不定积分

三、凑微分法
定理2 设 f (u )具有原函数 u (x)可导，则 有
f ( ( x)) ( x)dx f ( ( x)) d ( x)
的方法称为凑微分积分法.(3.7)式又可改写为
（3.7）
3.7)式称为凑微分积分公式,通过式(3.7)计算不定积分
f [ ( x)]( x)dx f (u)du
2 3 x 2 e d (3 x ) e 3 3 3
x
C
dx x7 1 dx8 8 8 dx 8 8 （4） 8 8 x ( x 4) x( x 4) x ( x 4)
1 1 1 1 ( 8 8 )dx 8 8 4 x x 4
例12
求不定积分
由于 C1, C2 , C3是任意常数,故 C 也是任意常数.今后 求不定积分时,只需对每一个不定积分求出其一
个原函数,然后在总结果上加上任意常数 C .例如
上例可以直接写为

( x 1) 2 x
dx ( x 2 x x

3 2
1 2

1 2
) dx
2 2 4 x x x x 2 x C 5 3
x d( ) 1 a a 1 ( x )2 a
1 x arctan C a a
（2）
1 dx 2 2 a x 2 a x 1 ( ) a
2 2 2
例10
求不定积分 sin x cos xdx .
解法一

解法二
sin x cos xdx sin xd sin x 1 sin 2 x C
2

1 sin x cos xdx cos xd cos x cos 2 x C 2
解法三
1 sin x cos xdx 2 sin 2 xdx

cos 2 x dx dx dx 2 2 2 sin x cos x sin x cos 2 x
cot x tan x C
(4) 由于cos 2 x 2 cos2 x 1 ,因此
1 1 dx 1 cos 2 x 1 2 cos 2 x 1 dx 1 1 dx 1 tan x C 2 cos 2 x 2
1 x8 ln 8 C 32 x 4
dx (a 0) （1） 2 2 a x
（2）
（4）
dx a x
2 2
(a 0)
（3）
dx (a 0) 2 2 x a

1 5 4x x
2
dx
dx 1 dx 解 （1） a2 x2 a 2 x 1 ( )2 a
例1
求
解: 当n 1时， ( x n 1 ) x n n 1
x dx 1
n
(n 1)
1 n 1 x dx x C n 1 1 例2 求 dx x
n
1 1 解: 当x 0时， x dx ln x C ln x x

例3 设曲线任一点处的切线斜率等于该点横 坐标的两倍 （1）求此曲线方程。 （2）若曲线通过（1,2），求此曲线方程。 解：（1） 设曲线方程为 y f ( x )
一、不定积分的概念和性质
1. 不定积分的概念 定义 在区间 I 内，函数 f ( x )的带有任意常 数项的原函数，称为 f ( x )在区间 I 内
的不定积分，记为 f ( x )dx
f ( x )dx F ( x ) C
积 分 号 被 积 表 达 式 积 分 变 量 任 意 常 数

例5 解
已知 f ( x)dx 2 x x C ，求f (x)
f ( x)
f (x)dx (2

x
x C) 2x ln 2 1
二、分项积分法
定理1 设
f (x)
，
具有原函数， ， 是常数，则 （3.6）
g (x)
a
b
[af ( x) bg ( x)]dx a f ( x)dx b g ( x)dx
(10) sec x tan xdx sec x C (11) csc x cot xdx csc x C
(12) e x dx e x C
ax x C (13) a dx ln a
例4
求不定积分：
1 (1) x 4 dx (2) x 5 x dx 1 2 x e 2 x dx (3) 73 dx (4) x x 1 x 41 1 4 解： ) (1 4 dx x dx C C 3 x 4 1 3x
即
dy 2x 根据题意知 dx f ( x )是 2 x 的一个原函数.由于
( x ) 2x, 故
2
f ( x) 2 xdx x 2 C (C为任意常数）。
（2）要从中选出通过点（1，2）的一条只 需将条件 x 1, y 2代入上式，得C 1 , 所求曲线方程为
1 (4) dx arctan x C 2 1 x
(5)
1 dx arcsin x C 2 1 x
(6) cos xdx sin x C (7) sin xdx cos x C
dx 2 (8) sec xdx tan x C 2 cos x dx (9) 2 csc 2 xdx cot x C sin x
例7
(1)
求不定积分
tan
2
xdx
( 2)
x cos 2 dx
2
(3)
cos 2 x sin 2 x cos 2 x dx
( 4)
1 1 cos 2 x dx
解 (1) 先利用三角恒等式变形,然后再求积
分：
tan 2 xdx (sec 2 x 1)dx
sec 2 xdx dx tan x x C
22 1 3
3 x 19
.
19 3
3 1 C C 6 3 19 x x
3
（4） 2 x e 2 x dx (2e 2 ) x dx
2 x e 2 x (2e2 ) x C C 2 ln(2e ) ln 2 2
3. 不定积分的性质
d 1) dx
幂函数的代数和形式,再利用定理3.1得

( x 1) 2 x
dx ( x 2 x x
3 2
1 2

1 2
) dx
2 2 2 x x C1 2( x x C2 ) 2 x C3 5 3
2 2 4 x x x x 2 x C 5 3
其中 C C1 2C2 C3。
dx 1 3 1 2x 2 (1 2x) d (1 2x)
2

1 3
1 3 33 3 (1 2 x) C (1 2 x) 2 C 2 2 4 1 dx （3）由于 d x ,所以 2 x

e3
x
x
dx 2 e 3 x d x
例3.11
求不定积分：
(1) ln x 1dx x (3)
(2) 3
dx 1 2x

e3
x
x
dx
dx (4) x( x 8 4)
解
（1） ln x 1dx (ln x 1) d (ln x 1) 1 (ln x 1) 2 C
x 2
（2）
2) 3)
f ( x )dx f ( x ) d[ f ( x)dx] f ( x)dx
f (x)
F ( x )dx F ( x ) C dF ( x ) F ( x ) C
k
1
f1 ( x ) k2 f 2 ( x )dx k1 f1 ( x )dx k2 f 2 ( x )dx
1 1 6 (3 2 x) dx (3 2 x) d (3 2 x) (3 2 x)7 C 2 14
6
.
e x dx e x C ,故将2 xdx 凑为dx2,再利用 (2) 由于
公式(3.7),即得 2 xe x dx e x dx 2 e x C

( 2) x 5
x dx
x 5 x dx
13
1 2
x dx
11 2
x C 11 1 2
11 1 2
2 2 x 2 C x6 x C 13 13
22 1 x 3 （3） x7 3 x dx x dx 22 1 C

(2) 被积函数中分子、分母的次数相同,可 通过分子的增减项进行多项式的除法,即
x2 1 x2 1 1 1 x 2 dx 1 x 2 dx (1 1 x 2 )dx
dx
1 dx 2 1 x
x arctan x C
（3) 被积函数中分子的次数高于分母,利用
u ( x )
（3.8）
(3.8)式也称为第一类换元积分公式.
例8
求 cos 2 xdx .
解
被积函数是一个复合函数 cos 2 x cosu,
2
,由于du 2dx ,即 dx 1 du . 因此, 作变 u 2x
换 u 2 x ,得
1 1 1 cos 2 xdx cos u 2du 2 cos udu 2 sin u c
（3.6）式称为分项积分公式，通过式(3.6)计算不定积 分的方法称为分项积分法.
例6
(1)
求不定积分
( x 1) 2 x dx
(2) x2 1 x 2 dx
(3)
1 x4 1 x 2 dx
(4)
1 2x2 x 2 (1 x 2 )dx
解 (1) 先把分子ห้องสมุดไป่ตู้因式展开并分项后,化为
多项式除法进行拆项,即
1 x4 ( x 2 1)(x 2 1) 2 dx 2 1 x 2 dx 1 x
( x2 1
2
2 )dx 2 1 x
1 x dx dx 2 dx 2 1 x
1 3 x x 2 arctan x C 3
1 1 sin 2 xd (2 x) cos 2 x C 4 4
注意：上述三种解法的结果,形式上虽不一样,
但它们的正确性都可以通过对各结果求导数（微分法）
得到验证,即有
1 2 1 1 ( cos 2 x C ) ( cos 2 x C ) sin x cos x ( sin x C ) 2 2 4
再将 u 2 x 代回,即得
1 cos 2 xdx 2 sin 2 x C.
例9
求不定积分：
(1)

(3 2 x ) dx
6
6
(2) 2 xe dx
x2
解 (1)
x7 1 由于 x dx C ,故将dx 凑为 d (3 2 x) 2 7
,
再利用公式(3.7),即得
y x 1
2
函数 f ( x ) 的原函数的图形称为 f ( x ) 的
积分曲线。 显然，求不定积分得到一积分曲线族。
2. 基本积分公式
(1) kdx kx C( k是常数)
x 1 ( 2) x dx C( 1) 1 dx 3 ln x C x
(4) 当分母为两项的乘积时,把分子化为这两项的和,可
将被积函数进行拆项,即
1 2x2 (1 x 2 ) x 2 x 2 (1 x 2 )dx x 2 (1 x 2 ) dx
1 1 2 dx dx 2 x 1 x 1 arctan x C x
(2) 由三角恒等式 cos 2
x 1 cos x ,得 2 2
cos
2
x 1 dx (1 cos x)dx 2 2 1 1 ( dx cos x) ( x sin x) C 2 2
(3) 由于cos 2 x cos 2 x sin 2 x ,因此