华东师大数学系数学分析考研名校数学分析考研题库
数学分析考研试题及答案
数学分析考研试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不一定连续D. f(x)在x=a处可微答案：A2. 极限lim(x→0)(sinx/x)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点为：A. 1B. 2C. 3D. 1和2答案：D4. 若函数f(x)在区间(a,b)上连续，则下列说法错误的是：A. f(x)在(a,b)上必有最大值B. f(x)在(a,b)上必有最小值C. f(x)在(a,b)上可以没有最大值D. f(x)在(a,b)上可以没有最小值答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2+3x+2，则f'(x)=_________。
答案：2x+32. 函数y=x^3-3x+1在x=1处的切线斜率为_________。
答案：13. 设函数f(x)=ln(x)，则f'(x)=_________。
答案：1/x4. 若函数f(x)=x^2-4x+c在x=2处取得极小值，则c=_________。
答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。
答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-12x+11。
令f'(x)>0，解得x<1或x>3；令f'(x)<0，解得1<x<3。
因此，函数f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减。
2. 求极限lim(x→0)(x^2sinx/x^3)。
答案：lim(x→0)(x^2sinx/x^3) = lim(x→0)(sinx/x^2) = 0。
3. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-9x+1在x=-3处取得极小值。
华师大 02年 数学分析
华东师范大学2002年攻读硕士研究生数学分析入学考试试题一（12分）计算：1．()1002sin 2lim 22-++∞→n n n n n 。
解：()222sin lim 02100n n n n n →∞+=+-2．⎪⎭⎫⎝⎛--→x e xx x 11sin lim 20解：22232000sin 1sin 1sin cos 2lim lim lim 31x x x x x x x x x e x x x xe x x x e →→→-++-⎛⎫-== ⎪-⎝⎭2220cos cos sin 24lim 06x x x x x x x e x e x→+---== 3．设F 为3R 上的可微函数，由方程()0,,32=zx yz xy F 确定了z 为x 与y 的函数，求y x z z ,在点()1,1的值。
解：321232(3)0x xF y zyF z x z x z F +++=，1232(3)0x x F zF z z z F +++=， 1323(3)/(2)x z F zF zF F =-++，21223()/(2)y z F z F zF F =-++。
二（15分）设函数,f g 均在()b a ,内有连续导数，且对于任何()b a x ,∈，有()()()()()0>'-'=x f x g x g x f x F 。
求证：1． ,f g 不可能有相同的零点； 2． f 的相邻零点之间必有g 的零点。
3． 在()x f 的每个极值点()b a x ,0∈，存在0x 的某邻域，使得()x g 在该邻域中是严格单调的。
证明:1、反证，若,f g 有相同的零点0x ，则()()()()()000000F x f x g x g x f x ''=-=，矛盾； 2、反证，()()120f x f x ==，12()x x <，且当12[,]x x x ∈，()0g x ≠，且12(,)x x x ∈，()0f x ≠， 所以()g x 保号，不妨设()0g x >，令()()/()G x f x g x =，则()()120G x G x ==()()()()2()[]/()0G x f x g x g x f x g x '''=->，()G x 在12[,]x x 严格单调上升，所以()()12G x G x <矛盾；3、0()0f x '=，所以()()000g x f x '>，即有()00g x '≠，不妨设()00g x '>，由g '在()b a ,连续，则存在()00,x x δδ-+，使得()00,x x x δδ∈-+时，()()0/20g x g x ''>>，因此g 在()00,x x δδ-+内严格单调。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(名校考研真题 不定积分)【圣才出品】
解：f（x）的原函数为
．当 x≤1 时，有
当 x＞1 时，有
所以 f（x）的原函数为
．
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un
n1
收敛，从而 un
0 ，即
f
(xn )
0 ，也即
f (xn ) 0 ，故对上述的 ，存在 N N¢ ，使得
当 n N 时，
f (xn )
2
.
取 X a N ，则当 x X 时，因
x a, Ua (k 1) ,a k k 0
故存在惟一的 k N¢ ，使得 x a (k 1) , a k ，易见 k N ，且
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第 8 章 不定积分
1．设 f (x) d x 收敛,且 f (x) 在 a,上一致连续，证明 lim f (x) ＝ 0. [上海
a
x
交通大学 2004 研]
证明：因 f (x) 在 a,上一致连续，故对于 0 ， 0 ，使得当
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4．求不定积分 解：
[华东师范大学研]
5．求不定积分 解：令 t＝lnx，则
[四川大学研]
6．求
（a 为常数）．[西安交通大学研]
解：（1）当 a＝－1 时，
（2）当 a≠－1 时，
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x2
x台2 )
dx
ln(1 x2 )d 1 x
ln(1 x2 )
1
2x dx
x
x 1 x2
ln(1 x2 ) 2 1 dx
x
华东师范大学数学分析考研真题
1 n )an
也是发散级数。
四（12 分）设
D : x2 y 2 z 2 t 2 , F (t) f (x2 y2 z2)dxdydz, 其中 f 为连续
D
函数，f(1)=1.证明 F '(1) 4.
五（12 分）设 D 为由两抛物线 y x2 1 与 y x2 1 所围成的闭
的下侧法向的方向余弦。
2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
华东师范大学《数学分析》与《高等代数》考研真题(1997年-2013年)
续.
19
五、设 f ( x) 在 [a, b] 上二阶可导，且 f ( x) ≥ 0 ， f ′′( x) < 0 . 证明： f ( x) ≤
2 b f (t )dt ， x ∈ [ a, b] . b − a ∫a
六、设 f ( x , y ) 在 D = [ a, b] × [ c, d ] 上有二阶连续偏导数.
15
六、 （ 15 分）假设 σ 是 n 维欧氏空间 V 的线性变换， τ 是同一空间 V 的变换 . 且对
∀α , β ∈ V , 有 (σα , β ) = (α ,τβ ).
证明： 1) τ 是线性变换, 2) σ 的核等于 τ 的值域的正交补.
七、 （15 分）证明：任意方阵可表为两个对称方阵之积，其中一个是非奇异的。
n →∞ a≤ x≤ b a≤ x≤ b a≤ x≤ b n →∞
八、设 S ⊂ R 2 , P0 ( x0 , y0 ) 为 S 的内点， P 1 ( x1 , y1 ) 为 S 的外点. 证明：直线段 P0 P 1 至少与 S 的边界 ∂S 有一个交点.
华东师范大学 1997 年攻读硕士学位研究生入学试题
考试科目：数学分析
一、 （12 分）设 f ( x) 是区间 I 上的连续函数. 证明：若 f ( x) 为一一映射，则 f ( x) 在 区间 I 上严格单调.
二、 （12 分）设
⎧1, x为有理数 D ( x) = ⎨ ⎩0， x为无理数
证明：若 f ( x) ， D ( x) f ( x) 在点 x = 0 处都可导，且 f (0) = 0 ，则 f '(0) = 0.
二、(10 分)证明：方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0 ⎪a x + a x + ... + a x = 0 ⎪ 21 1 22 2 2n n ⋯ (1) ⎨ ............ ⎪ ⎪ ⎩ as1 x1 + as 2 x2 + ... + asn xn = 0
华东师大数学分析答案完整版
华东师大数学分析答案完整版一、填空题1. 极限的定义是当自变量趋近于某个值时，函数的值趋近于另一个确定的值。
2. 函数在某一点连续的充分必要条件是左极限、右极限和函数值在该点相等。
3. 无穷小量与无穷大量的关系是无穷小量的倒数是无穷大量，无穷大量的倒数是无穷小量。
4. 函数的导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
5. 微分表示函数在某一点的微小变化量。
6. 函数的积分表示函数在某个区间上的累积变化量。
7. 变限积分的导数是原函数的导数。
8. 无穷级数的收敛性可以通过比较判别法、比值判别法等方法进行判断。
9. 函数的泰勒级数表示函数在某一点的幂级数展开。
10. 傅里叶级数表示周期函数的三角级数展开。
二、选择题1. 下列函数中，连续的是（A）。
A. f(x) = x^2B. f(x) = 1/xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = |x|2. 下列极限中，存在的是（B）。
A. lim(x→0) 1/xB. lim(x→∞) x^2C. lim(x→0) sin(x)/xD. lim(x→∞) e^(x)3. 下列函数中，可导的是（A）。
A. f(x) = x^3B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(1/x)D. f(x) = x^(1/3)4. 下列积分中，收敛的是（C）。
A. ∫(1/x) dxB. ∫(1/x^2) dxC. ∫(e^(x)) dxD. ∫(1/x^3) dx5. 下列级数中，收敛的是（B）。
A. ∑(1/n)B. ∑(1/n^2)C. ∑(1/n^3)D. ∑(1/n^4)三、解答题1. 求函数 f(x) = x^3 3x + 2 在 x = 1 处的导数。
解答：f'(x) = 3x^2 3，代入 x = 1，得 f'(1) = 0。
2. 求不定积分∫(e^x) dx。
解答：∫(e^x) dx = e^x + C，其中 C 为任意常数。
华东师范大学《数学分析》历年考研真题（1997年-2010年）
华东师范大学数学分析历年考研真题（1997年-2010年）华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题一（一（1212分）设f(x)f(x)是区间是区间I 上的连续函数。
证明：若f(x)f(x)为一一映射，则为一一映射，则f(x)在区间I 上严格单调。
二（二（1212分）设1,()0x D x x ì=íî为有理数，为无理数证明：若f(x), D(x)f(x) f(x), D(x)f(x) 在点在点x=0处都可导，且f(0)=0,f(0)=0,则则'(0)0f =三（三（1616分）考察函数f(x)=xlnx f(x)=xlnx 的凸性，并由此证明不等式：的凸性，并由此证明不等式：2()(0,0)a b a ba b ab a b +³>>四（四（1616分）设级数1nn an ¥=å收敛，试就1n n d ¥=å为正项级数和一般项级数两种情况分别证明1nn an n¥=+å也收敛。
五（五（2020分）设方程(,)0F x y =满足隐函数定理条件，并由此确定了隐函数y=f(x)y=f(x)。
又设。
又设(,)Fx y 具有连续的二阶偏导数。
（1） 求''()f x（2）若0000(,)0,()F x y y f x ==为f(x)f(x)的一个极值，试证明：的一个极值，试证明：当00(,)y F x y 与00(,)xx F x y 同号时，0()f x 为极大值； 当00(,)y F x y 与00(,)xx F x y 异号时，0()f x 为极小值。
（3） 对方程2227xxy y ++=，在隐函数形式下（不解出y ）求y=f(x)的极值，并用（的极值，并用（22）的结论判别极大或极小。
六（六（1212分）改变累次积分4204842(4)x x xI dxy dy --=-òò的积分次序，并求其值。
数学分析考研试题及答案
数学分析考研试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 设函数 \( f(x) = \frac{1}{x} +\frac{1}{x+1} \)，下列结论正确的是（）A. \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处连续B. \( f(x) \) 在 \( x=-1 \) 处连续C. \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处可导D. \( f(x) \) 在 \( x=-1 \) 处可导答案：B2. 设函数 \( f(x) \) 在 \( x=1 \) 处可导，且\( f'(1) = 2 \)，则极限 \( \lim_{x \to 1}\frac{f(x) - f(1) - 2(x-1)}{x-1} \) 的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A3. 设函数 \( f(x) = \sin x + \cos x \)，下列结论正确的是（）A. \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处取得极大值B. \( f(x) \) 在 \( x=\frac{\pi}{4} \) 处取得极小值C. \( f(x) \) 在 \( x=\frac{\pi}{2} \) 处取得最大值D. \( f(x) \) 在 \( x=\pi \) 处取得最小值答案：C4. 设函数 \( f(x) \) 在 \( [0,1] \) 上连续，且满足 \( f(0)=0 \)，\( f(1)=1 \)，则下列不等式中正确的是（）A. \( \int_0^1 f(x) \, dx \geq \frac{1}{2} \)B. \( \int_0^1 f(x) \, dx \leq \frac{1}{2} \)C. \( \int_0^1 f(x) \, dx = \frac{1}{2} \)D. \( \int_0^1 f(x) \, dx = 1 \)答案：A5. 设函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 \)，下列结论正确的是（）A. \( f(x) \) 在 \( x=1 \) 处取得极大值B. \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处取得极小值C. \( f(x) \) 在 \( x=2 \) 处取得极大值D. \( f(x) \) 在 \( x=2 \) 处取得极小值答案：D二、填空题（每题5分，共25分）6. 设函数 \( f(x) = e^{2x} \)，则 \( f'(0) = \)________。
(NEW)华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)配套题库【名校考研真题+课后习题章节题库模拟试题
有界，由Dirichlet判别法，知 二、解答题
收敛.
1．设 ，求级数
的和．[苏州大学2004研]
解：设
， 的收敛区间为
，
，
令
，则
；
令
，则
则
从而
2．
．[武汉大学2004研]
解：原式 3．判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散:
（1）
；
（2）
.[北京科技大学2011研]
解：（1）因为
且
收敛，
所以由级数的比较判别法知，级数
上逐
点收敛，即由Osgood定理，得
上一致收敛．
（Osgood定理）设函数列 在有限闭区间 上连续， 在 上等 度连续，如果
则
（1）
上连续；
（2）
上一致收敛于 [哈尔滨工业大学2009研]
证明：（1）由 在 上等度连续，得
对
，当
成立；
时，不等式
令 取极限得，
由此得
上连续；
，对所有
（2）由 时，有
，
；对于任意的
目 录
第一部分 名校考研真题 第12章 数项级数 第13章 函数列与函数项级数 第14章 幂级数 第15章 傅里叶级数 第16章 多元函数的极限与连续 第17章 多元函数微分学 第18章 隐函数定理及其应用 第19章 含参量积分
第20章 曲线积分 第21章 重积分 第22章 曲面积分 第23章 向量函数微分学 第二部分 课后习题 第12章 数项级数 第13章 函数列与函数项级数 第14章 幂级数 第15章 傅里叶级数 第16章 多元函数的极限与连续
闭区间的性质可知，存在
即 这里
，由比值判别法知
绝对收敛．
2024年闽南师范大学615分析与代数考研精品资料之华东师范大学《数学分析》考研核心题库之计算题精编
2024年闽南师范大学615分析与代数考研精品资料之华东师范大学《数学分析》考研核心题库之计算题精编2024年闽南师范大学615分析与代数考研精品资料一、不定积分1. 计算不定积分$\int \frac{x^2+2x+3}{x+1} dx$。
解: 首先将被积函数化简为$\frac{x^2+2x+3}{x+1}=x+1+\frac{2}{x+1}$。
对于$x+1$，可以直接求积分得到$\int (x+1)dx=\frac{1}{2}x^2+x+C_1$。
对于$\frac{2}{x+1}$，可以通过换元法，令$u=x+1$，则$x=u-1$，$du=dx$所以$\int \frac{2}{x+1} dx=\int \frac{2}{u} du=2\ln，u，+C_2=2\ln，x+1，+C_2$。
因此，原积分的结果为$\int \frac{x^2+2x+3}{x+1}dx=\frac{1}{2}x^2+x+2\ln，x+1，+C$，其中$C=C_1+C_2$。
2. 计算不定积分$\int \frac{dx}{x^4+1}$。
解: 首先将被积函数分解为部分分式，由于$x^4+1$的因式为$x^4+1=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)$可以将被积函数表示为$\frac{1}{x^4+1}=\frac{Ax+B}{x^2+\sqrt{2}x+1}+\frac{Cx+D}{x^2-\sqrt{2}x+1}$。
对于第一部分，分母为$x^2+\sqrt{2}x+1$，可以通过配方的方式，令$u=x+\frac{1}{\sqrt{2}}$则$x=u-\frac{1}{\sqrt{2}}$，$du=dx$，将$x$用$u$表示后，可以得到$\frac{Ax+B}{x^2+\sqrt{2}x+1}=\frac{A(u-\frac{1}{\sqrt{2}})+B}{u^2+1}$。
对于第二部分，分母为$x^2-\sqrt{2}x+1$，同样可以通过配方的方式，令$v=x-\frac{1}{\sqrt{2}}$则$x=v+\frac{1}{\sqrt{2}}$，$dv=dx$，将$x$用$v$表示后，可以得到$\frac{Cx+D}{x^2-\sqrt{2}x+1}=\frac{C(v+\frac{1}{\sqrt{2}})+D}{v^2+1}$。
华东师范大学2020年数学分析考研试题
x0
2x
f '0 存在.
（3）若 f x 在a,b 可积，则 f x 在a,b 存在原函数.
（4）若
f
x
在 0,1 连续且
1 0
f
2
xdx
0
，则
f
x
在 0,1 上恒等于
0
.
（5）若级数 an 和 bn 均收敛，则 anbn 也收敛.
（5）已知
lim
n
an
A
，求
lim
n
an1 n 1
a2n 2n
.
三、证明下列各题（第 1 题 14 分，2-5 题 15 分，共 74 分）
Байду номын сангаас
（1）设
an
0
n
1, 2,
，
Sn
a1
an
，证明
n1
an
与
n1
an Sn
有相同
是定义在0,
上的非负函数且可导，满足
0
f
x dx
收
敛.证明：
xn
，使得
lim
n
f 2 xn f ' xn 2
0 .
U x0; 上无界.
（4）un x 在a,b 连续，且 un x 0 ，n 1, 2,.设 un x 在a,b 上 n1
收敛，记 f x un x .证明： f x 在a,b 上有最小值. n1
（5）设
f
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十九章
第十九章 含参量积分一、证明题1.证明下列各题:(1) ()⎰∞++-122222dx y x x y 在R 上一致收敛;(2)⎰+∞-1y x dy e 2在[a,b]上一致收敛; (3) ⎰+∞-0xy dy xe .(ⅰ)在[a,b](a>0)上一致收敛;(ⅱ)在[0,b]上不一致收敛;(4) ()⎰10dy xy ln 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡b ,b 1(b>1)上一致收敛; (5) ⎰10dy dx 在[]b ,∞-(b>1)上一致收敛. 2.设f 为[][]+∞⨯,c b ,a 上连续非负函数.I(x)=()⎰+∞c dy y ,x f 在[a,b]上连续,证明I(x)在[a,b]上一致收敛.3.证明:若f 为[][]+∞⨯,c b ,a 上连续函数,含参量非正常积分 I(x)=()⎰+∞c dy y ,x f 在[a,b]上收敛,在x=b 时发散,则I(x)在[)b ,a 上不一致收敛.4.设f 为[)[)+∞⨯+∞,b ,a 上非负连续函数,I(x)=()⎰+∞b dy y ,x f 和 J(y)=()⎰+∞a dx y ,x f 分别为[)+∞,a 和[)+∞,b 上连续函数,证明:若()⎰⎰+∞+∞ab dy y ,x f dx 与()⎰⎰+∞+∞b a dx y ,x f dy 中有一个存在,则 ()⎰⎰+∞+∞a b dy y ,x f dx =()⎰⎰+∞+∞b a dx y ,x f dy 5.设f(x,y)=()y x 11q p 1p e y x +--+-,证明()⎰⎰+∞+∞00,dy y x f dx =()⎰⎰+∞+∞00dx y ,x f dy . 二、计算题1.求下列极限: (1)⎰-→αα+11220dx x lim ; (2)⎰α→α2020xdx cos x lim . 2.设F(x)=⎰-22x x xy dy e ,计算()x F '. 3.应用对参量的微分法,计算:(1)()⎰+202222cos sin ln πdx x b x a . ()0b a 22≠+; (2) ()⎰+-xdx a x a 02cos 21ln .4.设f 为可微函数,试求下列函数F 的二阶导数. (1) F(x)=()()⎰+π0dy y f y x ; (2) F(x)=()⎰-b ady y x y f , ()b a <. 5.从等式⎰-b a xy dy e =xe e bx ax ---出发,计算积分⎰+∞0 dx x e e bx ax ---(b>a>0) 6.计算下列积分(其中0>α,0>β): (1) ⎰∞+---02dx xe e x x a βα; (2) ⎰∞+---0sin 22xdx x e e xx βα. 7.计算下列Γ函数的值:⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ25,⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ25,⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γn 21,⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γn 21 8.运用欧拉积分计算下列积分(其中n 为自然数): (1)⎰-102dx x x ; (2)⎰+∞-022dx e x x n ; (3) ⎰2046cos sin πxdx ; (4) ⎰22sin πxdx x ;(5) ⎰π+21n 2xdx sin9.回答下列问题:(1) 对极限⎰+∞-→+0xy 0x dy xye 2lim 2能否施行极限与积分运算顺序的交换来求解? (2) 对()⎰⎰+∞--100dx xy 32exy 2y 2dy 能否运和积分顺序交换来求解? (3) 对F(x)=⎰+∞-0y x 3dy e x 2能否运用积分与求导运算顺序交换来求解? 10.利用余元公式计算下列积分: (1) ()⎰∞++024dx x 1x ; (2) ⎰-10n n x 1dx(n 为自然数)11.应用积分号下微分法或积分号下积分法,计算下列定积分:(1) ()⎰π0dx tgxatgx arctg ,()1<α; (2) ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10a b dx x ln x x x 1ln sin ,()0a b >>; (3) ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10a b dx x ln x x x 1ln cos ,()0a b >>三、考研复习题1.设f: R R 3→是连续可微函数,证明函数H(x)=()⎰⎰3322b a b a dy z ,y ,x f dz 是可微函数,且()x H '=()⎰⎰∂∂3322b a b a dy x z ,y ,x f dz 2.设F(x,y)=()()⎰-xy y xdz z f yz x ,其中f 为可微函数,求()y ,x F xy. 3.设f 为可微函数,求下列函数F 的导数:(1) F(t)=()⎰⎰⎰≤++++2222t z y x 222dxdydz z y x f ;(2) F(t)=()⎰⎰⎰vdxdydz xyz f ,其中 v=(){x 0z ,y ,x ≤,}t z ,y ≤. 4.应用积分 ⎰+∞-02dt e at =a 2π(a>0),证明: (1) ⎰+∞-0at 2dt e t 2=32a 4π; (2) ⎰+∞-0at n 2dt e t 2=()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+π-21n 1n a 2!!1n 2.5.应用积分 ⎰+∞+022a x dx =a 2π,求()⎰∞+++01n 22a x dx .6.求函数F(y)=()[]⎰∞+-021sin dx x x y 的不连续点,并作出函数F(y)的图象.7.设f 是[)[)+∞⨯+∞,0,0上的连续函数,证明: 若()⎰+∞0,dy y x f 在0≥x 上一致收敛于F(x),且()y ,x f lim x +∞→=()y ϕ对任何y [][]+∞⊂∈,0,b a 一致地成立,则 ()x F lim x +∞→=()⎰+∞ϕ0dy y 8.证明: (1) ⎰-101ln dx x x =62π-; (2) ()⎰-udt t t 01ln =∑∞=-1n 22n u ,()1u 0≤≤。
华东师范大学硕士研究生入学考试试题(数学分析)
华东师范大学2015年攻读硕士学位研究生入学试题数学分析赵江彦2015年1月5日一、判断下列命题是否正确，若正确给出证明，若错误举出反例（每小题6分，共36分）(1)如果∀ε>0,∃N ∈N +,当n >N 时,有|a n −a N |<ε,则数列{a n }收敛.(2)如果函数列{f n (x )}在[a,b ]上一致收敛于连续函数f (x ),则∀n ∈N +,均有{f n (x )}在[a,b ]上连续.(3)如果函数f (x )在x 0点连续,且lim n →∞f (x 0+1n )−f (x 0)1n存在,则f (x )在x 0点的右导数存在.(4)如果函数f (x ),g (x )在[a,b ]上连续,则∃ξ∈[a,b ],使得b a f (x )g (x )d x =f (ξ) bag (x )d x.(5)如果函数f (x,y )的偏导数在点P 0(x 0,y 0)的某邻域内存在且有界,则f (x,y )在点P 0(x 0,y 0)连续.(6)如果函数f (x )在[a,+∞)上的非负连续,且 +∞a f (x )d x 收敛,则lim x →+∞f (x )=0.二、求解下列各题（每小题9分，共36分）(1)lim n →∞2n +1n !n n .(2)计算积分 S(x 2+y −z 3)d s,其中S 为[−1,1]×[−1,1]×[−1,1]的表面.1(3)计算积分 1−1|x −x 2|d x.(4)求+∞ n =1(−1)n −1n (n +2)x n −1的和函数.三、证明下列各题（每小题13分，共78分）(1)设函数f (x )在[a,b ]内每一点的左右极限都存在,证明:f (x )在[a,b ]上有界.(2)设函数g (x )在[a,∞)上一致连续,f (x )在[a,∞)上连续,且∀ε>0,有|f (x )−g (x )|<ε,证明:f (x )在[a,∞)上一致连续.(3)设正项级数+∞ n =1a n 收敛,且a k a n ,∀n <k 2n,证明:lim n →∞na n =0.(4)设函数f (x )在(−∞,+∞)上三阶可导,且f (x ),f (x )在(−∞,+∞)上都有界,证明:f (x ),f (x )在(−∞,+∞)上有界.(5)设∀b >0,函数f (x )在[0,b ]上可积,且lim x →+∞f (x )=α,令F (t )=t+∞0e −tx f (x )d x,证明:lim t →0+F (t )=α.(6)设函数f (x )在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且 10f (x )d x =0,f (0)f (1)>0,f (x )>0证明:(i)f (x )在[0,1]内有且仅有两个零点,(ii)存在ξ∈(0,1),使得f (ξ)= ξ0f (t )d t.2。
华东师范大学数学分析试题
华东师范大学2004数学分析一、〔30分〕计算题。
1、求2120)2(cos lim x x x x -→ 2、假设)),sin(arctan 2ln x x e y x +=-求'y .3、求⎰--dx x xe x 2)1(. 4、求幂级数∑∞=1n n nx 的和函数)(x f .5、L 为过)0,0(O 和)0,2(πA 的曲线)0(sin >=a x a y ,求⎰+++L dy y dx y x .)2()(3xdx a x da dy x a y cos sin ,sin ===6、求曲面积分⎰⎰++S zdxdy dydz z x )2(,其中)10(,22≤≤+=z y x z ,取上侧..二、〔30分〕判断题〔正确的证明，错误的举出反例〕1、假设},,2,1,{ =n x n 是互不相等的非无穷大数列，则}{n x 至少存在一个聚点).,(0+∞-∞∈x2、假设)(x f 在),(b a 上连续有界，则)(x f 在),(b a 上一致连续.3、假设)(x f ,)(x g 在]1,0[上可积，则∑⎰=∞→=-n i n dx x g x f n i g n i f n 110)()()1()(1lim . 4、假设∑∞=1n n a 收敛，则∑∞=12n n a 收敛.5、假设在2R 上定义的函数),(y x f 存在偏导数),(y x f x ,),(y x f y 且),(y x f x ,),(y x f y 在(0,0)上连续，则),(y x f 在(0,0)上可微.6、),(y x f 在2R 上连续,})()(|),{(),(2202000r y y x x y x y x D r ≤-+-= 假设⎰⎰=>∀∀r D dxdy y x f r y x ,0),(,0),,(00 则.),(,0),(2R y x y x f ∈= 三、〔15分〕函数)(x f 在).,(+∞-∞上连续，且,)(lim A x f x =∞→ 求证：)(x f 在).,(+∞-∞上有最大值或最小值。
考研数学-华东师范大学数学分析2008试题及解答
华东师范大学2008年数学分析考研试题一、判别题（6*6=30分）（正确的说明理由，错误的举出反例）1．数列{}∞=1n n a 收敛的充要条件是对任意0>ε，存在正整数N ，使得当N n >时，恒有ε<-n n a a 2。
2．若),(y x f 在),(00y x 处可微，则在),(00y x 的某个邻域内yfx f ∂∂∂∂,存在。
3．设)(x f 在[]b a ,上连续，且()0=⎰dx x f ba，则)(x f 在[]b a ,上有零点。
4．设级数∑∞=1n n a 收敛，则∑∞=1n nn a 收敛。
5．设),(y x f 在),(00y x 的某个邻域内有定义且()()()00,,lim lim ,lim lim 0000y x f y x f y x f x x y y y y x x ==→→→→，则),(y x f 在),(00y x 处连续。
6. 对任意给定的R x ∈0，任意给定的严格增加正整数列 ,2,1,=k n k ，存在定义在R 上的函数)(x f 使得 ,2,1,0)(0)(==k x fk n ，（)(0)(x f k 表示)(x f 在点0x 处的k 阶导数）。
二、计算题 （10*3=30分）（计算应包括必要的计算步骤）1．求 [].11sin )1(1lim41--++→x x e x x2．设 ()y x z z ,= 为由方程组⎪⎩⎪⎨⎧===uvz v e y ve x uu sin cos 所确定的隐函数。
求.,,2y x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂ 3．计算,321333dxdy r z dzdx r y dydz r x iS -+-+-⎰⎰其中 ()()()222321-+-+-=z y x r ，()()()1321:2221=-+-+-z y x S ，()()()1332211:2222=-+-+-z y x S ，积分沿曲面的外侧。
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华东师大数学系数学分析考研名校数学分析考研题库浙江大学2013年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目：数学分析（A）（819）
考生注意：
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟；
2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。
一、（40分，每小题10分）
（1）；
（2）；
（3）设，表示不超过的最大整数，计算二重积分；
（4）设.求.
二、（10分）论证是否存在定义在上的连续函数使得.
三、（15分）讨论函数项级数的收敛性与一致收敛性.
四、（15分）设均为上的连续函数，且为单调递增的，
，同时对于任意，有.
证明：对于任意的，都有.
五、（5分）；
（10分）.
六、（5分）构造一个在闭区间上处处可微的函数，使得它的导函数在
上无界；
（15分）设函数在内可导，证明存在，使得在内有界.
七、（15分）设二元函数的两个混合偏导数在附近存在，且在处连续.证明：.
八、（20分）已知对于实数，有公式，其中求和是对所有不超过的素数求和.求证：
，
其中求和也是对所有不超过的素数求和，是某个与无关的常数.
第二部分考研真题精选
一、判断题
1数列{a n}收敛的充要条件是对任意ε＞0，存在正整数N，使得当n＞N时，恒有｜a2n－a n｜＜ε。
（）[华东师范大学2008年研]
【答案】错查看答案
【解析】可举反例加以证明：设数列{a n}收敛，则对任意ε＞0，存在正整数N，使得当n＞N时，恒有｜a2n－a n｜＜ε。
反之不真，例如设
显然有
但{a n}发散。
2对任意给定的x0∈R，任意给定的严格增加正整数列n k，k＝1，2，…，存在定义在R上的函数f（x）使得
f（k）（x0）表示f（x）在点x0处的k阶导数）。
（）[华东师范大学2008年研] 【答案】对查看答案
【解析】例如函数f（x）＝（x－x0）n就满足条件。
3设f（x）在[a，b]上连续，且，则f（x）在[a，b]上有零点。
（）[华东师范大学2008年研]
【答案】对查看答案
【解析】因为f（x）在[a，b]上连续，所以存在ξ∈（a，b），使得
即f（x）在（a，b）内有零点。
4对数列{a n}和
若{S n}是有界数列，则{a n}是有界数列。
（）[北京大学研]
【答案】对查看答案
【解析】设｜S n｜＜M，则｜a n｜＝｜S n－S n－1｜≤2M。
第三部分考研真题精选
一、判断题
1设级数收敛，则收敛。
[华东师范大学2008年研]
【答案】对查看答案
【解析】设b n＝1/n，则{b n}单调有界；收敛，由Abel判别法，知收敛，或者设b n＝1/n，则{b n}单调递减趋于0，收敛，
有界，由Dirichlet判别法，知收敛。
2设f（x，y）在（x0，y0）的某个邻域内有定义且
则f（x，y）在（x0，y0）处连续。
（）[华东师范大学2008年研] 【答案】错查看答案
【解析】反例
设
显然有
但是
即是否为0还要取决于θ的值，所以f（x，y）在点（0，0）处不连续。