华东师大数学系数学分析考研名校数学分析考研题库

华东师大数学系数学分析考研名校数学分析考研题库浙江大学2013年攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目：数学分析（A）（819）

考生注意：

1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟；

2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。

一、（40分，每小题10分）

（1）；

（2）；

（3）设，表示不超过的最大整数，计算二重积分；

（4）设.求.

二、（10分）论证是否存在定义在上的连续函数使得.

三、（15分）讨论函数项级数的收敛性与一致收敛性.

四、（15分）设均为上的连续函数，且为单调递增的，

，同时对于任意，有.

证明：对于任意的，都有.

五、（5分）；

（10分）.

六、（5分）构造一个在闭区间上处处可微的函数，使得它的导函数在

上无界；

（15分）设函数在内可导，证明存在，使得在内有界.

七、（15分）设二元函数的两个混合偏导数在附近存在，且在处连续.证明：.

八、（20分）已知对于实数，有公式，其中求和是对所有不超过的素数求和.求证：

，

其中求和也是对所有不超过的素数求和，是某个与无关的常数.

第二部分考研真题精选

一、判断题

1数列{a n}收敛的充要条件是对任意ε＞0，存在正整数N，使得当n＞N时，恒有｜a2n－a n｜＜ε。（）[华东师范大学2008年研]

【答案】错查看答案

【解析】可举反例加以证明：设数列{a n}收敛，则对任意ε＞0，存在正整数N，使得当n＞N时，恒有｜a2n－a n｜＜ε。

反之不真，例如设

显然有

但{a n}发散。

2对任意给定的x0∈R，任意给定的严格增加正整数列n k，k＝1，2，…，存在定义在R上的函数f（x）使得

f（k）（x0）表示f（x）在点x0处的k阶导数）。（）[华东师范大学2008年研] 【答案】对查看答案

【解析】例如函数f（x）＝（x－x0）n就满足条件。

3设f（x）在[a，b]上连续，且，则f（x）在[a，b]上有零点。（）[华东师范大学2008年研]

【答案】对查看答案

【解析】因为f（x）在[a，b]上连续，所以存在ξ∈（a，b），使得

即f（x）在（a，b）内有零点。

4对数列{a n}和

若{S n}是有界数列，则{a n}是有界数列。（）[北京大学研]

【答案】对查看答案

【解析】设｜S n｜＜M，则｜a n｜＝｜S n－S n－1｜≤2M。

第三部分考研真题精选

一、判断题

1设级数收敛，则收敛。[华东师范大学2008年研]

【答案】对查看答案

【解析】设b n＝1/n，则{b n}单调有界；收敛，由Abel判别法，知收敛，或者设b n＝1/n，则{b n}单调递减趋于0，收敛，

有界，由Dirichlet判别法，知收敛。

2设f（x，y）在（x0，y0）的某个邻域内有定义且

则f（x，y）在（x0，y0）处连续。（）[华东师范大学2008年研] 【答案】错查看答案

【解析】反例

设

显然有

但是

即是否为0还要取决于θ的值，所以f（x，y）在点（0，0）处不连续。