高中数学-抛物线及其标准方程PPT课件
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高中数学选修2-1抛物线及其标准方程 (共27张PPT)
本节思维导图
抛物线及其标准方程
定义 定义
标 标准方程
简单应用
体现的数学思想
求求求 准焦标 线点准 方坐方 程标程 。；；
求利 最用 小定 值义
想数 形 结 合 思
想类 比 类 转 比 化 思
想分 类 分 讨 类 论 思
1.人教A版选修2-1第73页习题2.4A组1,2 题
2.根据抛物线方程试研究抛物线有那些 简单性质？ 3.初中学过二次函数，你能用抛物线的 定义证明它的图像是抛物线吗？
3.为什么定义中强调点F不在l上?请思考.
l
F
P
若点F在l上,则动点P的轨迹是过点 F且垂 直直线l的一条垂线
1.比较椭圆,双曲线标准方程的建立过程,如 何选择坐标系,使 你所得方程更简单? 选取对称轴为坐标轴,抛物线顶点为原点. 2.有几种建系方法? 四种
y y y x x x x
y
3.设点F到直线l的距离为p,分组推 导抛物线的标准方程
代入点M的坐标 可得：
反思：要求解前先画图，想问题要全面
题型三.求最值
思考：你能根据题设，合理画出图形吗？
点A 在抛物线的什么位置？何时线段和
最小？
画图分析，自主解题(学生叙述，老师板演）
l
巧 用 定 义 得 转 化
解：过点 P做PK垂 直于准线l，垂足为 K，根据抛物线的 定义，|PF|=|PK|.所 以 |PF|+|PA|=|PK|+|PA|
所以|PA|+|PK|=|PA|+|PF|
y
F
x
y
x
所以当A,P,F三点共线 时,|PA|+|PK|取最小值. 因为A(3,5),F(0.5,0)
4.3.1抛物线的标准方程 课件(共14张PPT)
程为 x 3 .
2
2
活动 3 巩固练习，提升素养
例1 （2）已知抛物线的焦点坐标是 F(0,-2)，求它 的标准方程.
解（2）因它的标准方程为为焦点在 y 轴的负半轴上， 并且 p 2，p 4 ，所以所求方程是
2
x2 8 y
课堂小结
y2 2 px p＞0或y2 2 px p＞0 x2 2 py p＞0或x2 2 py p＞0
试一试 第一步：在画板上画一条直线 l，使 l 与画板左侧的边
线平行； 第二步：再在直线 l 外画一个定点 F．取一个丁字尺靠
紧画板左侧外沿，丁字尺和直线垂直且相交于点 P，在丁 字尺的另一端取一点 Q， 将一条长度等于 PQ 的细绳，一 端固定在点 Q ，另一端固定在点 F；
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
F p ，0 ，准线为 x p ．
2
2
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
设 M(x,y) 是抛物线上一点，则 M 到 F 的距离为
MF
x
p 2
2
y2
，M
到直线
l
的距离为
x
p 2
，所以
x p 2 y2 x p .
2
2
将上式两边平方，并化简得
y2 2 px p＞0．
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
抛物线的标准方程还有其他几种形 ：y2 2 px， x2 2 py x2 2 py ，它们的焦点、准线方程以及图形如表中所示：
3.3.1抛物线及其标准方程(PPT)课件(人教版)
1．抛物线 y＝41x2 的准线方程是(
)
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
A 解析：因为 y＝41x2⇔x2＝4y，所以抛物线的准线方程是 y＝
－1.
2．顶点在原点，焦点是 F(0，3)的抛物线标准方程是( ) A．y2＝12x B．x2＝12y C．y2＝112x D．x2＝112y
解： (1)由于点 M(－6，6)在第二象限， 所以过点 M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在 x 轴上，设其方程为 y2＝－2px(p>0)． 将点 M(－6，6)代入，可得 36＝－2p×(－6)，所以 p＝3. 所以抛物线的方程为 y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在 y 轴上，设其方程为 x2＝2py(p>0)． 将点 M(－6，6)代入，可得 36＝2p×6，所以 p＝3， 所以抛物线的方程为 x2＝6y. 综上所述，抛物线的标准方程为 y2＝－6x 或 x2＝6y.
3．已知动点 P(x，y)满足 （x－1）2＋（y－2）2＝|3x＋45y－10|， 则点 P 的轨迹是( )
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 D 解析：由题意知，动点 P 到定点(1，2)和定直线 3x＋4y－10 ＝0 的距离相等，又点(1，2)不在直线 3x＋4y－10＝0 上，所以点 P 的轨迹是抛物线．
1．已知抛物线 y2＝4x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点， 又有点 A(3，4)，则|PA|＋|PF|的最小值为________．
2 5 解析：由题意可知点 A(3，4)在抛物线的外部． 因为|PA|＋|PF|的最小值即为 A，F 两点间的距离，F(1，0)， 所以|PA|＋|PF|≥|AF|＝ 42＋22＝2 5， 即|PA|＋|PF|的最小值为 2 5.
2.4.1抛物线及其标准方程课件-高中数学选修2-1
新课讲授——抛物线的标准方程
方案三：建系，以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂
足为K.以顶点O为坐标原点，建立直角坐标系xoy.
y
H
M(x,y)
p
设动点 M( x, y) , FK p ,
则焦点 F ( p , 0) ,准线 l : x p
2
2
K o F x 限：由抛物线的定义得： MF MH
新课讲授——抛物线的标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方程. 其中 p 为正常数，表示焦点在 x 轴正半轴上.
p的几何意义是: 焦点到准线的距离 y
H
焦点坐标是 ( p , 0)
l
M（x,y）
.
F
x
开口
新课讲授——抛物线的标准方程
思考：回忆初中学过的抛物线，抛物线 是否还有其他的成员呢？
d M·
C
焦点
·F
一条经过点F且 垂直于l 的直线
l
·F ······
新课讲授——抛物线的标准方程
问题：动点M的轨迹方程是什么，即抛物线的方程 是什么呢？
♦ 探究一：建立平面直角坐标系的方案
y .M
O
.
F
x
y
M. .
Fx
y .M
O
.
F
x
l 方案(1)
l 方案(2)
l 方案(3)
哪种方案的方程更简单呢？
♦ 探究二：抛物线标准方程的其他情势
共同点：口含焦点，背对准线
新课讲授——抛物线的标准方程
图
形
焦点位置
x轴的 正半轴上
标准方程 y2=2px
焦点坐标 准线方程
p F ( ,0)
高二数学选修抛物线及其标准方程-PPT
M(x,y) 为x轴,垂足为K、以F,K得中点O
Ko F
为坐标原点建立直角坐标系xoy、
x 设 M( x, y), FK p ,
l
则焦点 F( p , 0) ,准线 l : x p
2
2
依题意得 ( x p )2 y2 | x p |
2
2
两边平方,整理得
y2 2 px( p 0)
这就就是所求得轨迹方程、
三、标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线得标准方 程、其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上、
且 p得几何意义就 焦点到准线得距离
想是:一焦点想坐:标坐是标(系2p得, 0建) ,立准还线有方没程有为其: 它x 方案2p也
﹒ ﹒ ﹒ ﹒ 会使抛物线方程得形式简单 ？
y
y
y
l
(p>0)
(0，p ) 2
yp 2
方程得特点: (1)左边就是二
次式,
y
O F
l
x
x2=-2py (0， p )
(p>0)
2
y p
(2)右边就是一 次式;决定了焦
2 点得位置、
P66思考:
二次函数 y ax2 (a 0) 得图像为什么
就是抛物线？
y ax2 (a 0) x2 1 y 1 2 p
a
a
当a>0时与当a<0时,结论都为:
焦点（0，1 )准线y=- 1
4a
4a
例1
(1)已知抛物线得标准方程就是 y 2 = 6 x ,求它得
焦点坐标及准线方程
焦点F (
3 2
,0)
准线：x =－
3 2
抛物线及其标准方程(共32张PPT)高中数学人教A版选择性必修第一册
(1)椭圆的离心率范围为0<e<1 ;(2) 双曲线的离心率的范围是e>1 ;(3)当e=1 时，它的轨迹是什么? 抛物线我们已经学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线，今天我们类比椭圆、 双曲线的研究过程与方法，研究另一类圆锥曲线——抛物线.
情景导入
02抛物线及其标准方程 P A R T 0 N E
抛物线及其标准方程
,准线为
为F
抛物线及其标准方程 从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标(x,y)都是方程①的解，以方 程①的解为坐标的点(x,y)与抛物线的焦点 的距离和它到准线 的 距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上，我们把方程①叫做抛物线 的标准方程，它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是 ,准线是 的抛物线 .
将点(一2,3)代入抛物线方程y 得
抛物线及其标准方程
∴满足条件的抛物线的标准方程为(2)直线x—y+2=0 与两坐标轴的交点为(一2,0),(0,2). 若抛物线的焦点为(一2,0),设其方程为y²=—2px(p>0).
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形 式的标准方程，抛物线的标准方程有哪些不同的形式?请探究之后填写下表. 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 y²=2px(p>0) F(2,0) x=-2 y²=-2px(p>0) F(-2,0) x=2 x²=2py(p>0) F(0,2) y=-2 x²=-2py(p>0) F(0,-2 y=2
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 求轨迹方程C P_ 建立直角坐标系?使方程形式足够简洁 !
设M(x,y) 是抛物线上一点，则M 到F的距离为则M到直线l的距离为所以上式两边平方，整理可得y²= 2px ①
情景导入
02抛物线及其标准方程 P A R T 0 N E
抛物线及其标准方程
,准线为
为F
抛物线及其标准方程 从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标(x,y)都是方程①的解，以方 程①的解为坐标的点(x,y)与抛物线的焦点 的距离和它到准线 的 距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上，我们把方程①叫做抛物线 的标准方程，它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是 ,准线是 的抛物线 .
将点(一2,3)代入抛物线方程y 得
抛物线及其标准方程
∴满足条件的抛物线的标准方程为(2)直线x—y+2=0 与两坐标轴的交点为(一2,0),(0,2). 若抛物线的焦点为(一2,0),设其方程为y²=—2px(p>0).
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形 式的标准方程，抛物线的标准方程有哪些不同的形式?请探究之后填写下表. 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 y²=2px(p>0) F(2,0) x=-2 y²=-2px(p>0) F(-2,0) x=2 x²=2py(p>0) F(0,2) y=-2 x²=-2py(p>0) F(0,-2 y=2
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 求轨迹方程C P_ 建立直角坐标系?使方程形式足够简洁 !
设M(x,y) 是抛物线上一点，则M 到F的距离为则M到直线l的距离为所以上式两边平方，整理可得y²= 2px ①
《抛物线及其标准方程一》(课件)
几何意义
抛物线的形状像一条平滑的曲线 ，它是由所有与焦点和准线等距 的点组成的。
焦点与准线
焦点
抛物线上的一个固定点，通常用大写 字母F表示。所有抛物线上的点到焦 点的距离都等于到准线的距离。
准线
抛物线所在平面内的一条定直线，通 常用小写字母l表示。准线与抛物线的 对称轴平行，且到焦点的距离等于焦 距。
抛物线与对称轴的交点，也称为抛物线的最高点或最低点。顶点的坐标可以通过 抛物线的标准方程求出。
对称轴
抛物线的一条直线，它经过顶点且与抛物线交于两点。对称轴与x轴平行或重合 ，且所有关于对称轴对称的点都在抛物线上。对称轴的方程可以通过抛物线的标 准方程求出。
02
标准方程推导与形式
标准方程推导过程
引入抛物线的定义
顶点位置
抛物线的顶点位置可以由 标准方程直接得出。
借助计算机软件进行可视化展示
使用数学软件
结合动态演示
如Mathematica、MATLAB等数学软 件，可以直接输入抛物线的标准方程， 进行可视化展示。
通过计算机软件，还可以实现抛物线 的动态演示，更直观地展示抛物线的 性质。
使用绘图工具
如GeoGebra、Desmos等在线绘图 工具，也可以方便地绘制出抛物线的 图像。
为：$d=|x+p|$。
对于开口向上或向下的抛物线， 焦点到直线上任意点的距离公式
为：$d=|y+p|$。
注意：这里的距离公式是在标准 方程下的特殊情况，对于一般的 抛物线方程，需要根据具体情况
进行推导。
03
抛物线图像绘制方法
利用描点法绘制图像
01
02
03
确定抛物线的顶点
根据抛物线的标准方程， 可以确定抛物线的顶点坐 标。
抛物线的形状像一条平滑的曲线 ，它是由所有与焦点和准线等距 的点组成的。
焦点与准线
焦点
抛物线上的一个固定点，通常用大写 字母F表示。所有抛物线上的点到焦 点的距离都等于到准线的距离。
准线
抛物线所在平面内的一条定直线，通 常用小写字母l表示。准线与抛物线的 对称轴平行，且到焦点的距离等于焦 距。
抛物线与对称轴的交点，也称为抛物线的最高点或最低点。顶点的坐标可以通过 抛物线的标准方程求出。
对称轴
抛物线的一条直线，它经过顶点且与抛物线交于两点。对称轴与x轴平行或重合 ，且所有关于对称轴对称的点都在抛物线上。对称轴的方程可以通过抛物线的标 准方程求出。
02
标准方程推导与形式
标准方程推导过程
引入抛物线的定义
顶点位置
抛物线的顶点位置可以由 标准方程直接得出。
借助计算机软件进行可视化展示
使用数学软件
结合动态演示
如Mathematica、MATLAB等数学软 件，可以直接输入抛物线的标准方程， 进行可视化展示。
通过计算机软件，还可以实现抛物线 的动态演示，更直观地展示抛物线的 性质。
使用绘图工具
如GeoGebra、Desmos等在线绘图 工具，也可以方便地绘制出抛物线的 图像。
为：$d=|x+p|$。
对于开口向上或向下的抛物线， 焦点到直线上任意点的距离公式
为：$d=|y+p|$。
注意：这里的距离公式是在标准 方程下的特殊情况，对于一般的 抛物线方程，需要根据具体情况
进行推导。
03
抛物线图像绘制方法
利用描点法绘制图像
01
02
03
确定抛物线的顶点
根据抛物线的标准方程， 可以确定抛物线的顶点坐 标。
3.3.1抛物线及其标准方程课件(人教版)
5.二次函数 = ( ≠ )的图象是抛物线吗？如果是，请写出它的焦点
坐标、准线方程.
问题1 抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨
迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
问题2 当直线l经过点F时,点的轨迹是什么？
过定点F且垂直于定直线l的一条直线.
y
M
H
•
K O
•
F
x
将上式两边平方并化简,得y2=2px(p>0).
① 我们把方程①叫做抛物线的标准方程
p
它表示焦点在 x轴正半轴上,焦点是F ( ,0)
，
2
p
准线是 x 的抛物线.
2
y2 = 2px (p＞0)其中p为正常数,表示焦点在x轴正半轴上.y
p
( , 0) ,
2
焦点坐标是:_________
p
x
准线方程为:_______2
向右
开口方向：_____
焦点到准线的距离(焦准距).
p的几何意义是：___________________
问题4 抛物线只有这一种形式吗 ？
M
H
K
•
O
•
F
x
四种不同的建立平面直角坐标系
y
y
M
H
M
y
H
y
•
K O
•
F
x
•
FO
•
K
x
F•
O•
K
K•
O•
F
M
H
x
M
x
H
抛物线方程特点
l
F
坐标、准线方程.
问题1 抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨
迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
问题2 当直线l经过点F时,点的轨迹是什么？
过定点F且垂直于定直线l的一条直线.
y
M
H
•
K O
•
F
x
将上式两边平方并化简,得y2=2px(p>0).
① 我们把方程①叫做抛物线的标准方程
p
它表示焦点在 x轴正半轴上,焦点是F ( ,0)
，
2
p
准线是 x 的抛物线.
2
y2 = 2px (p＞0)其中p为正常数,表示焦点在x轴正半轴上.y
p
( , 0) ,
2
焦点坐标是:_________
p
x
准线方程为:_______2
向右
开口方向：_____
焦点到准线的距离(焦准距).
p的几何意义是：___________________
问题4 抛物线只有这一种形式吗 ？
M
H
K
•
O
•
F
x
四种不同的建立平面直角坐标系
y
y
M
H
M
y
H
y
•
K O
•
F
x
•
FO
•
K
x
F•
O•
K
K•
O•
F
M
H
x
M
x
H
抛物线方程特点
l
F
抛物线及其标准方程 课件
解:(1)∵点(-3,2)在第二象限,
∴抛物线的标准方程可设为 y2=-2px(p>0)或 x2=2py(p>0).
把点(-3,2)的坐标分别代入 y2=-2px(p>0)和 x2=2py(p>0),得
4=-2p·(-3)或 9=2p·2,
4
3
9
2
即 2p= 或2p= .
4
3
9
2
故所求抛物线的标准方程为 y2=− 或x2= .
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可由开口向上或向下的标准形式的抛物线
通过平移得到.
求抛物线的标准方程
【例1】 试求满足下列条件的抛物线的标准方程:
(1)过点(-3,2);
(2)焦点在直线x-2y-4=0上;
5
(3)焦点到准线的距离为 .
2
分析:对于(1),需要确定 p 的值和开口方向两个条件,因为点(-3,2)
5
2
5
2
(3)由焦点到准线的距离为 , 可知p= ,
即 2p=5.
故所求的抛物线方程为 y2=5x 或 y2=-5x 或 x2=5y 或 x2=-5y.
抛物线的定义及标准方程的应用
【例2】 平面上动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,求动
点P的轨迹方程.
分析一:设点 P 的坐标为(x,y),则有 (-1)2 + 2 = || + 1,
在第二象限,所以抛物线的标准方程可设为 y2=-2px(p>0)或
x2=2py(p>0);对于(2),因为抛物线标准方程的焦点在坐标轴上,所以
求出直线 x-2y-4=0 与坐标轴的两个交点(4,0)和(0,-2),即为所求抛物
抛物线及其标准方程(优秀课件)
形状和性质
抛物线的准线是 抛物线与x轴的交
点即y=0
抛物线的准线方 程为y=p/2其中 p是抛物线的焦
距
抛物线的准线与 抛物线的顶点和 焦点构成一个直 角三角形顶点在 抛物线的顶点焦 点在抛物线的焦 点准线在抛物线
的准线
焦点和准线的关系
焦点：抛物线的中心点决定了抛物线的形状和位置 准线：与抛物线相切的直线决定了抛物线的开口方向和大小 关系：焦点和准线是抛物线的两个重要参数它们共同决定了抛物线的形状和位置 应用：在解决实际问题时可以通过焦点和准线的关系来求解抛物线的参数从而得到问题的解
抛物线形状：决定抛物线开口方向b决定抛物线对称轴位置c决定抛物线与y轴交点
抛物线顶点：(h,k)=(-b/2,f(h))其中h=-b/2k=f(h)
抛物线标准方程的应用
物理中的抛物线运 动：描述物体在重 力作用下的运动轨 迹
光学中的抛物面镜： 用于聚焦光线如望 远镜、显微镜等
建筑中的抛物线拱 ：用于建造桥梁、 隧道等结构提高稳 定性和承载力
数学中的抛物线方 程：用于求解二次 方程、研究函数性 质等
抛物线的焦点和准线
抛物线的焦点
抛物线的焦点坐标为(p/2,0) 其中p是抛物线的参数
抛物线的焦点是抛物线方程 的解
抛物线的焦点是抛物线对称 轴与抛物线相交的点
抛物线的焦点是抛物线几何 性质的重要特征
抛物线的准线
准线是抛物线的 一个重要概念它 决定了抛物线的
开口方向和大小对抛物线的影响
开口方向：决定了抛物线的对称轴位置 开口大小：决定了抛物线的对称轴与顶点的距离 开口方向和大小共同决定了抛物线的形状 开口方向和大小对抛物线的顶点、焦点、准线等参数都有影响
抛物线的作图方法
抛物线的准线是 抛物线与x轴的交
点即y=0
抛物线的准线方 程为y=p/2其中 p是抛物线的焦
距
抛物线的准线与 抛物线的顶点和 焦点构成一个直 角三角形顶点在 抛物线的顶点焦 点在抛物线的焦 点准线在抛物线
的准线
焦点和准线的关系
焦点：抛物线的中心点决定了抛物线的形状和位置 准线：与抛物线相切的直线决定了抛物线的开口方向和大小 关系：焦点和准线是抛物线的两个重要参数它们共同决定了抛物线的形状和位置 应用：在解决实际问题时可以通过焦点和准线的关系来求解抛物线的参数从而得到问题的解
抛物线形状：决定抛物线开口方向b决定抛物线对称轴位置c决定抛物线与y轴交点
抛物线顶点：(h,k)=(-b/2,f(h))其中h=-b/2k=f(h)
抛物线标准方程的应用
物理中的抛物线运 动：描述物体在重 力作用下的运动轨 迹
光学中的抛物面镜： 用于聚焦光线如望 远镜、显微镜等
建筑中的抛物线拱 ：用于建造桥梁、 隧道等结构提高稳 定性和承载力
数学中的抛物线方 程：用于求解二次 方程、研究函数性 质等
抛物线的焦点和准线
抛物线的焦点
抛物线的焦点坐标为(p/2,0) 其中p是抛物线的参数
抛物线的焦点是抛物线方程 的解
抛物线的焦点是抛物线对称 轴与抛物线相交的点
抛物线的焦点是抛物线几何 性质的重要特征
抛物线的准线
准线是抛物线的 一个重要概念它 决定了抛物线的
开口方向和大小对抛物线的影响
开口方向：决定了抛物线的对称轴位置 开口大小：决定了抛物线的对称轴与顶点的距离 开口方向和大小共同决定了抛物线的形状 开口方向和大小对抛物线的顶点、焦点、准线等参数都有影响
抛物线的作图方法
高中数学选择性必修一(人教版)《3.3.1抛物线及其标准方程》课件
32，
3或32，－
3.
2．[变结论]若本例中增加一点 A(3,2)，其他条件不变，求|MA| ＋|MF|的最小值，并求出点 M 的坐标．
解：如图，由于点 M 在抛物线上，所以|MF| 等于点 M 到其准线 l 的距离|MN|，于是|MA|＋ |MF|＝|MA|＋|MN|≥|AN|＝3＋12＝72.当 A，M， N 三点共线时，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最 小值72，这时 M 的纵坐标为 2.可设 M(x0,2)，代入抛物线方程 得 x0＝2，即 M(2,2)．
[对点练清] 1．[变结论]若本例中点 M 所在轨迹上一点 N 到点 F 的距离为 2，
求点 N 的坐标．
解：设点 N 的坐标为(x0，y0)，则|NF|＝2.又点 M 的轨迹方
程为 y2＝2x(x≠0)，所以由抛物线的定义得 x0＋12＝2，解
得 x0＝32.因为 y20＝2x0，所以 y0＝± 3，故点 N 的坐标为
谢 谢观看
[方法技巧] 求解抛物线实际应用题的 5 步骤
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的一个动点，求点 P 到点 A(0,2)
的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值． 解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线 的距离等于到焦点的距离．由图可知，当点 P， A(0,2)和抛物线的焦点 F12，0三点共线时距离 之和最小．所以最小距离 d＝ 0－122＋2－02＝ 217.
若抛物线的标准方程为 x2＝－2py(p>0)， 则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得 p＝92. ∴所求抛物线的标准方程为 y2＝－13x 或 x2＝－9y.
[方法技巧] 1．用待定系数法求抛物线标准方程的 4 步骤
抛物线及其标准方程ppt课件
l
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l（l 不经
H
过点 F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F
叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线.
准线
M
F
焦点
根据抛物线的几何特征，如图，取经过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 x 轴，垂
足为 K，并使原点与线段 KF 的中点重合，建立平面直角坐标系 Oxy.设| KF | p( p 0) ，
的值是( C)
A. 4
B.2
C.4
D.8
解析：抛物线的准线方程为：
x
p 2
，因为
M
到焦点距离为
5，所以
M
到准线
的距离1 p 5 ，即 p 8 ，则抛物线方程为 y2 16x .将1, m 代入得：m2 16 ，
2
因为 m 0，所以 m 4 .故选：C.
5.抛物线 y2 mx( m 0) 的准线方程为 x 2 ， 那么抛物线 y mx2 的焦点坐标为
焦点坐标
p 2
,
0
p 2
,
0
0,
p 2
0,
p 2
准线方程
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
四种标注方程对应抛物线的比较 相同点：
（1）顶点都是原点
（2）焦点都在坐标轴上
·
（3）焦点到准线的距离都是 p
（4）准线与焦点所在的坐标轴垂直，准线与坐标轴的交点与焦点关于原点对称，
它们与原点的距离都等于
p 2
1，得到
p
2
.
A 2.抛物线 y x 2 的焦点到双曲线 x2 y2 1 的渐近线的距离为( ) 24
3.3.1抛物线及其标准方程课件(人教版)(1)
(变量+系数正负)
✓ 看对称轴(变量)
✓ 看开口方向(系数正负)
求焦点坐标(1/4系数)
求准线方程(相反数)
【巩固1】抛物线的标准方程
练习1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 P133-2
(1) y 20 x
F (5,0), 准线 : x 5
1
( 2) x y
2
1
1
F (0, ), 准线 : y
a
2
2
法三:抛物线的焦点弦
2
x1 x2 p (焦点在x轴)
AB
y1 y2 p (焦点在y轴)
法四:圆的弦长 AB 2 r 2 d 2
FIGHTING
＋2 2＝8＋2 2，当且仅当 M′，M，N 三点共线时等
号成立．
【巩固3】抛物线的焦点弦
[引例1]已知过抛物线y 2 6 x的焦点F的直线l与抛物线交于A, B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60, 求 AB 的值.
(2)若 AB 9, 求线段AB的中点M到准线的距离.
3
3
解 : (1) F ( ,0), l : y 3 ( x )
若B(3,2), 求 PB PF 的最小值及此时点P的坐标;
Q
Q'
P
B
析 : 过P作准线的垂线, 垂足为Q.
| PB | | PF || PB | | PQ |
| Q' B | (当BQ与准线垂直时等号成立)
3 1 4
将P( x,2)代入方程得4 4 x, x 1. P(1,2)
p
p
设M ( x, y), FK p, 则焦点F ( ,0), 准线l : x .
3.3.1抛物线及其标准方程-课件(共26张PPT)
(2)抛物线实质上就是双曲线的一支.( × )
(3)若抛物线的方程为2 = −4,则其中的焦参数 = −2.( × )
(4)抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴.( × )
1
上
2.抛物线x2= 2 y的开口向____,焦点坐标为
1
(0, )
8
,准线方程是
=−
1
8
.
典例剖析
例1
(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程;
D. y 2 2ax
4.以坐标轴为对称轴，焦点在直线 3x 4 y 12 0 上的抛物线的标准方程为（ C ）
A. x 2 16 y 或 y 2 12x
B. y 2 16 x 或 x 2 12 y
C. y 2 16 x 或 x2 12 y
D. x 2 16 y 或 y 2 12 x
y2=8x
.
【解析】由圆(x-2)2+y2=1可得,圆心F(2,0),半径r=1.
设所求动圆圆心为P(x,y),过点P作PM⊥直线l:x+1=0,M为垂足.
则|PF|-r=|PM|,可得|PF|=|PM|+1.
因此可得,点P的轨迹是到定点F(2,0)的距离和到直线l:x=-2的距离相等的点的集合.
由抛物线的定义可知,点P的轨迹是抛物线,定点F(2,0)为焦点,定直线l:x=-2是准线.
【解】如图建立直角坐标系，
设桥拱抛物线方程为 2 = −2( > 0)，
由题意可知， 4, −5 在抛物线上，所以 = 1.6，得 2 = −3.2，
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA’，则 2, ，
(3)若抛物线的方程为2 = −4,则其中的焦参数 = −2.( × )
(4)抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴.( × )
1
上
2.抛物线x2= 2 y的开口向____,焦点坐标为
1
(0, )
8
,准线方程是
=−
1
8
.
典例剖析
例1
(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程;
D. y 2 2ax
4.以坐标轴为对称轴，焦点在直线 3x 4 y 12 0 上的抛物线的标准方程为（ C ）
A. x 2 16 y 或 y 2 12x
B. y 2 16 x 或 x 2 12 y
C. y 2 16 x 或 x2 12 y
D. x 2 16 y 或 y 2 12 x
y2=8x
.
【解析】由圆(x-2)2+y2=1可得,圆心F(2,0),半径r=1.
设所求动圆圆心为P(x,y),过点P作PM⊥直线l:x+1=0,M为垂足.
则|PF|-r=|PM|,可得|PF|=|PM|+1.
因此可得,点P的轨迹是到定点F(2,0)的距离和到直线l:x=-2的距离相等的点的集合.
由抛物线的定义可知,点P的轨迹是抛物线,定点F(2,0)为焦点,定直线l:x=-2是准线.
【解】如图建立直角坐标系，
设桥拱抛物线方程为 2 = −2( > 0)，
由题意可知， 4, −5 在抛物线上，所以 = 1.6，得 2 = −3.2，
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA’，则 2, ，
抛物线及其标准方程 课件
抛物线及其标准方程
（一）抛物线的定义 l
平面内与一个定点F和
N
一条定直线l 的距离相
等的点的轨迹叫做抛
物线。 （定点F不在定 直线l 上）
K
F
点F叫做抛物线的焦点,
直线l 叫做抛物线的准
线。
一条经过点F且 垂直于l 的直线
想一想：定义中当直线l 经
过定点F，则点M的轨迹是
什么?
M
l
·F ······
· N M
· O
x
K
F
想一想：p的几何意义？
设|KF|=p (p>0),那么焦点F的坐标为(
p
p 2
,0),准
线 l 的方程为x=－ 2 。
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离
为d=|MN|
由抛物线的定义，
| MF | d
∵
| MF |
(x p)2 y2 2
(x p )2 y2 | x p |
（二）抛物线的标准方程
l
· N M ·F
想一想：求抛物线方程时该如何 建立直角坐标系？
y
y=ax2
y=axy2=+acx2+bx+c
oxBiblioteka 思考： 抛物线是一个怎样 的对称图形？
求抛物线的方程
y
为什么？ l
如图所示，以经过点F且垂直 于l 的直线为x轴, x轴与直线l 交于点K，与抛物线交于点O， 则O是线段KF的中点，以O为 原点,建立直角坐标系。
2
2
d | x p | 2
化简后得 :
y
l
· N M
· O
x
K
F
y2 2 px
（一）抛物线的定义 l
平面内与一个定点F和
N
一条定直线l 的距离相
等的点的轨迹叫做抛
物线。 （定点F不在定 直线l 上）
K
F
点F叫做抛物线的焦点,
直线l 叫做抛物线的准
线。
一条经过点F且 垂直于l 的直线
想一想：定义中当直线l 经
过定点F，则点M的轨迹是
什么?
M
l
·F ······
· N M
· O
x
K
F
想一想：p的几何意义？
设|KF|=p (p>0),那么焦点F的坐标为(
p
p 2
,0),准
线 l 的方程为x=－ 2 。
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离
为d=|MN|
由抛物线的定义，
| MF | d
∵
| MF |
(x p)2 y2 2
(x p )2 y2 | x p |
（二）抛物线的标准方程
l
· N M ·F
想一想：求抛物线方程时该如何 建立直角坐标系？
y
y=ax2
y=axy2=+acx2+bx+c
oxBiblioteka 思考： 抛物线是一个怎样 的对称图形？
求抛物线的方程
y
为什么？ l
如图所示，以经过点F且垂直 于l 的直线为x轴, x轴与直线l 交于点K，与抛物线交于点O， 则O是线段KF的中点，以O为 原点,建立直角坐标系。
2
2
d | x p | 2
化简后得 :
y
l
· N M
· O
x
K
F
y2 2 px
高二数学选修2-1课件抛物线及其标准方程新人教A版1.ppt
例1. 若点M到定点F(5，0)距离和它到
定直线 l : x 16 的距离的比是常数 5 ，
5
求点M的轨迹方程.
x2
y2
4
11Biblioteka 91、若点F是定直线l外一定点，动点M 到点F的距离与它到直线l的距离之比等 于常数e(e>1)，则点M的轨迹是双曲线
吗？ 是！称为双曲线的第二定义
试与椭圆的第二定义比较
B1
B
4. |
11 AF | | BF |
1 p
5.A,O, B1三点共线.
直线与抛物线的关系
尝试练习
已知抛物线y2=4x,过定点A(-2, 1)的直 线l的斜率为k,下列情况下分别求k的取值 范围： 1. l与抛物线有且仅有一个公共点； 2. l与抛物线恰有两个公共点； 3. l与抛物线没有公共点.
移动，F是抛物线的焦点，则|MF|+|MA|
的最小值是( 3 ),此时M的坐标是 (( 1 ,1) )
5.已知M是抛物线
y
1
4
x2上一动点，M
4
到其准线的距离为d1 , M到直线x+y=2的
距离为d2 , 则d1+d2的最小值是( 3 2 ).
2
y2 16x.
6. 若点M到点F（4，0）的距离比它到
直线l:x＋5＝0的距离少1，求点M的轨
迹方程.
yM
l
y2 16x或x2 8y.
y2 16x.
OF x
7.如图，一个动圆M与一个定圆C外切， 且与定直线l相切，则圆心M的轨迹是什 么？
M
l
C
以点C为焦点的抛物线.
例1 一种卫星接收天线的轴截面如图
所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴
定直线 l : x 16 的距离的比是常数 5 ，
5
求点M的轨迹方程.
x2
y2
4
11Biblioteka 91、若点F是定直线l外一定点，动点M 到点F的距离与它到直线l的距离之比等 于常数e(e>1)，则点M的轨迹是双曲线
吗？ 是！称为双曲线的第二定义
试与椭圆的第二定义比较
B1
B
4. |
11 AF | | BF |
1 p
5.A,O, B1三点共线.
直线与抛物线的关系
尝试练习
已知抛物线y2=4x,过定点A(-2, 1)的直 线l的斜率为k,下列情况下分别求k的取值 范围： 1. l与抛物线有且仅有一个公共点； 2. l与抛物线恰有两个公共点； 3. l与抛物线没有公共点.
移动，F是抛物线的焦点，则|MF|+|MA|
的最小值是( 3 ),此时M的坐标是 (( 1 ,1) )
5.已知M是抛物线
y
1
4
x2上一动点，M
4
到其准线的距离为d1 , M到直线x+y=2的
距离为d2 , 则d1+d2的最小值是( 3 2 ).
2
y2 16x.
6. 若点M到点F（4，0）的距离比它到
直线l:x＋5＝0的距离少1，求点M的轨
迹方程.
yM
l
y2 16x或x2 8y.
y2 16x.
OF x
7.如图，一个动圆M与一个定圆C外切， 且与定直线l相切，则圆心M的轨迹是什 么？
M
l
C
以点C为焦点的抛物线.
例1 一种卫星接收天线的轴截面如图
所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴
抛物线及其标准方程 课件
【解析】1.取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴,抛物线的顶 点为坐标原点,建立直角坐标系xOy,如图所示. 因灯口直径|AB|=24,灯深|OP|=10, 所以点A的坐标是(10,12). 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),由点A(10,12)在抛物线上, 得122=2p×10,所以p=7.2. 所以抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0).因此灯泡与反射镜顶点 间的距离是3.6cm. 答案:3.6cm
∴点E到拱底AB的距离为 a y a 0.64 3.
4
4a
解得a>12.21,∵a取整数,
∴a的最小整数值为13.
【拓展提升】求解抛物线实际应用题的五个步骤
x=- p 2
(- p ,0) ___2___
p _x_=__2_
标准方程 图 形
x2=2py (p>0)
焦点坐标 p
_(_0_,_2__)_
准线方程 y_=___p2__
x2=-2py (p>0)
_(_0_,__p2__)
p _y_=__2__
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)抛物线的方程都是二次函数.( ) (2)抛物线的焦点到准线的距离是p.( ) (3)抛物线的开口方向由一次项确定.( )
【解析】1.选D.方程x=-2y2的标准形式是y2=-1 x,
2
∴抛物线开口向左且p= 1,∴准线方程为x= .1
4
8
2.(1)抛物线y= 1x2的标准形式为x2=4y,
4
∴p=2,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是y=-1.
(2)抛物线x=ay2(a≠0)的标准形式为y2=1 x, a
∴2p= 1 . a
【典型例题】
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焦 F 的 点坐 （ : p ， 0 ） 标， 为 l的准 方 :x 线 程 p ．为
2
2
-
12
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三、抛物线的标准方程的其他形式
l
· N
M
·F
ly
· N
M
· H
Fx
· · · ·
F M
l
N
y
F M
l
O
NH
-
x
13
图形
y
HM
OF x
ly MH
FO x
l
y
F
O l
M
x H
ly O
F
H x
M
标准方程 y2 2px
由抛物线的定义知： MF MH ．
所以 x (1) 6，所以 x 7，
0
0
又因为 M （7， y ）在抛物线 y 2 4 x上， 0
所以 y 02 4 7，所以
y 2 0
7．
所以 M （7， 2 - 7）．
18
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四、抛物线及其标准方程的应用
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
（ 1） y 2 20 x
点F 叫抛物线的焦点,
·F
焦 点
直线l 叫抛物线的准线. 准线 l
即:若 MF 1 ,则点M的轨迹 d
是抛物线.
d为 M到 l 的距离
1. 若l经过点F,动点M的轨迹是什么?
2.比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如
何选择坐标系,建立的抛物线- 的方程才能更简单?
8
返回目录
问题2：如何求写抛物线方程呢？ 求曲线方程的五个步骤：“建”、“设”、 “限”、“代”、“化”.
• （2）从焦点、准线上看：焦点落在对称 轴上，准线与对称轴垂直；且原点到焦
点与准线的距离相等，均为p\2.
• (3)从一次项上看：一次项确定焦点、准 线及开口方向；一次项系数为焦点非零 坐标的4倍.
-
15
四、抛物线及其标准方程的应用
根据下列条件求抛物线的标准方程？
1.抛物线的焦点坐标是 F(0,-2); x2 8y
p0
y2 2px
p0
x2 2py
p0
x2 2py
p0 -
焦点坐标
p ,0 2
准线方程
x p 2
点如 位何2p 置,确0 及定开抛口物x方线2p向焦?
一 0 ,次p 变量定焦y点
2
p 2
开口方向看正负
0 , p 2
y p 2 14 返回目录
• “三看” 抛物线的标准方程
• （1）从形式上看：方程左边为二次式， 系数为1；右边为一次项，系数为 2p
5.固定绳子另一端在三角板顶点 A上 6.用笔将绳子拉紧,并使绳子紧贴 三角板的直角边 7.上下移动三角板,用笔画出轨- 迹
动画 演示
A
6
返回目录
抛物线的画法 数学这门学科不仅需要观察，还需要实验
-
7
一、抛物线的定义:
· 在平面内,与一个定点F和一 H d M
条定直线l(l不经过点F)的距离相 等的点的轨迹叫抛物线.
y
y
K
.
F
x
K
. F
x
l
l
y
.
KO F
x
l
y22px p2 y22px p2 y2 2px
-
11
三、抛物线的标准方程
y2 = 2px（p＞0） 其中p 为正常数，它的几何意义是:
焦 点 到 准 线 的 距 离．
· H yd M K O··F x
l
方程 y2 = 2px（p＞0）表示焦点在x轴正半轴上的 抛物线．
程化为标准方程；
-
19
返回目录
(1 ) ( 5，0 )， x 5．
（ 2） x 2 1 y 2
( 2 ) ( 0 ， 1 )， y 1 ．
8
8
（ 3） 2 y 2 5 x 0 （ 3） （ 5 ，0）， x 5 ．
（ 4） y 1 x 2 4
8
8
（ 4） （ 0 ，1）， y 1．
注意 求抛物线的焦点或准线时，一定要先把方
2.抛物线的准线方程是 y=-4;
x2 16y
3．.焦焦点点在到x轴准负线半的轴距，且离焦为点2． 到准线距离 2 ;
y 2 2 2 x 或 y 2 2 2 x 或 x 2 2 y2 2 y 或 2x 2 2 x2 2 y ．
4.M是抛物线y2 = 4x上一点，若点M到焦点F的
距离等于6，求点M坐标. M(5,2 5)
-
1
生活中的抛物线
美丽的- 赵州桥
2
生活中的抛物线
-
3
生活中的抛物线
-
4
抛球运动
-
5
返回目录
展示课前实践作业
请同学们准备以下工具,两个同学分工协作, 按下列方法画出动点轨迹.
1.在纸一侧固定直尺
2.将直角三角板的一条直角边 紧贴直尺 3.取长等于另一直角边长的绳子
4.固定绳子一端在直尺外一点
y
y
K
.
F
x
K
. F
x
l
l
y
.
KO F
x
l
-
9
建系一：以KF所在直线为x轴，以K为原点
建立直角坐标系，则F（p,0）
设动点M(x,y), 由定义得动点M限制条件：
yd
将M（x,y）代入得:
(xp)2y2 x K(O)
l
化简得：y22p x p 2(p 0)
.
M(x,y)
.
F
x
-
10
不同建系下的方程比较
-
16
返回目录
y l
O
F(0,-2)1．因为抛物线的 焦为 点0（ ， 坐 2），
x
在y轴负半轴上p，2且 ，所以， 2
所求抛物线的标是 准x2 方 8程y．
y
F O l
2．因为抛物线的 程准 是 y线 4方 ， 所以焦点在ｙ轴 轴的 上正 ，半 p且 ＝4，
2
x
所以所求抛物线 方的 程标 x是 2 准 16y．
y=-4
返回例1
-
17
返回目录
y
FO x l
y M
H OF x
l
3．因为抛物线的焦准 点线 到的距离是2， 所以p 2，又因为抛物线的在 焦x点 轴 的负半轴上，所以求 ，抛 所物线的标准 方程为y2 2 2x．
4．解 : 设 M ( x , y )，
0
0
返回例1
抛物线 y 2 4 x的准线方程为 x 1，