高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解

高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
一、选择题
1．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛0
2x d x ，b ＝⎠⎛02e x d x ，c ＝⎠⎛0
2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是
( )
A ．a <c <b
B ．a <b <c
C ．c <b <a
D ．c <a <b
[答案] D
[解析] a ＝⎠⎛0
2x d x ＝1
2x 2|02＝2，b ＝⎠⎛0
2e x d x ＝e x |02＝e 2－1>2，c ＝⎠
⎛0
2sin x d x ＝－cos x |02＝1
－cos2∈(1,2)，
∴c <a <b .
2．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.1
12 B.14
C.13
D.712
[答案] A
[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x
2y ＝x 3
得交点为(0,0)，(1,1)．
∴S ＝⎠
⎛0
1(x 2－x 3)d x ＝
⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 401＝1
12. [点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：
(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )
A.⎝⎛⎭⎫43，169
B.⎝⎛⎭⎫
45，169 C.⎝⎛⎭⎫43，157
D.⎝⎛⎭⎫45，137
[答案] A [解析] 设
P (t ，t 2)(0≤t ≤2)，则直线
OP ：y ＝tx ，∴S 1＝⎠⎛
t (tx －x 2)d x ＝
t 3
6；S 2＝⎠
⎛t
2(x 2－tx )d x ＝83－2t ＋t 36，若S 1＝S 2，则t ＝4
3
，∴P ⎝⎛⎭⎫43，169. 3．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4
B.4
3
C.18
5
D ．6
[答案] A [解析] S ＝⎠
⎛
2x 3d x ＝
⎪⎪x 4402
＝4.
4．(2010·湖南省考试院调研)⎠
⎛1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )
A ．0
B ．2
C ．2＋2cos1
D ．2－2cos1
[答案] B
[解析] ⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x ＝(－cos x ＋x )|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.
5．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π
2
D ．π
[答案] A [解析] 如右图， S ＝∫02π(1－cos x )d x ＝(x －sin x )|02π＝2π.
[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为
⎝⎛⎭
⎫π6，π，则对称性就无能为力了． 6．函数F (x )＝⎠⎛0
x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )
A ．有最大值0，无最小值
B ．有最大值0和最小值－32
3
C ．有最小值－32
3，无最大值
D ．既无最大值也无最小值 [答案] B
[解析] F ′(x )＝x (x －4)，令F ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4， ∵F (－1)＝－73，F (0)＝0，F (4)＝－323，F (5)＝－25
3.
∴最大值为0，最小值为－
32
3
. [点评] 一般地，F (x )＝⎠⎛0
x φ(t )d t 的导数F ′(x )＝φ(x )．
7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1
x 1
t
d t ，若f (x )<a 3，则x 的取
值范围是( )
A.⎝⎛
⎭
⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11
，e )
D ．(0，e 11)
[答案] D
[解析] f (x )＝⎠⎛1
x 1
t
d t ＝ln t |1x ＝ln x ，a 3＝S 3－S 2＝21－10＝11，由ln x <11得，0<x <
e 11.
8．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )
A.1π
B.2π
C.3π
D.π4
[答案] A
[解析] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S ＝⎠⎛0
π
sin x d x ＝－cos x |0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P ＝S S 矩形OABC
＝
22π＝1π
. 9．(2010·吉林质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2(－2≤x <0)2cos x (0≤x ≤π
2)的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( )
A.3
2
B ．1
C ．4
D.12
[答案] C
[解析] 面积S ＝∫π2－2f (x )d x ＝⎠
⎛0－2(x ＋2)d x ＋∫π
202cos x d x ＝2＋2＝4.
10．(2010·沈阳二十中)设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x
3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )
的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛m
n g (x )d x 的值是( )
A ．－52
B ．－43
C ．－54
D ．－76
[答案] A
[解析] 由题意可得，当0<x <1时，[x ]＝0，f (x )＝x ，当1≤x <2时，[x ]＝1，f (x )＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f (x )有一个零点，由函数f (x )与g (x )的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛
m
n g (x )d x ＝
⎠⎛1
4⎝⎛⎭
⎫－x 3d x ＝
⎪⎪－x 2
614＝－52.
11．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )
A.1
3
B.23
C.12
D.34
[答案] A
[解析] 方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根的充要条件为Δ＝4b 2－4c ≥0，即b 2≥c ， 由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p ＝
⎠⎛01b 2
db 1×1
＝13
.
12．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )
A.12
B.14
C.13
D.25
[答案] C
[解析] 如图，正方形面积1，区域M 的面积为S ＝⎠⎛0
1x 2d x
＝13x 3|01＝13，故所求概率p ＝13
. 二、填空题
13．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠
⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝
________.
[答案] －1或13
[解析] ∵⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛1－1(3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x )|－11＝4，⎠
⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )，
∴6a 2＋4a ＋2＝4，
∴a ＝－1或1
3
.
14．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1
x )6的展开式中含x 2项的系数是
________．
[答案] －192
[解析] 由已知得a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π
2)－(sin0－cos0)
＝2，
(2x －
1x
)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C 6r ×26－r ×x 3－
r ，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 61×25＝－192.
15．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18
[解析] 由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
y 2＝2x y ＝4－x 解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 2
2、
x ＝4－y
∴S ＝⎠⎛2－4[(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y 36)|－42
＝18.
16．(2010·安徽合肥质检)抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为4
3，
若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．
[答案] 16x －8y ＋1＝0
[解析] 由题意知⎠
⎛0
1ax d x ＝2
3，∴a ＝1，
设l ：y ＝2x ＋b 代入y 2＝x 中，消去y 得， 4x 2＋(4b －1)x ＋b 2＝0， 由Δ＝0得，b ＝1
8，
∴l 方程为16x －8y ＋1＝0.
17．(2010·福建福州市)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为1
12，则a 的值为
________．
[答案] －1
[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0，∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)．
S 阴影＝－⎠
⎛a
0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝1
12，∴a ＝－1.
三、解答题
18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1＋S 2最小．
[解析] 由题意得S 1＝t ·t 2－⎠
⎛0
t x 2d x ＝2
3t 3，
S 2＝⎠
⎛t
1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋1
3，
所以S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋1
3(0≤t ≤1)．
又S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －1
2， 令S ′(t )＝0，得t ＝1
2
或t ＝0.
因为当0<t <12时，S ′(t )<0；当1
2
<t ≤1时，S ′(t )>0.
所以S (t )在区间⎣⎡⎦⎤0，12上单调递减，在区间⎣⎡⎦⎤1
2，1上单调递增． 所以，当t ＝12时，S min ＝1
4.。