华东师大数学系数学分析考研名校数学分析考研题库
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华东师大数学系数学分析考研名校数学分析考研题库浙江大学2013年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目:数学分析(A)(819)
考生注意:
1.本试卷满分为150分,全部考试时间总计180分钟;
2.答案必须写在答题纸上,写在试题纸上或草稿纸上均无效。
一、(40分,每小题10分)
(1);
(2);
(3)设,表示不超过的最大整数,计算二重积分;
(4)设.求.
二、(10分)论证是否存在定义在上的连续函数使得.
三、(15分)讨论函数项级数的收敛性与一致收敛性.
四、(15分)设均为上的连续函数,且为单调递增的,
,同时对于任意,有.
证明:对于任意的,都有.
五、(5分);
(10分).
六、(5分)构造一个在闭区间上处处可微的函数,使得它的导函数在
上无界;
(15分)设函数在内可导,证明存在,使得在内有界.
七、(15分)设二元函数的两个混合偏导数在附近存在,且在处连续.证明:.
八、(20分)已知对于实数,有公式,其中求和是对所有不超过的素数求和.求证:
,
其中求和也是对所有不超过的素数求和,是某个与无关的常数.
第二部分考研真题精选
一、判断题
1数列{a n}收敛的充要条件是对任意ε>0,存在正整数N,使得当n>N时,恒有|a2n-a n|<ε。()[华东师范大学2008年研]
【答案】错查看答案
【解析】可举反例加以证明:设数列{a n}收敛,则对任意ε>0,存在正整数N,使得当n>N时,恒有|a2n-a n|<ε。
反之不真,例如设
显然有
但{a n}发散。
2对任意给定的x0∈R,任意给定的严格增加正整数列n k,k=1,2,…,存在定义在R上的函数f(x)使得
f(k)(x0)表示f(x)在点x0处的k阶导数)。()[华东师范大学2008年研] 【答案】对查看答案
【解析】例如函数f(x)=(x-x0)n就满足条件。
3设f(x)在[a,b]上连续,且,则f(x)在[a,b]上有零点。()[华东师范大学2008年研]
【答案】对查看答案
【解析】因为f(x)在[a,b]上连续,所以存在ξ∈(a,b),使得
即f(x)在(a,b)内有零点。
4对数列{a n}和
若{S n}是有界数列,则{a n}是有界数列。()[北京大学研]
【答案】对查看答案
【解析】设|S n|<M,则|a n|=|S n-S n-1|≤2M。
第三部分考研真题精选
一、判断题
1设级数收敛,则收敛。[华东师范大学2008年研]
【答案】对查看答案
【解析】设b n=1/n,则{b n}单调有界;收敛,由Abel判别法,知收敛,或者设b n=1/n,则{b n}单调递减趋于0,收敛,
有界,由Dirichlet判别法,知收敛。
2设f(x,y)在(x0,y0)的某个邻域内有定义且
则f(x,y)在(x0,y0)处连续。()[华东师范大学2008年研] 【答案】错查看答案
【解析】反例
设
显然有
但是
即是否为0还要取决于θ的值,所以f(x,y)在点(0,0)处不连续。