五种最优化方法
最优化理论与方法概述
1. 最优化问题
最优化问题：求一个一元函数或多元函数的极 值。 在微积分中，我们曾经接触过一些比较简单 的极值问题。下面通过具体例子来看看什么是最 优化问题。
第二页，编辑于星期五：十点 四分。
1.1 最优化问题的例子
例1 对边长为a的正方形铁板，在四个角处剪去相等
、大豆粉的量（磅）。
min Z 0.0164x1 0.0463x2 0.1250x3 s.t. x1 x2 x3 100
0.380 0.380
x1 x1
0.001x2 0.001x2
Байду номын сангаас
0.002x3 0.002x3
0.012 100 0.008100
0.09x2 0.50x3 0.22100
例：求目标函数 f (x) x12 x22 x32 2x1x2 2x2x3 3x3 的梯度和Hesse矩阵。
解：因为
则 又因为：
f X
x1
2
x1
2
x2
f X
x2
2x2
2
x1
2 x3
3
f X 2x1 2x2, 2x2 2x1 2x3 3, 2x3 2x2 T
f X
x3
2
x3
恒有 f x* f x 则称 x*是最优化问题的整体最优解。
定义2：局部最优解：若 x* D，存在某邻域 N ( x*，) 使得对于
一切 x N ( x* ) D ，恒有 f x* f x 则称 x *是最优化问题
的局部最优解。其中 N ( x* ) { x | x x* , 0}
配料
每磅配料中的营养含量
钙
蛋白质
纤维
五章 优选法
x2做试验得y2= f(x2),假定x2> x1，如果y2 > y1，则最大值 肯定不在区间（a, x1 ）内，因此只考虑在（ x1 ，b）内 求最大值的问题。再在（ x1 ，b）内取一点x3，做试验 得y3= f(x3),如果x3> x2，而y3 < y2，则去掉（ x3 ，b）内 取一点x4，…，不断做下去，通过来回调试，范围越 缩越小，总可以找到f(x)的做大值。
9
10
二、黄金分割法（ 0.618法）
0.618法的要点是先在试验范围的0.618分点和 它的对称点0.382分点处作试验，比较两个点的结 果，去掉“坏点”部分，保留“好点”所在的区 间；然后在留下区间内再找到上一次“好点”的 对称点，作第二次试验，比较结果，决定取舍， 逐步缩小试验范围。这种方法每次可以去掉试验 范围的0.382倍，而且从第二次试验后每次只须做 一次试验，因此可以用较少的试验次数，迅速找 到最佳点．
2、如果f(x1)比f(x2)差， x2是好点，于是把试验范围（ x1，
如果 x1 是“好点”，把试验范围[a, x2] 掉，保留 好点” x1 所在区间，得到新的搜索区间[x2, b] ，得
x 3 x 2 b x1
x2 b x3 x1 比较 x1 x3处试验结果，找出“好点”，保留“好点” 所在区间，依次进行下去…
式可以表示为： 第一点＝小＋0.618（大－小） 第二点＝大＋小－第一点
' (5-1)
14 ' (5-2)
a
x2
x1
b
用f(x1)和f(x2)分别表示x1和x2上的试验结果： x2）划去剩下（ x2，b）； b） 划去剩下（a， x1），下一步是在余下的范围内寻 找好点
五种最优化方法精编版
五种最优化方法1. 最优化方法概述1.1最优化问题的分类1）无约束和有约束条件；2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）；3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是否线性）；4）静态规划和动态规划（解是否随时间变化）。
1.2最优化问题的一般形式（有约束条件）：式中f(X)称为目标函数(或求它的极小，或求它的极大)，si(X)称为不等式约束，hj(X)称为等式约束。
化过程就是优选X，使目标函数达到最优值。
2.牛顿法2.1简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）是求解函数极值的一种方法；3）是一种函数逼近法。
2.2 原理和步骤3. 最速下降法（梯度法）3.1最速下降法简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）是求解函数极值的一种方法；3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向；3.2 最速下降法算法原理和步骤4. 模式搜索法(步长加速法)4.1 简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。
3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。
轴向移动的目的是探测有利的下降方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。
4.2模式搜索法步骤5.评价函数法5.1 简介评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。
在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下：min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x))s.t. g(x)<=0传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。
常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。
选取其中一种线性加权求合法介绍。
5.2 线性加权求合法6. 遗传算法智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进而达到优化的一种方法，主要有人工神经网络法，遗传算法和模拟退火法等。
数学五年级第14讲：最优化问题(最新数学课件)
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3尺4尺
例题二
用10尺长的竹竿来截取3尺、4尺长的甲、乙 两种短竹竿各100根，至少要用去原材料几根？怎 样截法最合算？
3尺 4尺 3尺4尺
先10取尺50根竹竿按第一种方法截取，可以得到100
第一种截法：3根尺3、尺3长尺的、竹4尺竿，和残50留根04尺尺。长的竹竿。 第二种截法：3尺、还3尺差、503根尺4，尺残长留的1竹尺竿。，可以按第三种方法截取， 第三种截法：4用尺去、245尺根，竹残竿留。2尺。
河对面
过河的时间取决于最 慢30的＋牛30，＋回50来＋的2时0 ＋间30 ＝取1决60于（最分快钟的）牛。
答：最少需要160分钟。
甲乙 丙丁
20分钟 30分钟 40分钟 50分钟
练习五（选讲）
阿派、米德、欧拉、卡尔四人要从河的东岸到西岸。现在 只有一条木欧拉需要2分钟，卡尔需要5 分钟；那么他们至少需要多少分钟才能都安全地渡过河？
第二次6名下属通知：6×6=36（人），知道开会的一共有：36+6+1=4（3 人）；
所以，6名执委会成员通知的人数：43×6=258（人）； 答：有258人知道要开会。
例题四
一天，某诊所只有王大夫值班。三个病人同时来诊所， 甲量血压需3分钟，乙拿药需2分钟，丙打针需5分钟。王 大夫怎样安排就诊的顺序，才能使他们等候时间的总和最 短？最短是多少分钟？
所以 5 分钟就足够了。
答：王老师至少需要5分钟。
练习三
一个执委会的6名成员要召开一次会议。于是这6 名成员给各自的6个下属打电话，每个下属又给各自 的6个下属再打电话。若每个人都只被通知了一次， 那么有多少人知道要开会？
1名执委会成员通知的人数：
第一次执委会成员通知的人数是：6人，知道开会的一共有：6+1 人；
最优化方法讲稿
最优化方法讲稿一、啥是最优化方法呀。
同学们！今天咱来唠唠这最优化方法。
简单来说呢，最优化方法就是在给定的条件下，找到最好的方案或者结果的一套方法。
比如说，你要规划一次旅行，你得考虑时间、费用、想去的景点这些条件，然后找出一个最让你满意的旅行计划，这就是在运用最优化方法啦。
再举个例子哈，工厂生产产品，要考虑成本、产量、质量等各种因素，通过最优化方法，就能找到一种生产方式，既能保证产品质量，又能降低成本，还能提高产量，是不是很厉害呀？二、最优化方法的常见类型。
1. 线性规划。
这个线性规划呢，就是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或者最小值。
比如说，一家工厂生产两种产品，每种产品需要不同的原材料和工时，而原材料和工时都是有限的，那怎么安排生产，才能让利润最大呢？这时候就可以用线性规划来解决啦。
它就像是给你画了一个范围，然后在这个范围内找那个最优的点。
2. 非线性规划。
和线性规划不同哈，非线性规划的目标函数或者约束条件里至少有一个是非线性的。
现实生活中很多问题都是非线性的哦。
比如说，设计一个汽车的外形，要考虑空气动力学、美观度等多种因素，这些因素之间的关系往往是非线性的，这时候就需要非线性规划来帮忙找最优解啦。
3. 动态规划。
动态规划就像是走楼梯，一步一步来，把一个大问题分解成一个个小问题，然后依次解决这些小问题，最后得到大问题的最优解。
比如说，计算斐波那契数列，用动态规划的方法就可以避免重复计算，提高效率。
在资源分配、生产计划等很多领域都能用到动态规划哦。
三、最优化方法的求解步骤。
一般来说哈，用最优化方法解决问题有这么几个步骤。
第一步呢，就是要明确问题，确定目标函数和约束条件。
比如说，你要做一个投资计划，目标函数可能就是收益最大化，约束条件可能包括你的资金量、投资风险承受能力等。
第二步呀，要选择合适的最优化方法。
这得根据问题的特点来选，像刚才说的线性问题就选线性规划，非线性问题就选非线性规划。
力学中的优化方法及应用
力学中的优化方法及应用引言：力学是研究物体运动和相互作用的学科，广泛应用于工程、物理学和生物学等领域。
在力学的研究中，优化方法被广泛运用，以寻找最佳解决方案和最优设计。
本文将介绍力学中的一些常见优化方法及其应用。
一、梯度下降法梯度下降法是一种常见的优化方法，用于寻找函数的最小值。
在力学中，梯度下降法常用于求解最优化问题，例如最小化系统的能量或最大化系统的效率。
该方法通过计算函数的梯度，并沿着梯度的反方向进行迭代，逐步接近最优解。
梯度下降法在力学中的应用包括材料设计、结构优化和流体力学等领域。
二、遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化方法，通过模拟自然选择和遗传机制来搜索最优解。
在力学中，遗传算法常用于参数优化和结构优化问题。
例如，在材料设计中，遗传算法可以用于寻找最佳的材料组合，以满足特定的性能要求。
遗传算法还可以应用于机械结构的拓扑优化，以提高结构的强度和刚度。
三、粒子群优化算法粒子群优化算法是一种模拟鸟群或鱼群行为的优化方法，通过模拟个体之间的信息共享和协作来搜索最优解。
在力学中，粒子群优化算法常用于求解多目标优化问题。
例如，在多目标优化中，需要在多个冲突的目标之间找到一个平衡点。
粒子群优化算法可以帮助找到这样的平衡点，并提供一组最优解供决策者选择。
四、拓扑优化拓扑优化是一种通过改变结构的拓扑形状来优化结构性能的方法。
在力学中，拓扑优化常用于设计轻量化结构。
通过在结构中添加或删除材料，可以调整结构的刚度和强度，以满足特定的性能要求。
拓扑优化方法可以与其他优化方法结合使用，例如梯度下降法和遗传算法，以提高优化效果。
五、应用案例1. 材料设计：利用优化方法可以寻找具有特定性能的新材料。
例如，通过梯度下降法优化材料的晶格结构，可以提高材料的导电性能。
2. 结构优化：通过优化方法可以改善结构的强度和刚度。
例如，使用遗传算法优化机械结构的参数，可以减少结构的重量并提高其性能。
3. 流体力学：优化方法可以用于改进流体力学问题的求解。
五种最优化方法
五种最优化方法 Prepared on 22 November 2020五种最优化方法1. 最优化方法概述最优化问题的分类1）无约束和有约束条件；2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）；3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是否线性）；4）静态规划和动态规划（解是否随时间变化）。
最优化问题的一般形式（有约束条件）：式中f(X)称为目标函数(或求它的极小，或求它的极大)，si(X)称为不等式约束，hj(X)称为等式约束。
化过程就是优选X，使目标函数达到最优值。
2.牛顿法简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）是求解函数极值的一种方法；3）是一种函数逼近法。
原理和步骤3. 最速下降法（梯度法）最速下降法简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）是求解函数极值的一种方法；3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向；最速下降法算法原理和步骤4. 模式搜索法(步长加速法)简介1）解决的是无约束非线性规划问题；2）不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函数的优化问题时非常有效。
3）模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。
轴向移动的目的是探测有利的下降方向，而模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。
模式搜索法步骤5.评价函数法简介评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。
在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下：min (f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)). g(x)<=0传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。
常用的方法有“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。
选取其中一种线性加权求合法介绍。
线性加权求合法6. 遗传算法智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进而达到优化的一种方法，主要有人工神经网络法，遗传算法和模拟退火法等。
最优化计算方法(工程优化)第1章
最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经 济管理等科学技术各领域中有广泛应用。下面举几个简单的实 例。
例1：把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体， 问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？
解：决定圆柱体表面积大小有两个决策变量：圆柱体底面半 径r、高h。
问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即
优化模型的分类
根据问题的不同特点分类
一般的约束优化问题
标准形式
min
xRn
f
x
s.t. gi x 0, i 1, 2, , m
1） gi x 0 -gi x 0
2）
hi
x
0
hi x 0
-hi
x
0
优化模型的分类
根据函数类型分类
线性规划：目标函数、约束条件都是线性的 非线性规划：目标函数、约束条件中的函数不全是线性
yi
a1
1
a3
ln 1
a2 exp
xi
a4 a5
最优化问题举例
例3已：知有从一v旅i 到行团v j从的v旅0费出为发要cij遍，游问城应市如何v1安, v排2 行,..程.,使vn总 ，
费用最小？
模型：
变量—是否从i第个城市到第j个城市
xij 1, 0;
约束—每个城市只能到达一次、离开一次
因此，我们在学习本课程时要尽可能了解如何 由实际问题形成最优化的数学模型。
数学模型: 对现实事物或问题的数学抽象或描述。
最优化问题的数学模型与分类
数学模型的建立
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描 述所研究的系统。
过于简单的数学模型所得到的结果可能不符合实际情 况；而过于详细复杂的模型又给分析计算带来困难。
五种最优化方法范文
五种最优化方法范文最优化是一个数学领域，在解决实际问题时，通过寻找最优解的方法，使得目标函数的值最小或最大化。
在最优化问题中，有许多不同的方法可以用来求解。
以下是五种常见的最优化方法。
1.梯度下降法梯度下降法是一种基于梯度信息的迭代算法，用于求解最小化目标函数的最优解。
其基本思想是从初始点开始，根据负梯度方向进行迭代求解，直到达到预定的停止条件或收敛到最优解。
梯度下降法的优点是简单易实现，适用于大规模问题。
缺点是容易陷入局部最优或鞍点，并且收敛速度可能较慢。
2.牛顿法牛顿法是一种基于二阶导数信息的迭代算法，用于求解非线性最优化问题。
其基本思想是通过二阶泰勒展开近似目标函数，以牛顿法的更新方程进行迭代求解。
与梯度下降法相比，牛顿法收敛速度更快。
但牛顿法的缺点是需要计算目标函数的二阶导数矩阵，计算代价较大，并且需要满足一定的收敛条件。
3.拟牛顿法拟牛顿法是一种通过拟合目标函数的局部特征来逼近牛顿法的方法。
常用的拟牛顿法有DFP（Davidon-Fletcher-Powell）方法和BFGS （Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）方法。
拟牛顿法利用目标函数的一阶导数信息来近似目标函数的二阶导数矩阵，从而避免了计算二阶导数的复杂性，且收敛速度比梯度下降法更快。
拟牛顿法的缺点是需要存储和更新一个Hessian矩阵的逆或近似逆。
4.线性规划线性规划是一种最优化问题的形式，其中目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划问题可以通过线性规划算法求解，如单纯形法、内点法等。
线性规划问题具有良好的理论基础和高效的求解方法。
线性规划在工业、供应链管理、运输问题等方面有广泛的应用。
5.整数规划整数规划是一种最优化问题的形式，其中决策变量只能取整数值。
整数规划问题可以通过整数规划算法求解，如分支定界法、割平面法等。
整数规划在许多实际情况下具有重要的应用，例如在生产计划、线路设计、货物装载等问题中。
五种最优化方法范文
五种最优化方法范文最优化方法是指为了在给定的条件和约束下，找到一个最优解或者接近最优解的问题求解方法。
这些方法可以用于解决各种实际问题，例如优化生产计划、项目管理、机器学习、数据分析等。
下面将介绍五种常见的最优化方法。
1. 线性规划（Linear Programming）：线性规划是一种数学优化技术，用于解决线性目标函数和线性约束条件下的问题。
线性规划方法可以用于优化生产计划、资源分配、供应链管理等问题。
它的基本思想是将问题转化为一个线性目标函数和线性约束条件的标准形式，然后使用线性规划算法求解最优解。
2. 非线性规划（Nonlinear Programming）：与线性规划不同，非线性规划处理非线性目标函数和约束条件。
非线性规划方法适用于一些复杂的问题，例如优化机器学习模型、最优化投资组合配置等。
非线性规划方法通常使用梯度下降、牛顿法等迭代算法来逐步优化目标函数，找到最优解。
3. 整数规划（Integer Programming）：整数规划是一种数学优化技术，用于求解在决策变量为整数的情况下的优化问题。
整数规划方法通常用于优化工程排程、选址和布局问题等。
整数规划在求解时需要考虑变量取值范围的整数要求，使用分支定界、割平面等方法求解，保证最优解是整数。
4. 动态规划（Dynamic Programming）：动态规划是一种将复杂问题分解为一系列子问题来求解的最优化方法。
它通常用于处理具有重叠子问题和最优子结构特性的问题，例如最优路径问题、背包问题等。
动态规划方法通过记忆化或者状态转移的方式来求解最优解，可以有效避免重复计算，提高求解效率。
5. 元启发式算法（Metaheuristic Algorithm）：元启发式算法是一类基于启发式的最优化方法。
与传统的优化方法不同，元启发式算法通常不需要依赖目标函数的导数信息，适用于处理复杂问题和无法建立数学模型的情况。
常见的元启发式算法包括遗传算法、蚁群算法、粒子群算法等，它们通过模拟自然界中的生物群体行为来最优解。
最优化方法牛顿法失效的例子
最优化方法牛顿法失效的例子摘要：一、引言二、牛顿法概述三、牛顿法失效的原因四、牛顿法失效的例子五、总结与建议正文：一、引言牛顿法作为一种最优化方法，以其高效、简洁的特性在众多领域得到了广泛应用。
然而，在实际问题中，我们经常会遇到牛顿法失效的情况。
这种现象的发生往往导致求解过程的失败，从而影响到整个优化问题的解决。
因此，了解牛顿法失效的原因及具体例子，对于优化问题的求解具有重要意义。
二、牛顿法概述牛顿法是一种基于迭代的思想，通过构建目标函数的二阶泰勒展开式，求解最优解的方法。
其迭代公式为：x_{k+1} = x_k - α_k * (f"(x_k) - β_k * f""(x_k))其中，f(x) 为待求解的最优化问题，f"(x) 和f""(x) 分别表示目标函数的一阶导数和二阶导数，α_k 和β_k 为迭代步长。
三、牛顿法失效的原因1.目标函数的性质：牛顿法适用于凸函数和光滑函数的优化问题。
当目标函数存在多个局部最优解或非凸时，牛顿法可能无法收敛，甚至陷入局部最优解。
2.迭代步长的选择：牛顿法的收敛性与迭代步长的选择密切相关。
若步长选取过大或过小，可能导致迭代过程的发散或收敛速度过慢。
3.初始值的选取：牛顿法的收敛性与初始值的选择有关。
不同的初始值可能导致不同的收敛结果，甚至有的初始值会使牛顿法失效。
四、牛顿法失效的例子1.二维平面上的曲线的优化问题：考虑如下二维平面上的曲线优化问题：min_{x,y} f(x,y) = (x-1)^2 + (y-2)^2在二维平面上，该曲线为椭圆。
此时，牛顿法可能无法收敛，因为椭圆内部存在多个局部最优解。
2.非线性方程组的求解：考虑如下非线性方程组：f(x,y) = x^2 + y^2 - 3x - 4y + 5 = 0使用牛顿法求解该方程组时，由于方程组非线性，牛顿法可能失效。
五、总结与建议1.在实际应用中，要充分了解问题的性质，判断是否适用于牛顿法求解。
最优化计算方法-第5章(线性规划)
第五章线性规划线性规划（Linear Programming，简记为LP）是数学规划的一个重要的分支，其应用极其广泛．1939年，前苏联数学家康托洛维奇（Л.B.Kah ）在《生产组织与计划中的数学方法》一书中，最早提出和研究了线性规划问题．1947年美国数学家丹泽格（G. B. Dantzig）提出了一般线性规划的数学模型及求解线性规划的通用方法─单纯形方法，为这门科学奠定了基础．此后30年，线性规划的理论和算法逐步丰富和发展．1979年前苏联数学家哈奇扬提出了利用求解线性不等式组的椭球法求解线性规划问题，这一工作有重要的理论意义，但实用价值不高．1984年在美国工作的印度数学家卡玛卡(N. Karmarkar)提出了求解线性规划的一个新的内点法，这是一个有实用价值的多项式时间算法．这些为线性规划更好地应用于实际提供了完善的理论基础和算法．第一节线性规划问题及其数学模型一、问题的提出例1 某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知条件如表所示。
问应如何安排计划使该工厂获利最多？ⅠⅡ现有资源设备原材料A 原材料B 14248台时16kg12kg每件利润23ⅠⅡ现有资源设备原材料A 原材料B 1402048台时16kg12kg每件利润23解: 设x 1、x 2 分别表示在计划期内产品Ⅰ、Ⅱ的产量。
12max 23z x x =+..s t 1228x x +≤1416x ≤2412x ≤12,0x x ≥二、线性规划问题的标准型112211112211211222221122123max ..,,0n nn n n n m m m mn n mn z c x c x c x s t a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x x x x =+++⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪+++=⎪≥⎩，，其中1,,0m b b ≥11max ..,1,2,,0,1,2,,nj jj nij j i j j z c x s t a x b i mx j n=====≥=∑∑ 12(,,,)T n c c c =c 12(,,,)Tn x x x =x 12(,,,)Tm b b b =b 111212122212n nm m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 12[,,,]n = p p pmax ..()Tz s t ⎧=⎪=≥⎨⎪≥⎩c x Ax b b x 001max ..()Tnj j j z s tx =⎧=⎪⎪=≥⎨⎪⎪≥⎩∑c xp bb x 00对于不是标准形式的线性规划问题，可以通过下列方法将线性规划的数学模型化为标准形式：（1）目标函数的转换对min z 可以化max()z -（2）右端项的转换对0i b <，给方程两边同时乘以1-（3）约束条件的转换约束条件为≤方程左边加上一个变量,称为松弛变量约束条件为≥方程左边减上一个变量,称为剩余变量（4）变量的非负约束变量j x 无限制时，令,,0j j j j j x x x x x ''''''=-≥变量0j x ≤时，令j jx x '=-例将下列线性规划模型转化为标准形式12312312312312min 23..7232500x x x s t x x x x x x x x x x x -+-⎧⎪++≤⎪⎪-+≥⎨⎪--=-⎪≥≥⎪⎩，解（1）变量的非负约束令345x x x =-1245max 233x x x x -+-..s t 612457x x x x x ++-+=712452x x x x x -+--=12453225x x x x -++-=§2 两变量线性规划问题的图解法例1 求下列线性规划的解12121212max ..284300z x x s t x x x x x x =+⎧⎪+≤⎪⎪≤⎨⎪≤⎪≥≥⎪⎩，解（1）画可行域c A B D C 2x 1x O （2）画出目标函数的梯度向量：（3）作目标函数的一条等值线,120x x z +=将等值线沿梯度方向移动当等值线即将离开可行例2 求下列线性规划的解12121212max 2..284300z x x s t x x x x x x =+⎧⎪+≤⎪⎪≤⎨⎪≤⎪≥≥⎪⎩，解（1）画可行域c A B D C 2x 1x O （2）画出目标函数的梯度向量：（3）作目标函数的一条等值线,1202x x z +=将等值线沿梯度方向移动当等值线即将离开可行域时与可行域“最后的交点点为问题的最优解例3 求下列线性规划的解12121212max ..2200z x x s t x x x x x x =+⎧⎪-≤⎪⎨-≥-⎪⎪≥≥⎩，c2x 1x O无解例4 求下列线性规划的解12121212min 3..123600z x x s t x x x x x x =-⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪≥≥⎩++，2x 1x O线性规划问题的性质：（1）线性规划的可行域为凸集，顶点个数有限．若可行域非空有界，则可行域为凸多边形．（2）线性规划可能有唯一最优解，可能有无数多个最优解，也可能无解最优解．无最优解可能是目标函数在可行域上无界，也可能可行域为空集．（３）若线性规划有最优解，则最优解必可在可行域的某个顶点达到．若两个顶点都为最优解，那么这两点连线上的所有点都是线性规划的最优解．§3 线性规划解的概念及其性质1 线性规划解的概念考虑线性规划问题max ..()Tz s t ⎧=⎪=≥⎨⎪≥⎩c x Ax b b x 00定义.1 矩阵A 中任何一组m 个线性无关的列向量构成的可逆矩阵B 称为线性规划的一个基矩阵与这些列向量对应的变量称为基变量(basis variable ）其余变量称为基对应的非基变量(nonbasis variable ）B 若设一个基为12(,,)m B p p p = ，12,,,m x x x ——为基B 对应的基变量1,,m n x x + ——为基B 对应的非基变量1B m x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1m N n x x x +⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12(,,,)m m n ++= N p p p (,)=A B N 从而令=Ax b 则(,)N x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B x B N b11B Nx B b B Nx --=-B N Bx Nx b+=令0N x =则1B x B b-=10B b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦——基本解（basis solution ）满足10B b -⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦,=≥0Ax b x 的基本解——基本可行解（basis feasible solution ）对应的基称为可行基（feasible basis ）．B 可以写成即:定义4 若基本可行解中所有基变量都为正，这样的基本可行解称为非退化解（non-degenerate solution）．若基本可行解中某基变量为零，这样的基本可行解称为退化解（degenerate solution）．例1212112max ..28400z x x s t x x x x x =-⎧⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥≥⎩，标准化得：12123141234max ..28400,00z x x s t x x x x x x x x x =-⎧⎪++=⎪⎨+=⎪⎪≥≥≥≥⎩，，12341210(,,,)1001⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A p p p p 子阵是否为基基变量非基变量基本解目标函数值134(,)=B p p 34,x x 12,x x (0,0,8,4)是231(,)=B p p 31,x x 24,x x (4,0,4,0)312(,)=B p p 12,x x 34,x x (4,2,0,0)424(,)=B p p 24,x x 13,x x (0,4,0,4)-4514(,)=B p p 14,x x 23,x x (8,0,0,4)-是是是是042基本可行解1x O(4,0)(4,2)(0,4)(8,0)2x 顶点2 解的判别定理定理1 最优解的判别准则设B 为线性规划LP 的一个基，1(1)0-≥B b 1(2)T T--≥0Bc B A c 则基对应的基本可行解1-⎡⎤⎢⎥⎣⎦0B b 是LP 的最优解．1(1,2,,)σ--== TBj j j c B p c j n 为变量对应的检验数j x 112[0,,0,,,]σσσ-++-= ，T TBm m n c B A c 显然基变量对应得检验数为零．定理2 无穷多个最优解的判别定理在线性规划的最优解中，某个非基变量对应的检验数为零，则线性规划有无数多最优解．定理3 无界解的判别定理设B 为线性规划的一个可行基，若基本可行解中s x 对应的检验数0σ<s ，且1-≤0s B p 则线性规划具有无界解（或称无解）．某非基变量§3.4 单纯形表设B 为线性规划的一个基，x 为对应的可行解，则=Ax b两边同乘得1-B 11--=B Ax B b两边同乘得T Bc 11T T --=BBc B Ax c B b T z =c xTz -=c x 11T T --+-=TBBz c B Ax c x c B b 11(T T --+-=)TBBz c B A c x c B b1111()T TT z ----⎧+-=⎨=⎩BBc B A c x c B b B Ax B b 11111T T Tz ----⎡⎤⎡⎤-⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦0BBc B b c B A c x B A B b 定义矩阵1111TT----⎡⎤-⎢⎥⎣⎦T BBc B b c B A c B bB A 为基B 对应的单纯形表（table of simplex ）,记为()T B1111()T T----⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦T BBc B b c B A c T B B bB A 检验数函数值基变量的值各变量的系数100T b -=Bc B b 101020(,,,)--= T TBn c B A c b b b 10201-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ b b B b则单纯形表可写成000101011102()⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B n n m m mn b b b b b b T b b b 1112121222111112(,,)---⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦n n n m m mn b b b b b b B A B p B p bb b上例中1212112max ..28400z x x s t x x x x x =-⎧⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥≥⎩，标准化得：121231412max ..28400z x x s t x x x x x x x =-⎧⎪++=⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩，12341210(,,,)1001⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A p p p p 子阵是否为基基变量非基变量基本解目标函数值134(,)=B p p 34,x x 12,x x (0,0,8,4)是231(,)=B p p 31,x x 24,x x (4,0,4,0)312(,)=B p p 12,x x 34,x x (4,2,0,0)424(,)=B p p 24,x x 13,x x (0,4,0,4)-4514(,)=B p p 14,x x 23,x x (8,0,0,4)-是是是是042基本可行解1x O(4,0)(4,2)(0,4)(8,0)2x 顶点13410(,)01⎡⎤==⎢⎥⎣⎦B p p 231(,)=B p p 12341210(,,,)1001⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A p p p p T(0,0)=B C 10()T⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦c T B b A 34011008121041001z x x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦23140101()4021141001x x ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥z T B 121101--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B 31401014021141001z x x ⎡⎤⎢⎥−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦T(0,1)=B C单纯形表的特点：1、基变量对应的检验数为零2、基变量的系数构成单位阵§5旋转变换（基变换）设已知12(,,,,,)= r m j j j j B p p p p T()=B 1 r m j j j z x x x 1sn x x x 0001001011110102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦sn s n r r rs rn m m ms mn b b b b b b b b b b b b b b b b为了将s x 变为基变量，而将r j x 变为非基变量，必须使表中的第s 列向量变为单位向量，变换按下列步骤进行：（1）将()T B 中第r 行，第s 列的元素化为1．01(,,,,,1,,) rj r rnr rs rs rs rsb b b b b b b b （2）将()T B 中第s 列的的其余元素化为0．0101(,,,,,0,,)---- is rn is rj is r is r i i ij in rs rs rs rsb b b b b b b b b b b b b b b b由此得出变换后矩阵中各元素的变换关系式如下，其中,01== ，，，rjrj rsb b j nb ,,01,01=-≠== ，，，，，，is rjij ij rsb b b b i r i m j nb 变换式称为旋转变换rs b 称为旋转元，r称为旋转行称为旋转列，s s x 称为入基变量，称为出基变量，r j x {,}r s定理3.5.1,01== ，，，rj rj rsb b j n b ,,0,01=-≠== ，，，，，is rj ij ij rsb b b b i r i m j n b 在变换之下，将基12(,,,,,)= r m j j j j B p p p p 的单纯形表变为基12(,,,,,)= m j s j j B p p p p 的单纯形表第6节单纯形法基本思路是：线性规划(通常是求最小值的形式)若有最优解，其必定在可行域(在相应几何空间中是一个凸多面体)的顶点达到，故从某一个顶点出发，沿着凸多面体的棱向另一顶点迭代，使得目标函数的值增加,经过有限次迭代，将达到最优解点.1.入基变量及出基变量的确定入基变量的确定由上面可知，目标函数用非基变量表示的形式为01n j jj m z z x σ=+=-∑若某检验数0j σ<则j x 的系数大于零，将j x 由零变为非零，目标函数值增大．所以，为了使的取值目标函数值增加，可以将某检验数0j σ<对应的非基变量j x 中的某个变为基变量．{}min 0j s j σ=<则s x 可选作为入基变量．即：在负检验数中，列标最小的检验数对应的非基变量入基．２．出基变量的确定在确定出基变量时应满足两个原则：（1）目标函数值不减；（2）保证新的基本解为基本可行解．0min 0,0i is is b b i m b θ⎧⎫=>≤≤⎨⎬⎩⎭min ,00i is is b r i b i m b θ⎧⎫==>≤≤⎨⎬⎩⎭，2 单纯形法设已知一个初始可行基及B T()B 基变量指标集合为{}1,,B m J j j = 非基变量的指标集合为{}1,2,,\N BJ n J =单纯形法若所有()00j N b j J ≥∈，则停止，最优解为0,1,,0,ij i j N x b i m x j J **⎧==⎪⎨=∈⎪⎩否则转（2）．（1）最优性检验（2）选入基变量{}0min 0,j N s j b j J =<∈若()01~is b i m ≤=,则停止,(LP)无最优解，否则转(3)（3）选出基变量0min 0,0i is is b b i m b θ⎧⎫=>≤≤⎨⎬⎩⎭0min ,00i is is b r i b i m b θ⎧⎫==>≤≤⎨⎬⎩⎭，（4）作{},r s 旋转运算,01rj rj rsb b j n b == ，，，,,01,01is rj ij ij rsb b b b i r i m j n b =-≠== ，，，，，，得B 的单纯形表()()ijT B b =，以ij b 代替ij b ，转(1)例1 求线性规划问题的解解标准型为:121231425max 2328416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥12121212max 2328416.412,0z x x x x x s t x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩12123142512345max 2328416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥⎩-20-381612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢0T()B =0345[,,]B p p p =00T()T c B bA ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦-20-381612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣0T()B =8/116/408-3441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 01/20⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢1/4-41x08-3441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 01/20⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/4-1x 4/212/40140244011/201001/40002-15z x 12345x x x x x 3/21/80⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/8-1x 32x 1/2例2求线性规划问题的解解标准型为:121231425max 228416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥12121212max 228416.412,0z x x x x x s t x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩12123142512345max 228416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥⎩-10-281612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢0T()B =0345[,,]B p p p =00T()T c B bA ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦-10-281612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣0T()B =8/116/404-2441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 01/40⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢1/4-41x0-2441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 00⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/4-1x 4/212/4080244011/201001/400015z x 12345x x x x x 100⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/8-1x 32x 41/42-1/2080244011/201001/400015z x 12345x x x x x 100⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/8-1x 2x 2T 0803280101/410101/2-004-12z 12345x x x x x 00⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣01x 2x 42-1/25x 11212x k x k x =+12120,1,1k k k k ≤≤+=全部最优解为§7 两阶段法第二阶段从初始可行基开始，用单纯形法求解原问题．（LP ）max ..(0)0T z c x s t Ax b b x ⎧=⎪=≥⎨⎪≥⎩（ALP ）max ..0()T w s t z ⎧=-⎪-=⎪⎨+≥⎪⎪≥⎩00T e y c x A =b b x y x 第一阶段引入人工变量，构造辅助问题，求辅助问题的最优解，得出原问题的初始可行基及对应的基本可行解．（ALP）12112211112211121122222211212312max..0 ,,,,0mn nn nn nm m mn n m mn mw y y ys t z c x c x c xa x a x a x y ba x a x a x y ba x a x a x y bx x x x y y y=----⎧⎪----=⎪⎪++++=⎪++++=⎨⎪⎪++++=⎪⎪≥⎩，，，，，121111211112122122212000000100()010001m m m m i i i in i=1i i i n n n m m m mn b a a a c c c b a a a T B b a a a b a a a ===⎡⎤----⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑。
在信息技术教学中培养学生的优化思想
在信息技术教学中培养学生的优化思想摘要：人们在日常生活中，为完成某件事，总有多种方法，通常会选择最省时最省力，效果最好的方法，这个选择的过程需要采用对比、试验、评价、反馈等方式，经过反复验证，最终达到比较完美的结果，这就是优化。
优化的目的是为了办事效率及做事效果的最大化。
通过多年教学，笔者总结了“SECRS五原则”优化方法，在信息技术教学中培养学生优化思想。
关键词：SECRS五原则优化思想解决问题人们在日常生活中，为完成某件事，总有多种方法，通常会选择最省时最省力，效果最好的方法，这个选择的过程需要采用对比、试验、评价、反馈等方式，经过反复验证，最终达到比较完美的结果，这就是优化；信息技术教学中，设计程序、网页、绘画作品等教学内容，学生通过优化方法，拿出最完美的作品，选择优化方法的思想就是优化思想，优化思想就是在有限种或无限种可行方案(决策)中挑选最优的方案(决策)的思想。
优化的目的是为了办事效率及做事效果的最大化。
随着现代科技的发展优化思想的应用越来越广泛，它的潜在价值也日渐明显，学生是祖国的未来，肩负着建设祖国的使命，更应该具备优化思想，那么教师在教学中怎样培养学生的优化思想呢？优化方法有那些呢，通过多年教学，笔者总结了“SECRS五原则”。
一、“SECRS五原则”优化方法信息技术内容设定了做什么，接下来就是怎么做的问题，在学生有了初步的设想，方案，关键在于研究和探讨改进的可能性，通过多年教学，笔者认为下面五种方法简单实用，循序渐进，可以让学生在优化中按“SECRS五原则”来训练应用。
1、S(Share)，共享。
身处变革大时代，一定要教会学生紧跟代潮流和最新技术，否则，设计出来的作品再完美无缺，也是纸上谈兵。
共享新技术，共享新应用，这是优化的基础。
2、E(Eliminate),消除。
删除键是学生在电脑学习中应用最多的键，在优化思想上，首先要会使用“删除键”。
编程、设计网页、电脑作品时，在决定了做什么之后，在具体实施的环节，列出方案，准备了诸多元素候，首先要问自己，某些元素、操作是否必要，若答复为不必要，则予以取消，取消是改善的最佳效果，如取消不必要的程序、动作，消除冗余功能，这是信息化技术遵循的最重要的原则，取消是改善的最高原则。
初中求最值五种方法
初中求最值五种方法1. 排序法排序法是求最值常用的一种方法。
如果要求一个数组的最大值，就可以先对数组进行排序，然后取最后一个元素即可；如果要求一个数组的最小值，则取排序后的第一个元素即可。
步骤：1.定义一个数组，并给数组赋值。
2.使用排序算法对数组进行排序。
3.选择最后一个元素作为最大值，选择第一个元素作为最小值。
下面是一个使用Python编写的实例代码，在数组中求最大值和最小值：def find_max(arr):arr.sort()return arr[-1]def find_min(arr):arr.sort()return arr[0]# 调用函数arr = [9, 5, 7, 2, 1]max_value = find_max(arr)min_value = find_min(arr)print("最大值:", max_value)print("最小值:", min_value)2. 遍历法遍历法是另一种常用的求最值的方法。
遍历数组中的每个元素，通过比较来找到最大值或最小值。
步骤：1.定义一个数组，并给数组赋值。
2.遍历数组，比较每个元素的大小，找到最大值或最小值。
下面是一个使用Python编写的实例代码，在数组中求最大值和最小值：def find_max(arr):max_value = arr[0] # 假设第一个元素为最大值for num in arr:if num > max_value:max_value = numreturn max_valuedef find_min(arr):min_value = arr[0] # 假设第一个元素为最小值for num in arr:if num < min_value:min_value = numreturn min_value# 调用函数arr = [9, 5, 7, 2, 1]max_value = find_max(arr)min_value = find_min(arr)print("最大值:", max_value)print("最小值:", min_value)3. 使用最值函数在部分编程语言中，我们可以使用内置的最值函数直接求出数组的最大值和最小值。
约束问题的最优化方法
3. 优化方法： 选用内点惩罚法，惩罚函数形式为： 6 1 T k k x,r f x r 取 x 0 1,30 , r 0 3 , c 0.7 u 1 g x u 调用 Powell 法求序列无约束优化极值，以逐渐逼近原问 题的极值点。
k 2 x r ( 1 x ) x 1时； x, r k x 1时。 x
4
min.
s.t
f (x) = x
x ∈ R1
g (x) = 1-x ≤ 0
§5.3 外点惩罚函数法
二. 惩罚函数的形式：
①
x, r ( k ) f x r k maxg u x ,0 I u g u x 0 u 1,2,...,m,
(k ) (k ) m
1 u 1 g ( x ) u
m
其中：gu ( x) 0, u 1,2,...m
1 u 1 g ( x ) u m 1 (k ) (k ) ③ . ( x, r ) f ( x) ru u 1 g u ( x) m 1 (k ) (k ) ④ .( x, r ) f ( x) r 2 u 1 [ g ( x )] u
§5.2 内点惩罚函数法
4. 求解过程分析：
§5.3 外点惩罚函数法 (衰减函数法）
一. 基本思想： 外点法将新目标函数
Φ( x , r )
构筑在可行域 D
外，随着惩罚因子 r(k) 的不断 递增，生成一系列新目标函数
Φ(xk ,r(k))，在可行域外逐步
迭代，产生的极值点 xk*(r(k)) 序列从可行域外部趋向原目标 函数的约束最优点 x* 。 例：求下述约束优化问题的最优点。 新目标函数：
最优化方法凸优化解题方法
最优化方法凸优化解题方法最优化方法凸优化解题方法最优化方法是一种寻求最优解的数学方法。
凸优化是最优化方法中的一种重要分支，其使用较为广泛，可以解决很多实际问题。
下面，我们将介绍一下凸优化解题方法。
一、凸优化定义凸优化的本质是通过数学模型，寻求函数在定义域内的最小值或最大值。
在凸优化中，以凸函数为优化目标，以凸集为限制条件，解决优化问题，达到最优化的目的。
二、凸函数的定义在凸优化的研究中，凸函数是非常重要的一个概念。
具体来说，凸函数指的是满足以下两个条件的实数函数：在其定义域内的任意两点的连线上的函数值均不大于这两点的函数值之均值。
三、凸集的定义凸集是凸优化中的另一个重要概念。
严格来说，如果集合内的任意两点间的线段上的所有点均都属于此集合，则该集合被称为凸集。
四、凸优化的求解方法1. 等式约束在含有等式约束的凸优化问题中，我们可以使用拉格朗日函数将等式约束转化为拉格朗日乘子的形式，然后通过对拉格朗日函数求梯度，解析求解拉格朗日乘子和原变量。
2. 不等式约束对于含有不等式约束的凸优化问题，我们可以采用约束法来解决。
通过引入松弛变量(如Slack Variable)，将不等式约束转化为等式约束，然后再使用拉格朗日乘子法求解。
3. 分治法对于最大值问题，一般采用分治法进行求解。
先找到定义域的中点，求出中点处的函数值，然后将整个定义域按照函数值比中间点小或大的两部分分别处理，递归求解，最终得到最大值。
4. 内点法内点法是一种求解凸优化问题的有效方法。
其推广原理是：通过在定义域内引入一个可行解点，将该点定义为内点，并通过内点的移动求解最优解。
五、凸优化的应用1. 机器学习凸优化在机器学习中有着广泛的应用，例如线性规划、支持向量机和最小二乘法。
这些方法旨在寻求最优的函数分离，使得机器学习算法的预测准确性更高。
2. 信号处理凸优化在信号处理中也有着广泛的应用，例如信号分解和降噪等。
通过利用凸优化来实现对信号的优化和提取，可以提高信号处理的效率和准确性。
计算机五大算法
计算机五大算法
计算机五大算法是指五种经典的计算机算法，它们分别是：
1. 排序算法：排序算法是计算机中最基本的算法之一，它的作用是将一组数据按照一定的顺序排列起来，以便于后续的处理。
常见的排序算法有冒泡排序、快速排序、归并排序等。
2. 查找算法：查找算法是指在一个数据集合中查找指定数据的方法，常见的查找算法有二分查找、哈希查找等。
3. 图论算法：图论算法主要用于解决与图相关的问题，比如最短路径问题、最小生成树问题等。
常见的图论算法有Dijkstra算法、Prim算法、Kruskal算法等。
4. 动态规划算法：动态规划算法是一种高效的求解最优化问题的方法，它将原问题分解为若干个子问题，并将子问题的解保存起来，最后通过这些子问题的解来求解原问题的最优解。
5. 贪心算法：贪心算法是一种贪心策略来解决最优化问题的算法，它通过每一步的最优选择来达到全局最优解。
常见的贪心算法有Prim算法、Kruskal算法、Dijkstra算法等。
这五种算法在计算机科学领域具有重要的地位，掌握它们对于编程人员来说是很有必要的。
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简述最优化原则
简述最优化原则一、前言最优化原则是指在一定的约束条件下，寻找使某个目标函数取得最大或最小值的方法和理论。
它是数学、工程、经济等领域中的重要问题之一，广泛应用于各个领域。
本文将从概念、分类、常用方法以及应用等方面进行详细的介绍。
二、概念最优化原则是指在满足一定约束条件下，通过调整自变量的取值来使目标函数达到最优值的方法和理论。
其中，自变量是可以被控制或调整的变量，如生产成本、销售价格等；而因变量则是受自变量影响而发生变化的变量，如利润、销售额等。
三、分类1.单目标优化单目标优化是指只有一个目标函数需要优化的情况。
例如，在生产成本固定的情况下，如何确定产品数量以使利润最大化，这就属于单目标优化问题。
2.多目标优化多目标优化是指存在多个相互独立且相互竞争的目标函数需要同时进行优化。
例如，在设计一个汽车时需要考虑安全性、舒适性和外观等多个因素，并且这些因素之间存在相互制约，需要在这些因素之间进行权衡和平衡。
3.连续优化连续优化是指自变量是连续的实数变量的情况。
例如，在确定某个产品的最佳销售价格时，价格可以取任意实数值。
4.离散优化离散优化是指自变量只能取有限个离散值的情况。
例如，在生产某个产品时，生产数量只能取整数值。
四、常用方法1.梯度下降法梯度下降法是一种基于负梯度方向进行搜索的最优化方法。
其基本思想是通过不断调整自变量的取值来使目标函数逐渐趋近于最小值。
该方法适用于单目标优化问题，并且自变量为连续实数变量的情况。
2.遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化过程进行搜索的最优化方法。
其基本思想是通过模拟进化过程中的选择、交叉和变异等操作来寻找最优解。
该方法适用于多目标优化问题，并且自变量可以为连续或离散变量。
3.粒子群算法粒子群算法是一种模拟鸟群或鱼群等群体行为进行搜索的最优化方法。
其基本思想是通过模拟粒子在搜索空间中的移动和相互影响来寻找最优解。
该方法适用于连续优化问题。
4.模拟退火算法模拟退火算法是一种基于物理退火过程进行搜索的最优化方法。
王燕军最优化基础理论与方法课后题答案
王燕军最优化基础理论与方法课后题答案示例文章篇一：《王燕军最优化基础理论与方法课后题答案》一、题目1：什么是最优化问题？请举例说明。
答案：最优化问题就是在一定的约束条件下，寻找使目标函数达到最优（最大或者最小）值的决策变量的值的问题。
比如说，小明的妈妈要给他做一个长方形的小盒子用来装文具。
妈妈有一张固定大小的纸板，这就是约束条件。
她想让这个盒子的容积最大，容积就是目标函数，而盒子的长、宽、高就是决策变量。
如果设长为x，宽为y，高为z，纸板面积是固定的，比如是S，那么就有约束条件2(xy + yz+ zx)=S，要在这个约束下，找到x、y、z的值，使得容积V = xyz最大。
这就是一个最优化问题。
解析：首先解释最优化问题的概念核心是在约束下求目标函数最优值。
然后通过生活中的例子来具体化概念。
用妈妈做盒子这个场景，清晰地指出各个元素在最优化问题中的对应，像纸板面积是约束，容积是目标函数，长、宽、高是决策变量，这样可以让我们更好地理解这个抽象的概念。
二、题目2：简述线性规划在最优化中的地位。
答案：线性规划在最优化中可是相当重要的呢。
它就像是最优化这座大厦的基石。
很多实际的问题都可以用线性规划来建模解决。
例如，一个工厂生产两种产品A和B，生产A产品需要消耗一定量的原材料甲和乙，生产B产品也需要消耗这些原材料，但是原材料的总量是有限的。
同时，A和B产品的售价是已知的。
那么这个工厂要怎么安排A和B的产量，才能让利润最大呢？这就可以用线性规划来解决。
线性规划有一套成熟的求解方法，像单纯形法等，这些方法为更复杂的最优化问题的解决提供了思路和借鉴。
解析：先强调线性规划的重要性，用“大厦的基石”这个隐喻来形象地表达。
接着举例说明其在实际生产中的应用场景，详细地阐述了问题中的各个要素，如产品、原材料、利润等与线性规划的关系。
最后提到线性规划的求解方法及其对更复杂问题的意义。
三、题目3：解释局部最优和全局最优的区别，并举例。
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五种最优化方法
1.最优化方法概述
1.1最优化问题的分类
1）无约束和有约束条件；
2）确定性和随机性最优问题（变量是否确定）；
3）线性优化与非线性优化（目标函数和约束条件是否线性）；
4）静态规划和动态规划（解是否随时间变化）。
1.2最优化问题的一般形式（有约束条件）：
min f（X）
h b（X）= 0,1 = 12, L
s.t
sJX） > 0J = 1,2,.... m
式中f（X）称为目标函数（或求它的极小，或求它的极大），si（X）称为不等式约束，hj（X）称为等式约束。
化过程就是优选X，使目标函数达到最优值。
2.牛顿法
2.1简介
1）解决的是无约束非线性规划问题；
2）是求解函数极值的一种方法；
3）是一种函数逼近法。
2.2原理和步骤
■1：顿法的直本思想显*在扱小点附近用-阶Taylor 顶式近似口标函数［'、宀进而求出极小点的估计值，
老億问题
min /（J-J,x IRL £ 丄 3. 1》
令
祕JT）= f（*r —0”）+*/*"*）"-f }' .
耳令
Z > -门 d时）•+>< J-- = 0
得到啊2的肛.疽，记作工"小侧
在点阳近■/）•因此可用函数刊幻的极小点作为目标函数丿（』）的极小
点的估计•如里「更f工、的极小点的个估计，那么利W 9,3.2）it可且得到极小点.的•个进吵的估讣.这样*利用迭代公式（乩3. 2）可以得到个洋列H 可以证明"隹定条件F・这个序列收敛于冋题（9飞”
门的绘优解，而且是2级收敛
3.最速下降法（梯度法）
3.1最速下降法简介
1）解决的是无约束非线性规划问题；
2）是求解函数极值的一种方法：
3）沿函数在该点处目标函数下降最快的方向作为搜索方向;
3.2最速下降法算法原理和步骤
就速卜降法的迭代公式是
九是从严出发沿方向屮进彳f 一维搜索的步长，即花满足
f （x'k, +入皿"）=mnf （x lk ） +M"） a 计算步骤如下; （冷绘圧初点兰门£ ” '允许误差
e>O T KI = L
（2）计算搜索方向d 出—vy （x （H ）.
⑶若I & I!（，则停止计算;否则，从厂出发，沿进行一维搜索，求秸，使
f(x ' )= mnf(x + Ad '、、
（4）令严山=r ,i, Ufl ，置* =左+ 1，转步骤（2）.
4•模式搜索法（步长加速法）
4.1简介
1） 解决的是无约束非线性规划问题；
2） 不需要求目标函数的导数，所以在解决不可导的函数或者求导异常麻烦的函 数的优化问题时非常有效。
3） 模式搜索法每一次迭代都是交替进行轴向移动和模式移动。
轴向移动的目的 是探测有利的下降方向，而 模式移动的目的则是沿着有利方向加速移动。
4.2模式搜索法步骤
(10. L 10) 其中旷是从中咄发的搜索方向,
处的量速下睫方I 治 E|J (10.1 J1) 这里取在点
模式搜索法
(加轴向移动用y表示
•每次轴侖移动的开姑点称为参耆点
♦心•…给定的初始魚.—初抬秦考点拆+尸$
片対广…第盘+1次轴向移动揩束时所得到的点，丈=1Z…
•若/＜可叮》弋才(刃)，闻从点工屮出发作按式瘪动一轴侖#多动匱功模式移动
■否碰*判断界否有骯V e( £夬给定的允许慢总)？若有•选代终止；轴向移动失叱找到近似漲优解
|若无，且斗利=岭*则嵋短步长.仍从点打岀发进行下•次轴向移弧
■若无，总大小工斗，耐从点岭岀发用步长击进行下枚轴闵移动
5.评价函数法
5.1简介
评价函数法是求解多目标优化问题中的一种主要方法。
在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，多目标最优化的数学描述如下：
min (f_1(x),f_2(x),…,f_k(x))
s.t. g(x)v=O
传统的多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数, 经处理或数
学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。
常用的方法有
“线性加权和法”、“极大极小法”、“理想点法”。
选取其中一种线性加权求合法介绍。
5.2线性加权求合法
6.遗传算法
智能优化方法是通过计算机学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，进
而达到优化的一种方法，主要有人工神经网络法，遗传算法和模拟退火法等。
6.1遗传算法基本概念
1.个体与种群
个体就是模拟生物个体而对问题中的对象（一般就是问题的解）的一种称呼' 种群就是模拟生物种群而由若干个体组成的群体，它一般是整个搜索空间的一个很小的子集。
2.适应度与适应度函数
适应度就是借鉴生物个体对环境的适应程度，而对问题中的个体对象所设计的表征其优劣的一种测度。
适应度函数就是问题中的全体个体与其适应度之间的一个对应关系。
该函数就是遗传算法中指导搜索的评价函数。
6.2 遗传算法基本流程
(〔结束
「)
遗传算法的中心思想就是对一定数量个体组成的生物种群进行选择、交叉、
变异等遗传操作，最终求得最优解或近似最优解。
遗传算法步骤
步1在搜索空间U上定义一个适应度函数f(x)，给定种群规模N,交叉率Pc 和变异率Pm代数T；
步2随机产生U中的N个个体s1, s2,…,sN,组成初始种群S={s1, s2,…, sN}，置代数计数器t=1 ;
步3计算S中每个个体的适应度f();
步4若终止条件满足，则取S中适应度最大的个体作为所求结果，算法结束。
步5负责继续进行选择、交叉、变异等遗传操作，重复以上步骤，直到达到最优结果。