6.5-1一次函数应用
一次函数在生活中的具体应用
一次函数在生活中的具体应用1. 引言1.1 一次函数的定义一次函数是指形式为y=ax+b的函数，其中a和b为常数，且a不等于0。
简单来说，一次函数就是一个斜率不为零的直线函数。
在数学中，一次函数是最简单的函数之一，但却有着广泛的应用。
在一次函数中，变量之间是线性关系，可以用来描述很多现实生活中的问题。
一次函数的斜率代表了变量之间的变化率，而常数项则代表了起始值。
通过一次函数，我们可以快速地了解变量之间的关系，并进行预测和分析。
一次函数还有很多重要性质，比如通过两点确定一条直线、平行直线具有相同的斜率等。
这些性质使一次函数成为解决实际问题的有效工具。
在接下来的内容中，我们将探讨一次函数在各个领域的具体应用，包括经济学、市场营销、工程、金融学和医学。
通过这些具体案例，我们可以更好地理解一次函数在生活中的重要性和广泛应用性。
1.2 一次函数在生活中的重要性在经济学中，一次函数常常被用来描述供需关系和价格变化的规律。
通过分析一次函数的图像和方程，经济学家可以更好地预测市场走势和制定合理的政策措施，从而促进经济的稳定发展。
在市场营销领域，一次函数可以帮助企业分析销售数据、制定定价策略和评估市场需求。
借助一次函数的模型，市场营销人员可以更加准确地了解消费者的行为和喜好，从而提高产品的市场竞争力。
在工程领域，一次函数常被用来描述物体的运动轨迹和能量转化过程。
工程师利用一次函数的性质来设计各种设备和结构，确保其在实际应用中具有良好的性能和稳定性。
在金融学领域，一次函数被广泛应用于风险分析、投资组合管理和资产定价等方面。
通过构建一次函数的模型，金融学家可以更好地评估资产的价值和波动性，从而降低投资风险并获取更高的收益。
在医学领域，一次函数可以用来描述人体各个器官的生理变化和疾病进程。
医生通过对一次函数的分析和建模，可以更好地诊断疾病、制定治疗方案和预测患者的康复情况。
一次函数在生活中的重要性不可忽视，它为各个领域提供了重要的数学工具和理论基础，促进了社会的进步和发展。
一次函数的应用
一次函数的应用一次函数的应用知识要点1.一次函数(1)一次函数的形式bkxy+=（k，b为常数，k≠0），正比例函数的形式kxy=（k为常数，k≠0）正比例函数是特殊的一次函数(2)、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数bkxy+=的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数kxy=的图像是经过原点（0，0）的直线。
2.一次函数的性质和正比例函数的性质（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
／k／的决定直线的倾斜程度，／k／越大直线越陡，／k／越小直线越缓b代表与y轴交点的纵坐标。
当b>0 直线交y轴正半轴 b<0直线交y轴负半轴3.一次函数与y轴的交点坐标为（0，b）；一次函数与x轴的交点坐标，另y等于0，求出x的值.即（—kb，0）4.一次函数与坐标轴围成的三角形面积：21×／与x轴的交点横坐标／×／与y轴的交点纵坐标／5.两个一次函数k1=k2,b1≠ b2两直线平行k1≠k2,b1= b2两直线相交于y轴上的点（0，b）k1×k2=-1.两直线垂直6.直线y=2x向上平移三个单位得到y=2x+3，向下平移三个单位得到y=2x-37.在实际问题的图像常取在第一象限，读图时注意x 轴y轴代表的信息，若图中有两条直线应标注各个直线的名称。
8.一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b 为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应x的值．从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x 轴交点的横坐标值．典型例题1．某移动公司开设了两种通信业务：“全球通”要缴月租费50元．另外每分钟通话费0.4元；“神州行”不缴月租费，但每分钟通话费0.6元．若一个月通话x（min），两种收费方式的费用分别为y1和y2元．（1）求y1、y2与x的函数解析式？（2）一个月内通话多少分钟，两种收费方式的费用是相同的？（3）若x=300，选择哪种收费方式更合适？2．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x h，两车之间的距离为y km，如图所示的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：（1）甲、乙两地之间的距离为km；（2）请解释图中点B的实际意义；（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．3．某市出租汽车收费标准如下：3千米以内（含3千米）收费8元；超过3千米的部分，每千米收费1.4元．（1）写出应收车费y（元）与出租汽车行驶路程x（千米）之间的函数关系式．（2）小明乘坐出租车行驶4千米应付多少元？（3）若小华付车费19.2元，则出租车行驶了多少千米？4．李老师每天坚持晨跑．如图反映的是李老师某天6：20从家出发小跑到赵化北门，在北门休息几分钟后又慢跑回家的函数图象．其中x（分钟）表示所用时间，y（千米）表示李欢离家的距离．（1）分别求出线段0≤x≤10和15≤x≤40的函数解析式；（2）李老师在这次晨跑过程中什么时间距离家500米？5．弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）之间的关系如下表：所挂物体的质量（kg）01234567弹簧的长度（cm）1212.51313.51414.51515.5（1）如果物体的质量为x kg，弹簧长度为y cm，根据上表写出y与x的关系式；（2）当物体的质量为2.5kg时，根据（1）的关系式，求弹簧的长度；（3）当弹簧的长度为17cm时，根据（1）的关系式，求弹簧所挂物体的质量．6．甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球定价每盒5元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一副乒乓球拍赠送一盒乒乓球；乙店：按定价的九折优惠．某边需购球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）．（1）设购买乒乓球盒数为x （盒），在甲商店付款为y 甲（元），在乙商店付款为y 乙（元），分别写出y 甲，y 乙与x 的关系式；（2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店买合算？7．百舸竞渡，激情飞扬．为纪念爱国诗人屈原，某市举行龙舟赛．甲、乙两支龙舟队在比赛时，路程y （米）与时间x （分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）最先达到终点的是 队，比另一对早 分钟到达；（2）在比赛过程中，乙队在第 分钟和第 分钟时两次加速；（3）求在什么时间范围内，甲队领先？（4）相遇前，甲乙两队之间的距离不超过30m 的时间范围是 ．8．甲、乙两个工程队共同修建一条乡镇公路，甲队按一定的工作效率先施工，一段时间后，乙队从另一端按一定的工作效率加入施工，中途乙队遇到山坡路段，工作效率降低，当乙队完成山坡路段时恰好公路修建完成，此时甲队工作了60天，设甲、乙两队各自修建的公路的长度为y（米），甲队工作时间为x（天），y与x之间的函数图象如图所示．（1）求甲队的工作效率；（2）求乙队在山坡路段施工时，y与x之间的函数关系式；（3）求这条乡镇公路的总长度．9．如图，在四中八年级学生耐力测试赛中，甲、乙两学生跑的距离S（米）与时间t（秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC和线段OD．根据图象的信息，解答以下问题：（1）甲同学前15秒跑了米，同学先到终点．（2）出发后第几分钟两位同学第一次相遇？本次测试的全程是多少米？（3）两位同学第二次相遇是在距终点多远的地方？10．某校张老师暑假准备带领他们的“三好学生”外出旅游，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人400元，经协商，甲旅行社表示：“如果带队张老师买一张全票，则学生可半价”；乙旅行社表示：“所有游客全部享受6折优惠．”则：（1）设学生数为x （人），甲旅行社收费为y 甲（元），乙旅行社收费为y 乙（元），两家旅行社的收费各是多少？（2）哪家旅行社收费较为优惠？经典练习11．某商场投入资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的进价与售价（单位：元/箱）如下表所示类别 进价售价甲 24 36 乙3348（1）若某商场为购进甲、乙两种矿泉水共投入资金为13800元． ①该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？②全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？（2）若设购进甲种矿泉水x 箱，全部售完后商场共获得利润为y 元．③求出y 与x 之间的函数关系式；④若商场进货部门拟定了两种进货方案：方案a ：甲、乙两种矿泉水各进250箱，方案b ：甲种矿泉水进300箱，乙种矿泉水进200箱，哪一种进货方案获利大？12．小王计划租一间商铺，下面是某房屋中介提供的两种商铺的出租信息：设租期为x（月），所需租金为y（元），其中x为大于1的整数．（元），（1）若小王计划租用的商铺为90m2，请分别写出在商座A，B租商铺所需租金yAy（元）与租期x（月）之间的函数关系式；B（2）在（1）的前提下，请你帮助小王分析：根据租期，租用哪个商座的商铺房租更低．13．甲乙两台智能机器人从同一地点P出发，沿着笔直的路线行走了450cm到点Q．甲比乙先出发，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．甲匀速走完全程．两机器人行走的路程y（cm）与时间x（s）之间的函数图象如图所示．根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙比甲晚出发秒，乙提速前的速度是每秒cm，t= ；（2）当x为何值时，乙追上了甲？（3）若两台机器人到达终点Q后迅速折返，并保持折返前的速度继续匀速行走返回到点P，乙比甲早到多长时间？14．一个容积为400升的水箱，安装A、B两个进水管向水箱注水，注水过程中A水管始终打开，两水管进水的速度保持不变，当水箱注满时，两水管自动停止注水，注水过程中水箱中水量y（升）与A管注水时间x（分）之间的函数图象如图所示．（1）分别求出A、B两注水管的注水速度．（2）当8≤x≤16时，求y与x之间的函数关系式．（3）当两水管的注水量相同时，直接写出x的值．15．为了保证安全，某仓库引进A型、B型两台机器人搬运某种有毒货物到仓库存放，这两台机器人充满电后，各能连续工作5h，按照指令，A型机器人于某日零时开始搬运，过（kg）与A型了1h，B型机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量yA机器人搬运时间x（h）之间的关系图象，线段EF表示B种机器人的搬运量y（kg）与AB型机器人的时间x（h）之间的关系图象，根据图象提供的信息解答下列问题：（1）点P表示的意义为：当x=3h时（2）直接写出线段OG所表示的搬运量与时间x（h）之间的关系式（3）A型机器人每小时搬运有毒货物kg，B型机器人每小时搬运有毒货物kg．（4）到工作结束（各5h），A型、B型两台机器人共搬运多少有毒货物？16．一辆机动车以40km/h的速度匀速行驶若干小时候，邮箱中剩余的油量Q（L）与行驶时间t（h）之间的关系如下：行驶时间t（h） 0 1 2 3…剩余油量Q（L） 42 36 30 24…根据以上信息，解答下列问题：（1）机动车出发前油箱内存油L；每小时耗油量为L；（2）写出Q与t的函数关系式；（3）若该机动车从出发到目的地的路程为300km，问邮箱中的油够用吗？为什么？17．我市某风景区门票价格如图所示，某旅行社有甲、乙两个旅行团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人．设甲团队人数为x人，如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为W元．（1）求W关于x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少元．18．如图，分别表示甲步行与乙汽自行车（在同一条路上）行走的路程S甲、S乙与时间t的关系，观察图象并回答下列问题：（1）乙出发时，乙与甲相距千米；（2）走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为小时；（3）乙从出发起，经过小时与甲相遇；（4）甲行走的平均速度是多少千米/小时？（5）乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度一样吗？为什么？19．某公司到果品基地购买某种优质水果慰问医务工作者，果品基地对购买量在3000kg 以上（含3000kg）的顾客采用两种销售方案．甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回．已知该公司租车从基地到公司的运输费用为5000元．（1）分别写出该公司两种购买方案付款金额y（元）与所购买的水果量x（kg）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当购买量在哪一范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由．20．移动营业厅推出两种移动电话计费方式：方案一，月租费用15元/月，本地通话费用0.2元/分钟，方案二，月租费用0元/月，本地通话费用0.3元/分钟．（1）以x表示每个月的通话时间（单位：分钟），y表示每个月的电话费用（单位：元），分别表示出两种电话计费方式的函数表达式；（2）问当每个月的通话时间为300分钟时，采用哪种电话计费方式比较合算？21．小文，小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一时间后，小亮骑自行车沿相同路线行走，两人均匀速前行，他们的路程差s（米）与小文出发时间t（分）之间的关系如图所示．（1）求小文和小亮的速度各是多少？（2）求学校到少年宫的距离．（3）求图中的a，b的值．22．甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A地出发前往B地，乙出发2h后甲再出发，且甲、乙两人离A地的距离y甲、y乙与时间x之间的函数图象如图所示．（1）乙的速度是km/h；（2）当2≤x≤5时，求y甲关于x的函数解析式；（3）当甲与B地相距120km时，乙与A地相距多少千米？23．一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市C，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示，根据图象中的信息解答以下问题：（1）A，B两地相距km；（2）分别求出摩托车和汽车的行驶速度；（3）若两图象的交点为P，求点P的坐标，并指出点P的实际意义．参考答案与试题解析1．某移动公司开设了两种通信业务：“全球通”要缴月租费50元．另外每分钟通话费0.4元；“神州行”不缴月租费，但每分钟通话费0.6元．若一个月通话x （min ），两种收费方式的费用分别为y 1和y 2元．（1）求y 1、y 2与x 的函数解析式？（2）一个月内通话多少分钟，两种收费方式的费用是相同的？（3）若x=300，选择哪种收费方式更合适？【解答】解：（1）根据题意得y 1=50+0.4x ；y 2=0.6x ；（2）当y 1=y 2，则50+0.4x=0.6x ，解得x=250．∴通话250分钟两种费用相同；（3）当x=300时，y 1=50+0.4x=50+0.4×300=170，y 2=0.6x=0.6×300=180， ∴y 1＜y 2，∴选择“全球通”比较合算．2．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x h ，两车之间的距离为y km ，如图所示的折线表示y 与x 之间的函数关系．根据图象进行以下探究：（1）甲、乙两地之间的距离为 900 km ； （2）请解释图中点B 的实际意义；（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．【解答】解：（1）由图象可得，甲、乙两地之间的距离为900km，故答案为：900；（2）图中点B的实际意义时当两车出发4小时时相遇；（3）由题意可得，慢车的速度为：900÷12=75km/h，快车的速度为：（900﹣75×4）÷4=150km/h，即慢车的速度是75km/h，快车的速度是150km/h；（4）由题可得，点C是快车刚到达乙地，∴点C的横坐标是：900÷150=6，纵坐标是：900﹣75×6=450，即点C的坐标为（6，450），设线段BC对应的函数解析式为y=kx+b，∵点B（4，0），点C（6，450），∴，得，即线段BC所表示的y与x之间的函数关系式是y=225x﹣900（4≤x≤6）．3．某市出租汽车收费标准如下：3千米以内（含3千米）收费8元；超过3千米的部分，每千米收费1.4元．（1）写出应收车费y（元）与出租汽车行驶路程x（千米）之间的函数关系式．（2）小明乘坐出租车行驶4千米应付多少元？（3）若小华付车费19.2元，则出租车行驶了多少千米？【解答】解：（1）y=，y=（2）x=4时y=1.4×4+3.8=9.4（元）小明乘坐出租车行驶4千米应付9.4元（3）y=19.2时1.4x+3.8=19.2，所x=11若小华付车费19.2元，则出租车行驶了11千米4．李老师每天坚持晨跑．如图反映的是李老师某天6：20从家出发小跑到赵化北门，在北门休息几分钟后又慢跑回家的函数图象．其中x（分钟）表示所用时间，y（千米）表示李欢离家的距离．（1）分别求出线段0≤x≤10和15≤x≤40的函数解析式；（2）李老师在这次晨跑过程中什么时间距离家500米？【解答】解：（1）设OA的解析式为y1=kx，则10k=2，解得k=，所以，y=x，设直线BC解析式为y2=k1x+b，∵函数图象经过点（15，2），（40，0），∴，解得．所以，直线BC解析式为y=﹣x+；∴线段0≤x≤10的函数解析式为y1=x（0≤x≤10），线段15≤x≤40的函数解析式为y2=﹣x+（15≤x≤40）；（2）当y 1=0.5km 时，0.5=x ，x=2.5当y 2=0.5km 时，0.5=﹣x+，x==33.75，∴李老师在这次晨跑过程中分别于6点22.5分和6点53.75分距离家500米．5．弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（cm ）与所挂物体的质量（kg ）之间的关系如下表：所挂物体的质量（kg ） 01 2 3 4 5 6 7 弹簧的长度（cm ） 12 12.513 13.514 14.515 15.5（1）如果物体的质量为x kg ，弹簧长度为y cm ，根据上表写出y 与x 的关系式；（2）当物体的质量为2.5kg 时，根据（1）的关系式，求弹簧的长度；（3）当弹簧的长度为17cm 时，根据（1）的关系式，求弹簧所挂物体的质量．【解答】解：（1）由表可知：常量为0.5，12，所以，弹簧总长y （cm ）与所挂重物x （㎏）之间的函数关系式为y=0.5x+12，（2）当x=2.5时，y=0.5×2.5+12=12.75cm ，∴弹簧的长度是12.75cm ；（3）当y=17时，即0.5x+12=17，∴x=10，∴弹簧所挂物体的质量是10kg ．6．甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球定价每盒5元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一副乒乓球拍赠送一盒乒乓球；乙店：按定价的九折优惠．某边需购球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）．（1）设购买乒乓球盒数为x （盒），在甲商店付款为y 甲（元），在乙商店付款为y 乙（元），分别写出y 甲，y 乙与x 的关系式；（2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店买合算？【解答】解：（1）y 甲=20×4+5（x ﹣4）=60+5x （x ≥4）；y乙=20×0.9×4+5×0.9x=4.5x+72（x≥4）；（2）y甲=y乙时，60+5x=4.5x+72，解得x=24，即当x=24时，到两店一样合算；y甲＞y乙时，60+5x＞4.5x+72，解得x＞24，即当x＞24时，到乙店合算；y甲＜y乙时，60+5x＜4.5x+72，x≥4，解得4≤x＜24，即当4≤x＜24时，到甲店合算．7．百舸竞渡，激情飞扬．为纪念爱国诗人屈原，某市举行龙舟赛．甲、乙两支龙舟队在比赛时，路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）最先达到终点的是乙队，比另一对早0.6 分钟到达；（2）在比赛过程中，乙队在第 1 分钟和第 3 分钟时两次加速；（3）求在什么时间范围内，甲队领先？（4）相遇前，甲乙两队之间的距离不超过30m的时间范围是0＜x≤0.5或3≤x≤．【解答】解：（1）由图象可得，最先达到终点的是乙队，比甲队早到：（5﹣4.4）=0.6分钟，故答案为：乙，0.6；（2）由图象可得，在比赛过程中，乙队在第1分钟和第3分钟时两次加速，故答案为：1，3；（3）设甲队对应的函数解析式为y=kx，5k=800，得k=160，即甲队对应的函数解析式为y=160x，当3≤x≤4.4时，乙队对应的函数解析式为y=ax+b，，得，即当3≤x≤4.4时，乙队对应的函数解析式为y=250x﹣300，令250x﹣300＜160x，得x＜，即当0＜x＜时，甲队领先；（4）当0＜x＜1时，设乙对应的函数解析式为y=mx，m=100，即当0＜x＜1时，乙对应的函数解析式为y=100x，160x﹣100x≤30，解得，x≤0.5，即当0＜x≤0.5时，甲乙两队之间的距离不超过30m，当1＜x＜3时，设乙队对应的函数解析式为y=cx+d，，得，当1＜x＜3时，乙队对应的函数解析式为y=175x﹣75，160x﹣（175x﹣75）≤30，得x≥3（舍去），乙在BC段对应的函数解析式为y=250x﹣300，则160x﹣（250x﹣300）≤30，得x≥3，令160x=250x﹣300，得x=，由上可得，当0＜x≤0.5或3≤x≤时，甲乙两队之间的距离不超过30m，故答案为：0＜x≤0.5或3≤x≤．8．甲、乙两个工程队共同修建一条乡镇公路，甲队按一定的工作效率先施工，一段时间后，乙队从另一端按一定的工作效率加入施工，中途乙队遇到山坡路段，工作效率降低，当乙队完成山坡路段时恰好公路修建完成，此时甲队工作了60天，设甲、乙两队各自修建的公路的长度为y（米），甲队工作时间为x（天），y与x之间的函数图象如图所示．（1）求甲队的工作效率；（2）求乙队在山坡路段施工时，y与x之间的函数关系式；（3）求这条乡镇公路的总长度．【解答】解：（1）甲队工作效率为150÷50=3（米/天）．答：甲队的工作效率为3米/天．（2）设乙队在山坡路段施工时，y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），将A（25，100）、B（50，150）代入y=kx+b中，，解得：，∴乙队在山坡路段施工时，y与x之间的函数关系式为：y=2x+50（25≤x≤60）．（3）甲队完成的长度为3×60=180（米），∵当x=60时，y=2x+50=170，∴甲队完成的长度为170米，∴公路的总长度为180+170=350（米）．答：这条乡镇公路的总长度为350米．9．如图，在四中八年级学生耐力测试赛中，甲、乙两学生跑的距离S（米）与时间t（秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC和线段OD．根据图象的信息，解答以下问题：（1）甲同学前15秒跑了100 米，甲同学先到终点．（2）出发后第几分钟两位同学第一次相遇？本次测试的全程是多少米？（3）两位同学第二次相遇是在距终点多远的地方？【解答】解：（1）由图象可知，甲同学前15秒跑了100米，甲先到终点．故答案为100，甲．（2）设线段AB解析式为y=kx+b，把（15，100），（35，200）代入得，解得，∴线段AB解析式为y=5x+25，当y=150时，150=5x+25，x=25．∴出发后第25分钟两位同学第一次相遇，设线段OD解析式为y=k′x，把（25，150）代入得k′=6，∴线段OD解析式为y=6x，当x=100时，y=600，∴本次测试的全程是600米．（3）设线段BC解析式为y=mx+n，把（35，200），（97.5，600）代入得解得，∴线段BC解析式为y=6.4x﹣24．由解得，600﹣360=240，∴两位同学第二次相遇是在距终点240米的地方．10．某校张老师暑假准备带领他们的“三好学生”外出旅游，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人400元，经协商，甲旅行社表示：“如果带队张老师买一张全票，则学生可半价”；乙旅行社表示：“所有游客全部享受6折优惠．”则：（1）设学生数为x （人），甲旅行社收费为y 甲（元），乙旅行社收费为y 乙（元），两家旅行社的收费各是多少？（2）哪家旅行社收费较为优惠？【解答】解：（1）根据题意得：甲旅行社时总费用：y 甲=400+400×50%x ，乙旅行社时总费用：y 乙=400×60%（x+1）；（2）设我校区级“三好学生”的人数为x 人，根据题意得：400+400×50%x ＜400×60%（x+1）， 解得：x ＞4，400+400×50%x ＞400×60%（x+1），解得：x ＜4，400+400×50%x=400×60%（x+1），解得：x=4，当学生人数超过4人，甲旅行社比较优惠，当学生人数4人之内，乙旅行社比较优惠，刚好4人，两个旅行社一样．11．某商场投入资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的进价与售价（单位：元/箱）如下表所示类别 进价售价甲 24 36 乙3348（1）若某商场为购进甲、乙两种矿泉水共投入资金为13800元．①该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？②全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？（2）若设购进甲种矿泉水x箱，全部售完后商场共获得利润为y元．③求出y与x之间的函数关系式；④若商场进货部门拟定了两种进货方案：方案a：甲、乙两种矿泉水各进250箱，方案b：甲种矿泉水进300箱，乙种矿泉水进200箱，哪一种进货方案获利大？【解答】解：（1）①设商场购进甲种矿泉水x箱，购进乙种矿泉水y箱，，解得，，答：商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱；②由题意可得，300×（36﹣24）+200×（48﹣33）=3600+3000=6600（元），答：该商场共获得利润6600元；（2）③由题意可得，y与x之间的函数关系式是：y=（36﹣24）x+（48﹣33）（500﹣x）=﹣3x+7500，即y与x之间的函数关系式是y=﹣3x+7500；④由③可知，y=﹣3x+7500，∴全部售完后商场共获得利润为y随购进甲种矿泉水箱数x的增大而减小，又∵250＜300，∴选用方案a，可使商场获利大些，即a种进货方案获利大．12．小王计划租一间商铺，下面是某房屋中介提供的两种商铺的出租信息：设租期为x（月），所需租金为y（元），其中x为大于1的整数．（1）若小王计划租用的商铺为90m2，请分别写出在商座A，B租商铺所需租金yA（元），yB（元）与租期x（月）之间的函数关系式；（2）在（1）的前提下，请你帮助小王分析：根据租期，租用哪个商座的商铺房租更低．【解答】解：（1）根据题意，得yA=3900x，yB =90×60+90×40（x﹣1），即yB=3600x+1800；（2）yA =yB时，3900x=3600x+1800，解得x=6；yA ＞yB时，3900x＞3600x+1800，解得x＞6；yA ＜yB时，3900x＜3600x+1800，解得x＜6；所以，当租期1＜x＜6时，租用商座A的房租低；租期x=6时，租用两个商座房租一样；租期x＞6时，租用商座B的房租低．13．甲乙两台智能机器人从同一地点P出发，沿着笔直的路线行走了450cm到点Q．甲比乙先出发，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．甲匀速走完全程．两机器人行走的路程y（cm）与时间x（s）之间的函数图象如图所示．根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙比甲晚出发15 秒，乙提速前的速度是每秒15 cm，t= 31 ；（2）当x为何值时，乙追上了甲？（3）若两台机器人到达终点Q后迅速折返，并保持折返前的速度继续匀速行走返回到点P，乙比甲早到多长时间？【解答】解：（1）由图象可得，乙比甲晚出发15秒，乙提速前的速度为：30÷（17﹣15）=15cm/s，t=17+（450﹣30）÷（15×2）=31，故答案为：15，15，31；（2）设甲对应的函数解析式为：y=kx，310=31k，得k=10，即甲对应的函数解析式为：y=10x，设乙提速后对应的函数解析式为y=mx+n，，得，∴乙提速后对应的函数解析式为y=30x﹣480，∴，得，即当x为24时，乙追上了甲；（3）甲全程用：900÷10=90秒，乙全程用：31+450÷30=31+15=46秒，90﹣46=44秒，即乙比甲早到44秒．14．一个容积为400升的水箱，安装A、B两个进水管向水箱注水，注水过程中A水管始终打开，两水管进水的速度保持不变，当水箱注满时，两水管自动停止注水，注水过程中水箱中水量y（升）与A管注水时间x（分）之间的函数图象如图所示．（1）分别求出A、B两注水管的注水速度．（2）当8≤x≤16时，求y与x之间的函数关系式．（3）当两水管的注水量相同时，直接写出x的值．【解答】解：（1）A注水管注水速度为45÷8=6（升/分），B注水管注水速度为（400﹣6×16）÷（16﹣8）=38（升/分）．答：A注水管的注水速度为6升/分，B注水管的注水速度为38升/分．（2）当8≤x≤16时，设y与x的函数关系为y=kx+b，将（8，48）、（16，400）代入y=kx+b，，解得：．∴当8≤x≤16时，y与x之间的函数关系式为y=44x﹣304．（3）根据题意得：6x=38（x﹣8），解得：x=9.5．答：当两水箱注水量相同时，x的值为9.5．15．为了保证安全，某仓库引进A型、B型两台机器人搬运某种有毒货物到仓库存放，这两台机器人充满电后，各能连续工作5h，按照指令，A型机器人于某日零时开始搬运，过（kg）与A型了1h，B型机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量yA（kg）与A 机器人搬运时间x（h）之间的关系图象，线段EF表示B种机器人的搬运量yB型机器人的时间x（h）之间的关系图象，根据图象提供的信息解答下列问题：（1）点P表示的意义为：当x=3h时A型、B型各搬运有毒货物240千克=80x（0≤x≤5）（2）直接写出线段OG所表示的搬运量与时间x（h）之间的关系式yA（3）A型机器人每小时搬运有毒货物80 kg，B型机器人每小时搬运有毒货物120 kg．（4）到工作结束（各5h），A型、B型两台机器人共搬运多少有毒货物？【解答】解：（1）P点的含义是：当x=3h时A型、B型各搬运有毒货物240千克．故答案为：A种机器人搬运3小时时，A、B两种机器人的搬运量相等，且都为180千克．（2）设线段OG所表示的搬运量与时间x（h）之间的关系式为y=kx，A。
鲁教版数学七年级上册6.5《一次函数的应用》教学设计1
鲁教版数学七年级上册6.5《一次函数的应用》教学设计1一. 教材分析《一次函数的应用》是鲁教版数学七年级上册第六章第五节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了函数概念和一次函数的基础上，进一步探讨一次函数在实际生活中的应用。
通过本节内容的学习，使学生能够理解一次函数的实际意义，能够运用一次函数解决实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数的概念和性质有一定的了解。
但是，对于一次函数在实际生活中的应用，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生将理论知识与实际生活相结合，通过实际问题，引导学生理解和运用一次函数。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生能够理解一次函数的实际意义，能够运用一次函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过实际问题的解决，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学在生活中的重要性。
四. 教学重难点1.重点：一次函数在实际生活中的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为一次函数问题，如何运用一次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过实际问题的提出，引导学生思考和探索，从而理解和掌握一次函数在实际生活中的应用。
同时，采用小组合作学习法，鼓励学生之间的交流和合作，提高学生的学习效果。
六. 教学准备教师准备一些实际问题，用于引导学生思考和探索。
同时，准备一次函数的图像，用于帮助学生理解和掌握一次函数的性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，引导学生回顾一次函数的知识，如一次函数的定义、图像等。
然后，教师提出一个问题：“你们认为一次函数在实际生活中有什么应用呢？”让学生思考和讨论。
2.呈现（10分钟）教师呈现一些实际问题，如“小明每天骑自行车上学，他每小时行驶6公里，问小明从家到学校需要多少时间？”让学生尝试解决。
在学生解决过程中，教师引导学生将实际问题转化为一次函数问题。
2022秋七年级数学上册第六章一次函数6.5一次函数的应用1含一个一次函数(图象)的应用课件鲁教版五
与行驶时间t(h)的关系用图象表示应为( C )
【点拨】本题中s并不是汽车行驶的路程，而 是剩下没有走的路程．不能受思维定式的影响， 要仔细审题，理解题意．实际上s与t的函数关 系式为s＝400－100t，其中0≤t≤4，s是t的一次 函数，故选C.
3 【中考·西藏】如图，一个弹簧不挂重物时长6 cm，挂上 重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质 量成正比．弹簧总长y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单 位：kg)的函数图象如图所示，则图中a的值是( A ) A．3 B．4 C．5 D．6
4 【中考·辽阳】一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、 乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发匀速前往C村， 甲、乙之间的距离s(km)与骑行时间t(h)之间的函数关系如 图所示，下列结论：①A，B两村相距10 km；②出发1.25 h 后两人相遇；③甲每小时比乙多骑行8 km；④相遇后，乙 又骑行了15 min或65 min时两人相距 2 km.其中正确的个数是( D ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(3)若－2≤y≤2，请直接写出x的取值范围． 解：当－2≤y≤2时，x的取值范围为－4≤x≤－2.
9 【中考·台州】如图①，某商场在一楼到二楼之间设有上、 下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲 乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度 h(单位：
m)与下行时间 x(单位：s)之间具有函数关系 h＝－130x＋6， 乙离一楼地面的高度 y(单位：m)与下行时间 x(单位：s)的函 数关系如图②所示． (1)求 y 关于 x 的函数表达式；
【2021·天津南开中学期中】在如图所示的直角坐标 8
一次函数应用经典课件pptPPT课件
在实际应用中，一次函数在解决车辆动力学问题、航空航天器设计等领域中具有广泛的应用。
03
一次函数的实际案例
人口增长模型
总结词
练习题
某股票价格在过去一年内从10元上涨到20元，如果市场环境发生 变化，股票价格可能会如何变化？
THANKS
感谢观看
在实际应用中，线性回归分析被广泛应用于经济、金融、医 学、农业等领域，例如预测股票价格、评估广告效果、研究 疾病与年龄之间的关系等。
速度和加速度的计算
速度和加速度是一次函数在物理学中的重要概念。速度是 描述物体位置变化快慢的物理量，而加速度是描述速度变 化快慢的物理量。
通过一次函数，我们可以表示物体在直线运动中的速度和 加速度随时间的变化关系。这对于理解运动学的基本原理 以及解决相关问题具有重要意义。
一次函数应用经典课件pptppt课 件
• 一次函数的基本概念 • 一次函数的应用场景 • 一次函数的实际案例 • 一次函数与其他数学知识的结合 • 一次函数在实际问题中的应用练习
01
一次函数的基本概念
一次函数的定义
一次函数是形如$y = ax + b$的函数，其 中$a$和$b$是常数， 且$a neq 0$。
Hale Waihona Puke 经济学中的成本和收益问题在经济学中，成本和收益是核心概念之一。通过一次函数，我们可以表示成本和 收益与生产量之间的关系。例如，固定成本、可变成本与总成本之间的关系，以 及总收入与销售量之间的关系。
了解成本和收益的变化规律对于企业制定生产计划、进行市场预测以及制定价格 策略等具有重要意义。
一次函数的应用课件
一次函数的应用课件一次函数的应用课件一次函数是数学中最基础的函数之一，它的形式为y = ax + b，其中a和b是常数，x是变量。
一次函数的图像是一条直线，因此在实际生活中有许多应用。
本文将从不同角度探讨一次函数的应用。
一、经济学中的一次函数应用经济学是一门研究资源配置和经济活动的学科，而一次函数在经济学中的应用非常广泛。
例如，成本函数可以用一次函数来表示，其中x表示生产数量，y表示成本。
成本函数的斜率a表示单位产量的成本，截距b表示固定成本。
通过研究成本函数，可以帮助企业进行生产决策，找到最优的生产数量。
另一个例子是收入函数，它可以用一次函数来表示。
收入函数的斜率a表示单位销售量的价格，截距b表示固定收入。
通过研究收入函数，可以帮助企业确定定价策略，找到最大化收益的方法。
二、物理学中的一次函数应用物理学是研究物质和能量的学科，一次函数在物理学中也有重要的应用。
例如，位移-时间图像可以用一次函数来表示。
在匀速直线运动中，物体的位移随时间的变化呈线性关系，斜率表示速度。
通过分析位移-时间图像，可以计算出物体的速度和加速度。
另一个例子是力-位移图像，也可以用一次函数来表示。
在弹簧的伸缩实验中，当施加的力与位移之间呈线性关系时，可以得到弹簧的劲度系数。
通过研究力-位移图像，可以了解弹簧的性质和力学特性。
三、市场营销中的一次函数应用市场营销是一门研究市场需求和消费行为的学科，一次函数在市场营销中也有广泛的应用。
例如，市场需求曲线可以用一次函数来表示。
市场需求曲线的斜率表示市场需求的敏感程度，截距表示市场需求的基础水平。
通过研究市场需求曲线，可以帮助企业确定产品定价和市场策略。
另一个例子是价格-销量图像，也可以用一次函数来表示。
在市场竞争中，当产品价格与销量之间呈线性关系时，可以通过分析价格-销量图像来确定市场定价和销售策略。
四、教育学中的一次函数应用教育学是研究教育过程和教育方法的学科，一次函数在教育学中也有一定的应用。
鲁教版数学七年级上册6.5《一次函数的应用》教学设计2
鲁教版数学七年级上册6.5《一次函数的应用》教学设计2一. 教材分析《一次函数的应用》是鲁教版数学七年级上册第6.5节的内容。
本节课主要让学生掌握一次函数的应用，学会解决实际问题。
教材通过简单的实例，引导学生理解一次函数在实际生活中的应用，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析七年级的学生已经学习了初中数学的一些基本概念和运算，但对一次函数的应用还不够熟练。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。
三. 教学目标1.理解一次函数的概念，掌握一次函数的性质。
2.学会将实际问题转化为一次函数问题，能运用一次函数解决实际问题。
3.提高学生的数学应用能力，培养学生的逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.一次函数的概念和性质。
2.如何将实际问题转化为一次函数问题。
3.运用一次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究一次函数的应用。
2.利用实例分析，让学生直观地理解一次函数在实际生活中的应用。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
4.利用多媒体辅助教学，提高教学效果。
六. 教学准备1.准备相关的一次函数实例，用于讲解和练习。
2.准备一次函数的图片或实物模型，帮助学生直观地理解一次函数。
3.准备教学课件，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，如“某商店进行打折活动，原价100元的商品打8折，求打折后的价格。
”引导学生思考如何用数学知识解决实际问题。
2.呈现（10分钟）呈现一次函数的定义和性质，让学生了解一次函数的基本概念。
通过示例，讲解一次函数在实际生活中的应用，让学生直观地理解一次函数。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个实际问题，尝试用一次函数解决。
教师巡回指导，帮助学生解决问题。
4.巩固（10分钟）选取几组学生的作品，进行展示和讲解。
让学生分享自己的解题过程和心得，加深对一次函数应用的理解。
一次函数的应用教学课件
思考
1、确定一次函数的表达式需要几个条件？ 两个条件
2、怎样求一次函数的表达式？
(1)设一次函数表达式； (2)根据已知条件列出有关方程; (3)解方程，求出k、b的值; (4)把求出的k、b代回表达式即可;
待定系 数法
∴ k=2.5 ∴V=2.5t
∴下滑3秒时的速度是7.5 m/s
问题二：
已知正比例函数的图象经过点(2，-3)，求它的关系式。
解：设所求的关系式为y＝kx (k≠0) ∵(2，-3)在图象上 ∴-3＝2k ∴ k=-1.5 ∴所求的关系式为y=-1.5x
思考 确定正比例函：
在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量 x(kg)的一次函数。某弹簧不挂物体时长14.5cm；当所挂 物体的质量为3kg时，弹簧长16cm。请写出y与x之间的关 系式，并求当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度。
解：设y=kx+b (k≠0)，由题意，得 14.5=b, 解得：b=14.5 ; k=0.5 16=3k+b,
正比例函数的图象是一条经过原点的直线
问题一：
某物体沿一个斜坡下滑， 它的速度 v （m/s）与其下滑时 间 t （s）的关系如右图所示： (1)请写出 v 与 t 的关系式；
(2)下滑3秒时物体的速度是多少？
解：(1)设Ｖ＝kt (k≠0); ∵(2,5)在图象上 (2) 当t＝3时
∴５＝2k
V=2.5×3=7.5
已知直线y=kx+b经过点（
5 2
,0）且与坐标轴
围成的三角形的面积为 25 ，求该直线的表
4
达式．
一次函数的应用课件(共31张PPT)
直线
未知数
方程或方程组
3.一次函数的图象与性质.
图象：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条 ，通常叫做直线y=kx+b.
性质：对于一次函数y=kx+b，当 时，y随x的 而 ；当 时，y随x的 而 .
（1）完成下面的表格
（2）你能探索L与n之间的函数解析式吗？这个函数是一次函数吗？试写出L与n的函数解析式。
（3）求n=20时L的值。
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北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台，北京厂可支援外地10台，上海厂可支援外地4台，现在决定给重庆8台，汉口6台。假定每台计算机的运费如下表,求
华氏温度y看作x的函数，建立直角坐标系，把表中每一对（x，y）的值作为点的坐标，在直角坐标系中描出表中相应的点，观察这些点是否同在一条直线上.
（2）你能利用（1）中的图象，写出y与x的函数表达式吗？
（3）除了小亮所说的方法外，你能通过分析上表中两个变量间的数量关系，判断它们之间是一次函数关系吗？
（4）你能求出华氏温度为0度（即0˚F ）时，摄氏温度是多少度？
10.6 一次函数的应用
1.一次函数图象的画法.
通常过 ， 两点画一条 ，就是函数y=kx+b（k≠0）的图象.
2.待定系数法.
先设出表达式中的 ，再根据所给条件，利用 确定这些未知数.这种方法叫待定法.
在例1 的解决过程中，是从现实生活中抽象出数学问题，用数学符号建立函数表达式，表示数学问题中变量之间的数量关系和变化规律.因此函数也是一种重要的数学模型.
梯形个数n
1
2
3
4
5
6
…
所拼得四边形的周长L
一次函数应用专题课件
速度
通过求导数确定一次函数中 的斜率，即速度。
时间
根据距离和速度计算所需时 间，使用一次函数模型。
线性规划问题的引入
1
建立模型
2
将问题转化为一次函数模型，定义目
标函数和约束条件。
3
理解问题
识别线性规划问题，确定目标和约束 条件。
求解最优解
使用线性规划算法或图形法求解最优 解，并进行灵敏性分析。
最小二乘法及其应用
最小二乘法原理
通过最小化预测值和实际观测值之间的误差平方和，确定一次函数的最佳拟合线。
数据拟合
使用最小二乘法拟合一次函数模型到实际数据，进行数据分析和预测。
应用范围
适用于不确定性较大的数据集，如金融市场、气象预测等。
一次回归分析和预测
回归分析
使用一次函数拟合数据，确定 相关性和预测性。
数据分析
利用回归分析结果解读数据趋 势和关系，做出预测和决策。
斜率和截距
斜率表示每单位x变化对应的y 的变化量，截距表示函数与y轴 的交点。
制定简单的投资计划
1 目标
设定投资目标和时间，根据一次函数模型进行资金增长预测。
风险控制
调整投资比例，根据预测结果制定风险控制策略。
监测与调整
定期监测投资表现，根据市场变化调整投资计划。
求解距离、速度和时间的关系
距离
根据速度和时间计算距离， 使用一次函数模型。
预测应用
根据回归分析模型做出未来情 景预测，支持决策制定。Байду номын сангаас
利润最大化问题的求解
1
定义目标
制定利润最大化的目标函数和约束条
建模过程
2
件。
将问题转化为一次函数模型，确定决
一次函数的应用ppt
02
确定一次函数的表达式
03
04
代入已知条件求解
验证答案是否符合实际情况
经典的一次函数应用题解析
1 2 3
题型一
速度与时间问题
题目
一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶 了3小时后，离目的地还有100千米，求目的地 与起始点的距离。
解析
设目的地与起始点的距离为 d 千米，根据速度、 时间和距离的关系，有 d = 60 × 3 + 100。
02
一次函数是线性函数的一种，其 图像是一条直线。
一次函数的性质
当 $a > 0$ 时，函数为增函数，即当 $x$ 增大时，$y$ 也随之增大；当 $a < 0$ 时，函数为减函数，即当 $x$ 增大时，$y$ 随之减小。
斜率 $k = a$，表示函数图像的倾斜程度。当 $k > 0$ 时，图像向右上方倾斜；当 $k < 0$ 时，图像向右下方倾斜。
VS
一次函数与预测模型
利用一次函数建立预测模型，可以预测未 来趋势或结果。例如，通过历史销售数据 建立一次函数模型，可以预测未来的销售 趋势。
04 一次函数的应用题解析
一次函数的应用题类型及解题思路
类型一：速度与时间问题 类型二：利润与销售量问题
类型三：几何问题
一次函数的应用题类型及解题思路
01
一次函数的应用
contents
目录
• 一次函数的定义和性质 • 一次函数在实际生活中的应用 • 一次函数与其他数学知识的综合应用 • 一次函数的应用题解析 • 一次函数的应用前景展望
01 一次函数的定义和性质
一次函数的定义
01
一次函数的一般形式为 $y = ax + b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，且 $a neq 0$。
一次函数图象的应用6.5(1)
课题：6.5一次函数图象的应用(1)【教学目标】能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；一、课前小测1、一次函数y=kx＋b的图象经过点（1，5），交y轴于3，则k=____，b=____2、一次函数经过点(0,2),(1,0),则函数的解析式____________________.3、函数y=－2x＋4的图象经过_______象限，它与两坐标轴围成的三角形面积为_________，二、自主探究：阅读书本P198页回答下列问题：(1)干旱持续10天，蓄水量为多少？连续干旱23天呢？(2)蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报.干旱多少天后将发出严重干旱警报？(3)按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？三、【知识点二】例：某种摩托车的油箱最多可储油10升，加满油后，油箱中的剩余油量y(升)与摩托车行驶路程x(千米)之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题：（1）一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？（2）摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油？（3）油箱中的剩余油量小于1升时，摩托车将自动报警，行驶多少千米后，摩托车将自动报警？四、【练习一】：1、汽车由天津驶往相距120km 的北京，s (km)表示汽车离开天津的距离，t h 表示汽车行驶的时间，如图所示．（1）汽车用几小时可以从天津到达北京？汽车的速度为多少？ （2）当汽车距北京20km 时，汽车已出发了多长时间？2、甲、乙两辆汽车从相距120km 的A B 、两地同时同向而行，s (km)表示汽车与A 地的距离，t (h)表示汽车行驶的时间．如图所示，12l l 、分别表示两辆汽车的s 与t 的关系．（1）1l 表示哪辆汽车离A 地的距离与行驶时间的关系？（2）汽车乙的速度是多少？（3）行驶多长时间后，两辆汽车相遇？3、如图，BA OA 、分别表示甲、乙两人的运动图象，请根据图象，回答下列问题：（1）甲的速度是 km/h ； （2）如果用t 表示时间，表示路程，那么甲、乙两人的函数关系式是：甲______________，乙______________．20 40 60 80 100120 O 5。
6.5一次函数的应用(1)(七年级上册数学课件)
（）
A．x=-2
B．x=-4
C．x=-9 D．x=10
交流研讨
【内容二】今年“五一”节，小明外出爬山，他
从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设 他从山脚出发后所用时间为t（分钟），所走的路程为 s（米），s与t之间的函数关系如图所示．下列说法错 误的是（ ） A．小明中途休息用了20分钟 B．小明休息前爬山的平均速度 为每分钟70米 C．小明在上述过程中所走的路 程为6600米 D．小明休息前爬山的平均速 度大于休息后爬山的平均速度
作业
课后习题
检测
【检测】一次函数 y=kx+b的图象如图所 示，则关于x的 方程kx+b=0的解为（） A.x=2 B.y=2 C.x=-2 D.y=-1
交流研讨
（一）小组长组织组员合作学习以下内容，要求交流解题思路或 存在的疑难.
【内容一】1.直线y=7x+a与x轴的交点坐标是
（-9，0），则关于x的方程7x+a =0的解是
探究新知
知识点一：分析图象，利用一次函数解决实际问题
1．某同学将父母给的零用钱按每 月相等的数额存放在储蓄盒内，准 备捐给希望工程． 盒内钱数 y(元)与存钱月数x之间的 函数关系如图所示．观察图象回答 下列问题： （1）盒内原来有多少元？2个月 后盒内有多少元？ （2）该同学经过几个月能存够 200元？ （3）该同学至少存几个月存款才 能超过140元？
C．x=8
D．x=10
2.方程2x+12=0的解是直线y=2x+12（ ）
A．与y轴交点的横坐标 B．与y轴交点的纵坐标
C．与x轴交点的横坐标 D．与x轴交点的纵坐标
当堂训练
3.小敏上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然 后从这家超市返回家中．小敏离家的路程y（米）和所经 过的时间x（分）之间的函数图象如图所示．请根据图象 回答下列问题： （1）小敏去超市途中的速度是多少？在超市逗留了多少 时间？ （2）小敏几点几分返回家中？
一次函数在生活中的具体应用
一次函数在生活中的具体应用一次函数是高中数学中的一个重要概念，它在生活中有着广泛的应用。
一次函数又称为线性函数，它的数学形式可以用y = kx + b来表示，其中k和b为常数，x和y分别为自变量和因变量。
一次函数在生活中的应用是多方面的，它既可以用来描述自然界中的规律，也可以用来解决现实生活中的问题。
以下将结合具体的例子，详细介绍一次函数在生活中的具体应用。
一次函数在经济学中有着广泛的应用。
假设一个公司的成本与生产量之间的关系可以表示为一次函数，那么这个函数可以帮助企业决定最优的生产规模，以最大化利润。
一次函数还可以用来描述供求关系，帮助经济学家分析市场的行为规律。
当商品的价格与需求量之间的关系可以用一次函数表示时，就可以通过对函数进行分析，预测商品的市场表现，从而做出合理的决策。
一次函数在物理学中也有着重要的应用。
牛顿第二定律F=ma中的力与加速度之间的关系可以用一次函数表示。
这个函数描述了物体的受力情况，可以帮助物理学家研究物体的运动规律。
而在工程学领域，一次函数也被广泛应用于描述材料的强度与应力之间的关系，帮助工程师设计更安全和稳定的结构。
一次函数在生活中的实际问题中也有着丰富的应用。
假设某地区的人口增长率是一个固定的值，那么可以用一次函数来描述该地区的人口增长趋势，从而为城市规划和资源分配提供参考依据。
又假设一辆汽车以恒定的速度行驶，那么汽车的位置与时间之间的关系可以用一次函数表示，帮助司机计算到达目的地所需的时间。
值得注意的是，一次函数的具体应用不仅限于上述几个领域，实际上它可以用来描述各种现实生活中的问题。
利润与销量之间的关系、水位与时间的关系、温度与海拔高度的关系等等。
这些都可以用一次函数来描述，并为我们解决现实生活中的问题提供有益的参考。
一次函数在生活中的具体应用是非常广泛的，它不仅帮助我们理解自然界中的规律，也为我们解决各种实际问题提供了重要的数学工具。
在学习数学的过程中，我们应该认真学习一次函数的知识，充分理解它的数学原理，并能够灵活运用到实际生活中去。
一次函数在生活中的具体应用
一次函数在生活中的具体应用
一次函数是指函数关系中只包含一个未知数，且其次数为1的函数。
在生活中，一次函数有许多具体的应用。
以下将介绍一些常见的应用场景。
1. 财务管理：一次函数可以用来描述日常开销和收入之间的关系。
一个人每天的支出可以用y = ax + b来表示，其中x表示时间（天数），y表示支出金额（元）。
通过分析不同的数据，可以确定每天的支出情况，从而合理安排财务预算。
2. 医药剂量计算：一次函数可以用来计算医药剂量。
某种药物的剂量与体重之间的关系可以表示为y = ax + b，其中x表示体重（千克），y表示药物的剂量（毫克）。
通过确定体重，可以计算出所需的药物剂量。
4. 气象预测：一次函数可以用来预测天气变化。
某地的气温随时间的变化可以表示为y = at + b，其中x表示时间（小时），y表示气温（摄氏度）。
通过分析历史数据和天气变化规律，可以预测未来的气温变化趋势。
5. 市场需求分析：一次函数可以描述市场需求与价格之间的关系。
某商品的需求量随价格的变化可以表示为y = ax + b，其中x表示价格（元），y表示需求量（单位）。
通过分析不同价格下的需求量，可以确定最适宜的价格水平。
一次函数在生活中有着广泛的应用。
通过对数据的收集和分析，可以使用一次函数模型来描述和预测各种关系，提高决策的科学性和准确性。
一次函数的应用课件
热学
在热学中，描述温度随时间变化 的规律时，一次函数经常被使用 。例如，当物体被加热或冷却时 ，其温度变化率往往是一次函数
。
电学
在电学中，电流、电压和电阻之 间的关系也可以用一次函数来表 示。通过这些关系，可以计算出
电流、电压和电阻的值。
日常生活中的应用
购物
在购物时，一次函数可以用来计算购物后的总花费。例如， 如果一件商品的价格随着购买数量的增加而增加，那么这个 价格和数量之间的关系就可以用一次函数来表示。
二次函数在金融、经济、工程等领域 应用较多，如投资、贷款、工程设计 等。
05 一次函数与不等式的关系
通过图像解不等式
01
函数图像与x轴的关系
当函数值大于0时，函数图像位于x轴上方；当函数值小于0时，函数图
像位于x轴下方。
02
函数图像与y轴的关系
当自变量为0时，函数值即为y轴截距，正数表示函数值大于0，负数表
在物理学中，一次函数可 以用来描述物体的运动规 律，例如速度、加速度和 时间之间的关系。
自然科学中的应用
化学反应速率
化学反应的速率可以用一次函数表示 ，描述反应物浓度和反应速率之间的 关系。
细胞生长
在生物学中，一次函数可以用来描述 细胞生长过程中细胞数量和时间之间 的关系。
1.谢谢聆 听
单调性判断
根据斜率正负和函数图像升降规律判断单调性，当函数图 像向上倾斜时，函数单调递增；当函数图像向下倾斜时， 函数单调递减。
单调性与函数最值关系
单调性决定了函数在区间上的最值，单调递增函数在区间 上取得最小值，单调递减函数在区间上取得最大值。
03 一次函数的应用
解析几何中的应用
一次函数的应用举例及实际意义
一次函数的应用举例及实际意义一次函数，也被称为线性函数，是数学中的基本函数之一。
它是指函数的表达式为 y = kx + b，其中 k 和 b 分别代表常数。
一次函数在现实生活中有着广泛的应用，本文将探讨一些具体的应用案例，并介绍其实际意义。
一、物理运动中的一次函数应用在物理学中，一次函数被广泛用于描述物体在匀速直线运动中的位置变化。
例如，当一个小车以恒定速度沿着直线行驶时，其位置与时间的关系可以用一次函数来表示。
设小车在时刻 t 时的位置为 x，速度为 v，则可以建立一次函数 x = vt + x0，其中 x0 代表小车的初始位置。
这个一次函数的实际意义在于可以准确地描述小车在不同时间点的位置，从而帮助我们预测车辆的行进轨迹和到达目的地所需的时间。
二、经济学中的一次函数应用在经济学中，一次函数被广泛应用于相关的数据分析和预测。
例如，假设某个企业的销售额与广告投入之间存在着线性关系，可以用一次函数来描述这种关系。
设销售额为 y，广告投入为 x，则可以建立一次函数 y = kx + b，其中 k 代表单位广告投入对销售额的影响程度，b 代表其他影响销售额的因素。
通过分析一次函数的斜率 k 和截距 b，可以判断广告投入对销售额的贡献度及其经济效益，为企业的决策提供依据。
三、人口增长模型中的一次函数应用在人口学领域，一次函数也常用于描述人口的增长模型。
人口增长通常可以用一个简单的一次函数进行近似，例如使用一次函数 P = at +b 来表示人口数量的变化，其中 P 代表人口数量，t 代表时间，a 和 b是常数。
通过观察一次函数的斜率a，我们可以了解到人口增长的速率，从而为制定人口政策提供参考。
四、交通规划中的一次函数应用在交通规划中，一次函数也有着重要的应用。
例如，在城市交通流量的研究中，可以用一次函数来描绘车辆流量与时间的关系。
假设车辆流量为 V，时间为 t，则可以建立一次函数 V = kt + c，其中 k 表示车辆流量的增长速率，c 表示初始的车辆流量。
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《一次函数的应用》第一课时教学设计
一、教材分析：
一次函数的应用是在研究了正比例函数的图像和性质、一次函数的图像和性质以及用待定系数法求解一次函数的解析式的基础上进行的，它是对一次函数图像和性质的实际应用.这节内容的学习可以完善一次函数的知识结构，对于发展学生的数学应用意识起着十分重要的作用。
二、学情分析：
学生已经学习本章关于一次函数的相关知识，在数学问题的解决上已具备了一定的方法，同时学生们具有一定的探索精神的意识，敢于表达自己的观点和想法。
通过本节课的学习预期达到应用一次函数的图象解决简单的实际问题的效果，以及发现一元一次方程与一次函数之间关系，强化“数形结合”思想的应用的效果。
三、教学目标：
知识与技能目标：了解一次函数在实际问题中的应用。
初步学会从数
学的角度分析问题、理解问题，并能综合应用所
学过的知识和技能解决问题。
过程与方法目标：经历将实际问题转化为数学问题的过程。
学会与人
合作，并能与他人交流思维的过程和结果。
情感态度与价值观目标：初步认识数学与实际生活的密切联系，发展
应用意识。
获得成功体验，增强对数学的
兴趣。
四、重点难点：
教学重点：应用一次函数的图象，解决实际问题。
教学难点：图象信息的挖掘，一次函数和一元一次方程的联系
五、教学策略：
根据本节课的特点、目标要求及学生的实际情况，主要采用探究式教学法，引导学生进行观察探索、合作交流、归纳总结,进而培养学生数学学习的良好习惯，培养学生们的创新精神，使他们体会到数学问题解决的严密性和规范性。
六、课时安排：1课时
七、教学过程：
教学程序教师活动学生活动设计意图
复习提问引入新知采用小组比赛的形式，哪
组展示机会多，给小组加
分，获胜小组发喜报。
课前热身：
学生跃跃欲试
观察图象
学生回答
激发学生的
学习兴趣和
欲望
给出问题，
引发学生思
1.图中直线y=kx+b
(k≠0),y是怎样随x 的变化而变化的? 2．图象经过哪些象限？
3．能否知道直线经过哪两个点？
4．是否能求出函数解析式，说明采用什么方法。
师：函数图象与我们的生活息息相关,课本几幅图片说明生活离不开函数.如何应用函数图象解决实际问题,就是我们这节课要学习的----一次函数图象的应用y随x的增大而
增大
一、二、三象限
A(-2,0) B(0,3
)
待定系数法
考，为下面
的学习作铺
垫
\\
合作交流合作探究一:
由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少．干旱
探索新知持续时间t(天)与蓄水量
V(万米3)的关系如下图
所示，回答下列问题：
教师引导点拨：
1、图象中反映的是哪两
个变量的关系？横轴表
示的是什么？纵轴表示
的是什么？
2、教师随意指出两点,
让学生说说分别表示什么含义?
请同学们观察图像，回答问题：
（1）水库干旱前的蓄水量是多少？
(2)干旱持续10天，蓄水量为多少？连续干旱23天呢？同学们认真观察
图像,思考所提
出的问题. 分
别请几位同学回
答问题.并介绍
观察图像的方
法，其他学生边
听、边思考、边
纠正
本环节主要
是引导组织
学生对一次
函数图象应
用的问题进
行初步的感
受，使学生
意识到如何
去从函数的
图象中去获
取有效的信
息进而去解
决问题，同
时特别地引
导学生将函
数中的数学
语言向生活
语言转化
(3)蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报.干旱多少天后将发出严重干旱警报？
(4)按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？
典例示范应用新知合作探究2
某种摩托车的油箱加满
油后，油箱中的剩余油量
y（升）与摩托车行驶路
程x(千米)之间的关系
如图所示，根据图像回答
问题：采用抢答的
形式处理,
能够调动学
生的学习兴
趣,激发学
生间的竞争
意识,集中
x （千米）
10
6
4
2
1100 150 200 250
8
50
y(升)
（1）油箱最多可储油多
少升？
（2）一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？
（3）摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油？（4）油箱中的剩余油量小于一升时，摩托车将自动报警，行驶多少千米后，摩托车将自动报警? 变式引申,设计问题: 1、摩托车行驶多少千米后，油箱剩余油量为0？
2、如果其它条件不变，我们想反映该摩托车消耗油量y(升)与行驶路程x(千米)之间关系的图象，在该图中应该是怎样的？
解答图像信息题主要运学生独立思考后
举手抢答,参与
热情高涨.教师
身临学生之中,
倾听学生的争
辩 ,适时进行点
拨
学生进行充分思
考,然后讨论解
答
学生的注意
延伸1为了
学生下一步
探究一次函
数与一元一
次方程关系
做一个较为
形象化的铺
垫。
延伸2为了
使学生更好
地对此类问
题进行合理
的分析与解
答，避免因
审题不清而
出现错误，
同时加强思
维训练。
用数形结合思想,化图像信息为数字信息.主要步骤如下:
(1)了解横坐标与纵坐标的意义。
(2)从图像形状上，判定函数与自变量的关系(3)抓住特殊点的实际意义
拓展延伸深化新知深入探究3:
(1)当y=0时，
x=________ ;
(2)直线对应的函数表达
式是______________．
(3)解方程0.5x+1=0
学生观察图象回
答问题（1）（2）
题,计算(3)题,
本环节运用
了一个阶梯
式的问答方
法，帮助突
破本节课的
难点。
同时，
从具体的实
际问题入
手，由特殊
问题到一般
规律的揭
示，不仅解
(4)一元一次方程0.5x+1=0与一次函数y=0.5x+1有什么联系？师总结：
1.从“数”的方面看，当一次函数y=0.5x+1的函数值y=0时，相应的自变量的值即为方程0.5x+1=0解。
2.从“形”的方面看，函数y=0.5x+1与x轴交点的横坐标，即为方程0.5x+1=0的解。
跟踪讲练：
函数y=4x-2图像如图所示，求方程4x-2=0的解。
让学生讨论他们
的发现及猜想，
一次函数与一元
一次方程到底有
什么样的关系？
用自己的语言进
行归纳，说出他
们的猜想结论。
决了难点问
题，而且从
另外一个角
度讲也渗透
给了学生的
数形结合思
想，还有利
于学生主动
探索意识的
培养。
收获反思梳理新知谈谈本节收获：
收获一：知识方面……
收获二：能力方面……
收获三：情感方面……
你们还有哪些困惑?
学生交流自己的
收获,表达自己
的所思所感
通过归纳与
总结、反思
与交流，巩
固知识，提
炼方法，升
华获得的经
验。
当堂检测反馈新知实弹演习:
必做题:知识技能1.2.
选做题:数学理解3 学生做检测题
了解课堂学
习效果,进
行有针对性
的辅导,及
时查漏补
缺.
布置作业加深巩固必做:<伴你学>有关基础
练习题
选做:在生活中,你还遇
到过哪些可以用一次函
数关系来表示的实际问
题?选择你感兴趣的问
题.编制一道数学题与同
学交流
学生记录作业.
课后完成
作业分层处
理,为不同
程度的学生
提供更为广
阔的探索空
间.
八、板书设计
一次函数的应用
实际问题
函数问题
解决实际问题
建立函数关系。