离散数学考试题详细答案

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离散数学考试题(后附详细答案)

一、命题符号化(共6小题,每小题3分,共计18分)

1.用命题逻辑把下列命题符号化

a)假如上午不下雨,我去看电影,否则就在家里读书或看报。

设P表示命题“上午下雨”,Q表示命题“我去看电影”,R表示命题“在家里读书”,S表示命题“在家看报”,命题符号化为:(P⇄Q)(P⇄R S)

b)我今天进城,除非下雨。

设P表示命题“我今天进城”,Q表示命题“天下雨”,命题符号化为:Q→P或P→Q c)仅当你走,我将留下。

设P表示命题“你走”,Q表示命题“我留下”,命题符号化为: Q→P

2.用谓词逻辑把下列命题符号化

a)有些实数不是有理数

设R(x)表示“x是实数”,Q(x)表示“x是有理数”,命题符号化为:

x(R(x) Q(x)) 或x(R(x) →Q(x))

b)对于所有非零实数x,总存在y使得xy=1。

设R(x)表示“x是实数”,E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为:x(R(x) E(x,0) →y(R(y) E(f(x,y),1))))

c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B,使得f(a)=b.

设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为:F(f)⇄∀a(A(a)→∃b(B(b) ∧ E(f(a),b) ∧∀c(S(c) ∧ E(f(a),c) →E(a,b))))

二、简答题(共6道题,共32分)

1.求命题公式(P→(Q→R))(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式,并写出所有成真赋

值。(5分)

(P→(Q→R))(R→(Q→P))(P Q R)(P Q R)

((P Q R)→(P Q R)) ∧((P Q R) →(P Q R)).

((P∧Q∧R) (P Q R)) ∧ ((P∧Q∧R) (P Q R))

(P Q R) ∧(P Q R) 这是主合取范式

公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为

(P∧Q∧R)(P∧Q∧R)(P∧Q∧R)(P∧Q∧R)(P∧Q∧R)(P∧Q∧R)

2.设个体域为{1,2,3},求下列命题的真值(4分)

a)x y(x+y=4)

b)y x (x+y=4)

a) T b) F

3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。(4分)

x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x)) x(F(x)→G(x))→(yF(y)→zG(z))

x(F(x)→G(x))→y z(F(y)→G(z)) x y z((F(x)→G(x))→ (F(y)→G(z)))

4. 判断下面命题的真假,并说明原因。(每小题2分,共4分)

a) (A B )-C=(A-B) (A-C)

b) 若f 是从集合A 到集合B 的入射函数,则|A |≤|B|

a) 真命题。因为(A B )-C=(A B )~C=(A ~C )(B ~C )=(A-C )(B-C )

b) 真命题。因为如果f 是从集合A 到集合B 的入射函数,则|ranf|=|A|,且ranf B,故命题成立。

5. 设A 是有穷集,|A|=5,问(每小题2分,共4分)

a) A 上有多少种不同的等价关系?

b) 从A 到A 的不同双射函数有多少个?

a) 52 b) 5!=120

6. 设有偏序集,其哈斯图如图1,求子集B={b,d,e}的最小元,最大元、极大元、

极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界,(5分)

f g

图1

B 的最小元是b ,无最大元、极大元是d 和e 、极小元是b 、上界集合是{g}、下界集合是{a,b}、上确界是g 、下确界是b.

7. 已知有限集S={a 1,a 2,…,a n },N 为自然数集合,R 为实数集合,求下列集合的基数

S;P(S);N,N n ;P(N);R,R ×R,{o,1}N (写出即可)(6分)

K[S]=n; K[P(S)]=n 2; K[N]=

0,K[N n ]=0, K[P(N)]=; K[R]=, K=[R ×R]=

,K[{0,1}N ]=

三、证明题(共3小题,共计40分)

1. 使用构造性证明,证明下面推理的有效性。(每小题5分,共10分)

a) A →(B ∧C),(E →F)→C, B →(A ∧S)B →E

b) x(P(x)→Q(x)), x(Q(x)∨R(x)),x R(x) x P(x)

a) 证 (1)B P(附加条件)

(2)B →(A ∧S) P

(3) A ∧S T(1)(2) I

(4) A T(3) I

(5) A →(B ∧C) P

(6) B ∧C T(4)(5) I

(7) C T(6) I

(8) (E →F)→ C P (9) (E →F) T(7)(8) I

(10) E ∧F T(9) E

(11) E T(10) I

(12) B →E CP

b) 证 (1) x R(x) P (2) R(c) ES(1) (3) x(Q(x)∨R(x)) P

(4) Q(c)∨R(c) US(3)

(5) Q(c) T(2)(4) I (6) x(P(x)→Q(x)) P

(7) P(c)→Q(c) US(6) (8) P(c) T(5)(7) I (9) x P(x) EG(8)

2. 设R 1是A 上的等价关系,R 2是B 上的等价关系,A ≠且B ≠,关系R 满足:

<,>∈R ,当且仅当< x 1, x 2>∈R 1且∈R 2。试证明:R 是A ×B 上的等价关系。(10分)

证 任取,

∈A ×B x ∈A y ∈B ∈R 1∈R 2<,>∈R ,故R 是自反的 任取<,>,

<,>∈R ∈R 1∈R 2∈R 1∈R 2<,>∈R.故R 是对称的。

任取<,>,<,>∈R

<,>,<,>∈R ∈R 1∈R 2∈R 1∈R 2(∈R 1∈R 1)(∈R 2∈R 2) R 1∈R 2<,>∈R, 故R 是传递的。

综上所述R 是A ×B 上的等价关系。

3. 用伯恩斯坦定理证明(0,1]和(a,b)等势。(10分)

证 构造函数f :(0,1]→(a,b),f(x)=2

2b x a +,显然f 是入射函数 构造函数g: (a,b)→(0,1],a

b a x x g --=)(,显然g 是入射函数, 故(0,1]和(a,b)等势。 由于22122221⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++≥+++r m m m r m m m r r ,所以22

r n r s ≥

4. 设R 是集合A 上的等价关系,A 的元素个数为n ,R 作为集合有s 个元素,若A 关于R

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