第8讲-分式方程

第8讲┃ 分式方程
第8讲┃ 分式方程
8． [2013· 遂宁 ] 2013 年 4 月 20 日，我省雅安市芦山县发 生了里氏 7.0 级强烈地震．某厂接到在规定时间内加工 1500 顶帐篷支援灾区人民的任务．在加工了 300 顶帐 篷后，厂家把工作效率提高到原来的 1.5 倍，于是提前 4 天完成任务，求原来每天加工多少顶帐篷．
x＋m 2 0 3．若关于 x 的方程 ＋ ＝ 2 有增根，则 m 的值是 _____． x－2 2－x
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【归纳总结】 去分母 ，把分式方程转化为 1．解分式方程的一般步骤是：① ________ 整式方程；②解这个整式方程；③________ 验根 ，把整式方程的 根代入最简公分母中，使最简公分母不为 0 的根是原方程的 根，否则为增根，增根必须舍去． 最简公 2．增根产生的原因：去分母时，将方程两边同乘以 __________ 分母 ，而整式方程的解有可能使最简公分母为 0，也即分 _______ 式方程中的分式分母为 0，这时分式无意义，故解分式方程 必须验根．
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┃考题自主训练与名师预测┃
1 3 4 1．化分式方程 2 － 2 － ＝ 0应该同乘以 ( D ) A．(4x2－4)(x2－1)(1－x) B．4(x2－1)(1－x) C．4(x2－1)(x－1) D．4(x＋1)(x－1)
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【归纳总结】
解分式方程应用题的一般步骤： ①分析题意，找________ 相等 关系； ②设未知数； ③列出分式方程； ④解这个分式方程； 检验 ； ⑤ ________ ⑥写出答案．
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┃考向互动探究与方法归纳┃
探究一 利用分式方程中根的情况求参数的取值
x k x ＋ － ＝0 有增根，则 k 的值 x－1 x－1 x＋1
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考点2
分式方程的应用
1．某车间原计划在 x 天内生产 120 个零件，由于采用了新技术， 每天多生产零件 3 个，因此提前 2 天完成任务，则列方程为 120 120 ＝ －3． _____________ x x－2 2．杭州到北京的铁路长 1487 千米，火车的原平均速度为 x 千 米/时，提速后平均速度增加了 70 千米/时，由杭州到北京的 1487 1487 － ＝ 3 行驶时间缩短了 3 小时，则可列方程为_____________ ． x x＋70
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2x 1 4． [2013· 宿迁 ] 方程 ＝ 1＋ 的解是 ( B ) x－ 1 x－ 1 A． x＝－ 1 B． x＝ 0 C． x＝ 1 D． x＝ 2 5． [2013· 钦州 ] 甲、乙两个工程队共同承包某一城市美化工程， 已知甲队单独完成这项工程需要 30 天，若由甲队先做 10 天， 剩下的工程由甲、乙两队合作 8 天可完成．问乙队单独完成 这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需要 x 天， 则可列方程为 ( C ) 10 8 A. ＋ ＝1 B． 10＋ 8＋ x＝ 30 30 x 1 10 1 10 C. ＋ 8 ＋ ＝ 1 D. 1－ ＋ x＝ 8 30 30 30 x
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解：设该厂原来每天生产 x 顶帐篷，提高效率后每天 生产 1.5x 顶帐篷，据题意得
1500 300 1500－ 300 － ＋ ＝ 4， x x 1.5 x 解得 x＝ 100. 经检验， x＝ 100 是原分式方程的解． 答：该厂原来每天生产 100 顶帐篷．
[解析] 本题的相等关系是：①指导后平均每秒撤离 的人数＝指导前平均每秒撤离人数的 3 倍；②指导前全 部撤离的时间－指导后全部撤离的时间＝30 秒．
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解：设指导前平均每秒撤离的人数为 x 人， 则指导后平均每秒撤离的人数为 3x 人． 45 45 根据题意，得 － ＝ 30，解得 x＝ 1. x 3x 经检验， x＝ 1 是原方程的解，且符合题意． 答：指导前平均每秒撤离 1 人．
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变式题
ax＋1 若关于 x 的方程 －1＝0 有增根，则 a 的值 x－1
－1 ． 为________
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探究一
分式方程的实际应用
例 2 [2013· 哈尔滨] 甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任 务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多 用 10 天，且甲队单独施工 45 天和乙队单独施工 30 天的工作量 相同． (1)甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？ (2)若甲、乙两队共同工作了 3 天后，乙队因设备检修停止施 工，由甲队单独继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效 率提高到原来的 2 倍．要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量 的 2 倍，那么甲队至少再单独施工多少天？
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分式方程
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 分式方程的解法 2 1 1．把分式方程 ＝ 转化为一元一次方程时，方程两边需同 x＋ 4 x 乘以 ( D ) A．x B． 2x C． x＋ 4 D． x(x＋ 4) 1 2 2．方程 － ＝ 0 的根是 ( D ) x－2 x－ 1 A．x＝－3 B． x＝0 C． x＝ 2 D． x＝ 3
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[中考点金] 1．利用增根来求分式方程中的待定字母的值的方法是： (1)先将分式方程去分母后转化为整式方程； (2)确定原分式 方程的增根； (3)将增根代入转化后的整式方程，解之就可 以得到所求字母的值 .2.注意有时分式方程的增根不止一个， 所以在解决问题时，要仔细观察，认真探究，防止漏解．
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x－1 m 6． [2013· 威海 ] 若关于 x 的方程 ＝ 无解，则 x－5 10－ 2x －8 ． m＝________
[解析 ] 分式方程去分母得 2(x－ 1)＝－ m，将 x＝ 5 代 入得 m＝－ 8.
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7． [2013· 呼和浩特] 某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产 600 台机器所需时间与原计划生产 200 450 台机器所需时间相同，现在平均每天生产________ 台机器．
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3 1 4 1．解方程： ＋ ＝ 2 . x x＋2 x ＋ 2x
解：方程两边同乘 x(x＋ 2)，得 3x＋ x＋ 2＝ 4. 1 解这个方程得 x＝ . 2 1 检验： x＝ 时 x(x＋ 2)≠ 0， 2 1 ∴ x＝ 是原方程的解． 2
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2．某园林队计划由 6 名工人对 180 平方米的区域进行绿 化，由于施工时增加了 2 名工人，结果比计划提前 3 小时完成任务．若每人每小时绿化面积相同，求每人 每小时的绿化面积． 解：设每人每小时的绿化面积为 x 平方米． 180 180 则有 － ＝ 3，解得 x＝2.5. 6x （ 6＋ 2）x 经检验： x＝ 2.5 时，公分母不为 0， 所以 x＝ 2.5 是原分式方程的解． 答：每人每小时的绿化面积为 2.5 平方米．
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[中考点金] 列分式方程解应用题与列一次方程解应用题的方 法步骤基本相同，即“审、设、列、解、验、答”， 但检验的意义不同，这里的检验，一是检验所得未 知数的值是否为原方程的解，二是检验方程的解是否 符合实际意义．
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变式题 某班有 45 名同学参加紧急疏散演练．对比 发现：经专家指导后，平均每秒撤离的人数是指导前的 3 倍，这 45 名同学全部撤离的时间比指导前快 30 秒． 求指导前平均每秒撤离的人数．
例 1 分式方程
－1 ． 为________
[解析 ] 把原方程化为整式方程，整理后得 2x＋ kx＋ k ＝ 0.因为原方程最简公分母是 (x－ 1)(x＋ 1)，所以原方程的 增根是 x＝ 1 或 x＝－ 1，将它们代入化简后的整式方程．当 x＝ 1 时， k＝－ 1；当 x＝－ 1 时，无解．故应填－ 1.
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解： (1)设乙队单独完成此项任务需 x 天，则甲队单独完成 此项任务需(x＋ 10)天， 45 30 根据题意得 ＝ ，解得 x＝ 20. x＋ 10 x 经检验 x＝ 20 是原方程的解， ∴ x＋ 10＝ 30(天 )， ∴甲队单独完成此项任务需 30 天，乙队单独完成此项任务 需 20 天． (2)设甲队再单独施工 a 天， 3 2a 3 ＋ ≥ 2× ，解得 a≥ 3. 30 30 20 ∴甲队至少再单独施工 3 天．
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x 2 2．解分式方程 － ＝ 1 时，去分母后可得到 ( C ) 3＋ x 2 ＋ x A． x(2＋ x)－ 2(3＋ x)＝ 1 B． x(2＋ x)－ 2＝ 2＋ x C． x(2＋ x)－ 2(3＋ x)＝(2＋ x)(3＋ x) D． x－ 2(3＋ x)＝ 3＋ x 3 2 3．分式方程 ＝ 的解是 ( ) x x－ 1 C 3 A． x＝－ 3 B． x＝－ C． x＝ 3 D．无解 5