第二节 证券投资组合机有效集分析

min W,,
C(W, , )
1 2
WVW
(E(~rP
)
WR)
(1
W1)
有一阶必要条件，得
C VW R 1 0 (1) W
C E(~rP)源自WR0(2)
C 1 W1 0
(3)
（由于V是对成的正定矩阵，所以上述一阶必要条件是最优解 的充要条件。(参看，李向科《金融数学》，P27)）
由（1）式可得
结论：Wp
D
g
hE(~rp )
D
g 1 (BV 11 AV 1R), h 1 (CV 1R AV 11)
D
D
A 1T V 1R, B RTV 1R, C 1T V 11, D BC A2 0
• 任何前沿证券组合可以表示成上述形式。 • 任何能写成上述形式的组合是一个前沿证券组合 • 对应不同的收益率，优化问题可以得到不同的解，
切点是最佳证券组合点
四、前沿证券组合
• 定义：如果一个证券组合在所有的等均值收益率的证 券组合中具有最小的方差，则被称为前沿证券组合。
• 注：每一确定的收益率就可以确定一个前沿组合
前沿证券组合的推导（标准的均值方差问题）
• 设市场上存在N（N>1）种风险资产,并且允许他们无 限制的卖空，用V表示N资产证券的协方差矩阵，用W 表示某个投资组合，假设V为N阶正定矩阵。
W1
E(~rP
)
C D
(E(
~rP
)
A)2 C
1 C
(7)
在方差—均值坐标系下，它是抛物线方程； 在均方差—均值坐标系下，它是双曲线方程，如图
E (r )
双曲线
A/C
MVP机会集
0
1/ C
(r)
五、证券组合前沿的有关性质
性质1 给定两个前沿证券组合P 和Q的收益率的协方差为
Cov(~rP
,
~rQ
cov(~rp , ~rq ) 0
证明： 由性质1，知
令 解出
cov(~rp
,
~rq
)
C D
(E(~rp
)
A C
)(E(
~rq
)
A )
C
1 C
cov(~rp , ~rq ) 0
合在EP-σP中的“点”组成EP-σP中的区域 • 可行域（feasible set）
• 可行域中的点所对应的组合才是“有可能实现”的组 合。
• 可行域之外的点是不可能实现的证券组合。
• 可行域＝机会集
可行域必须满足的形状
• 左上边缘部分向外凸或直线—“凸集” • 可以证明，边界是双曲线。
三、无差异曲线与最优组合
第二节 证券投资组合及有效 集
均值方差组合问题
一、模型的假设条件 • 假设1：收益率的概率分布是已知的； • 假设2：风险用收益率的方差或标准方差表示； • 假设3：影响决策的因素为期望收益率和风险； • 假设4：投资者遵守占优原则，即， • 同一风险水平下，选择收益率较高的证券； • 同一收益率水平下，选择风险较低的证券。
2AE(~rP ) D
B
注：所有最小方差资产组合都可仅有两个不同的资产组合Wg , Wd
的资产组合所生成， Wg , Wd 通常称为“共同资金”。 性质3 任意两个不同的最小方差组合都可以取代 Wg , Wd ,
而且具有相同的基金分离作用。
性质4 对于任意一个有效前沿组合P（P不为全局最小方差资产组合即 P Wg），必存在唯一的零协方差组合q，使得
二、投资组合几何表示和可行域
• 选定了证券的投资比例，就确定了组合。可以计算该 组合的期望收益率EP和标准差σP
• 以EP为纵坐标、σP为横坐标，在EP-σP坐标系中可 以确定一个点。每个组合对应EP-σP中的一个点
• 反过来，EP-σP中的某个点有可能反映某个组合 • 选择“全部”有可能选择的投资比例，那么，全部组
WP V 1R V 1 1
(4)
代入（2）（3）式可得：
E(~rP ) RV 1R RV 1 1
1 1V 1R 1V 1 1
解方程组得：
CE(r~P ) A , B AE(r~P )
(5)
D
D
其中 A 1V 1R RV 11, B RV 1R C 1V 11, D BC A2
A C 1
故有
性质2 （两基金分离定理）在上面的市场假设和记号下，任意最小
方差组合（或有效前沿组合）WP都可唯一的表示成全局最小方差组合
Wg 和可分散化资产组合 Wd 的资产组合
其中
a CB CAE(~rP ) D
WP aWd (1 a)Wg
，且 WP 的收益与方差满足关系式
2 P
CE 2 (~rP )
~rQ
)
A) C
1 C
由（7）式知，当
E(~rP
)
A C
时，
2 P
为最小，即全局最小的方差，
V 11 V 11
由（4）（5）式，知此时全局最小方差组合为 Wg
C
1V 1 1
假设A非零，我们定义
V 1R V 1R
Wd
A
1V 1R
Wd 称为可分散化的资产组合，此时（4）式可化为
WP AWd uCWg 且
• 则有证券组合P是一个前沿证券组合，当且仅当它的 证券组合权重WP向量是下列二次规划问题的解时
min W st .
1 W VW 2 W R E(r~P ),
W 1 1
其中R表示N个风险资产收益率的均值向量，并假定是已知的， （为了方便求解，在目标函数前乘了 1 ）
2
上面的优化问题可以利用拉格朗日乘子法解决，设WP是下 列无约束问题之解：
由于V是对称正定矩阵，因此，B，C均为正数，可以证明D>0，
事实上
(AR B1)V1 (AR B1) B(BC A2 ) 0
将上面的 和 解代入（4）式可得
WP g E(~rP ) h (6)
其中 g 1 (BV 11 AV 1R), h 1 (CV 1R AV 11)
)
C D
(E(~rP
)
A C
)(E(
~rQ
)
A) C
1 C
事实上 Cov(~rP , ~rQ ) WP VWQ WP ( Q R Q 1)
Q WP R Q WP 1 Q E(~rP ) Q
CE(~rQ ) D
A
E(~rP
)
B
AE(~rQ D
)
C D
(E(~rP
)
A C
)(E(
进而得到不同的前沿证券组合。 • “取遍”所有可能的收益率，其“轨迹”就是一条
曲线。 • 由全体“前沿证券组合”构成的“集合” • ——证券组合前沿（portfolio frontier）。
这个集合叫做证券组合前沿(与有效边界，有效前沿是同一个概念). 利用（1）（5）可得
2 P
WVW
W(R
1)
WR