椭圆经典解题思路

分析：把椭圆的方程化为标准方程，由c2，根据关系a2 b2 2
c2可求出m的值.
2 2
解：方程变形为- L 1 .因为焦点在
6 2m
y轴上，所以2m 6,解得m 3.
例2已知椭圆的中心在原点，且经过点P 3,0,a 3b，求椭圆的标准方程.
求出参数a和b（或a2和b2）的值，即可求得椭圆的标准方程.
解：当焦点在x轴上时, 设其方程为
由椭圆过点P 3,0，知3b，代入得b2 1 , a29，故椭圆的方程为y21.
当焦点在y轴上时，设其方程为
2
y
2
a
x2
b2
9 0 由椭圆过点P 3,0 ,知一02
a b 3b,联立解得
2
81 , b29 ,故椭圆的方程为—
81
2
x- 1 .
9
例3 ABC的底边BC 16 , AC和AB两边上中线长之和为30, 求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹.
解：（1 ）以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系. 设G点坐标为x, 由GC GB 20,
知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆, 且除去轴上两点. 10 , c 8，有b
2 故其方程为—
100
2
y_
36
椭圆标准方程典型例题
例1已知椭圆mx2 3y2 6m 0的一个焦点为（0, 2）求m的值.
又c 2，所以2m 6 22, m 5适合.
分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况.根据题设条件，运用待定系数法, 分析：（1）由已知可得GC GB 20，再利用椭圆定义求解.
A的轨迹方程.
(2)设A x, y ，则
2
X
100
2
y
36
x
x 3，
由题意有3代入①，得
y : A的轨迹方程为
900 324
1 y 0，其轨迹是椭圆（除去x轴上两点）.
（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求
•••所求椭圆方程为
3y 2 10
半长轴为4,半短轴长为b 例4已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别为 ―5和——，过P 点作焦点所在轴
3
3
的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.
c 2
2
1或 竺 乂 1 .
10 5
解:如图，设P x, y ,由椭圆的对称性, 不
妨设P x, y ,由椭圆的对称性，不妨设P
, _________ _
2
42 32
. 7的椭圆的方程： —
16
说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程.这是求轨迹 方程的一种重要思想方法.
解：设两焦点为F 1、F 2，且PF 1
从 PF i PF ?知［PF ? 可求出
PF 1F 2
4.5 3
,PF 2
晋.从椭圆定义知
2a
垂直焦点所在的对称轴，所以在 Rt 2；5
2c PF 1cos —
，从而 b
6
PF 2F 1 中, PF 1|PF 2 2J5 .即 a J 5 .
sin PF |F 2
PF
2
1
PF 1
2
,
10
3
2 例5已知椭圆方程笃 a 2 y_
b 2
，长轴端点为A 1, A 2，焦点为
F i , F ?, P 是
椭圆上一点, APA 2 F 1PF 2 .求：F 1PF 2的面积（用a 、
分析：求面积要结合余弦定理及定义求角 1
的两邻边，从而利用S -absinC 求面积.
2
表示）.
在第一象限.由余弦定理知: 由椭圆定义知: F i PF 2
例6已知动圆 PF 1 P 过定点 F i F 』2 |PF i
PF 222PF | -PF 2
PF 2 2a ②，则②2
—①得 PF 2 sin 1 2b 2 sin 2 1 cos A 3,0，且在定圆B:x 32 PF 1 b 2
%. PF 2 cos
4c 2.①
2b 2
1 cos
2 y 64的内部与其相内切,
分析：关键是根据题意，列出点 P 满足的关系式. 解：如图所示，设动圆 P 和定圆B 内切于点M .动点P 到两定点, 即定点A 3,0和定圆圆心 B 3,0距离之和恰好等于定圆半径, 即PA PB PM PB BM 8 .•点P 的轨迹是以A ,
B 为两焦点,
例7已知椭圆 X
2
i i
X y 2
i , (i )求过点P 丄，丄且被P 平分的弦所在直线的方程; 2 2 2
(2) 求斜率为 2的平行弦的中点轨迹方程;
(3) 过A 2, 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程; (4) 椭圆上有两点 P 、Q ，O 为原点，且有直线 OP 、OQ 斜率满足k OP k OQ 分析: 解: 2 X i 2
(i) 求线段PQ 中点M 的轨迹方程.
此题中四问都跟弦中点有关, 因此可考虑设弦端坐标的方法. 设弦两端点分别为 2y 22 2y ； y 2 M x b y i ,N X 2, ①一②得 y 2 X i ，线段MN 的中点R x, y ，则 X 2 X i X 2 2 y i y 2 y i y ? 2 2X
,
2y, 由题意知 X i X 2 ，则上式两端同除以X i X 2，有X i X 2 2 y i y 2
y i y 2 X-I X 2
将③④代入得
2y3 0 .⑤ X i X 2 丄代入⑤，得业上 2 X i X 2 1 丄
，故所求直线方程为: 2 2X 4y 将⑥代入椭圆方程 x 2 2y 2 2 得 6y 2
6y 36 0符合题意，2X 4y 3 0为所求.
(2) 将 X-I X 2 2代入⑤得所求轨迹方程为: 4y 0 .(椭圆内部分)
(3) 将 X i X 2 y
丄
代入⑤得所求轨迹方程为: 2 (4) 由①+②得 X 2 x ；4X 2 2
y 2
2X 2y 0 .(椭圆内部分)
将⑧⑨代入⑦得: 再将y i y 2 2X I X 2, ⑧, 4X 2
2X -|X 2
⑦,
2
y i
2
y 2
将③④平方并整理得
4y 2 2y i y 2,
4
y 2
2
y i y 2
X i X 2代入⑩式得: 2 2X 2
X-|X 2 4y 1 X i X 2
2 X 2
2
丄i .
1
2
此即为所求轨迹方程.当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决. 例8已知椭圆4X 2 y 2
i 及直线y X m . (i )当m 为何值时，直线与椭圆有公共点?
要使所作椭圆的长轴最短,
（2）若直线被椭圆截得的弦长为
2 10
，求直线的方程.
5
解：（1）把直线方程y x m 代入椭圆方程4x 2 y 2
1得
4x 2 x m 2 1 ,
即 5x 2 2mx m 2
1 0 . 2m 2
4 5
2
m 1
16m 2
20 0,解得
-
m _5
2
2
（2 ）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为
X 1 , X 2，由 2m
(1)得为 X 2
, X 1X 2 -
2
m 1
5 5
J
2
根据弦长公式得 ：.1 1 2
2
2m 2
4 m
i
1
2
、10
.解得m 0 .方程为
y X .
5
5
5
说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别.
这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式
；解决弦长问题，一般应用弦长公式.
用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系）
，可大大简化运算过程.
2 2
例9以椭圆 — 仝 1的焦点为焦点，过直线 丨：x y 9
0上一点M 作椭圆，
12 3
点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程.
分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点， 使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决.
2 2
解:如图所示，椭圆- y
1的焦点为F 13,0 , F 23,0 .
12 3
点F 1关于直线丨：x y 9
0的对称点F 的坐标为（一9, 6）
,直线FF ?的方程为x 2y 3
0.
x 2y 3 0
解方程组 y
得交点M 的坐标为（—5, 4）.此时MR MF 2最小.
x y 9 0
所求椭圆的长轴：2a |MF 1 MF 2 |FF 2 6J5 ,.•• a 3聶，又c 3,
2 2 2
…b a c
3.5 2 32
36 •因此，所求椭圆的方程为
2 2
互壬1
45 36
2
2
例10 已知方程— y
1表示椭圆，求k 的取值范围.
k 5
0,
例11 解：由3 k 0, 得3 k 5，且 k 4.
k 5
3 k,
•••满足条件的k 的取值范围是 3 k 5, 且 k 4.
说明：
k
本题易出现如下错解：由
5 0,
得3 k
5，故k的取值范围是3 k 5
3 k 0,
例 12 已知 x 2 sin y 2 cos 1 (0
)表示焦点在y 轴上的椭圆，求
的取值范围.
分析：依据已知条件确定
的三角函数的大小关系•再根据三角函数的单调性，求出 的取值范
围.
2
解：方程可化为—
1
sin
1 .因为焦点在 1 1
y 轴上，所以
—
cos
sin
cos
因此sin 0且tan
1从
而
说明：(1)由椭圆的标准方程知
2
⑵由焦点在y 轴上，知a
1 sin —,b
2 cos
(
2'^ 1
0，这是容易忽视的地方.
cos 1 .(3)求 的取值范围时，应注意题目中的条件
sin
例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过
A(.. 3, 2)和B( 2.3,1)两点的椭圆方程.
可设其方程为mx 2 ny 2 1 (m 0, n
解：设所求椭圆方程为
2 2
mx ny 1 (m 0, n 0).由A(・.3,
2)和B( 2、.3,1)两点在椭圆上可得
_ 2
m ( 3) n ( m ( 2 ..3)2 n
2
2) 1,即 3m 4n 1, 12 1, 12m n 1,
1 1
x 2y 2
所以m 幕,n -.故所求的椭圆方程为-y
例13 知圆x 2 y 2
1，从这个圆上任意一点 P 向y 轴作垂线段，求线段中点 M 的轨迹.
分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题•这种题目一般利用中间变量
(相关点)求轨迹方程或轨迹.
解：设点M 的坐标为(x , y)，点P 的坐标为(x 0, y 0),
y 。

.
因为P(x °,y °)在圆x 2 y 2 1上，所以x 。

2 y 。

2 1
.
将x 0 2x , y 0 y 代入方程X Q 2 y 021得4x 2
y 2 1 .所以点 M 的轨迹是一个椭圆4x 2 y 2 1.
说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为 (x, y) ，设已知
分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见,
0),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程. 轨迹上的点的坐标为(x 0, y 0)，然后根据题目要求，使 x , y 与x 0, y 0建立等式关系,
从而由这些等式关系求出 x 0和y 0代入已知的轨迹方程，就可以求出关于 x , y 的方程，
化简后即我们所求的方程.这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握. 例14已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点 F 1作倾斜解为
的直线交椭圆于 A ,
3
B 两点，求弦AB 的长.
分析：可以利用弦长公式|AB 訥 k 2
|x 1x 2| V(1 k 2
)[(x 1x 2)2
4x 1x 2]求得，
也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求.
解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.
左焦点F （ 3 3,0），从而直线方程为y 、3x 9.
由直线方程与椭圆方程联立得:
13x 2
72 3x 36 8
0 .设冷,x ?为方程两根，所以
X 1 X 2
72 _ 3 13
36 8
, o
k 3
,
13
（法2）利用椭圆的定义及余弦定理求
x 1x 2
从而AB V 1 ―卩|x 1
X
2
,(厂k 2)[(x 「X 2)2
4x 1x 2]
48 13
2 2
由题意可知椭圆方程为 —1，设
36
9
在 AF 1F 2中，AF 2
AF 1
AF J m , BF j
n ,则 |AF 2|
12 m , BF 2 12 n .
2
F 1F2I 2AF 1II F 1F 2
cos
— 3
，即(12 m)2
所以m
.同理在 BF 1F 2中，用余弦定理得 n
4 V3
4：3，所以
AB
48 n
13
（法3）利用焦半径求解.
先根据直线与椭圆联立的方程 13x 2 72., 3x 36 8 0求出方程的两根论,
X 2 ,
它们分别是A , B 的横坐标.
再根据焦半径 AF 1
a e 为,BF 1
a ex 2，从而求出 | AB AF 1 BF 1 .
AB <1 k 2\x 1 x 2
J(1 k 2)[(x ! x 2)2 4x 1x 2].因为 a 6, b 3，所以 c
3/3 .因为焦点在 x 轴上,
2
2
所以椭圆方程为-y
1,
36
9
x 2
V 2
例15椭圆—— L 1上的点M 到焦点F 1的距离为2, N 为MF 1的中点，贝y ON （ O 为坐标原点）的值为
25 9
3
A . 4
B . 2
C . 8
D .-
2
解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为F 2,由椭圆第一定义得
MF 」|M F 2| 2a 10，所以 |M F 2|
10〔MF 』10 2 8,
1
又因为ON 为 MF/2的中位线，所以|ON | -I MF J4，故答案为A .
2
说明：（1）椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于 F 1F 2）的点的轨迹叫做椭圆.
⑵椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即 MF 」|MF 22a ，禾U 用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有
关距离.
x2 y2
例16已知椭圆C:- 1，试确定m的取值范围，使得对于直线丨：y 4x m，椭圆C上有不同的两点
4 3
关于该直线对称.
分析：若设椭圆上A , B两点关于直线I对称，则已知条件等价于：（1）直线AB l ; （2）弦AB的中点M在I 上.
利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围.
••T 的斜率k i 4 ••设直线AB 的方程为y
1
丄x n •由方程组
4
y 2
X ~4
1x n,
4 消去y 得
2
飞1,
2
2
on
13x 8nx 16n 48 0 ①。

二为 x 2 13
4n 12n
即点M 的坐标为（竺，1
巳）••••点M 在直线y 4x 13 13
x 1 x 2 4n
1 12n
」是X
,y ° x n
5
2 1
3
4 13
4n
13
m 上，. n 4
m .解得n m • ② 13 4
将式②代入式①得13x 226 mx 169m 2
48 0
A ,
B 是椭圆上的两点,
(26m)24 13(169m 2
48) 0 •解得
2 1
3 2 13
m
13
13
A ,
B 为椭圆上的两点，••• M 点在椭圆的内部,
(m)2
(3m)2
1 •解得
2 1
3 2 13 m 4
3
13
13
（法3）设A （X 1 , y 1）, B （X 2 , y 2）是椭圆上关于I 对称的两点，直
AB 与I 的交点M 的坐标为（x o , y o ） •
• A , B 在椭圆上，
2 2
• X 1 y 1
1 4 3
' 2 2 X
2
y 2 1 4
3
即
3 2
X 0(
X 1
X 2)
4 2
y °(y 1 y 2)
0 • y 1
y
2
X-| x 2
又••直线AB I , …k AB k I
1
,• •.殒4
4y °
•两式相减得 3(x 1 x 2)(x-i x 2) 4(% y 2)( y 1 y 2) 0 ,
3x0
(X 1 X 2)•
4y 0
1，即 y 0 3x 0
①。

又M 点在直线I 上，• y 0 4x 0 m
②。

由①，②得M 点的坐标为（m,
3m ） •以下同解法2.
说明：涉及椭圆上两点 A , B 关于直线I 恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式: （1）利用直线AB 与椭圆恒有两个交点， 通过直线方程与椭圆方程组成的方程组, 别式
0，建立参数方程.
消元后得到的一元二次方程的判
2
⑵利用弦AB 的中点M （X 。

，y 。

）在椭圆内部，满足 型
a
1，将x 0, y 0利用参数表示，建立参数不等式.
1
例17在面积为1的 PMN 中，tanM , tanN
2，建立适当的坐标系，求出以
M 、N 为焦点且过P
解：（法1）设椭圆上A （x i , yj , B （X 2 , y 2）两点关于直线I 对称，直线AB 与I 交于M （x 。

，y 。

）点.
13
4 13
（法2）同解法1得出n m , •- X 0 ( m) m ,
4
13 4 1 13
1 ’
13
③
y0 x0 m-( m) m 3m, 即M点坐标为（m , 3m）
4 4 4 4
点的椭圆方程.
¥
\!.
W 0,V I 解：以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设P(x,y).
2,
cy 1.
25 4
12a2 3b2
2,23
a b
4
1,
得
b2
15
4
3.
I的方程.
4 2 2 •••所求椭圆方程为坐y1
15 3
x
2例18已知P(4,2)是直线l被椭圆—
36
2
仝1所截得的线段的中点，求直线9
分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题•通常将直线方程与椭圆方程联立消去y (或x)，得到关于x(或y)的一兀一次方程，再由根与系数的关系，直接求出x1 x2, x-|x2(或y1 y2, y-i y2)的值代入计算即得.
并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的.
解：方法一：设所求直线方程为y 2 k(x 4) •代入椭圆方程，整理得
2 2 2
(4k 1)x 8k (4k 2)x 4(4k 2) 36 0 ①
设直线与椭圆的交点为A(X1 , yj , B(X2,y2)，则人、x?是①的两根，•洛x?
4k 1
••• P(4,2)为AB 中点，•X1 X2
4 4k(4k 2)
，
1
k —.•••所求直线方程为
x 2y 8 0 .
2 4k 1 2
方法二：设直线与椭圆交点A(X1 ,yj ,B(X2, y2). •••P(4, 2)为AB 中点，• x X2 8, y1 y2 4.
又••• A , B在椭圆上，•
2 2
X1 4力36, x22 4y22
2 2
36两式相减得(X1 X2 )
2 2
4( y1 y2 )
0 ,
即&1 X2)(X1 X2)4(y1 y2)(y1 y2)0 .•」y2 (X1 X2) 1.•直线方程为X 2y 8 0
X1 X2 4( y1 y2) 2
方法二：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x, y)，另个交点B(8 x , 4 y).
••• A、B 在椭圆上，• x2 4y2 36 ①。

(8 x)2 4(4 y)2 36 ②
从而A , B在方程①—②的图形x 2y 8 0上，而过A、B的直线只有一条，.••直线方程为x 2y 8 0 .
说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法.
若已知焦点是(3-、3,0)、( 3.3,0)的椭圆截直线x 2y 8 0所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程?
则。