13反比例函数与几何图形综合题

专题跟踪突破13 反比例函数与几何图形综合题

1．(导学号：01262176)(2016·自贡)如图，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y ＝

kx ＋b 和反比例函数y ＝m

x 的图象的两个交点．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)观察图象，直接写出方程kx ＋b －m

x ＝0的解； (3)求△AOB 的面积；

(4)观察图象，直接写出不等式kx ＋b －m

x ＜0的解集．

解：(1)∵B(2，－4)在y ＝m x 上，∴m ＝－8.∴反比例函数的解析式为y ＝－8

x .∵点A(－4，

n)在y ＝－8

x 上，∴n ＝2.∴A(－4，2)．∵y ＝kx ＋b 经过A(－4，2)，B(2，－4)，∴⎩⎪⎨

⎪⎧－4k ＋b ＝2，2k ＋b ＝－4，解得⎩

⎪⎨⎪⎧k ＝－1，

b ＝－2，∴一次函数的解析式为y ＝－x －2

(2)∵A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝m

x 的图象的两个交点，∴方程kx ＋b －m

x ＝0的解是x 1＝－4，x 2＝2

(3)∵当x ＝0时，y ＝－2.∴点C(0，－2)．∴OC ＝2.∴S △AOB ＝S △ACO ＋S △BCO ＝12×2×4＋1

2×2×2＝6 }

(4)不等式kx ＋b －m

x ＜0的解集为－4＜x ＜0或x ＞2

[

2．(导学号：01262177)(2016·枣庄)如图，在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，F 是AB 上的一个动点(F 不与A ，B 重合)，过点F 的反比例函数y ＝k

x (k ＞0)的图象与BC 边交于点E.

(1)当F 为AB 的中点时，求该函数的解析式；

(2)当k 为何值时，△EFA 的面积最大，最大面积是多少

解：(1)∵在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝2，∴B(3，2)，∵F 为AB 的中点，∴F(3，1)，∵点F 在反比例函数y ＝k x (k ＞0)的图象上，∴k ＝3，∴该函数的解析式为y ＝3

x (x ＞0)

(2)由题意知E ，F 两点坐标分别为E(k 2，2)，F(3，k 3)，∴S △EFA ＝12AF ·BE ＝12×13k(3－1

2k)＝12k －112k 2＝－112(k 2－6k ＋9－9)＝－112(k －3)2＋34，当k ＝3时，S 有最大值，S 最大值＝34

￥

3．(导学号：01262178)(2016·资阳)如图，在平行四边形ABCD 中，点A ，B ，C 的坐标

分别是(1，0)，(3，1)，(3，3)，双曲线y ＝k

x (k ≠0，x ＞0)过点D.

(1)求双曲线的解析式；

(2)作直线AC 交y 轴于点E ，连接DE ，求△CDE 的面积．

解：(1)∵在平行四边形ABCD 中，点A ，B ，C 的坐标分别是(1，0)，(3，1)，(3，3)，∴点D 的坐标是(1，2)，∵双曲线y ＝k x (k ≠0，x ＞0)过点D ，∴2＝k

1，解得k ＝2，即双曲线的解析式是y ＝2

x

(2)∵直线AC 交y 轴于点E ，∴S △CDE ＝S △EDA ＋S △ADC ＝（2－0）×12＋（2－0）×（3－1）

2＝1＋2＝3，即△CDE 的面积是3

;

4．(导学号：01262076)(2016·东营)如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，与反比例函数y ＝m

x 的图象在第二象限交于点C ，CE ⊥x 轴，垂足为点E ，tan ∠ABO ＝1

2，OB ＝4，OE ＝2.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)若点D 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D 作DF ⊥y 轴，垂足为点F ，连接OD ，BF.如果S △BAF ＝4S △DFO ，求点D 的坐标．

解：(1)∵OB ＝4，OE ＝2，∴BE ＝OB ＋OE ＝6.∵CE ⊥x 轴，∴∠CEB ＝90°.在Rt △BEC 中，∠CEB ＝90°，BE ＝6，tan ∠ABO ＝12，∴CE ＝BE ·tan ∠ABO ＝6×1

2＝3，结合函数图象可知点C 的坐标为(－2，3)．∵点C 在反比例函数y ＝m

x 的图象上，∴m ＝－2×3＝－6，∴反比例函数的解析式为y ＝－6

x

(2)∵点D 在反比例函数y ＝－6x 第四象限的图象上，∴设点D 的坐标为(n ，－6

n )(n ＞0)．在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OB ＝4，tan ∠ABO ＝12，∴OA ＝OB ·tan ∠ABO ＝4×1

2＝2.∵S △

BAF ＝

12AF ·OB ＝12(OA ＋OF)·OB ＝12(2＋6n )×4＝4＋12n .∵点D 在反比例函数y ＝－6x 第四象限

的图象上，∴S △DFO ＝12×|－6|＝3.∵S △BAF ＝4S △DFO ，∴4＋12n ＝4×3，解得n ＝3

2，经验证n ＝32是分式方程4＋12n ＝4×3的解，∴点D 的坐标为(3

2，－4)

）

…

5．(导学号：01262077)(2016·泰州)如图，点A(m ，4)，B(－4，n)在反比例函数y ＝k

x (k

＞0)的图象上，经过点A ，B 的直线与x 轴相交于点C ，与y 轴相交于点D.

(1)若m ＝2，求n 的值； (2)求m ＋n 的值；

(3)连接OA ，OB ，若tan ∠AOD ＋tan ∠BOC ＝1，求直线AB 的函数关系式．

解：(1)当m ＝2，则A(2，4)，把A(2，4)代入y ＝k

x 得k ＝2×4＝8，所以反比例函数解析式为y ＝8x ，把B(－4，n)代入y ＝8

x 得，－4n ＝8，解得n ＝－2

(2)因为点A(m ，4)，B(－4，n)在反比例函数y ＝k

x (k ＞0)的图象上，所以4m ＝k ，－4n ＝k ，所以4m ＋4n ＝0，即m ＋n ＝0

(3)作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，在Rt △AOE 中，tan ∠AOE ＝AE OE ＝m

4，在Rt △BOF 中，tan ∠BOF ＝BF OF ＝－n 4，而tan ∠AOD ＋tan ∠BOC ＝1，所以m 4＋－n

4＝1，而m ＋n ＝0，解得m ＝2，n ＝－2，则A(2，4)，B(－4，－2)，设直线AB 的解析式为y ＝px ＋q ，把A(2，

4)，B(－4，－2)代入得⎩⎪⎨⎪⎧2p ＋q ＝4，－4p ＋q ＝－2，解得⎩

⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝2，所以直线AB 的解析式为y ＝x ＋2