2020届高中数学：二次函数与幂函数练习题解析

2020届高中数学：二次函数与幂函数练习题解析

1．函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，－3]

B ．[－3，＋∞)

C ．(－∞，5]

D ．[5，＋∞)

解：函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝1－a ，要使函数f (x )在(－∞，4]上是减函数，则1－a ≥4，即a ≤－3.故选A .

2．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x n 2 - 3n (n ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )

A ．－3

B ．1

C ．2

D ．1或2 解：因为幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x

n 2 - 3n

在(0，＋∞)上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n －2＝1，n 2－3n ＜0， 所以n ＝1.故选B .

3．(2016·成都模拟)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦

⎤－254，－4，则m 的取值范围是( )

A ．(0，4] B.⎣⎡⎦⎤32，3

C.⎣⎡⎦⎤32，4

D.⎣⎡⎭

⎫32，＋∞ 解：二次函数y ＝x 2－3x －4图象的对称轴是x ＝32，开口向上，最小值是y min ＝－254

，在x ＝32

处取得，所以由函数的值域是⎣⎡⎦⎤－254，－4，可知m 应该在对称轴的右边，当函数值是－4时，对应的自变量的值是x ＝0或x ＝3，如果m 比3大，那么函数值就超出⎣⎡⎦

⎤－254，－4这个范围，所以m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，3.故选B .

4．(2016·温州模拟)方程x 2＋ax －2＝0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为( )

A.⎝⎛⎭

⎫－235，＋∞ B ．(1，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－235，1 D ．⎝

⎛⎭⎫－∞，－235 解法一：令f (x )＝x 2＋ax －2，而f (0)＝－2，故只要⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （5）≥0，

解得－235≤a ≤1. 解法二：由a ＝2x

－x 在区间[1，5]上单调递减知a ∈⎣⎡⎦⎤－235，1.故选C . 5．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与其导函数f ′(x )在同一坐标系内的图象可能是( )

A B C D

解：若二次函数f (x )的图象开口向上，则导函数f ′(x )为增函数，排除A ；同理排除D ；若f ′(x )＝2ax ＋b 过原点，则b ＝0，则y ＝f (x )的对称轴为y 轴，排除B.故选C .

6．(2016·揭阳测试)已知f (x )＝2x 2＋px ＋q ，g (x )＝x ＋4x 是定义在集合M ＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |1≤x ≤52上的两个函数．对任意的x ∈M ，存在常数x 0∈M ，使得f (x )≥f (x 0)，g (x )≥g (x 0)，且f (x 0)＝g (x 0)．则

函数f (x )在集合M 上的最大值为( )

A ．4 B.92 C ．6 D.892

解：利用导数可知函数g (x )＝x ＋4x

在区间⎣⎡⎦⎤1，52上的最小值为4，最大值为5，对任意的x ∈M ，存在常数x 0∈M ，使得g (x )≥g (x 0)，则g (x 0)＝g (x )min ＝4，此时x 0＝2.根据题意知，f (x )min ＝f (x 0)＝4，即二次函数f (x )＝2x 2＋px ＋q 的顶点坐标为(2，4)，因此f (x )＝2(x －2)2＋4，在集合M 上的最大值为f (1)＝6.故选C .

7．已知幂函数f (x )＝x -12，若f (a ＋1)＜f (10－2a )，则a 的取值范围是________．

解：因为f (x )＝x -12＝1x

(x ＞0)，易知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)＜f (10－2a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，10－2a ＞0，a ＋1＞10－2a ，

所以3＜a ＜5.故填(3，5)． 8．已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋b ，满足f (3)＝3，且f (x )≥x 恒成立，则a ＋b ＝________. 解：f (3)＝3，则9＋3(a ＋1)＋b ＝3，即b ＝－3a －9.

f (x )≥x 恒成立，即x 2＋(a ＋1)x ＋b －x ≥0恒成立．

所以x 2＋ax ＋b ≥0恒成立，所以a 2－4b ≤0，将b ＝－3a －9代入得(a ＋6)2≤0，a ＝－

6.所以b ＝9，a ＋b ＝3.故填3.

9．(2016·汕头一中月考)已知函数f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集是(0，5)，且f (x )在区间[－1，4]上的最大值为12.

(1)求f (x )的解析式；

(2)设函数f (x )在[t ，t ＋1]上的最小值为g (t )，求g (t )的表达式．

解：(1)因为f (x )是二次函数，且f (x )＜0的解集是(0，5)，

所以可设f (x )＝ax (x －5)(a ＞0)，

所以f (x )在区间[－1，4]上的最大值是f (－1)＝6a .

由已知得6a ＝12，所以a ＝2，

所以f (x )＝2x (x －5)＝2x 2－10x .

(2)由(1)知f (x )＝2x 2－10x ＝2⎝⎛⎭⎫x －522

－252，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝52. ①当t ＋1≤52，即t ≤32

时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递减， 所以g (t )＝2(t ＋1)2－10(t ＋1)＝2t 2－6t －8； ②当t ≥52

时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增，所以g (t )＝2t 2－10t ； ③当t ＜52＜t ＋1，即32＜t ＜52时，f (x )在x ＝52处取得最小值，所以g (t )＝f ⎝⎛⎭⎫52＝－252. 综上所述，g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t 2－6t －8，t ≤32，－252，32＜t ＜52，

2t 2－10t ，t ≥52.

10．(2016·汕头一中月考)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )．