运筹学课件灵敏度分析
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运筹学图解法的灵敏度分析 PPT课件
交于该顶点的两条直线的斜率即cj变动范围，cj在两 条直线斜率之间变动时，原线性规划问题的最优解
不变，最优值变动（cj变动）。
11
四、约束条件中右边系数bi的 灵敏度分析
例：
max F 6 x 1 4 x 2 s .t . 2 x 1 3 x 2 10 4 x 1 2 x 2 12 x1, x2 0
18
图解法
400
2x1x2 400
可行解域为OABCD 最优解为B点（50，250）
300
A
B
x2 250
200
C
100
x1x2 300
最优生产方案为： 甲生产50，乙生产250；
此时， 总利润为27500元。
D
O
100
200
300
400
5x0110x200
19
现提高设备可利用台时数
（b1=300
12
讨论：当b1=10 b1=11时对 原问题的影响
x2
5
4x12x212
A 3
B
1
2x13x210
O
C
2
4
6
x1
6x14x20 6x14x220
13
讨论：b1变动对原问题的影响 （b1=10 b1=11）
x2
5
4x12x2 12
A’
A3
B’
B
2x13x2 11
1
2x13x210
O
C
2
4
6
x1
6x14x20
100
设备台时的约束条件
为0
D D’
O
100
200
300
400
不变，最优值变动（cj变动）。
11
四、约束条件中右边系数bi的 灵敏度分析
例：
max F 6 x 1 4 x 2 s .t . 2 x 1 3 x 2 10 4 x 1 2 x 2 12 x1, x2 0
18
图解法
400
2x1x2 400
可行解域为OABCD 最优解为B点（50，250）
300
A
B
x2 250
200
C
100
x1x2 300
最优生产方案为： 甲生产50，乙生产250；
此时， 总利润为27500元。
D
O
100
200
300
400
5x0110x200
19
现提高设备可利用台时数
（b1=300
12
讨论：当b1=10 b1=11时对 原问题的影响
x2
5
4x12x212
A 3
B
1
2x13x210
O
C
2
4
6
x1
6x14x20 6x14x220
13
讨论：b1变动对原问题的影响 （b1=10 b1=11）
x2
5
4x12x2 12
A’
A3
B’
B
2x13x2 11
1
2x13x210
O
C
2
4
6
x1
6x14x20
100
设备台时的约束条件
为0
D D’
O
100
200
300
400
系统工程概论运筹学6.5灵敏度分析.ppt
❖ 原问题最优解不变，若反之
j
0
❖ 则以 B1Pj 替代原最优表的第j列，用单纯 形法继续求解至最优解。
❖ （4）改变某基变量系数列向量的分析
❖ 设 x j 基变量的系数列向量变为
Pj
，试分
析原最优解的变化。
❖
Pj
的变化将导致B的变化，因而原最优表
❖ 所有元素都将发生变化，似乎只能重新计算
❖ 但是经过认真分析，还是可以利用原最优解 来计算新的最优解。
-2/5 1/5
-2 X1 11/5 1
σj
0
0 7/5
-1/5 -2/5
0 -9/5+Δc3 -8/5 -1/5
只要-9/5+Δc3 ≤0 ，即Δc3 ≤9/5 则原最优解不变
表中σ3= c3+Δc3-(c2×a13+c1×a23 ) = -9/5+Δc3
❖ 2)设基变量 XB 的价值系数 CB 有增量 CBr ，
备注
CB X B B 1b x1 x2 x3 x4
4 x2 70 0 1 1/2 -1/4
K=1
6 x1 -5 1 0 -1/4 3/8
L=2
j 4 x2 60 0 x3 20
j
0 0 -1 /2 -5/4
2 1 0 1/ 2 4 0 1 3/2
2 0 0 2
新的最优 解为：
x2
x3
6 2
00,
例4
例2增加3x1+ 2x2≤15，原最优解不 满足这个约束。于是
Ci
2
3
000
0
CB XB b
X1
X2
X3 X4 X5
X6
2 X1 4
运筹学-线性规划灵敏度分析_图文
在目前计算机普及率很高的情况下，通常的方法是程序 中修改A后重新计算成即可。
例2.1 在例1.1中新增一种产品:防盗门
例2.2 在例1.1中新增一个约束：电力限制
作业:P50—52,1,3,5
运筹学 小结： 一般信息的变化： 价值向量—市场变化 右端向量—资源变化 系数矩阵—技术进步
线性规划
C的变化只影响检验数（对偶问题的解），不影响原问题 的基本解；
格，所以它们所需要的主要原料（木材和玻璃）、制作时间、最大销售量与利润均 不相同。该厂每天可提供的木材、玻璃和工人劳动时间分别为600单位、1000单位 与400小时，详细的数据资料见下表。问： （1）应如何安排这四种家具的日产量，使得该厂的日利润最大？ （2）家具厂是否愿意出10元的加班费，让某工人加班1小时？ （3）如果可提供的工人劳动时间变为398小时，该厂的日利润有何变化？ （4）该厂应优先考虑购买何种资源？ （5）若因市场变化，第一种家具的单位利润从60元下降到55元，问该厂的生产计 划及日利润将如何变化？
表1 雅致家具厂基本数据
家具类型 1
劳动时间 （小时/件）
2
木 材（单 位/件）
4
玻 璃（ 单位/件）
6
单位产品利 润（元/件）
60
最大销售量 （件）
100
2
1
2
2
20
200
3
3
1
1ห้องสมุดไป่ตู้
40
50
4
2
2
2
30
100
可提供量
400小时
600单位
1000单位
解：依题意，设置四种家具的日产量分别为决策变量 x1,x2,x3,x4,目标要求是日利润最大化，约束条件为三 种资源的供应量限制和产品销售量限制。
例2.1 在例1.1中新增一种产品:防盗门
例2.2 在例1.1中新增一个约束：电力限制
作业:P50—52,1,3,5
运筹学 小结： 一般信息的变化： 价值向量—市场变化 右端向量—资源变化 系数矩阵—技术进步
线性规划
C的变化只影响检验数（对偶问题的解），不影响原问题 的基本解；
格，所以它们所需要的主要原料（木材和玻璃）、制作时间、最大销售量与利润均 不相同。该厂每天可提供的木材、玻璃和工人劳动时间分别为600单位、1000单位 与400小时，详细的数据资料见下表。问： （1）应如何安排这四种家具的日产量，使得该厂的日利润最大？ （2）家具厂是否愿意出10元的加班费，让某工人加班1小时？ （3）如果可提供的工人劳动时间变为398小时，该厂的日利润有何变化？ （4）该厂应优先考虑购买何种资源？ （5）若因市场变化，第一种家具的单位利润从60元下降到55元，问该厂的生产计 划及日利润将如何变化？
表1 雅致家具厂基本数据
家具类型 1
劳动时间 （小时/件）
2
木 材（单 位/件）
4
玻 璃（ 单位/件）
6
单位产品利 润（元/件）
60
最大销售量 （件）
100
2
1
2
2
20
200
3
3
1
1ห้องสมุดไป่ตู้
40
50
4
2
2
2
30
100
可提供量
400小时
600单位
1000单位
解：依题意，设置四种家具的日产量分别为决策变量 x1,x2,x3,x4,目标要求是日利润最大化，约束条件为三 种资源的供应量限制和产品销售量限制。
运筹学课件-第二章对偶理论与灵敏度分析
对偶问题与原问题
对偶问题的目标函数是原问题约束条 件中某个或某几个变量的函数，而对 偶问题的约束条件是原问题目标函数 中某个或某几个变量的函数。
对偶问题的性质
对偶弱对偶性质
01
如果原问题是凸的，则对偶问题是弱对偶的。
对偶强对偶性质
02
如果原问题是凸的，且存在最优解，则对偶问题是强对偶的。
对偶互补性质
01
03
椭球法是一种基于椭球算法的线性规划方法，通过对 偶理论将原问题转化为对偶问题，然后利用椭球算法
求解对偶问题，最终得到原问题的最优解。
04
单纯形法是一种基于线性规划的直接算法，通过对偶 理论将原问题转化为对偶问题，然后利用单纯形表格 求解对偶问题，最终得到原问题的最优解。
动态规划的对偶算法
动态规划的对偶算法主要包括状 态转移方程和最优子结构等。这 些算法通过求解对偶问题来找到 最优解，其中状态转移方程用于 描述问题的状态转移过程，最优 子结构用于描述问题的最优解的 结构。
03
如果原问题有最优解，则对偶问题的最优解与原问题的最优解
互补。
对偶理论的应用场景
1 2
线性规划
在求解线性规划问题时，可以利用对偶理论将原 始问题转化为对偶问题，简化计算过程。
运输问题
在求解运输问题时，可以利用对偶理论将原始问 题转化为对偶问题，从而得到最优解。
3
分配问题
在求解分配问题时，可以利用对偶理论将原始问 题转化为对偶问题，从而得到最优解。
通过物流配送的模型灵敏度分析，可以确定哪些参数对物流配送过程的影响较大，哪些 参数对物流配送过程的影响较小，从而对物流配送模型进行优化和调整。
模型灵敏度分析可以帮助企业更好地理解物流配送过程的特性，提高物流配送的效率和 质量，降低物流成本和风险。
对偶问题的目标函数是原问题约束条 件中某个或某几个变量的函数，而对 偶问题的约束条件是原问题目标函数 中某个或某几个变量的函数。
对偶问题的性质
对偶弱对偶性质
01
如果原问题是凸的，则对偶问题是弱对偶的。
对偶强对偶性质
02
如果原问题是凸的，且存在最优解，则对偶问题是强对偶的。
对偶互补性质
01
03
椭球法是一种基于椭球算法的线性规划方法，通过对 偶理论将原问题转化为对偶问题，然后利用椭球算法
求解对偶问题，最终得到原问题的最优解。
04
单纯形法是一种基于线性规划的直接算法，通过对偶 理论将原问题转化为对偶问题，然后利用单纯形表格 求解对偶问题，最终得到原问题的最优解。
动态规划的对偶算法
动态规划的对偶算法主要包括状 态转移方程和最优子结构等。这 些算法通过求解对偶问题来找到 最优解，其中状态转移方程用于 描述问题的状态转移过程，最优 子结构用于描述问题的最优解的 结构。
03
如果原问题有最优解，则对偶问题的最优解与原问题的最优解
互补。
对偶理论的应用场景
1 2
线性规划
在求解线性规划问题时，可以利用对偶理论将原 始问题转化为对偶问题，简化计算过程。
运输问题
在求解运输问题时，可以利用对偶理论将原始问 题转化为对偶问题，从而得到最优解。
3
分配问题
在求解分配问题时，可以利用对偶理论将原始问 题转化为对偶问题，从而得到最优解。
通过物流配送的模型灵敏度分析，可以确定哪些参数对物流配送过程的影响较大，哪些 参数对物流配送过程的影响较小，从而对物流配送模型进行优化和调整。
模型灵敏度分析可以帮助企业更好地理解物流配送过程的特性，提高物流配送的效率和 质量，降低物流成本和风险。
灵敏度分析(运筹学).ppt
0
0
1
0
0
0
x3
1 0
0 1 1
0 2 -1
-1
0
x4
0 1
0
0
-3/2 -1 1
-1
2.5.1 单纯形法的矩阵描述
1. 约束方程系数矩阵的变化
约束方程系数矩阵
，进行初等行
变换，相当于左乘一个相应的初等阵。
即
，在A中所包含的矩阵B，左
乘 后，则得到
。
2. 约束方程右端项的变化
3. 目标函数系数的变化
1. 灵敏度分析的概念：
当某一个参数发生变化后，引起最优解如何改变的 分析。 可以改变的参数有： bi——约束右端项的变化，通常称资源的改变； cj ——目标函数系数的变化，通常称市场条件的变 化； pj ——约束条件系数的变化，通常称工艺系数的变 化； 其他的变化有：增加一种新产品、增加一道新的工 序等。
2．分析原理及步骤：
（1）借助最终单纯形表将变化后的结果按下述基
本原则反映到最终表里去。
B①-1bi△变b化：=
（b+△b）´=B-1 b´+B-1 △b
（b+△b）=
B-1
b+
②pj变化：（pj+△ pj ）´= B-1 （pj+△ pj ）= B-1 pj+ B-1 △ pj = pj ´+ B-1 △ pj
围来确定最优解是否改变。 由于系数的改变，最优值z可能发生 变化而不再是原值了。
2、约束条件右端值的变化
约束条件右端值每增加一个单位 引起的最优值的改进量称为对偶 价格。
对偶价格只适用于在右端值仅发 生了很小变动的情况
2.5.3 单纯形法灵敏度分析
运筹学第11讲灵敏度分析
第二章 线性规划的对偶理论
Duality Theory 对偶问题的经济解释——影子价格 线性规划的对偶问题 对偶单纯形法 灵敏度分析 对偶问题的基本性质
1、什么是灵敏度分析？ 是指研究线性规划模型的某些参数(bi, cj, aij）或限制量（xj, 约束条件）的变化对最优解的影响及其程度的分析过程<也称为优化后分析>。
设备A(h)
设备B(h)
调试工序(h)
利润(百元)
Ⅰ
Ⅱ
每天可用能力
资源
产品
0
5
6
2
1
1
2
1
15
24
5
例2-1
如何安排生产计划才能使总利润最多？
解：
(1) 设x1, x2分别表示Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产数量，得LP模型
max z = 2x1+x2 s.t. 5x2 ≤15 6x1+2x2 ≤24 x1+ x2 ≤5 x1, x2 ≥0
用单纯形法求解得最终单纯形表
得最优解为：
X*=(7/2, 3/2, 15/2, 0, 0)T
zmax=8.5(百元)。
即每天生产3.5单位产品Ⅰ，1.5单位产品Ⅱ时总利润最多，且
max z = 2x1+x2 s.t. 5x2 ≤15 6x1+2x2 ≤24 x1+ x2 ≤5 x1, x2 ≥0
5. 分析系数 aij 的变化
系数矩阵A
s.t.
对偶问题决策变量的最优解<影子价格>：
初始单纯形表
最优单纯形表
X*=B-1b
CN－CBB-1N ≤0
－CBB-1 ≤0
原问题基变量的最优解：
《运筹学》胡运权第4版线性规划的对偶理论及灵敏度分析省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
13
2
y3
2 3
题
y1符号不限, y 2 0, y3 0
非 对 偶 形 式 旳 原对 偶 问 题
例2-4 写出下列问题旳对偶问题
max z c1x1 c2 x2 c3x3
a11x a12 x a13x3 b1
s.t.
a21x1 a31x1
a22 x2 a32 x2
a23 x3 a33 x3
出让自己旳资源？
问 题 旳 导 出
例2-1
条件：出让代价应不低于用同等数量资源由自己组织生 产活动时获取旳获利。
y1,y2,y3分别代表单位时间（h）设备A、设备B和调试工 序旳出让代价。 y1,y2,y3旳取值应满足：
6y 2
y 3
2
5y 1
2y 2
y 3
1
美佳企业用6h设备B和1h调试可 生产一件家电I,获利2元
y1, y2 , y3 0
LP1和LP2两个线性规划问题，一般称LP1为原问题， LP2为前者旳对偶问题。
max Z c1x1 c2 x2 cn xn
对 偶 问 题
s.t.
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
amn xn bm
规 划 问
minW b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym (, )c1
a12y1
a22 y2
am2
ym
(,
)c2
题 旳 对 偶 问
a1n y1 a2n y2 amn ym (, )cn
题
y j 0(符号不限,或 0)i 1 ~ m
大学运筹学经典课件第六章单纯形法的灵敏度分析与对偶
12
§1 单纯形表的灵敏度分析
三、约束方程系数矩阵A灵敏度分析
下面分两种情况讨论
1.在初始单纯形表上的变量Xk的系数列Pk改变为P’k经过迭代后，在最终单纯 形表上Xk是非基变量。由于单纯形表的迭代是约束方程的增广矩阵的行变换， Pk变成Pk’仅仅影响最终单纯形表上第k列数据，包括Xk的系数列、Zk以及 k， 这时最终单纯形表上的Xk的系数列就变成了B-1Pj’,而Zk就变成CBB-1Pk’，新的检 验数 k=Ck-CBB-1Pk’。若 k≤0，则原最优解仍然为最优解。若 k 〉0，则继续进 行迭代以求出最优。
这个约束条件的对偶价格就和这个剩余变量的 有关了。这将使得最优目
标值特别“恶化”而不是改进，故这时约束条件z j的对偶价格应取 值的相反
数- 。
zj
对z j于含有等于号的约束条件，其约束条件的对偶价格就和该约束方
程的人工变量有关了。其约束条件的对偶价格就等于此约束方程的人工变
量的 值。
zj
管理运筹学
成了Ck+ Ck。这时 K= Ck-Zk就变成了Ck+ Ck- Zk= K+ Ck。要使原来的最优解 仍为最优解，只要 K+ Ck≤0即可，也就是Ck的增量 Ck≤- K。
2.在最终的单纯形表中， X k是基变量 当Ck变成Ck+ Ck时，最终单纯形表中约束方程的增广矩阵不变，但是基变量的目 标函数的系数CB变了，则ZJ(J=1,2,…..,N)一般也变了，不妨设CB=(CB1, CB2。。。, Ck, …， CBm),当CB变成=(CB1, CB2。。。,Ck+ Ck,…,CBm),则：
如要使XB成为可行解，只要使上述等式的右边>0，就可求出
b
运筹学课件2.5 灵敏度分析
a11 的变化范围。
由于 y 1.5 0 0 0 1 0 1 B 0 .5 0 0 1.25 1 0
当 a11 从3变为 3 a11 时，x1 的检验数变为
c1 z c1 y1
' 1 ' 1
y2
4 1.5
增加新产品相当于增加一个决策 变量，系数矩阵也将增加一列
设研制出一种新产品—小旅行车，每辆旅
行车用钢材1.5吨，工时1.25小时，座椅 0.25套，利润3千元，试问该新产品是否该 投产？（给出数学模型，再讨论） 1 .5 1.25 p 第一种解法：设该车产量为 x6 ，则 6
4
3
0
0
0
0
xB B 1b x1 x5 200 0 x2 600 0 x1 200 1 x7 -200 0
2600
x2 x3 x4 x5
0 1 0 0 0.5 1 -0.5 -0.5 -0.4 -0.4 0.4 0 1 0 0 0
x7
0 0 0 1
j
0
0
-1
2
-0.4
0
0
cj
CB
0 3 பைடு நூலகம் 0
4
3
0
0
0
0
xB B 1b x1 0 x5 0 x2 200 0 x1 400 1 x3 400 0
2200
x2 x3 x4 x5
0 1 0 0 0 0 0 1 -0.4 -0.4 0.4 0 1 0 0 0
x7
1 2 -1 -2
j
0
0
0
-0.4
0
-2
增加约束后，最优目标函数值不会更好，一般 会差一些。
运筹学灵敏度分析PPT课件
0 a1r br
a1r
B 1
br
air br
br
air
0 amr br
amr
B-1的第r列
进一步得，最终表中 b 列元素
B-1b
bi + a ir br 0,
air br bi
i=1，2，…，m i=1，2，…，m
air > 0
br bi / air ; air < 0
0 4 0.25 0
B1b
+
B1
b2
4
+
0.5
b2 0
0 2 0.125 0
可得 △b2≥-4/0.25=-16, △b2≥-4/0.5=-8, △b2≤2/0.125=16 由公式知△b2变化范围[-8,16], 显然b2变化范围[8,32]
例题: 将上面例题进行实际应用。每台设备台时的影子价格为1.5元。若该 厂又从别处抽出4台时用于生产两种产品，求这时该厂生产两种产品的最优方 案。
生产规模条件下单位产品利润或单价的可变范围。 2、代表单位原料单价时，灵敏度分析用于预先确定保持现有配方条件下，原
料单价的可变动范围。
第10页/共11页
感谢您的观看！
第11页/共11页
解：这时最终计算表为
第7页/共11页
cj
2 3 + △c2 0
0
0
CB XB b x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 4 1 0
0 0.25 0
0 x5 4 0 0
-2 0.5
1
3 x2 2 0 1 0.5 –0.125 0
cj-zj
0 △c2 -1.5 -0.125 0
a1r
B 1
br
air br
br
air
0 amr br
amr
B-1的第r列
进一步得，最终表中 b 列元素
B-1b
bi + a ir br 0,
air br bi
i=1，2，…，m i=1，2，…，m
air > 0
br bi / air ; air < 0
0 4 0.25 0
B1b
+
B1
b2
4
+
0.5
b2 0
0 2 0.125 0
可得 △b2≥-4/0.25=-16, △b2≥-4/0.5=-8, △b2≤2/0.125=16 由公式知△b2变化范围[-8,16], 显然b2变化范围[8,32]
例题: 将上面例题进行实际应用。每台设备台时的影子价格为1.5元。若该 厂又从别处抽出4台时用于生产两种产品，求这时该厂生产两种产品的最优方 案。
生产规模条件下单位产品利润或单价的可变范围。 2、代表单位原料单价时，灵敏度分析用于预先确定保持现有配方条件下，原
料单价的可变动范围。
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解：这时最终计算表为
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cj
2 3 + △c2 0
0
0
CB XB b x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 4 1 0
0 0.25 0
0 x5 4 0 0
-2 0.5
1
3 x2 2 0 1 0.5 –0.125 0
cj-zj
0 △c2 -1.5 -0.125 0
运筹学第二章 线性规划灵敏度分析课件
第2章 线性规划 灵敏度分析
关于运筹学第二章 线性规划灵敏度分析
东北财经大学工商管理学院
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2.1 线性规划灵敏度分析
第2章 线性规划 灵敏度分析
▪ 在第1章的讨论中，假定以下的线性规划
模型中的各个系数cj、bi、aij是确定的常
数，并根据这些数据，求得最优解。
n
Max(Min) z c j x j j 1
▪ 使用电子表格进行分析(重新运行规划求解)
东北财经大学工商管理学院
规划求解后，最优 解发生了改变，变 成了（2/3，8）， 总利润也由3600元 增加到了4200元。 可见，车间2更新生 产工艺后，为工厂 增加了利润。
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2.7 增加一个新变量
第2章 线性规划 灵敏度分析
▪ 例2.1 如果工厂考虑增加一种新产品：防盗门，其单位利润为400元。 生产一个防盗门会占用车间1、车间2、车间3各2、1、1工时,总利
第2章 线性规划 灵敏度分析
▪ 方法1：使用电子表格进行分析（重新运 行规划求解）
总利润为3750元，
增加了：3750-
3600=150元。由于
总利润增加了，而目标 函数系数不变，所以最 优解一定会发生改变， 从图中可以看出，最优 解由原来的（2，6）
变为（1.667，6.5）
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电最多为90kw),最优解是否会发生变化? ▪ 使用电子表格进行分析(重新运行规划求解)
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可见电力约束 的确限制了新 产品门和窗的 产量，最优解 变成(1.5,6),总 利润也相应的 下降为3450元 。
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2.9 影子价格
关于运筹学第二章 线性规划灵敏度分析
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2.1 线性规划灵敏度分析
第2章 线性规划 灵敏度分析
▪ 在第1章的讨论中，假定以下的线性规划
模型中的各个系数cj、bi、aij是确定的常
数，并根据这些数据，求得最优解。
n
Max(Min) z c j x j j 1
▪ 使用电子表格进行分析(重新运行规划求解)
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规划求解后，最优 解发生了改变，变 成了（2/3，8）， 总利润也由3600元 增加到了4200元。 可见，车间2更新生 产工艺后，为工厂 增加了利润。
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2.7 增加一个新变量
第2章 线性规划 灵敏度分析
▪ 例2.1 如果工厂考虑增加一种新产品：防盗门，其单位利润为400元。 生产一个防盗门会占用车间1、车间2、车间3各2、1、1工时,总利
第2章 线性规划 灵敏度分析
▪ 方法1：使用电子表格进行分析（重新运 行规划求解）
总利润为3750元，
增加了：3750-
3600=150元。由于
总利润增加了，而目标 函数系数不变，所以最 优解一定会发生改变， 从图中可以看出，最优 解由原来的（2，6）
变为（1.667，6.5）
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电最多为90kw),最优解是否会发生变化? ▪ 使用电子表格进行分析(重新运行规划求解)
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可见电力约束 的确限制了新 产品门和窗的 产量，最优解 变成(1.5,6),总 利润也相应的 下降为3450元 。
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2.9 影子价格
运筹学单纯形法的灵敏度分析课件
• 基变量的cj发生变化，由于影响到cB，从而所有非基变 量的检验数均受到影响（基变量的检验数仍保持为0）。
• 如上例中x1、x2为基变量，则甲、乙产品单位利润变化，将影 响除甲、乙外其他变量的检验数。
运筹学单纯形法的灵敏度分析
6
（一）非基变量目标函数系数的改变
• 上例中，x1、x2为基变量，x3为非基变量，它的最优解为x3=0， 既不安排生产。为什么不生产丙产品呢？因为x3所对应的检 验数Cj-Zj不是绝对值最大者，无法调入成为基变量。
最优 ZC B 值 b运筹2 学单纯3 形法 的1 2 灵敏 度 分析8 最优 Z8值 20
分析
• 从以上计算结果表明，增加一个单位b1（劳动力数量）会使总利 润增加，但在实际经济工作中，b1增加不可能是无限的，因为劳 动力增加太多，而其他条件不变时，势必造成劳动力过剩，影响 生产率，进而影响利润率，即Cj会变化，因此，b1的变化也是有 范围的。
运筹学单纯形法的灵敏度分析
8
• 所以，丙产品单位利润的变动范围是c3<4；
• 讨论： • 假设此时c3增加到6元，产量应为多少？
运筹学单纯形法的灵敏度分析
9
C3已超出变动范围
• 代入单纯形表 最后一段 继续计算。
段
Cj ↓
→ 基
0 b
23 x1 x2
6 x3
0 0 Qi x4 x5
2
x1
1
1
0 （-1） 4 -1
但变量值发生变动（产量变化），最优值也会变动
（总利润变化），即运筹学单纯形法的灵敏度分析
23
x1 4 b1 3 x 2 b1 3 x3 0
Z 2 x1 3 x2
2 4 b1 3 3 b1 3
• 如上例中x1、x2为基变量，则甲、乙产品单位利润变化，将影 响除甲、乙外其他变量的检验数。
运筹学单纯形法的灵敏度分析
6
（一）非基变量目标函数系数的改变
• 上例中，x1、x2为基变量，x3为非基变量，它的最优解为x3=0， 既不安排生产。为什么不生产丙产品呢？因为x3所对应的检 验数Cj-Zj不是绝对值最大者，无法调入成为基变量。
最优 ZC B 值 b运筹2 学单纯3 形法 的1 2 灵敏 度 分析8 最优 Z8值 20
分析
• 从以上计算结果表明，增加一个单位b1（劳动力数量）会使总利 润增加，但在实际经济工作中，b1增加不可能是无限的，因为劳 动力增加太多，而其他条件不变时，势必造成劳动力过剩，影响 生产率，进而影响利润率，即Cj会变化，因此，b1的变化也是有 范围的。
运筹学单纯形法的灵敏度分析
8
• 所以，丙产品单位利润的变动范围是c3<4；
• 讨论： • 假设此时c3增加到6元，产量应为多少？
运筹学单纯形法的灵敏度分析
9
C3已超出变动范围
• 代入单纯形表 最后一段 继续计算。
段
Cj ↓
→ 基
0 b
23 x1 x2
6 x3
0 0 Qi x4 x5
2
x1
1
1
0 （-1） 4 -1
但变量值发生变动（产量变化），最优值也会变动
（总利润变化），即运筹学单纯形法的灵敏度分析
23
x1 4 b1 3 x 2 b1 3 x3 0
Z 2 x1 3 x2
2 4 b1 3 3 b1 3
运筹学课件 第五节 灵敏度分析
参数 aij,bi,cj 的变化引起的单纯形表上的有关 数字的变化：
b ' B 1b Pj B 1 Pj
' m
(c j z j ) c j aij yi
' i 1
运筹学教程
（2）、检查原问题是否仍为可行解。
（3）、检查对偶问题是否仍为可行解。
原问题
可行解 可行解 非可行解 非可行解
0 0 x3 x4 4/5 1 -1/5 0 1/5 0 -1/10 0
0 x5 -6 1 0 -3/2
随利润的变化，调整如下：
生产产品1为2件，产品2为3件。
运筹学教程
解（2）设产品2的利润1+
Cj
CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1+ x2 3/2 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0
运筹学教程
CB 0 2 3
2 x1 基 b x5 3/8 0 x1 11/4 1 x2’ 15/8 0 Cj-Zj 0
Cj
3 x2’ 0 0 1 0
0 0 0 x3 x4 x5 -1/24 -1/6 1 -1/12 1/6 0 1/8 0 0 -5/24 -1/3 0
-M x6 1/24 1/12 -1/8 -M+5/24
将其反映到单纯形表
Cj CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1 x2 3/2 Cj-Zj Cj 基 b x3 -9 2 x1 x2’ 3 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0 2 X1 0 1 0 0
1 x2 0 0 1 0 1 x2 0 0 1 0
3 0 X2’ x3 11/2 1 ½ 0 ½ 0 3/2 0 3 x2’ 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0
b ' B 1b Pj B 1 Pj
' m
(c j z j ) c j aij yi
' i 1
运筹学教程
（2）、检查原问题是否仍为可行解。
（3）、检查对偶问题是否仍为可行解。
原问题
可行解 可行解 非可行解 非可行解
0 0 x3 x4 4/5 1 -1/5 0 1/5 0 -1/10 0
0 x5 -6 1 0 -3/2
随利润的变化，调整如下：
生产产品1为2件，产品2为3件。
运筹学教程
解（2）设产品2的利润1+
Cj
CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1+ x2 3/2 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0
运筹学教程
CB 0 2 3
2 x1 基 b x5 3/8 0 x1 11/4 1 x2’ 15/8 0 Cj-Zj 0
Cj
3 x2’ 0 0 1 0
0 0 0 x3 x4 x5 -1/24 -1/6 1 -1/12 1/6 0 1/8 0 0 -5/24 -1/3 0
-M x6 1/24 1/12 -1/8 -M+5/24
将其反映到单纯形表
Cj CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1 x2 3/2 Cj-Zj Cj 基 b x3 -9 2 x1 x2’ 3 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0 2 X1 0 1 0 0
1 x2 0 0 1 0 1 x2 0 0 1 0
3 0 X2’ x3 11/2 1 ½ 0 ½ 0 3/2 0 3 x2’ 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0
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运筹学教程
Cj
210
CB 基 b X1 x2 x3
0 x3 15 0
51
2 x1 5 1
10
0 x4 2 0
-4 0
Cj-Zj
0
-1 0
00 x4 x5 00 01 1 -6 0 -2
工厂的最优生产计划改为只生产产品1，每天 的生产数量5件。
解：（2）
设每天的调试可用能力为5
运筹学教程
1 b' B1b 0
x5
x4
5
24
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
用单纯形法求解如下：
运筹学教程
Cj
210 0 0
CB 基 b X1 x2 x3 x4
x5
0 x3 15/2 0 2 x1 7/2 1 1 x2 3/2 0
01 00 10
5/4 -15/2 ¼ -1/2 -1/4 3/2
Cj-Zj
0
8
2
3 / 2 0 2
运筹学教程
将其反映到最终的单纯形表，原问题非可行解， 采用dual单纯形法
Cj
2
CB 基 b X1
0 x3 35/2 0
2 x1 11/2 1
1 x2 -1/2 0
Cj-Zj
0
10 x2 x3 01 00 10 00
00 x4 x5 5/4 -15/2 ¼ -1/2 [-1/4] 3/2 -1/4 -1/2
aij
y i
i 1
运筹学教程
（2）、检查原问题是否仍为可行解。 （3）、检查对偶问题是否仍为可行解。
原问题
可行解 可行解 非可行解 非可行解
对偶问题
可行解 非可行解 可行解 非可行解
结论或继续计算的步骤
问题最优解或最优基不变 单纯形求解最优解 对偶单纯形求解最优解 引进人工变量，新单纯形 表重新计算
运筹学教程
三、 灵敏度分析举例：
例1-1
max Z 2x1 x2
5x2 15
s.t.6x1x1x22
x2
5
24
x1, x2 0
引入非负的松弛变量x3, x4,x5, 将该LP化为
标准型：
运筹学教程
max Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
5x2 x3 15
s.t.6x1x1x32 x2
0
5/4 1/ 4 1/ 4
15 / 20 15 /2
1/ 2
0
/2
3 / 2 3 / 2
反映到单纯形表，b列数字为
b
15
2 7
15
2
1
2 2
3 3
22
当b≥0问题的最优基不变， 解得： 1 1
所以调试能力在4~6h
运筹学教程
3、增加一个变量xj的分析
分析步骤：
Cj-Zj
1.5 2
X1 x2 00
10
01
0
0
00 x3 x4
4/5 1 -1/5 0 1/5 0 -1/10 0
0 x5
-6 1 0 -3/2
随利润的变化，调整如下： 生产产品1为2件，产品2为3件。
运筹学教程
解（2）设产品2的利润1+ 直接反映到单纯形表
Cj CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2
（1）如果设备A和调试工序的每天的能力不变，设备B每 天的能力增加到32h，分析公司最优的生产计划的变化；
（2）如果设备A和设备B每天的能力不变，则调试工序在 什么范围内变化，问题的最优基不变。
解：（1）
0 b 8
0
1 b' B1b 0
0
5/4 1/ 4 1/ 4
15 / 20 10
1/ 2
1+ x2 3/2
Cj-Zj
2 1 + 0 0
0
X1 x2 x3 0 01
x4 5/4
x5 -15/2
1 00 ¼
-1/2
0 1 0 -1/4 3/2
0
0 0 -1/4+ /4 -1/2-3 /2
运筹学教程
1
0, 1 3
0
44
22
1 1
3 所以产品利润的变化
范围应满足：
2 3
c2
2
运筹学教程
Cj
1.5 2 0
CB 基 b X1 x2 x3
0 x3 15/2 0
01
1.5 x1 7/2 1
00
2 x2 3/2 0
10
Cj-Zj
0
00
00 x4 x5 [5/4] -15/2 ¼ -1/2 -1/4 3/2
1/8 -9/4
运筹学教程
Cj CB 基 b 0 x4 6 1.5 x1 2 2 x2 3
运筹学教程
2、灵敏度分析的内容： 目标函数的系数变化对最优解的影响； 约束方程右端系数变化对最优解的影响； 约束方程组系数阵变化对最优解的影响 ；
回答两个问题：
运筹学教程
①这些系数在什么范围内发生变化时，最优 基不变（即最优解或最优解结构不变）？ ②系数变化超出上述范围时，如何用最简便 的方法求出新的最优解？
2、分析bi（右端常数）变化：
当bi发生变化时，将影响所有基变量的取值。 因为： X B B 1b 若bi的变化→
①保持B-1b≥0,当前的基仍为最优基，最优解的结构 不变（取值改变）；
②（B-1b）<0,当前基为非可行基,但是仍保持为对偶 可行基, 可用对偶单纯形法求出新的最优解；
运筹学教程
仍然来看例1-1：
0 0 -1/4 -1/2
运筹学教程
1、价值系数Cj变化 （1）当cj是非基变量的价值系数——它的变 化只影响 j 一个检验数。
N CN CB B 1 N
例：c4发生变化时， 4 0 ，最优解不变 否则 4 >0,可使用原单纯形法继续迭代求出新
的最优解。
运筹学教程
（2）当cj是基变量的价值系数——它的变化 将影响所有非基变量的检验数.
N CN CB B 1 N
当cj变化时，如能保持 N 0，则当前解仍为 最优解，否则可用单纯形法继续迭代求出新 的最优解。
运筹学教程
例1-1:(1)如果产品1的利润降至1.5元/件，产品2的利润增加 至2元/件，工厂的最优生产计划？
（2）如果产品1的利润不变，则产品２的利润在什么范围内变 化，工厂的最优生产计划不变？ 解（1）将产品1，2的利润变化直接反映到单纯形表
m
1、计算
' j
cj
zj
cj
aij yi
i 1
2、计算P ' j B 1Pj
3、如果
' j
0, 最优解不变；
如果
' j
0, 继续计算。
如果该厂计划推出新产品3，生产一件所需要设备A,B 以及调试工序的时间分别是3h,4h,2h，该产品的预期利 润3元/件，分析该种产品是否值得投产？如投产，对该 公司的最优生产计划有何改变？
二、 进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优单纯形表的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
3、灵敏度分析的步骤：
运筹学教程
（1）将参数的改变通过计算反映到单纯形表。
参数aij,bi,cj的变化引起的单纯形表上的有关 数字的变化：
b' B1b
Pj' B1Pj
m
(c j z j )' c j