复变函数与积分变换-第五章-留数(上)

f ' (0) (1)3 0 z 0为一阶零点
f ' (1) 0
f ' ' (1) 0
f ' ' ' (1) 6 0
z 1为三阶零点
1 的m阶零点. 定理2: z0是f ( z )的m阶极点 z0是 f ( z)
证明 “” 若z0为f (z)的m 阶极点 1 f (z) g( z ) g( z )在z0解析, 且g( z0 ) 0 m ( z z0 )
1 “”若z0是 的m阶零点, 则 f ( z)
1 ( z z0 ) m ( z ) f (z)
( z) 在z0解析, 且 ( z0 ) 0 .
1 1 1 当z z0时，f ( z ) (z) m m ( z z0 ) ( z ) ( z z0 )
1 1 m ( z z0 ) ( z z0 )m h( z ) f (z) g( z ) ( z z0 )
h( z)在z0解析, 且 h( z0 ) 0 .
1 1 1 lim 0, 令 0，则z0是 的m阶零点. z z0 f ( z ) f ( z0 ) f ( z)
zk 是1 ez的一阶零点
; 综上 z i为f ( z )的 二 阶 极 点 zk i ( 2k 1) 一阶极点 . ( k 1, 2,)为f ( z )的
例2 考察下列函数的孤立奇点，奇点类型， 如果是极点，指出它的级数。 1 (1) f ( z ) 2 z z (e 1)
~~~~~~~~~
例如 f ( z ) e
1 z
----z=0为孤立奇点
1 f (z) ----z=1为孤立奇点 z 1
f (z) 1 1 sin z
----z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,…)都是它的奇点
1 但 li m 0, 在z 0不 论 多 么 小 的 去 心 n n y 邻域内 , 总 有f ( z )的 奇 点 存 在 ，
（2）z0 是f ( z )的m阶 极 点 f ( z)
n n c z n , 且cm 0, R z . m
（3）z0 是f ( z )的本性奇点 f ( z)
n n c z n , ( R z )有无穷多项正次幂 m
n ห้องสมุดไป่ตู้
c m m z
规定：z 0是 ( z)的可去奇点、 m阶奇点、本性奇点， 则称z 是f ( z )的可去奇点、 m阶奇点、本性奇点。
由此可得(看 f ( z)的Lourent级数正幂的系数)：
（1）z0 是f ( z )的可去奇点 f ( z)
n n c z n , R z . 0
其中： ( z0 ) 0, ( z )在z0点解析 ,m N
则称z=z0为f (z) 的m 阶零点。
例如： z 0与z 1分别是f ( z ) z ( z 1) 的一阶
3
与三阶零点。
定理1 f ( z ) ( z z0 ) m ( z )
( ( z0 ) 0, ( z )在z0点解析 ,m N) f ( n ) ( z0 ) 0( n 0,1,2, , m 1) f ( m ) ( z0 ) 0.
而
f
( z0 ) c0 0 m!
必要性得证， 充分性略。
例
z 0与z 1均为f ( z ) z( z 1) 的零点。
3
解： f ' ( z ) ( z 1) 3z ( z 1)
3
2
f " ( z) 6( z 1)2 6z( z 1)
f ' ' ' ( z) 12( z 1) 6( z 1) 6 z
( z ) c n ( z z 0 ) n f ( z ) cn ( z z0 )
n 0 n 0
c0 ( z 0 ) 0
n m
由Taylor级数的系数公式有: f
(n)
( z0 ) 0 (n 0,1,2,, m 1),
( m)
z
例3 确定 z0 是下列函数的何种奇点. 1 (1) f ( z ) sin , z (2) f ( z ) cos z, 1 (3) f ( z ) 2 z z 5 z
2
z z0
（ 3）
若z0为f (z)的本性奇点
f ( z )的洛朗级数有无穷多项负幂次项 lim f ( z )不存在，也不为
z z0
Tips：以上三个性质是三种类型奇点的极限形式
3. 解析函数的零点与极点的关系
定义 不恒等于0的解析函数f (z)如果能表示成
f ( z ) ( z z0 )m ( z )
特别： k 0时，z0 i, k 1时，z-1 -i
z
z
z=i 是(1+z2)的一阶零点
(1 ez )'
z i ( 2 k 1)
e z
z i ( 2 k 1)
[cos ( 2k 1) i sin ( 2k 1)] 0
e z 1 z n z n1 1 z z n 1 (2) 1 z z n0 n! n0 n! z 2! n!
特点：只有有限多个负幂次项 1 1 2 1 n 1 z ( 3)e 1 z z z 2! n! 特点：有无穷多个负幂次项
极限形式
（1）z0 是f ( z )的 可 去 奇 点 lim f ( z ) c0
z
（2）z0 是f ( z )的m阶 极 点 lim z m f ( z ) c0 0
z


（3）z0 是f ( z )的 本 性 奇 点 lim f ( z )不 存 在 且 不 为

只有有限多个负幂次项，称z=z0为m 阶极点;
( iii ) f ( z )
n
n c ( z z ) n 0
有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点。
2. 解析函数在有限孤立奇点的性质
（ 1） 若z0为f (z)的可去奇点
n 0 z z0
f ( z ) c n ( z z 0 ) n l i m f ( z ) c0
定义 设z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内，
若f (z)的洛朗级数
( i ) f ( z ) cn ( z z0 ) n
n 0

没有负幂次项，称z=z0为可去奇点;
( ii ) f ( z )
n m

n c ( z z ) (c m 0, m 1) n 0
1 si n z 的孤立奇点。
这说明奇点未
必是孤立的。
故z 0不 是
1
o
x
将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根 据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。
2n sinz z2 z4 z (1) 1 ( 1)n z 3! 5! ( 2n 1)!
特点：没有负幂次项
补充定义： f ( z0 ) c0
（ 2）
f ( z )在z0解析.
若z0为f (z)的m (m 1) 阶极点
n m n c ( z z ) ( c m 0, m 1 ) n 0
f (z)
1 f (z) g ( z ), g ( z )在 z z0 内是 m ( z z0 ) 解析函数且g ( z0 ) 0. m lim[( z z0 ) f ( z )] c m 0
sin z (2) f ( z ) 3 z
(3) f ( z ) e
1 z 1
4. 解析函数在无穷点的性态
定义 如果 f ( z ) 在 R | z | 内解析，则称 z 为 f ( z ) 的孤立奇点。
设 f ( z ) 在R | z | 内解析，则 在R | z | 内有 c 1 f ( z ) cn z c0 c1 z cn z n z n 1 1 令 ( z ) f ( ), 则 ( z )在0 | z | 内解析,z 0是 ( z ) z R 的孤立奇点。
( z)在 z0 解析, 且 ( z0 ) 0 .
z0是f ( z )的m阶极点.
z 的奇点， 例1 求f ( z ) 2 z (1 z )(1 e ) 若是极点指出阶数
解 显然，z=i 是(1+z2)的一阶零点
e 1 0, 即 e 1 z Ln( 1) i ( 2k ) ( 2k 1)i 故奇点为： z k ( 2k 1)i k 0,1,2,
第五章


留数
第一节 孤立奇点
第二节 留数 第三节 留数在定积分计
算中的应用
第一部分


孤立奇点
1. 解析函数孤立奇点及分类
2. 解析函数在有限孤立奇点的性质 3. 函数的零点与极点的关系
4. 函数在无穷远点的性态
1. 孤立奇点及其分类
定义 若f ( z )在z0 处不解析, 但在z0的某个去心邻域 0 z z0 内解析, 则称z0为f ( z )的孤立奇点.