(完整版)椭圆焦半径公式及应用

椭圆焦半径公式及应用
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椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。

在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。

一、公式的推导
设P（，）是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。

证法1：。

因为，所以
∴
又因为，所以
∴，
证法2：设P到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知
，又，所以，而。

∴，。

二、公式的应用
例1 椭圆上三个不同的点A（）、B（）、C（）到焦点F（4，0）的距离成等差数列，求的值。

解：在已知椭圆中，右准线方程为，设A、B、C到右准线的距离为，则、、。

∵，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。

∴，即，。

评析：涉及椭圆上点到焦点的距离问题，一般采用焦半径公式求解，即利用焦半径公式可求出A、B、C三点到焦点的距离，再利用等差数列的性质即可求出的值。

例2 设为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上。

已知P、、是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值。

解：由椭圆方程可知a=3，b=2，并求得，离心率。

由椭圆的对称性，不妨设P（，）（）是椭圆上的一点，则由题意知应为左焦半径，应为右焦半径。

由焦半径公式，得，。

（1）若∠为直角，则，即
，解得，故。

（2）若∠为直角，则，即
=
，解得，故。

评析：当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离时，常利用焦半径公式把问题转化，此例就利用焦半径公式成功地求出值。

例3 已知椭圆C：，为其两个焦点，问能否在椭圆C 上找一点M，使点M到左准线的距离|MN|是与的等比中项。

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

解：设存在点M（），使，由已知得a=2，，c=1，左准线为x=－4，则，即
＋48=0，解得，或。

因此，点M不存在。

评析：在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离时，如果直接用两点间距离公式，运算将非常复杂，而选用焦半径公式可使运算简。