信号与系统实验7连续系统零极点分析

实验七连续时间系统S 域零极点分析

一、 目的

(1) 掌握连续系统零极点分布与系统稳定性关系

(2) 掌握零极点分布与系统冲激响应时域特性之间的关系 (3) 掌握利用MATLAB 进行S 域分析的方法

二、 零极点分布与系统稳定性

根据系统函数H (s)的零极点分布来分析连续系统的稳定性是零极点分析的重要应 用之一。稳定性是系统固有的性质，与激励信号无关，由于系统函数 H(s)包含了系统

的所有固有特性，显然它也能反映出系统是否稳定。

对任意有界信号f(t)，若系统产生的零状态响应y(t)也是有界的，则称该系统为稳 定系统，否则，则称为不稳定系统。

上述稳定性的定义可以等效为下列条件：

时域条件：连续系统稳定充要条件为

h(t)dt

，即冲激响应绝对可积；

复频域条件：连续系统稳定的充要条件为系统函数 H(s)的所有极点位于S 平面 的左半平面。

系统稳定的时域条件和频域条件是等价的。因此，只要考察系统函数

H(s)的极点 分布，就可判断系统的稳定性。对于三阶以下的低阶系统，可以利用求根公式方便地求 出极点位置，从而判断系统稳定性，但对于告阶系统，手工求解极点位置则显得非常困 难。这时可利用MATLAB 来实现这一过程。 例7-1 :已知某连续系统的系统函数为:

解：调用实验六介绍的绘制连续系统零极点图函数 sjdt 即可解决此问题，对应的 MATLAB 命令为：

a=[8 2 3 1 5]; b=[1 3 2]; [p,q]=sjdt(a,b) 运行结果为：

P =

-0.6155 - 0.6674i -0.6155 + 0.6674i 0.4905 - 0.7196i

0.4905 + 0.7196i

q =

-2 -1

绘制的零极点图如图7-1所示。

由程序运行结果可以看出，该系统在 S 平面的右半平面有一对共轭极点，故该系统 是一个不稳定系统。

三、零极点分布与系统冲激响应时域特性

设连续系统的系统函数为H (s)，冲激响应为h(t)，贝U H(s) 0

h(t)e st dt

显然，H(s)必然包含了 h(t)的本质特性。

对于集中参数的LTI 连续系统，其系统函数可表示为关于 s 的两个多项式之比，即

H(s)

试用MATLAB 求出该系统的零极点, s 2 3s 2 8s 4 2s 3 3s 2 s 5

画出零极点图，并判断系统是否稳定

B (s )

(s

q 」)

H(s)少C 誤 A(s )

(s P i

)

i 1

连续系诜零极点图

图7-1例7-1的系统零极点图

其中q j

(j 1,2,

,M)为H(s)的M 个零点，P i (i 1,2, , N)为H (s)的N 个极点。

若系统函数的N 个极点是单极点，则可将H(s)进行部分分式展开为：

N

k ・

H(s) 丄

(7-2)

i 1

s P i

从式(7-1)和(7-2)可以看出，系统冲激响应h(t)的时域特性完全由系统函数 H(s) 的极点位置决定。H(s)的每一个极点将决定h(t)的一项时间函数。显然，H(s)的极点 位置不同，则h(t)的时域特性也完全不同。下面利用例子说明 H (s)的极点分布与h(t)时 域特性之间的关系。 例7-2：已知连续系统的零极点分布如图 7-2所示，试用MATLAB 分析系统冲激响应h(t) 的时域特性。

解：系统的零极点图已知，则系统的系统函数

H(s)就可确定。这样就可利用绘制连续

系统冲激响应曲线的 MATLAB 函数impulse 。，将系统冲激响应h(t)的时域波形绘制出 来。

对于图7-2(a )所示的系统，系统函数为H(s) 1，即系统的极点位于原点，绘制

s

冲激响应时域波形的MATLAB 命令如下：

a=[1 0]; b=[1]； impulse(b,a)

绘制的冲激响应h(t)波形如图7-3(a )所示，此时h(t)为单位阶跃信号。

(7-1)

实釉

u

1

J

图7-2例7-2的系统零极点图

图7-3例7-2的系统冲激响应时域波形图

对于图7-2 (b )所示的系统，系统函数为 H(s) 丄，即系统的极点为位于 S 平

s

2，绘制冲激响应时域波形的MATLAB 命令如下：

(d )

面左半平面的实极点，令

叶」址阳耳城n 萌

"ine

I

(c )

Q

由 一_百 --- ・ —*

D D? n,4 O

E OB 『m(3tc.

(a )

(b )

(e)

『」

a=[1 2];

b=[1]；

impulse(b,a)

绘制的冲激响应h(t)波形如图7-3 (b)所示，此时h(t)为衰减指数信号

对于图7-2(c)所示的系统，系统函数为H(s) ，即系统的极点为位于S平

面右半平面的实极点，令a=[1 -2];

b=[1];

s

2，绘制冲激响应时域波形的MATLAB命令如下：

impulse(b,a)

绘制的冲激响应h(t)波形如图7-3(c)所示，此时h(t)为随时间增长的指数信号对于图7-2(d)所示的系统，系统函数为H (s) 2 ----------------- -- ，即系统的极点为位

(s )

于S平面左半平面的一对共轭极点，令0.5、4，绘制冲激响应时域波形的MATLAB命令如下：

a=[1 1 16.25];

b=[1]; impulse(b,a,5)

绘制的冲激响应h(t)波形如图7-3(d)所示，此时h(t)为按指数衰减的正弦振荡信号。

对于图7-2(e)所示的系统，系统函数为H(s) ，即系统的极点为位于S

s

平面虚轴上的一对共轭极点，令4，绘制冲激响应时域波形的MATLAB命令如下：a=[1 0 16];

b=[1];

impulse(b,a,5)

绘制的冲激响应h(t)波形如图7-3(e)所示，此时h(t)为等幅正弦振荡信号。

对于图7-2(f)所示的系统，系统函数为H(s) 2—2，即系统的极点为位

(s )

于S平面右半平面上的一对共轭极点，令0.5、4，绘制冲激响应时域波形的MATLAB命令如下：

a=[1 -1 16.25];

b=[1];

impulse(b,a,5)

绘制的冲激响应h(t)波形如图7-3(f)所示，此时h(t)为按指数增长的正弦振荡信号。

从上述程序运行结果和绘制的系统冲激响应曲线，可以总结出以下规律：系统冲激响应h(t)的时域特性完全由系统函数H(s)的极点位置决定，H(s)位于S平面左半平面的极点决定了h(t)随时间衰减的信号分量，位于S平面虚轴上的极点决定了冲激响应的稳态信号分量，位于S平面右半平面的极点决定了冲激响应随时间增长的信号分量。三、由连续系统零极点分布分析系统的频率特性

由前面分析可知，连续系统的零极点分布完全决定了系统的系统函数H(s)，显然, 系统的零极点分布也必然包含了系统的频率特性。

下面介绍如何通过系统的零极点分布来直接求出系统的频率响应H(j )的方法-