r, t)= C11( r, t ) + C22( r, t ) 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中 只能包含、对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次项，不 能含它们的平方或开方项。 3．方程不能包含状态参量，如 p, E 等，否则方程只能 被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。
先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。
（1）经典情况
d r t t 时刻，已知初态是： r , p m 0 0 0 dt t t 0 2 dr 粒子满足的 方 方 程 F 程 ： m 是 牛顿 2 dt
从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的状态 r 和 p 。 因为初条件知道的是坐标及其对时间的一阶导数，所以方程是 时间的二阶常微分方程。
满足上述构造方程 的三个条件
2 2 所 以i （ 3 ） t 2 m
讨论：通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，如果能动量关 系式 E = p2/2m 写成如下方程形式： p2 (E ) 0 2m E i 然后，做算符替换： t p ˆ p i 即得自由粒子运动方程（3）。
i (r ,t ） t
ˆ (r ,t) H
(1.1 )
量子力学基本假定 I： 微观粒子体系的状态波函数满足Schrödinger 方程
在直角坐标系中，拉普拉斯算符为
2 2 2 2 2 2 2 x y z
在球坐标系中，拉普拉斯算符为
2 1 1 1 2 2 r s i n 2 2 2 2 2 rr r r s i n r s i n
（二）平面波的启发
平面波为:
i A exp ( p r Et )
应是所要建立的方程的解。
将上式对 t 微商，得：
i E i E （ 1 ） t t
这不是所要寻找的方程，因为它包含状态参量 E 。将Ψ对坐标二次 微商，得：
（三）势场 V(r)中运动粒子的 Schrödinger 方程
若粒子处于势场 V(r) 中运动，则能动量关系变为：
2 p E V (r) H 2 m
2 p E [ V ( r) ] 2 m
做算符替换
2 i (r ,t) [ 2 V (r )](r ,t) t 2m 或 者