高中数学必修一专题：求函数的定义域与值域的常用方法

函数的定义域与值域的常用方法
（一）求函数的解析式
1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0；
2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；
3、求函数解析式的一般方法有：
（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；
（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；
（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；
（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

（二）求函数定义域
1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；
2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；
3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；
4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；
5、分段函数的定义域是各个区间的并集；
6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；
7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；
（三）求函数的值域
1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；
2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C是B的子集；若C ＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”；
3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；
4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；
5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；
6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；
（四）求函数的最值
1、设函数y＝f（x）定义域为A，则当x∈A时总有f（x）≤f（x o）＝M，则称当x＝x o时f（x）取最大值M；当x∈A时总有f（x）≥f（x1）＝N，则称当x＝x1时f（x）取最小值N；
2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；
3、闭区间的连续函数必有最值。

【典型例题】
考点一：求函数解析式
1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。

例1. 已知函数y＝f（x）满足xy＜0，4x2－9y2＝36，求该函数解析式。

解：由4x2－9y2＝36可解得：
3
3
3
x
y
x
⎧
>
⎪
⎪
=±=⎨
⎪
<-
⎪⎩。

说明：
这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成
y=
的形式。

2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个参变量的值。

例2. 已知在一定条件下，某段河流的水流量y与该段河流的平均深度x成反比，又测得该段河流某段平均水深为2m时，水流量为340m3/s，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。

解：设
k
y
x
=
，代入x，y的值可求得反比例系数k＝780m3/s，故所求函数关系式为
780
,0
y x
x
=>。

3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。

例3. 已知
2
2
11
()
x x x
f
x x
+++
=
，试求
()
f x。

解：设
1
x
t
x
+
=
，则
1
1
x
t
=
-，代入条件式可得：2
()1
f t t t
=-+，t≠1。

故得：2
()1,1
f x x x x
=-+≠。

说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。

4、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联
立求解。

例4. （1）已知21
()2()345
f x f x x x +=++，试求()f x ；
（2）已知
2
()2()345f x f x x x +-=++，试求()f x ； 解：（1）由条件式，以1x 代x ，则得2111
()2()345f f x x x x +=++，与条件式联立，消去
1f x ⎛⎫
⎪
⎝⎭，则得：
()2
22845333x f x x x x =
+--+。

（2）由条件式，以－x 代x 则得：2
()2()345f x f x x x -+=-+，与条件式联立，消去()f x -，则得：
()25
43f x x x =-+。

说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。

5、实际问题中的函数解析式：这是高考的一个热点题型，一般难度不大，所涉及知识点也不多，关键是合理设置变量，建立等量关系。

例5. 动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点B 出发，顺次经过C 、D 再到A 停止。

设x 表示P 行驶的路程，y 表示PA 的长，求y 关于x 的函数。

解：由题意知：当x ∈［0，1］时：y ＝x ；
当x ∈（1，2）时：
2
1y x =+ 当x ∈（2，3）时：()
2
31
y x =
-+
故综上所述，有
[]
()22
,0,11,(1,2]31,(2,3]x x y x x x x ⎧∈=+∈-+∈
考点二：求函数定义域
1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。

例6.
求
34
x y x +=-的定义域。

解：由题意知：204x x +>⎧⎪⎨
≠⎪⎩
，从而解得：x>－2且x ≠±4.故所求定义域为：
{x|x>－2且x ≠±4}。

2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。

例7. 已知函数由下表给出，求其定义域
3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f （u ）的定义域可以确定内函数g
（x ）的范围，从而解得x ∈I
1，又由g （x ）定义域可以解得x ∈I 2.则I 1∩I 2即为该复合函数的定义域。

也可先求出复合函数的表达式后再行求解。

()()(())f x g x y f g x =
=
=例8
已知求的定义域.
解：
()3()33f x x g x =≥⇒≥⇒
≥*
由
又由于x 2－4x ＋3>0 ** 联立*、**两式可解得：
1313x x x x x ≤<<≤⎧⎪
≤<<≤⎨⎪⎪⎩⎭
或
故所求定义域为或
例9. 若函数f （2x ）的定义域是［－1，1］，求f （log 2x ）的定义域。

解：由f （2x ）的定义域是［－1，1］可知：2－
1≤2x ≤2，所以f （x ）的定义域为［2－
1，2］，故log 2x ∈［2
－1
，2］4x ≤≤，故定义域为⎤
⎦。

4、求解含参数的函数的定义域：一般地，须对参数进行分类讨论，所求定义域随参数取值的不同而不同。

例10.
求函数()f x =
解：若0a =，则x ∈R ； 若0a >，则1
x a ≥-； 若0a <，则1x a
≤-； 故所求函数的定义域：
当0a =时为R ，当0a >时为1|x x a ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭，当0a <时为1|x x a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭。

说明：此处求定义域是对参变量a 进行分类讨论，最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式，必须根据a 的不同取值范围分别论述。

考点三：求函数的值域与最值
求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。

1、分离变量法
例11. 求函数
23
1x y x +=
+的值域。

解：()2112312111x x y x x x +++===++++，因为10
1x ≠+，故y≠2，所以值域为{y|y≠2}。

说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x ，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。

2、配方法
例12. 求函数y ＝2x 2＋4x 的值域。

解：y ＝2x 2＋4x ＝2（x 2＋2x ＋1）－2＝2（x ＋1）2－2≥－2，故值域为{y|y≥－2}。

说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。

类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如y ＝af 2（x ）＋bf （x ）＋c 。

3、判别式法
例13. 求函数22
23
456
x x y x x ++=++的值域。

解：22
23456x x y x x ++=++可变形为：（4y －1）x 2＋（5y －2）x ＋6y －3＝0，由Δ≥0可解得：
26632663,7171y ⎡⎤-+∈⎢⎥
⎣⎦。

说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。

要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x 的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故Δ≥0。

4、单调性法 例14. 求函数2
3y x
-=
+，x ∈［4，5］的值域。

解：由于函数
23y x -=
+为增函数，故当x ＝4时，y min ＝25；当x ＝5时，y max ＝513，所以函数的值域为
513,25⎡⎤
⎢⎥⎣⎦。

5、换元法
例15. 求函数241y x x =+-的值域。

解：令10t x =-≥，则y ＝－2t 2＋4t ＋2＝－（t －1）2＋4，t≥0，故所求值域为{y|y ≤4}。

6、分段函数的值域：应为各区间段上值域的并集。

例16. 求函数2
,[1,2]
,(2,3]21,(3,4]x x y x x x x ∈⎧⎪=∈⎨⎪-∈⎩
的值域。

解：当x ∈［1，2］时，y ∈［1，2］；当x ∈(2，3］时，y ∈(4，9］；当x ∈(3，4］时，y ∈(5，7］。

综上所述，y ∈［1，2］∪(3，9］。

7、图像法：
例17设f (x )＝2
,2,
,<1,
x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩≥若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数y ＝g (x )的值域是 ( )
A.(－∞，－1]∪[1，＋∞)
B.(－∞，－1]∪[0，＋∞)
C.[0，＋∞)
D.[1，＋∞)
解析：如图为f (x )的图象，由图象知f (x )的值域为(－1，＋∞)，
若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，只需g (x )∈(－∞，－1]∪[0，＋∞). 故选B.
8、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

例18求函数1212x
x
y -=+的值域。

解：由1212x x
y -=+解得121x
y y -=+，
∵20x
>，∴
101y
y
->+，∴11y -<< ∴函数1212x
x
y -=+的值域为(1,1)y ∈-。

9、有界性求法：利用某些函数有界性求得原函数的值域。

例19：求函数221
1
x y x -=+的值域。

解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R ，对函数进行变形可得2
(1)(1)y x y -=-+，
∵1y ≠，∴2
1
1
y x y +=-
-（x R ∈，1y ≠）， ∴1
01
y y +-
≥-，∴11y -≤<， ∴函数221
1
x y x -=+的值域为{|11}y y -≤<。