光栅的衍射自成像效应实验

η ξ
y x
z ZT 光栅 Talbot 像
图 1 光栅的 Talbot 效应 1836 年， H. F. Talbot 首次发表了一些他曾在布里斯托尔的英国协会上证明过的光 学实验结果。当 Talbot 将一束白光通过一个透镜垂直照射到一个光栅时，他发现了一个奇
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n − iπλ z ( d )
2
=1
− n d
(5)
λ ze e
iπ 4
n − iπλ z ( d )
2
n Cnδ f x − = ∑ d n = −∞
2 2
∞
λ ze
iπ 4
n = −∞
f ∑Cδ
n
∞
x
(6)
= λ ze ℑ t ( x0 ) → U ( x0 , y0 ) ∝ t ( x0 )
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[x,y]=meshgrid(-L/2:dx:L/2-dx,-L/2:dx:L/2-dx); G=zeros(M,M); for n=1:22 n=n-11; G1=rect(x/w).*rect(y/L); G2=circshift(G1,[0 n*Nd]); G=G+G2; end figure(1) imshow(G) u1=G; title('物体'); %%%-----------------衍射场的分布计算-----------u2=profTF(u1,L,lamda,z);% dx >= lamda*z/L 时准确 % u2=profIR(u1,L1,lamda,z);% dx <= lamda*z/L 时准确 I2=abs(u2.^2); figure(2) imshow(I2); axis square; axis xy; colormap('gray'); xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); text_buffer = strcat( '传播距离为 z= ',num2str(z),'m'); title(text_buffer);
【思考题】
1、查找相关文献，了解周期性物体的分数泰伯效应。 2、利用 Matlab，设计一个二维的周期性物体，模拟在泰伯距离和分数泰伯距离处的衍射强 度分布。
参考文献 [1]. 朱伟例、盛嘉茂： 《信息光学基础》 ，中央民族大学出版社，1997. [2]. 朱伟例 《光信息科学与技术专业实验教程》 ，中央民族大学出版社，2012. [3]. 游明俊编， 《信息光学基础实验》 ，兵器工业出版社，1992，第 1 版 [4]. 苏显渝等， 《信息光学》 ，科学出版社，1999 年第一版，159-194
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实验注意事项（必读）
1． 提前预习，没有弄清楚实验内容者， 禁止接触实验仪器。 2． 注意激光安全。绝对不可用眼直视激 光束，或借助有聚光性的光学组件观 察激光束，以免损伤眼睛。 3． 注意用电安全。 He-Ne 激光器电源有高 压输出，严禁接触电源输出和激光头 的输入端，避免触电。 4． 注意保持卫生。严禁用手或其他物品 接触所有光学元件（透镜、反射镜、 分光镜等）的光学表面；特别是在调 整光路中，要避免手指碰到光学表面。 5． 光学支架上的调整螺丝，只可微量调 整。过度的调整，不仅损坏器材，且 使防震功能大减。 6． 实验完成后，将实验所用仪器摆放整 齐，清理一下卫生。
(2)
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U ( x0 , y0 ) = t ( x0 ) * h( x0 ) 。
于是，
(3)
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ℑ ℑ [t ( x0 ) ] ℑ [ h( x0 ) ] = λ ze 4 e −iπλ zf x U ( x0 , y0 ) =
怪的现象。按照衍射原理，在光栅的后一定距离处，应该观察到模糊的衍射图像，但实际上 在一定的距离处却出现了光栅的清楚的像。 而且， 这些这些图像包含了交互的条纹和互补的 颜色(例如：红色和绿色)，随着透镜的进一步后移，颜色的顺序重复发生变化。在特殊距离 ZT 的整数倍距离处仍重复出现光栅的像。这种现象就被称作 Talbot 效应，即衍射光栅的自 成像效应。它在光学信息处理中有着广泛的应用。但是在当时，Talbot 提出的这个现象并 没有引起大家的重视，直到 1881 年，Rayleigh 重新解释了 Talbot 效应才引起人们的关注。 2 Rayleigh 指出所谓的 Talbot 距离 ZT 是由 a /λ决定的，其中 a 是光栅的缝间距，λ是光波 长。除此之外，周常河等人还发现了一些 Talbot 效应的新原理：如 Talbot 效应的对称性原 理、邻域差分规则传播定律、素数分解规律、偏振依赖性等。这些原理让我们从一个新的角 度去认识 Talbot 效应。 现在 Talbot 效应在大学课本中通常是作为菲涅耳衍射被描述的。 因 为它不仅是学习光学的基础，而且它还广泛地应用在激光阵列的相位锁模、全息存储、光测 量等领域。因此，研究 Talbot 效应具有重要的实际应用价值。 2、菲涅尔衍射计算实例--一维光栅 用单色光波垂直照射一个周期性物体（如透射光栅）时，在物体的后面周期性距离上出 现物体的像。这种自成像效应就称为泰保效应，也称傅立叶成像、自成像。它不是一种透镜 成像，而是衍射成像。
实验过程中要切记以上注意事项。如 有违犯，将严重影响你的实验成绩！
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光栅的衍射自成像效应实验
【实验目的】 1、了解菲涅尔衍射中的一种特殊现象，即周期性物体的衍射自成像效应。 2、掌握基本的光学光路调节，包括激光器的调平，各类光学元件的水平调节方法。 3、熟悉 CCD 成像器件的应用。 4、理解菲涅尔衍射的 Matlab 编码方法。 【实验仪器】 氦氖激光器、CCD、电脑、光栅、光具座导轨、滑块、透镜、扩束镜、反射镜、白屏、小孔 屏、干板架。 【实验原理】 一、衍射自称像效应 1、衍射自称像效应简介 衍射自成像效应，又称为泰伯（Talbot）效应或塔尔博特效应，是指当一束单色平面光 照射一个光栅时会在光栅后的一定距离处出现光栅自身的像。自 1836 年 H. F. Talbot 首次 报道了这种周期性物体的衍射自成像效应以来，对 Talbot 效应的研究和应用工作一直没有 间断。Talbot 效应已经在光学精密测量、光信息存储、原子光学、玻色-爱因斯坦凝聚等领 域得到广泛应用。基于 Talbot 效应的阵列照明器也已经在光通信、光计算等领域得到了广 泛的应用。 当用一个单色平面光波照明周期为 d 的光栅时，在光栅后距离为 (m 为整数)的位置上 出现相同周期的清晰的光栅像 （如图 1 所示） 。 这一现象就是光栅的衍射自成像现象或 Talbot 效应，是一种具有重要实际应用价值的光波衍射现象。自 1836 年 F. Talbot 首次报道了这 种周期性物体的衍射自成像效应以来，对 Talbot 效应的研究和应用工作一直没有间断。
1 、根据举例自己设计模拟一个光栅：参数为大小 L=5mm，缝宽度 w=50um ，光栅周期
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d=100um，光栅缝数 9 条。模拟出在泰伯距离处的衍射强度分布图像。将光栅物体的图片与 衍射图保存在电脑中。 2、 菲涅耳衍射的实验观察： 透镜 泰伯距离 CCD
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[5]. David Voelz， 《Computational Fourier Optics: A MATLB Tutorial》 ，SPIE Press，Washington， 2010
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运行结果如图 3 与图 4 所示。
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物体
图 3. 一维光栅物体图像
传播距离为 z = 0.12642m
y(m)
x(m)
图 4. 泰伯距离处的衍射强度分布 模拟一下， 在分布泰伯距离处的衍射图像。 即衍射距离为泰伯距离的二分之一或三分之一时 的衍射强度分布图。 【实验内容】
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附录 --------------------------------------------------------------------function [ out ] = rect( x ) %UNTITLED2 Summary of this function goes here % Detailed explanation goes here out=abs(x)<=1/2; end --------------------------------------------------------------------function [ u2 ] = profTF( u1,L,lamda,z ) %传播-传递函数方法 %假设 x 和 y 方向具有相同的长度和相同的抽样 %u1-输入场函数 %L-输入和观察平面的长度 %lamda-波长 %z-传播距离 %u2-观察场 [M,N]=size(u1); %获取入射场的阵列大小 dx=L/M; %抽样间隔 k=2*pi/lamda; %波数 fx=-1/(2*dx):1/L:1/(2*dx)-1/L;%频率域坐标 [FX,FY]=meshgrid(fx,fx); H=exp(-j*pi*lamda*z*(FX.^2+FY.^2)); %传递函数 H=fftshift(H); %移动传递函数 U1=fft2(fftshift(u1)); % 入射场 u1 的傅里叶变换 U2=H.*U1;%两个函数的乘积 u2=ifftshift(ifft2(U2));% 逆傅里叶变换 end ------------------------------------------------------------------------function [ u2 ] = profIR( u1,L,lamda,z ) % 传播-脉冲响应函数方法 % 假设 x 和 y 方向具有相同的长度和相同的抽样 % u1-输入场函数 % L-输入和观察平面的长度 % lamda-波长 % z-传播距离 % u2-观察场 [M,N]=size(u1); %获取入射场的阵列大小 dx=L/M; %抽样间隔 k=2*pi/lamda; %波数 x=-L/2:dx:L/2-dx;%频率域坐标 [X,Y]=meshgrid(x,x); h=1/(j*lamda*z)*exp(j*k/(2*z)*(X.^2+Y.^2)); %脉冲响应函数
iπ
2
n = −∞
f ∑Cδ
n
∞

x
−
n d
=
显然如果
λ ze e
iπ 4
n − iπλ z ( d )
2
n Cnδ f x − ∑ d n = −∞
∞
(4)
z=
= ℑ U ( x0 , y0 )
iπ 4
2md 2
λ
(m = 1, 2,3....) → e
激光器
扩束镜 光栅物体
电脑 图 5. 实验光路示意图
3、按照图 5 所示，将光学元件组装在光学支架上，实验中注意避免手直接接触光学镜片的 表面，小心安装固定，检查安装是否牢固，避免实验中掉落摔碎。 4、打开电脑，打开 CCD 成像器件，修改 CCD 软件的参数，曝光度调到最小，亮度调到最小， 动态记录图片的帧数最大。 5、将 CCD 放在距离光栅的泰伯距离处，观察 CCD 上记录的衍射强度分布，将图片保存在电 脑中。
= zd
2d 2 = 126.42mm
λ
注意必须有三个函数文件“profIR.m” ， “profTF.m” ， 三个函数的代码在附件中。
“rect.m”，且在同一个目录中。
close all clear clc %%%%%%%%%----参数设定--L=5e-3; % 光栅总长度 M=500; %抽样点数 dx=L/M; %抽样间隔 lamda=0.6328e-6; %波长 k=2*pi/lamda; %波数 w=50e-6; %光栅的缝宽度 d=200e-6;%光栅周期 Nd=d/dx;%光栅周期对应的像素数 z=2*d*d/lamda;%衍射距离 %%------光栅物体--------------鲁东大学 物理与光电工程学院
图 2 一维光栅横截面示意图 具体推导过程为（可参照《信息光学》第二章） ： 一维光栅的透过率函数可表示为：
t ( x1 ) =
由菲涅耳衍射系统脉冲响应函数
n = −∞
∑Ce
n
∞
i 2π
n x1 d
。
(1)
1 ikz i 2kz x2 ， h( x ) = e e iλ z
可得观测面上的菲涅耳衍射场为
通过公式（6）可知，只要满足公式（5）的条件，在一些分离的观测面上的菲涅耳衍射光强 分布与物面上光强分布相同，即自成像。这种成像是衍射成像而不是几何成像。 最终得出，一维光栅的泰伯距离为： zd =
2md 2
λ
其中，d 物体周期，m 为整数,λ 为波长。即在此距离处光栅将会产生自成像，在分数泰伯距 离处时，还会发生分数泰伯效应。 二、光栅衍射自成像效应的 Matlab 数值模拟 模拟参数： 入射光波长 0.6328um， 光栅的尺寸大小 L=5mm，光栅缝宽度（透光部分）w=50um； 光 栅 周 期 d=200um ， 光 栅 条 数 22 条 。 可 计 算 得 光 栅 的 泰 伯 距 离 为 （ m=1 ）