定积分讲义的计算方法

定积分的计算方法
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a bf(x)d x f[(t) ](t)d t
证 因 为 f(x )在 [a ,b ]上 连 续 ， 故 原 函 数 存 在 ， 设 F (x )是 f(x )的 一 个 原 函 数 ， 则 有
f[(t)
](t)dt
f[(t)]d(t)
F[(t)] F [() ]F [()]
/2
(1) 0f(sx i)d n x2 0 f(sx i)d n x.
证 0 f(s x )d ix n 0 /2f(s x )d ix n /2f(s x )d ix n ，
f(sinx)dx t x 0 f[sin(t)d ](t)
/2
/2
/2
f(sint)dt
/2 f(sinx)dx，
0
/2
2
/2
0 f(coxs)dx.
16
例12 设 f( x )在 [ 0 ， 1 ] 上 连 续 , 证 明 ：
(3)
x(fsx i)n dx
原式
2 3t 2
dt
3
2 t2 11 dt
01 t
0 1t
2
1
30(t
1 )dt 1t
3(1t2tln1t)23ln3.
2
0
6
例6 计算 ln3 ex 1dx. 0
解 令 ex 1 t ，ex 1 t2 ，xln(t2 1)，
dx
t
2t 2
1
dt
，x:0ln3，t
:
2 2，
原式
2 2t
a
0
y
( 1 ) f(x )为 偶 函 数 , 则
yf(x)
f(x)f(x),
a
a
f(x)dx2 f(x)dx
a
0
( 2 ) f(x )为 奇 函 数 , 则
o
x
y yf(x)
f(x)f(x),
a
f(x)dx0. a
o
x
12
例10
s ixncoxs
1a2si2n xb2co2x sdx 0 . 奇函数
1 (x
1x2)2dx1(x22x1x21x2)dx
1
1
11dx12x1x2dx 2 . 奇函数 奇函数
1
1
1 lnx(
1x2)dx
0
,
1
1
1
2x1112dx
0
,
1 1ln2xdx
1
dx 2 ,
1
2x
1
1 x2(exex1)dx 2 1x2 dx 2 .
1
0
3
13
例11 设 f ( x ) 是 以 T 为 周 期 的 连 续 函 数 ， 证 明 ：
b
F(b)F(a) f (x)dx . a
2
a bf(x)d x f[(t) ](t)d t
注意:
(1) 应用定积分的换元法时,与不定积分比较， 多一事：换上下限； 少一事：不必回代；
(2) x(t)应 单 调 ,当 t从 变 到 时 ,x从 a变
到 b,不 重 复 ,不 遗 漏 ；
(3) 逆用上述公式,即为“凑微分法”,不必换限.
a
0
a
( 2 )若 f(x )为 奇 函 数 , 则f(x )d x 0. a
证 af(x)d xaf(x)d x0f(x)d x，
a
0
a
0
xt
f(x)dx
a
f(t)dt
a f (x)dx，
a
0
0
a
f(x)d xa [f(x)f(x)d ]x，
a
0
11
a
a
f(x)d x[f(x)f(x)d ]x
0
se4ct dt
/4
si
n2 t
dt
1
/4
(1c o2st)dt
0
20
8
1sin2t 4
/4
0
8
1 4
.
8
例8 求 函 数y x2 在 区 间 [1, 3]上 的 平 均 值 .
1x2
22
解
3
2 1
2
x2 dx x sin 1 x2
t
3
6
sin2 t cost
cost
dt
3 6
0
0
/2
0f(sx i)d n x2 0 f(sx i)d n x.
15
例12 设 f( x )在 [ 0 ， 1 ] 上 连 续 , 证 明 ：
/2
/2
(2) 0 f(sx i)d n x0 f(cx o )d x s.
证 令 t x，
2
/2
0
f(sinx)dx f[sin(t)d ]t
3
例1
/2co5sxsinxdx
/2
c
o5sxdc
oxs
0
0
1cos6 6
x
0
/
2
1 6
.
例2
3
dx
2
3d
x
3
2arctanx
2
.
0 x(1 x) 0 1 x
03
例3 2 x dx 1 2 1 dx2
0 1 x2
2 0 1x2
2
1 x2 5 1.
0
4
例4 计算 sinxsin 3xdx. 0
sin2
t dt
1 2
3
(1co2st)dt
6
1sin2t
12 4
/3 /6
12
，
所以平均值等于 ( 3 1) 3 1 .
12 Biblioteka Baidu 2 12
9
例9
设
f
(
x)
12xx, 1 x
,
x0 x0,
2
求 f (x 1)dx . 0
解 令 x1 t ，
原式
1
f (t)dt
1
f (x)dx
1
1
1
01x
2xdx
dx
0
11x
x21
0
(1
2
)dx
0 1
1x
112l n1(x)02ln2. 1
10
利用函数的对称性,有时可简化计算.
设 f(x )在 [ a ,a ]上 连 续 , 那 么
a
a
( 1 ) 若 f( x )为 偶 函 数 , 则 f( x ) d x 2f( x ) d x ；
解
原式
sinxco2sxdx
|coxs|
sinxdx
0
0
2co xssix n dxco xssix n dx 0
2
2 0
sixndsixn
sixndsixn
2
2sin32x2
3
0
2sin32x
3
2
4 3
.
5
8 dx
例5 计算
.
01 3 x
解 令 3 x t ， x t 3 ， dx 3t2dt ， x:08, t :02，
aTf(x)dxTf(x)dx.
a
0
aT
证
f (x)dx
a
0
T
a T
af(x )d x 0f(x )d x T f(x )d x,
aT f (x)dx
xT
t
a
f (t T)dt
T
0
a
0
0 f (t)dt a f(x)dx,
aT
T
a f(x)dx0 f(x)dx.
14
例12 设 f( x )在 [ 0 ， 1 ] 上 连 续 , 证 明 ：
2
1
2
t
t2
dt 1
2
2(1t2
)dt 1
2(2
t 12 2)ln
2(2
2)ln1ln
21
t1 2
3 21
2 (2 2 ) ln 3 2 ln2 (1 ).
7
例7
计算
1 x2 0 (1 x2)2 dx .
解 令 xtatn, dxsec2tdt，t : 0
4
原式
/4ta2ntse2ct