中南大学数理统计

数理统计
1
数理统计的基本概念
在概率论中，我们所研究的随机变量，它的分布 都是假设已知的，在这一前提下去研究它的性质、 特点和规律性，例如求出它的数字特征，讨论随机
变量函数的分布等。但是对一个实际问题，随机变 量的概率分布往往是不知道的，如何确定随机变量 的概率分布或数字特征就是数理统计要解决的问题。
总体概念的要旨: 总体就是一个概率分布
16
当X为离散型时，称X的概率函数（分布列）为 总体概率函数。 当X为连续型时，称X的概率密度为总体密度函数。 当总体分布为指数分布时， 称为指数分布总体； 当总体分布为正态分布时，称为正态分布总体或 简称正态总体等等.
17
在数理统计中总体X的分布永远是未知的，即使 有足够的理由可以认为总体X服从某种类型的分布， 但这个分布的参数还是未知的。
一类是如何科学地安排试验，以获取有效的随机数据。 此部分内容称为描述统计学如：试验设计、抽样方法。
另一类是研究如何分析所获得的随机数据，对所研究 的问题进行科学的、合理的估计和推断，尽可能地为 采取一定的决策提供依据，作出精确而可靠的结论. 这部分的内容称为推断统计学，如：参数估计、假设 检验等。
我们主要讨论有关推断统计学中几个最基本的 问题。
7
描述统—计—学
数
对随机现象进行观测、试验，
理 统
以取得有代表性的观测值
计 推断统—计—学
的
对已取得的观测值进行整理、
分
分析,作出推断、决策,从而
类
找出所研究的对象的规律性
8
推断 统计学
Байду номын сангаас
参数估计 (第6章) 假设检验 (第7章) 方差分析 (第8章) 回归分析 (第8章)
9
例如 某厂生产一型号的合金材料，用随机的方法选取 100个样品进行强度测试，于是面临下列几个问题：
1、估计这批合金材料的强度均值是多少? (参数的点估计问题） 2、强度均值在什么范围内？ (参数的区间估计问题） 3、若规定强度均值不小于某个定值为合格，那么这 批材料是否合格？ (参数的假设检验问题） 4、这批合金的强度是否服从正态分布？ (分布检验问题） 5、若这批材料是由两种不同工艺生产的，那么不同 的工艺对合金强度有否影响？若有影响，那一种工艺 生产的强度较好？ (方差分析问题）
当个体个数很大时通常把有限总体看作无限总体。
15
从另一方面看： 统计的任务,是根据从总体中抽取的样本, 去推断总体的性质. 由于我们关心的是总体中的个体的某项指标(如人的身高、体重， 灯泡的寿命,汽车的耗油量…)， 所谓总体的性质，无非就是这 些指标值集体的性质. 概率分布是刻划这种集体性质最适当的工具. 因此在理论上可 以把总体与概率分布等同起来. 如研究某批灯泡的寿命时, 关心的数量指标就是寿命, 那么, 此 总体就可用描述其寿命的随机变量 X 或用其分布函数 F(x)表示. 再如, 若研究某地区中学生的营养状况时, 关心的数量指标是身 高和体重, 我们用X和Y分别表示身高和体重，那么此总体就可用二 维随机变量(X,Y)或其联合分布函数 F(x, y)来表示.
该批灯泡寿命的全体就是总体
总体
每公里的耗油量
灯泡的寿命
考察国产 轿车的质量
所有国产轿车每公里耗油量的全体就是总体
不过在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心
其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布
情况. 这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.
称总体中所含个体的数目为总体容量, 总体容量有限的称为有 限总体, 总体容量无限的称为无限总体.
10
6、若这批合金 由几种原料用不同的比例合成，那么 如何表达这批合金的强度与原料比例之间的关系？
(回归分析问题） 我们依次讨论参数的点估计、区间估计、假设检验等 内容。 首先我们讨论数理统计中的一些基本概念。
11
第5章 样本及其分布
在数理统计中，我们所研究的随机变量 的分布往往是未知的，通过对随机变量进行 多次独立重复的试验和观测，获取数据，利 用实际观测数据研究随机变量的分布，对其 分布函数、数字特征等进行估计和推断．
量.
从国产轿车中抽5辆 进行耗油量试验
样本容量为 5
抽到哪 5 辆是随机的！
样本是随机变量
容量为 n 的样本可以看作一 n 维随机变量(X1, X2, …, Xn). 但是，一旦取定一组样本，得到的是 n 个具体的数 x1, x2, …, xn , 称为样本(X1, X2, …, Xn)的一组观测值，简称样本值 .
因为它需要耗费太多的资源和太多的时间. 有些破 坏性的试验更是不允许对整个总体进行考察.
考察某工厂生产的灯泡寿命
考察某型号手机的质量 考察吸烟和患肺癌的关系
19
为推断总体分布及各种特征, 按一定规则从总体中抽取若干个
体进行观察试验以获得有关总体的信息. 这一抽取过程称为抽样,
所抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数目称为样本容
数理统计是一个内容十分丰富的数学分支。 它既有严格的理论，更有极其广泛的应用。而且 随着科技的发展其研究内容还在不断地充实提高。
2
数理统计学是一门应用性很强的学科. 它 是研究怎样以有效的方式收集、 整理和分析带 有随机性的数据，以便对所考察的问题作出推 断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供
依据和建议.
5
数理统计学研究的对象及任务 对象：抽样所获得的数据（带有随机性） 任务：如何有效地收集、整理和分析
数据，并对所观察的问题做出 推断或预测，为采取的决策提 供依据和建议。
注：只允许我们对随机现象进行次数不多的
观察试验，也就是说, 我们获得的只是局部
观察资料. 6
从总体上来说，数理统计可以分为两大类：
例如本市家庭的月收入X是个随机变量，X服从什么
分布事先是不清楚的，根据资料可确信 X ~ N , 2 .
但 , 2 究竟取什么值还是未知的，
由于总体X的分布是未知的，因此X的数字特征如 均值、方差等往往也是一个未知的值。对于这些未知
值可以根据有关数据来推测。
18
2、 样本与简单样本 在实际问题中，要考察整个总体往往是不可能的，
本章作为数理统计基础，学习总体、样 本、统计量与抽样分布等有关概念，以及有 关正态总体的重要的抽样分布定理．
12
5.1 简单随机样本
13
一.总体和样本 二.统计量
14
§1 总体和样本
1.总体 一个统计问题总有它明确的研究对象.
研究对象的全体称为总体(母体)，总体中每个对象称为个体.
总体 研究某批灯泡的质量