中考数学复习一题多解题专项练习

中考数学复习一题多解题专项练习

1．在平面直角坐标系中，O是原点，点A是x轴上一点，将射线OA绕点O旋

上的点B重合，若点B的纵坐标为1，则点A的坐标转，使点A与双曲线y＝3

x

为________.

(2，0)或(－2，0)【解析】如解图，过点B作BC⊥x轴于点C，∵点A与双曲线y＝3

上的点B重合，点B的纵坐标是1，∴点B的横坐标是3，∴OC＝3，x

BC＝1，∴OB＝BC2＋OC2＝12＋（3）2＝2，∵点A可能在x轴的正半轴上，也可能在负半轴上，∴点A的坐标为(2，0)或(－2，0)．

第1题解图

2. 已知二次函数y＝(x－h)2＋1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤4的情况下，若其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为______．

－1或6【解析】由题可知，二次函数的对称轴为直线x＝h，且二次函数开口向上，∵当x>h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴

①若h＜1，x＝1时，y最小＝5，即(1－h)2＋1＝5，解得h1＝－1，h2＝3(舍去)；

②当1≤h≤4时，y最小＝1，不符合题意；③若h>4，x＝4时，y最小＝5，此时(4－

h)2＋1＝5，解得h1＝6，h2＝2(舍去)．综上，h的值为－1或6.

3. 在△ABC中，AB＝6 cm，点P在AB上，且∠ACP＝∠B，若点P是AB的三等分点，则AC的长是________．

23或2 6 cm【解析】∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACP∽△ABC.∴AC AB

＝

AP AC ，即AC2＝AP·AB.由点P是AB的三等分点可知，分两种情况：(1)当AP＝1

3AB

＝2 cm时，AC2＝2×6＝12.∴AC＝23cm；(2)当AP＝2

3AB＝4 cm时，AC2

＝4×6＝24，∴AC＝2 6 cm.综上所述，AC的长是23或26cm.

4. 有一面积为103的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰为边的正方形的面积为________．

40或403【解析】如解图①，当∠A＝30°，AB＝AC时，设AB＝AC＝a，作

BD⊥AC于点D，∵∠A＝30°，∴BD＝1

2AB＝

1

2a，∴

1

2·a·

1

2a＝103，∴a2

＝403，

∴以△ABC的腰为边的正方形的面积为403；如解图②，当∠ABC＝30°，AB＝AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于点D，设AB＝AC＝a，∵AB＝AC，∴∠ABC ＝∠C＝30°，∴∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，在Rt△ABD中，∵∠D＝90°，

∠BAD＝60°，∴BD＝

3

2a，∴

1

2·a·

3

2a＝103，∴a2

＝40，∴以△ABC的腰为边

的正方形的面积为40，故以该等腰三角形的腰为边的正方形的面积为40或40 3.

第4题解图

5. 已知⊙O 的直径AB ＝20，弦CD ⊥AB 于点E ，且CD ＝16，则AE 的长为________．

16或4 【解析】如解图①，当弦CD 远离点A 时，由题可知OC ＝12AB ＝10，

∵CD ⊥AB 于点E ，∴CE ＝12CD ＝8，∴OE ＝6，∴AE ＝16；如解图②，当弦CD

靠近点A 时，同理可得OE ＝6，AE ＝OA －OE ＝4，∴AE 的长为16或4.

第5题解图

6. 已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，AC 为对角线，将△ACD 绕点A 旋转45°得到△AC ′D ′，则CD ′的长为________． 42－4或43 【解析】由题意可得AC ＝AB 2＋BC 2＝4 2.①如解图①，将△ACD 绕点A 顺时针旋转45°得到△AC ′D ′，可得点D ′落在AC 上，且AD ′＝AD ＝4，∴CD ′＝AC －AD ′＝42－4；②如解图②，将△ACD 绕点A 逆时针旋转45°得到

△AC′D′，连接CD′，∵∠CAD＝45°，∠C′AD′＝45°，∴∠CAD′＝90°，又∵AD′＝AD＝4，∴CD′＝AD′＋AC2＝4 3.综上所述，CD′的长为42－4或4 3.

第6题解图

7. 已知在△ABC中，AC＝BC＝42，∠C＝90°，点D、E分别为AB、BC上的点，且AD＝3BD，若△BDE是直角三角形，则CE的长为________．

22或32【解析】∵AC＝BC＝42，∠C＝90°，∴∠B＝45°，AB＝AC2＋BC2

＝8，∵AD＝3BD，∴BD＝1

4AB＝2，当DE⊥AB时，如解图①，∵在Rt△BDE 中，∠B＝45°，BD＝2，∴BE＝22，∴CE＝BC－BE＝22，当DE⊥BC时，如解图②，在Rt△BDE中，∵∠B＝45°，BD＝2，∴BE＝DE＝BD·cos45°＝2，∴CE＝BC－BE＝3 2.

第7题解图

8. 在△ABC 中，AB ＝AC ，CD 是AB 边上的高，且cos ∠DCA ＝35，则tan B 的值

为________．

13或3 【解析】设CD ＝3x ，∵cos ∠DCA ＝35，∴AB ＝AC ＝5x ，由勾股定理可得AD ＝4x ，如解图①，当△ABC 为钝角三角形时，可得BD ＝AB ＋AD ＝9x ，∴tan B ＝CD BD ＝3x 9x ＝13；如解图②，当△ABC 为锐角三角形时，可得BD ＝AB －AD ＝x ，∴

tan B ＝CD BD ＝3x 1x ＝3.综上所述，tan B 的值为13或3.

第8题解图

9. 已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，且∠AOB ＝60°，∠ADC ＝45°，若⊙O