常用平方立方和公式整理

常用立方和公式整理立方和公式

立方差公式

三项立方和公式

推导过程：

完全立方公式

(a-b)³=a³+3ab²-3a²b-b³

立方和累加

正整数范围中

完全平方公式即(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。

两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍。

（a+b）²=a²﹢2ab+b²

两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍。

﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²

公式口诀

首平方，尾平方，首尾乘积的二倍放在中间。

也可以是：首平方，尾平方，积的二倍放中央。

同号加、异号减，符号添在异号前。（可以背下来）

即(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2（注意：后面一定是加号）

变形的方法

（一）、变符号：

例1：运用完全平方公式计算：

（1）(-4x+3y)2（2）(-a-b)2

分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套用公式计算。

解答：

(1)原式=16x2-24xy+9y2

(2)原式=a2-2ab+b2

（二）、变项数：

例2：计算：(3a+2b+c)2

分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。所以在运用公式时，(3a+2b+c)2可先变形为[(3a+2b)+c]2，直接套用公式计算。

解答：原式=9a2+12ab+6ac+4b2+4bc+c2

（三）、变结构

例3：运用公式计算：

（1）(x+y)(2x+2y)

（2）(a+b)(-a-b)

（3）(a-b)(b-a)

分析；本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了。

解答：

（1）原式=2(x+y)(x+y)=2(x+y)2=2x2+4xy+2y2

（2）原式=-(a+b)(a+b)=-(a+b)2= -(a2+2ab+b2)

（3）原式=-(a-b)(a-b)=-(a-b)2= -(a2-2ab+b2)

应用

例4：计算：

（1）9992

（2）100.12

分析：本例中的999接近1000，100.1接近100，故可化成两个数的和或差，从而运用完全平方公式计算。

解答：

（1）原式=(1000-1)2 =998001

（2）原式=(100+0.1)2=10020.01

公式的变形：熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换求知值的关键。

例5：已知实数a、b满足(a+b)2=10，ab=1。

求下列各式的值：

（1）a2+b2；（2）(a-b)2

分析：此例是典型的整式求值问题，若按常规思维把a、b的值分别求出来，非常困难；仔细探究易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径。

解答：

（1）原式=(a+b)2-2ab=10-2=8

（2）原式=a2-2ab+b2=(a+b)2-4ab=10-4=6

平方和累加

正整数范围中