最新科学计算与数学建模第五章

用矩阵法描述的约化过程即为：
2 2 2 1
2 2 2 1
2 2 2
A,b3 2 4
1 3 9
1
1/2 (1) 5/2r1(32)r2r2
0
0
1 1 28
1
2
(2) 0 0 r2 2 r3 r3
1 0
1 10
1 0
r1(12)r3r3
❖ 这种求解过程称为具有回代的高斯消去法。
❖ 此例可见Gauss消去法的基本思想是：用矩阵A的初等行变换将系数 矩阵化为具有简单形式的矩阵（如上三角阵，单位矩阵等），而三角形 方程组是很容易回代求解的。
AX 为b， 方便， AA(1) (ai(j1))nn，b b ( 1 ) ( b 1 ( 1 ),b 2 ( 1 ), b n ( 1 )) T ， d e tA 0
则消去法为：
第1步： a（111）计 算0，
mi1 aa1i((1111))用(i2,3,乘4 n), 的第一m方i1 程加 5到.3第.7 个方
❖第 k ， k1,2, 步n，1继续上述过程消元。设第 步到第1 步计算k 已 1完成，
得到与原方程组等价的方程组：
a1(11)
a(1) 12
a(2) 22
a(1) 1n
a(2) 2n
x1 x2
bb12((12))
a(k) kk
a(k) kn
x3bk(k)
a(k) nk
a(k) nn
程中去
i （即实行行（ 的i初2等,3变, 换n）)。
R m i1•R 1 R i(i，2 消,3 去, 第n)2个到第n个方程中的未知数 得与 x 1 ,
5.3.等7 价方程组：
a1(1 1)
a(1) 12
a(2) 22
a(2) n2
a a2 i((n1 2n))xx1 2b b1 2((1 2))
xn
bn(k)
(5 .3 .9 )
记为 A(K)X，b((下k) 面进行第 步消k元法：
❖
设
a
( k
k k
)
，0计算乘数
m ikai(kk)ak(kk)(kk1, n)，
❖ 用 m ik（5.中3.9第） 个方k 程加到第 个方程i
（ ik1，， 消n)去， 中
第 （个5方.3.程9）
i 的未知（ 数ik1，，n)
科学计算与数学建模第五章
第五章 小行星轨道方程计算问题
——线性方程组求解的直接法 5.1 小行星轨道方程问题 5.2 线性方程组直接解法概述 5.3 直接解法 5.4 小行星轨道方程问题的模型求解
❖解：第 1 步，（5.3.1）（加到32） ，（5.3.2） 加到5.3.1， (得 1等2)价方程(5组.3 .3：)
a(2) 22
a(1) 1n
a(2) 2n
x1 x2
bb12((12))
a(n) nn
xn
bn(n)
(5.3.12)
再用回代法求解 （5.3的.12解），计算公式为：
xn
b(n)
a(n) nn
n
(bi(i) ai(ji)xj)
xi
ji1
a(i) ii
,(i n1,n2,
1)
xk
得到与原方程组等价的方程组：
a1(11)
a(1) 12
a(2) 22
a(k ) kk
a(k ) k ,k 1
a(k 1) k 1,k 1
a(k 1) n,k 1
a(1) 1n
a(2) 2n
x1
x2
b(1) 1
b(2) 2
a(k ) kn
a(k 1) k 1,n
an(2 n)xn bn(2)
(5.3.8)
记为：A(2)X其b中(2)
为：
（式5中.3.元8）素 为进一步a i(需j 2 ) 要计算的元素，公式
a i ( j 2 ) a i ( j 1 ) m i 1 a 1 ( 1 j ) ， ( i ,j 2 , 3 n ) ， b i ( 2 ) b i ( 1 ) m i 1 b 1 ( 1 ) , i 2 , 3 ,n
2x12x2 2x3 1 x2 x3 1
2x2 8x3 2
第 2 步，
加到 得等价的方程组：
5.3.42 （5.3.5）
2x12x22x3 1 x2x3 1
10x3 0
(5.3.4) (5.3.5)
(5.3.6)
第 3 步，回代法求解 （5.3即.6可）求得该方程组的解为：
x30, x21 , x112.
(5.3.13)
元素 称a 为k( kk ) 约化的主元素。将 （化5为.3.7） 的（过5程.3称.1为2消）元过程。
由消元过程和回代过程求解线性方程组的方法称为Gauss 消去法。
的求解过程 称为回代过程。
（5.3.12）
（5.3.13）
❖ 定理（Gauss消去法）设AXb,AR若n约n。化的主元素
bi(k1)
b(k) i
mikbk(k)
(i k 1,
n) ,k1,2 n1 n)
一般的，设有个未知数的线性方程组为：
a11x1a12x2 a1nxn b1 a21x1a22x2 a2nxnb2 an1x1an2x2 annxn bn
(5.3.7)
设 A （ a ij) n n， X ( x 1 ,x 2 ,x n ) 则T ， b ( b 化1 ,b 为2 ,：b n ) T ， 5 .3 .7
b(k ) k
bk(
k 1) 1
a(k 1) n,n
xn
bn(k
1)
(5.3.10)
❖ 记为A(k1)X其b(k中1)
A中(k元1),素b(k计1）算公式为：
Hale Waihona Puke Baidu
ai(jk1)ai(jk)m ikak(jk) (i,jk1, n) bi(k1)bi(k)m ikbk(k) (ik1. n)
a(k) kk
则0,可k通1,2过
n
Gauss消去法（不进行两行的初等变换—两行交换位置）将方程组化为等
价的三角形方程组 。消（元5.和3.求12）解的计算公式为：
1、消元计算
mik
ai(jk1)
a(k) ik
a(k) kk
a(k) ij
mik
a(k kj
)
(i
k 1, (i, j k
n) 1,
A(k1)与 A （ k） 前 k行 元 素 相 同 ， b(k1)与 b(k)前 k个 元 素 相 同
(5.3.11)
最后，重复上述过程，即 k1,2且,3设 n1; 消元计算n， 1得到与 等价的三角（形5.方3.7程）组。
ak(kk)共0(完k成1,2, n步1)，
a1(11)
a(1) 12