高中物理竞赛辅导讲义-第1篇-静力学
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F
α
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
―6―
13．质量为 M 的均匀梯子，一端靠在光滑的竖直墙面上，另一端置于水平地面上。杆与水 平面间的静摩擦系数为 μ。一个质量为 m 的人沿梯缓慢往上爬，为保证人的安全，梯子应 如何放置？
14．如图所示，静止的圆锥体竖直放置，顶角为 α。质量为 m 且分布均匀的软绳水平地套 在圆锥体上，忽略软绳与圆锥体之间的摩擦力。试求软绳中的张力。 α m
B
C
―3―
6．重为 G 的物体与水平地面间的动摩擦因数为 μ，一人欲用最小的作用力 F 使物体沿水 平地面做匀速运动，试求此最小作用力的大小和方向？
7．如图所示，质量为 M 的木锲斜面倾角为 θ，在水平面上保持静止，当将一质量为 m 的 木块放在斜面上时正好匀速下滑，如果用沿与斜面成 α 角的力 F 拉着木块匀速上升，要使 F 最小，α 应为多大？F 最小值为多少？此时水平面对木锲 M 的摩擦力多大？ F α m M θ
α B
10．有六个完全相同的刚性长条薄片 AiBi（i=1，2，……，6） ，其两端下方各有一个小突 起，薄片及突起的重力均可不计。现将六个薄片架在一只水平的碗口上，使每个薄片一端 的小突起 Bi 搭在碗口上，另一端小突起 Ai 位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所 示。若将一质量为 m 的质点放在薄片 A6B6 上的一点，这一点与此薄片中点的距离等于它 与小突起 A6 的距离，求薄片 A6B6 中点所受 A1 的压力。 B4
―4―
9． 在一个与水平面成 α 角的粗糙斜面上放着一个物体 A， 它系于一个不可伸长的细绳上， 绳子的另一端 B 通过小孔 C 穿出底面，如图所示，开始时 A、C 等高。当 A 开始下滑时， 适当地拉动绳端 B，使 A 在斜面上缓慢划过一个半圆到达 C。求 A 和斜面之间的动摩擦因 数 μ。
A C
高中物理竞赛辅导讲义
第1篇 静力学
【知识梳理】 一、力和力矩 1．力与力系 （1）力：物体间的的相互作用 （2）力系：作用在物体上的一群力 ①共点力系 ②平行力系 ③力偶 2．重力和重心 （1）重力：地球对物体的引力（物体各部分所受引力的合力） （2）重心：重力的等效作用点（在地面附近重心与质心重合） 3．力矩 （1）力的作用线：力的方向所在的直线 （2）力臂：转动轴到力的作用线的距离 （3）力矩 ①大小：力矩=力×力臂，M=FL ②方向：右手螺旋法则确定。 右手握住转动轴，四指指向转动方向，母指指向就是力矩的方向。 ③矢量表达形式： M r F （矢量的叉乘） ， | M || r | | F | sin 。 4．力偶矩 （1）力偶：一对大小相等、方向相反但不共线的力。 （2）力偶臂：两力作用线间的距离。 （3）力偶矩：力和力偶臂的乘积。 二、物体平衡条件 1．共点力系作用下物体平衡条件： 合外力为零。 （1）直角坐标下的分量表示 ΣFix = 0，ΣFiy = 0，ΣFiz = 0 （2）矢量表示 各个力矢量首尾相接必形成封闭折线。 （3）三力平衡特性 ①三力必共面、共点；②三个力矢量构成封闭三角形。 2．有固定转动轴物体的平衡条件： 合力矩为零。
―7―
15．如图所示，一个半径为 R 的四分之一光滑球面置于水平桌面上。球面上有一条光滑匀 质软绳， 一端固定于球面顶点 A， 另一端恰好与桌面不接触， 且单位长度软绳的质量为 ρ。 求： （1）软绳 A 端所受的水平拉力； （2）软绳所受球面的支持力； （3）软绳重心的位置。 A
R O B
16．直径分别为 d 和 D 的两个圆柱体，置于同一水平粗糙平面上，如图所示。在大圆柱上 绕以绳子，作用在绳端的水平拉力为 F，设所有接触处的摩擦因数均为 μ，试求大圆柱能 翻过小圆柱时，μ 值必须满足的条件。 F
4．半径为 R、质量为 M 的均匀圆球与一质量为 m 的重物分别用细绳 AB 和 ACD 悬于同一 点 A，并处于平衡状态，如图所示。已知悬点 A 到球心 O 的距离为 L，不考虑绳的质量和 绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳 AB 与竖直方向的夹角 θ。
A
θ
B
O
C D
5．一根细棒 AB，A 端用铰链与天花板相连，B 端用铰链与另一细棒 BC 相连。二棒长度 相等， 限于在图示的竖直面内运动， 且不计铰链处的摩擦。 当在 C 端加一个适当的外力 （与 AB、BC 在一个平面内）可使二棒静止在图示位置，即二杆相互垂直，且 C 端在 A 端的正 下方。 （1）不论二棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向范围内？试说明理由。 （2）如果 AB 棒质量为 m1，BC 棒质量为 m2，求此外力的大小和方向。 A （3）此时 BC 棒对 AB 棒的作用力的大小是多少？
8．有一根长度为 L、重力为 G 的匀质杆，B 端压在粗糙的水平地面上。A 端用一根足够牢 的绳斜拉在地上，绳和竖直方向的杆的夹角为 θ。在离 B 端 aL 的地方，有一个水平力 F。 问： （1）杆的 B 端和地面之间的静摩擦因数至少多大，才能维持杆静止？ （2）如果杆的 B 端与地面之间的静摩擦因数为 μ0，那么在杆上有一点 D，在 AD 之间不 论施加多大的水平力 F，都不会破坏杆的平衡。求 D 点的位置。 A θ F aL B
―1―
3．一般物体的平衡条件： （1）合外力为零。 （2）合力矩为零。 4．摩擦角及其应用 （1）摩擦力 ①滑动摩擦力：fk = μkN （μk－动摩擦因数） ②静摩擦力：fs ≤ μsN （μs－静摩擦因数） ③滑动摩擦力方向：与相对运动方向相反 （2）摩擦角：正压力与正压力和摩擦力的合力之间夹角。 ①滑动摩擦角：tanθk=μ ②最大静摩擦角：tanθsm=μ ③静摩擦角：θs≤θsm （3）自锁现象 三、平衡的种类 1．稳定平衡： 当物体稍稍偏离平衡位置时， 有一个力或力矩使之回到平衡位置， 这样的平衡叫稳定平衡。 2．不稳定平衡： 当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使它的偏离继续增大，这样的平衡叫不稳定 平衡。 3．随遇平衡： 当物体稍稍偏离平衡位置时， 它所受的力或力矩不发生变化， 它能在新的位置上再次平衡， 这样的平衡叫随遇平衡。 【例题选讲】 1．如图所示，两相同的光滑球分别用等长绳子悬于同一点，此两球同时又支撑着一个等 重、等大的光滑球而处于平衡状态，求图中 α（悬线与竖直线的夹角）与 β（球心连线与 竖直线的夹角）的关系。 α α
ββ 2．如图所示，有三个质量相等，半径为 r 的圆柱体，同置于一块圆弧曲面上，为了使下 面圆柱体不致分开，则圆弧曲面的半径 R 最大是多少？（所有摩擦均不计） R
―2―
3．如图所示，质量为 m 长为 L 的均匀直杆一端 A 用铰链与天花板相连，在另一端 B 悬挂 一质量为 M 的重物，并在 B 端施加一水平方向的外力使杆与水平方向夹角为 θ。 （1）求水平外力的大小。 θ （2） 若改变外力的方向而杆的方向不变， 求使杆保持平衡的最小外力。 A F B M
B5 A1 A6 m A4 A2 B1 A3 B2 A5 B3
B6
―5―
11．如图所示，光滑半球壳直径为 a，与一光滑竖直墙面相切，一根均匀直棒 AB 与水平 成 60°角靠墙静止，求棒长。
A O
B
12．如图所示，对均匀细杆的一端施力 F，力的方向垂直于杆。要将杆从地板上慢慢地无 滑动地抬起，试求杆与地面间的最小摩擦因数。
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α
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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13．质量为 M 的均匀梯子，一端靠在光滑的竖直墙面上，另一端置于水平地面上。杆与水 平面间的静摩擦系数为 μ。一个质量为 m 的人沿梯缓慢往上爬，为保证人的安全，梯子应 如何放置？
14．如图所示，静止的圆锥体竖直放置，顶角为 α。质量为 m 且分布均匀的软绳水平地套 在圆锥体上，忽略软绳与圆锥体之间的摩擦力。试求软绳中的张力。 α m
B
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6．重为 G 的物体与水平地面间的动摩擦因数为 μ，一人欲用最小的作用力 F 使物体沿水 平地面做匀速运动，试求此最小作用力的大小和方向？
7．如图所示，质量为 M 的木锲斜面倾角为 θ，在水平面上保持静止，当将一质量为 m 的 木块放在斜面上时正好匀速下滑，如果用沿与斜面成 α 角的力 F 拉着木块匀速上升，要使 F 最小，α 应为多大？F 最小值为多少？此时水平面对木锲 M 的摩擦力多大？ F α m M θ
α B
10．有六个完全相同的刚性长条薄片 AiBi（i=1，2，……，6） ，其两端下方各有一个小突 起，薄片及突起的重力均可不计。现将六个薄片架在一只水平的碗口上，使每个薄片一端 的小突起 Bi 搭在碗口上，另一端小突起 Ai 位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所 示。若将一质量为 m 的质点放在薄片 A6B6 上的一点，这一点与此薄片中点的距离等于它 与小突起 A6 的距离，求薄片 A6B6 中点所受 A1 的压力。 B4
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9． 在一个与水平面成 α 角的粗糙斜面上放着一个物体 A， 它系于一个不可伸长的细绳上， 绳子的另一端 B 通过小孔 C 穿出底面，如图所示，开始时 A、C 等高。当 A 开始下滑时， 适当地拉动绳端 B，使 A 在斜面上缓慢划过一个半圆到达 C。求 A 和斜面之间的动摩擦因 数 μ。
A C
高中物理竞赛辅导讲义
第1篇 静力学
【知识梳理】 一、力和力矩 1．力与力系 （1）力：物体间的的相互作用 （2）力系：作用在物体上的一群力 ①共点力系 ②平行力系 ③力偶 2．重力和重心 （1）重力：地球对物体的引力（物体各部分所受引力的合力） （2）重心：重力的等效作用点（在地面附近重心与质心重合） 3．力矩 （1）力的作用线：力的方向所在的直线 （2）力臂：转动轴到力的作用线的距离 （3）力矩 ①大小：力矩=力×力臂，M=FL ②方向：右手螺旋法则确定。 右手握住转动轴，四指指向转动方向，母指指向就是力矩的方向。 ③矢量表达形式： M r F （矢量的叉乘） ， | M || r | | F | sin 。 4．力偶矩 （1）力偶：一对大小相等、方向相反但不共线的力。 （2）力偶臂：两力作用线间的距离。 （3）力偶矩：力和力偶臂的乘积。 二、物体平衡条件 1．共点力系作用下物体平衡条件： 合外力为零。 （1）直角坐标下的分量表示 ΣFix = 0，ΣFiy = 0，ΣFiz = 0 （2）矢量表示 各个力矢量首尾相接必形成封闭折线。 （3）三力平衡特性 ①三力必共面、共点；②三个力矢量构成封闭三角形。 2．有固定转动轴物体的平衡条件： 合力矩为零。
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15．如图所示，一个半径为 R 的四分之一光滑球面置于水平桌面上。球面上有一条光滑匀 质软绳， 一端固定于球面顶点 A， 另一端恰好与桌面不接触， 且单位长度软绳的质量为 ρ。 求： （1）软绳 A 端所受的水平拉力； （2）软绳所受球面的支持力； （3）软绳重心的位置。 A
R O B
16．直径分别为 d 和 D 的两个圆柱体，置于同一水平粗糙平面上，如图所示。在大圆柱上 绕以绳子，作用在绳端的水平拉力为 F，设所有接触处的摩擦因数均为 μ，试求大圆柱能 翻过小圆柱时，μ 值必须满足的条件。 F
4．半径为 R、质量为 M 的均匀圆球与一质量为 m 的重物分别用细绳 AB 和 ACD 悬于同一 点 A，并处于平衡状态，如图所示。已知悬点 A 到球心 O 的距离为 L，不考虑绳的质量和 绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳 AB 与竖直方向的夹角 θ。
A
θ
B
O
C D
5．一根细棒 AB，A 端用铰链与天花板相连，B 端用铰链与另一细棒 BC 相连。二棒长度 相等， 限于在图示的竖直面内运动， 且不计铰链处的摩擦。 当在 C 端加一个适当的外力 （与 AB、BC 在一个平面内）可使二棒静止在图示位置，即二杆相互垂直，且 C 端在 A 端的正 下方。 （1）不论二棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向范围内？试说明理由。 （2）如果 AB 棒质量为 m1，BC 棒质量为 m2，求此外力的大小和方向。 A （3）此时 BC 棒对 AB 棒的作用力的大小是多少？
8．有一根长度为 L、重力为 G 的匀质杆，B 端压在粗糙的水平地面上。A 端用一根足够牢 的绳斜拉在地上，绳和竖直方向的杆的夹角为 θ。在离 B 端 aL 的地方，有一个水平力 F。 问： （1）杆的 B 端和地面之间的静摩擦因数至少多大，才能维持杆静止？ （2）如果杆的 B 端与地面之间的静摩擦因数为 μ0，那么在杆上有一点 D，在 AD 之间不 论施加多大的水平力 F，都不会破坏杆的平衡。求 D 点的位置。 A θ F aL B
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3．一般物体的平衡条件： （1）合外力为零。 （2）合力矩为零。 4．摩擦角及其应用 （1）摩擦力 ①滑动摩擦力：fk = μkN （μk－动摩擦因数） ②静摩擦力：fs ≤ μsN （μs－静摩擦因数） ③滑动摩擦力方向：与相对运动方向相反 （2）摩擦角：正压力与正压力和摩擦力的合力之间夹角。 ①滑动摩擦角：tanθk=μ ②最大静摩擦角：tanθsm=μ ③静摩擦角：θs≤θsm （3）自锁现象 三、平衡的种类 1．稳定平衡： 当物体稍稍偏离平衡位置时， 有一个力或力矩使之回到平衡位置， 这样的平衡叫稳定平衡。 2．不稳定平衡： 当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使它的偏离继续增大，这样的平衡叫不稳定 平衡。 3．随遇平衡： 当物体稍稍偏离平衡位置时， 它所受的力或力矩不发生变化， 它能在新的位置上再次平衡， 这样的平衡叫随遇平衡。 【例题选讲】 1．如图所示，两相同的光滑球分别用等长绳子悬于同一点，此两球同时又支撑着一个等 重、等大的光滑球而处于平衡状态，求图中 α（悬线与竖直线的夹角）与 β（球心连线与 竖直线的夹角）的关系。 α α
ββ 2．如图所示，有三个质量相等，半径为 r 的圆柱体，同置于一块圆弧曲面上，为了使下 面圆柱体不致分开，则圆弧曲面的半径 R 最大是多少？（所有摩擦均不计） R
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3．如图所示，质量为 m 长为 L 的均匀直杆一端 A 用铰链与天花板相连，在另一端 B 悬挂 一质量为 M 的重物，并在 B 端施加一水平方向的外力使杆与水平方向夹角为 θ。 （1）求水平外力的大小。 θ （2） 若改变外力的方向而杆的方向不变， 求使杆保持平衡的最小外力。 A F B M
B5 A1 A6 m A4 A2 B1 A3 B2 A5 B3
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11．如图所示，光滑半球壳直径为 a，与一光滑竖直墙面相切，一根均匀直棒 AB 与水平 成 60°角靠墙静止，求棒长。
A O
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12．如图所示，对均匀细杆的一端施力 F，力的方向垂直于杆。要将杆从地板上慢慢地无 滑动地抬起，试求杆与地面间的最小摩擦因数。
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