第五章 边界层理论及近似解析
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第5章 边界层理论及其近似
5.1 边界层近似及其特征 5.2 平面不可压缩流体层流边界层方程 5.3 平板层流边界层的数值解 5.4 边界层动量积分方程 5.5 边界层的分离现象与速度分布特征
本章基本要求
1. 掌握边界层的概念、意义和特征 边界层近似、边界层的量级、边界层的各种厚度定义及其意义
2. 掌握边界层微分方程及其所表示的基本性质 量级分析方法、惯性力与粘性力的量级关系、压强梯度特点
（3）在靠近物面的薄层内粘性力的作用不能忽略，该薄
层称为边界层。边界层内粘性力与惯性力同量级，流体质点作
有旋运动。
位流区
粘流区
5.1、边界层近似及其特征
2、边界层的特征 （1）边界层厚度定义
严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常以速度达到主 流区速度的 0.99U 作为边界层的外缘。由边界层外缘到物面的垂直距离 称为边界层名义厚度，用δ表示。
5.1、边界层近似及其特征
Prandtl边界层概念的提出，为人们如何计入粘性的作用 开辟了划时代的途径，既挽救了理想流理论又挽救了粘流理论 ，因此称其为近代流体力学的奠基人。
对整个流场提出的基本分区是：
（1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势流或 位流区）和粘性流体的流动区域（粘流区）。
（2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略粘性的影 响，按位势流理论处理。
位流区
δ
粘流区
（2）边界层的有涡性
粘性流体运动总伴随涡量的产生、扩散、衰减。边界层就是涡层，当 流体绕过物面时，无滑移边界条件相当于使物面成为具有一定强度的连续 分布的涡源。以二维流动为例说明之。此时，物面上的涡源强度为：
z
v x
u y
u y
o
5.1、边界层近似及其特征
（3）边界层厚度的量级估计
9/67
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
（b）边界层动量损失厚度
在边界层内，实际流体通过的动量为：
u2dy
0
在边界层内，在质量流量不变的条件下，以理想流速度 ue 通过
的动量为：
ue udy
0
上述两项之差表示粘性存在而损失的动量，这部分动量损失全部
用理想的外流速度 ue 流动时折算的动量损失厚度δ2为：
那么，如何考虑流体的粘性，怎样解决扰流物体的阻力问题，这在 当时确实是一个阻碍流体力学发展的难题，直到1904年国际流体力 学大师德国学者 L.Prandtl 通过大量实验发现：虽然整体流动的Re 数很大，但在靠近物面的薄层流体内，流场的特征与理想流动相差 甚远，沿着法向存在很大的速度梯度，粘性力无法忽略。Prandtl 把这一物面近区粘性力起重要作用的薄层称为边界层（Boundary layer）。
3. 了解边界层微分方程的数值解法思路（勃拉休斯解）及其结果
4. 掌握卡门动量积分关系式及其边界层近似解法（保尔豪森法）
5. 掌握边界层的分离现象以及边界层在不同压力梯度区的速度分 布特征；掌握 分离的本质、分离的必要条件、层流边界层与湍流 边界层抵抗分离能力的不同及其原因
5.1 边界层近似及其特征
5.1、边界层近似及其特征
（4）边界层各种厚度定义 （a）边界层位移厚度
假设某点P处的边界层厚度是 ，
实际流体通过的质量流量为:
0 u dy
此处 u 是边界层中距物面为 y 处的流速。
ue u
而在 的范围内，以外流的理想速度 ue 流动的理想流量是：
eue 0 eue dy 其中，ue 为边界层外缘速度。
3
0
u ue
1
u2 ue2
dy
5.1、边界层近似及其特征
（5）几点说明
上述两部份流量之差是：
0 (eueu)dy
8/67
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
这是设想各点均以外流速度流动时比实际流量多出来的值,这些
多出来的流量必然要在主流中占据一定厚度 1 ，其流量写
为 eue1 ，从而
eue1 eue udy
0
1
0
1
u eue
dy
这部分主流区增加的流体厚度是由边界层流体排挤入主流区造成 的，称为排移厚度或位移厚度，作理想流场模型的外形修正时， 应该加上这一位移厚度。
1、边界层概念的提出 我们已知道，流动Re数（O.Reynolds，1883年，英国流体 力学家）是用以表征流体质点的惯性力与粘性力对比关系的。根 据量级分析，作用于流体上的惯性力和粘性力可表示为:
• 惯性力：
FJ
m dV dt
L3 V
t
L2V 2
• 粘性力：
F
dV dy
A
VL
• 惯性力/粘性力： FJ L2V 2 LV Re
eue22 ueu uudy
0
2
0
u eue
1
u ue
dy
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EXIT
（c）边界层能量损失厚度
边界层内实际流体通过的动能为：
1 u 2udy
02
在边界层内，在质量流量不变的条件下，以理想流速度 ue 通过
的动能为：
1
2
ue2
0
udy
上述两项之差表示粘性存在而损失的动能，这部分动能损失全部
F VL
因此，在高Re数下，流体运动的惯性力远远大于粘性力。 这样研究忽略粘性力的流动问题是有实际意义的。
5.1 边界层近似及其特征
理想流体力学在早期较成功地解决了与粘性关系不大的一系 列流动问题，诸如绕流物体的升力、波动等问题，但对绕流物体 阻力、涡的扩散等问题，理想流体力学的解与实际相差甚远，且 甚至得出完全相反的结论，圆柱绕流无阻力的D’Alembert疑题就 是一个典型的例子。（ D’Alembert，法国力学家，1717-1783）
用理想的外流速度 ue 流动时折算的动能损失厚度 δ3为:
1
2
ue2
eue
3
1 2
0
ue2u
u3
dy
3
0
u eue
1
u2 ue2
dy
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EXIT
5.1、边界层近似及其特征
对于不可压缩流体而言，上述各种厚度的计算公式变为:
1
0
1
u ue
dy
2
0
u ue
1
u ue
dy
根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算边界层的厚
度。以平板绕流为例说明。设来流的速度Fra Baidu bibliotekU，在 x 方向的长度为 L
，边界层厚度为 。
惯性力：
FJ
m dV dt
L2
U t
LU 2
粘性力：
F
dV dy
A U
L2
由边界层内惯性力与粘性力同量级得到
F FJ
LU 2 U L2
1
L Re
由此可见在高Re数下，边界层的厚度远小于被绕流物体的特征长度。
5.1 边界层近似及其特征 5.2 平面不可压缩流体层流边界层方程 5.3 平板层流边界层的数值解 5.4 边界层动量积分方程 5.5 边界层的分离现象与速度分布特征
本章基本要求
1. 掌握边界层的概念、意义和特征 边界层近似、边界层的量级、边界层的各种厚度定义及其意义
2. 掌握边界层微分方程及其所表示的基本性质 量级分析方法、惯性力与粘性力的量级关系、压强梯度特点
（3）在靠近物面的薄层内粘性力的作用不能忽略，该薄
层称为边界层。边界层内粘性力与惯性力同量级，流体质点作
有旋运动。
位流区
粘流区
5.1、边界层近似及其特征
2、边界层的特征 （1）边界层厚度定义
严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常以速度达到主 流区速度的 0.99U 作为边界层的外缘。由边界层外缘到物面的垂直距离 称为边界层名义厚度，用δ表示。
5.1、边界层近似及其特征
Prandtl边界层概念的提出，为人们如何计入粘性的作用 开辟了划时代的途径，既挽救了理想流理论又挽救了粘流理论 ，因此称其为近代流体力学的奠基人。
对整个流场提出的基本分区是：
（1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势流或 位流区）和粘性流体的流动区域（粘流区）。
（2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略粘性的影 响，按位势流理论处理。
位流区
δ
粘流区
（2）边界层的有涡性
粘性流体运动总伴随涡量的产生、扩散、衰减。边界层就是涡层，当 流体绕过物面时，无滑移边界条件相当于使物面成为具有一定强度的连续 分布的涡源。以二维流动为例说明之。此时，物面上的涡源强度为：
z
v x
u y
u y
o
5.1、边界层近似及其特征
（3）边界层厚度的量级估计
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EXIT
5.1、边界层近似及其特征
（b）边界层动量损失厚度
在边界层内，实际流体通过的动量为：
u2dy
0
在边界层内，在质量流量不变的条件下，以理想流速度 ue 通过
的动量为：
ue udy
0
上述两项之差表示粘性存在而损失的动量，这部分动量损失全部
用理想的外流速度 ue 流动时折算的动量损失厚度δ2为：
那么，如何考虑流体的粘性，怎样解决扰流物体的阻力问题，这在 当时确实是一个阻碍流体力学发展的难题，直到1904年国际流体力 学大师德国学者 L.Prandtl 通过大量实验发现：虽然整体流动的Re 数很大，但在靠近物面的薄层流体内，流场的特征与理想流动相差 甚远，沿着法向存在很大的速度梯度，粘性力无法忽略。Prandtl 把这一物面近区粘性力起重要作用的薄层称为边界层（Boundary layer）。
3. 了解边界层微分方程的数值解法思路（勃拉休斯解）及其结果
4. 掌握卡门动量积分关系式及其边界层近似解法（保尔豪森法）
5. 掌握边界层的分离现象以及边界层在不同压力梯度区的速度分 布特征；掌握 分离的本质、分离的必要条件、层流边界层与湍流 边界层抵抗分离能力的不同及其原因
5.1 边界层近似及其特征
5.1、边界层近似及其特征
（4）边界层各种厚度定义 （a）边界层位移厚度
假设某点P处的边界层厚度是 ，
实际流体通过的质量流量为:
0 u dy
此处 u 是边界层中距物面为 y 处的流速。
ue u
而在 的范围内，以外流的理想速度 ue 流动的理想流量是：
eue 0 eue dy 其中，ue 为边界层外缘速度。
3
0
u ue
1
u2 ue2
dy
5.1、边界层近似及其特征
（5）几点说明
上述两部份流量之差是：
0 (eueu)dy
8/67
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
这是设想各点均以外流速度流动时比实际流量多出来的值,这些
多出来的流量必然要在主流中占据一定厚度 1 ，其流量写
为 eue1 ，从而
eue1 eue udy
0
1
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这部分主流区增加的流体厚度是由边界层流体排挤入主流区造成 的，称为排移厚度或位移厚度，作理想流场模型的外形修正时， 应该加上这一位移厚度。
1、边界层概念的提出 我们已知道，流动Re数（O.Reynolds，1883年，英国流体 力学家）是用以表征流体质点的惯性力与粘性力对比关系的。根 据量级分析，作用于流体上的惯性力和粘性力可表示为:
• 惯性力：
FJ
m dV dt
L3 V
t
L2V 2
• 粘性力：
F
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A
VL
• 惯性力/粘性力： FJ L2V 2 LV Re
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（c）边界层能量损失厚度
边界层内实际流体通过的动能为：
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在边界层内，在质量流量不变的条件下，以理想流速度 ue 通过
的动能为：
1
2
ue2
0
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上述两项之差表示粘性存在而损失的动能，这部分动能损失全部
F VL
因此，在高Re数下，流体运动的惯性力远远大于粘性力。 这样研究忽略粘性力的流动问题是有实际意义的。
5.1 边界层近似及其特征
理想流体力学在早期较成功地解决了与粘性关系不大的一系 列流动问题，诸如绕流物体的升力、波动等问题，但对绕流物体 阻力、涡的扩散等问题，理想流体力学的解与实际相差甚远，且 甚至得出完全相反的结论，圆柱绕流无阻力的D’Alembert疑题就 是一个典型的例子。（ D’Alembert，法国力学家，1717-1783）
用理想的外流速度 ue 流动时折算的动能损失厚度 δ3为:
1
2
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3
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5.1、边界层近似及其特征
对于不可压缩流体而言，上述各种厚度的计算公式变为:
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2
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1
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根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算边界层的厚
度。以平板绕流为例说明。设来流的速度Fra Baidu bibliotekU，在 x 方向的长度为 L
，边界层厚度为 。
惯性力：
FJ
m dV dt
L2
U t
LU 2
粘性力：
F
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A U
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由边界层内惯性力与粘性力同量级得到
F FJ
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由此可见在高Re数下，边界层的厚度远小于被绕流物体的特征长度。