关于高等数学等价无穷小替换极限的计算

讲义

无穷小极限的简单计算【教学目的】

1、理解无穷小与无穷大的概念；

2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；

3、不同类型的未定式的不同解法。

【教学内容】

1、无穷小与无穷大；

2、无穷小的比较；

3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；

4、求极限的方法。

【重点难点】

重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。

难点是未定式的极限的求法。

【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。

【授课内容】

一、无穷小与无穷大

1.定义

前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-

→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用

→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{}

-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈000x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊

。 例如, ,0sin lim 0

=→x x Θ .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。

定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即

()∞=→x f x ＊

lim 。显然，∞→n 时，Λ、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷

大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0lim =-∞→x x e ， +∞=+∞

→x x e lim ， 所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。

2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()

x f 1为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。

3.无穷小与函数极限的关系:

定理 1 0lim ()()(),x x x f x A f x A x α®=?+其中)(x α是自变量在同一变化过程0

x x →（或∞→x ）中的无穷小.

证：（必要性）设0lim (),x x f x A ®=令()(),x f x A α=-则有0

lim ()0,x x x α®= （充分性）设()(),f x A x α=+其中()x α是当0x x ®时的无穷小，则

【意义】

（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);

（2）0()(),().f x x f x A x α»给出了函数在附近的近似表达式误差为

3.无穷小的运算性质

定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.

【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.

定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

如：01)1(lim =-∞

→n n

n ，01sin lim 0=→x x x ，0sin 1lim =∞→x x x 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.

推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.

推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.

二、无穷小的比较 例如，2210,,,sin ,sin

x x x x x x ®当时都是无穷小，观察各极限： 2

201sin

lim x x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.

1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α¹

例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x → 证：430tan 4lim x x x x →30)tan (lim 4x

x x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x →

例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan lim

x x x x -→Θ)cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x

（1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ；

（4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-x e ～x

（7）x cos 1-～2

2

x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1x a -～ln a x * 用等价无穷小可给出函数的近似表达式:

例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-

= 3．等价无穷小替换 定理：.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα'

'=''''则存在且设 证：α

βlim )lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''= 例3 （1）.cos 12tan lim 20x

x x -→求； （2）1cos 1lim 20--→x e x x 解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当 故原极限202

(2)lim 12

x x x ®== 8