二次函数的图像及其性质

命题角度： 1．二次函数的图象及画法 2．二次函数的性质 [2011· 黄冈] 已知函数
2 x－ － y＝ 2 x－ －
x ， 若使 y＝k 成立 x＞ ，
的 x 值恰好有三个，则 k 的值为( D ) A． 0 B．1 C． 2 D． 3
[解析] 画出函数图象，过y＝3的直线与已知函数图象共有三个交点．
5． 若抛物线 y＝ax2 经过点(1， －4)， 则它也经过点( D ) A．(－1,4) B．(－4,1) C．(1,4) D．(－1，－4)
[解析] 图象关于 y 轴对称，则点(1，－4)关于 y 轴对称的 点为(－1，－4)，故选 D.
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1 2 6．[2011· 玉林、防城港] 已知抛物线 y＝－ x ＋2，当 1≤x≤5 3 时，y 的最大值是( C ) 2 5 7 A．2 B. C. D. 3 3 3
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[解析] (1)根据配方法的步骤进行计算． (2)由(1)得出抛物线的对称轴、顶点坐标并列表，注意抛物线与 x 轴、y 轴的交点及对称点等特殊点不要弄错． (3)开口向上，在抛物线的左边，y 随 x 的增大而减小． (4)抛物线 y＝x2－4x＋3 与 y＝2 的交点的横坐标即为方程 x2－4x ＋3＝2 的两根．
解：(1)剩余面积＝正方形面积－小长方形面积． y＝122－2x(x＋1)，即 y＝－2x2－2x＋144. ∴y 是 x 的二次函数． (2)当 x＝2,4 时，相应的 y 的值分别为 132 cm2,104 cm2.
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考点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质
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解： (1)∵A(－1,0)，B(4,0)， ∴AO＝1, OB＝4，即 AB＝AO＋OB＝1＋4＝5. ∴OC＝5，即点 C 的坐标为(0,5)． (2)设图象经过 A，C，B 三点的二次函数的解析式为 y＝a(x－4)(x＋1)， ∵点 C(0,5)在图象上． 5 ∴5＝a(0－4)(0＋1)，即 a＝－ . 4 5 ∴ 所求的二次函数解析式为 y＝－ (x－4)(x＋1)． 4 5 15 即 y＝－ x2＋ x＋5， 4 4 4ac－b2 125 y 最大＝ ＝ . 4a 16
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解：(1)y＝x2－4x＋3＝(x2－4x＋4)＋3－4 ＝(x－2)2－1. (2)对称轴为直线 x＝2，顶点坐标为(2，－1)．列表如下： x y … … 0 3 1 0 2 －1 3 0 4 3 … …
图象如图所示：
(3)y1>y2. (4)如图，点 C、D 的横坐标 x3、x4 即为方程 x2－4x＋3＝2 的根．
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16．如图 15－7 所示，一个二次函数的图象经过点 A，C，B 三点，点 A 的坐标为(－1,0)，点 B 的坐标为(4,0)，点 C 在 y 轴 的正半轴上，且 AB＝OC. (1)求点 C 的坐标； (2)求这个二次函数的解析式，并求出该函数的最大值．
图 15－7
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解：
－1－b＋c＝0， (1)由题意得 c＝3.
b＝2， 解得 c＝3.
故所求解析式为 y＝－x2＋2x＋3； (2)令 y＝0，得－x2＋2x＋3＝0， 解得 x1＝－1，x2＝3， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为(3,0) ∴由图象可知函数值 y 为负数时， 自变量 x 的取值范围是： x＜－1 或 x＞3.
[解析] 由抛物线的图象 a>0，b<0，c<0，对称轴为直线 x＝1. 就可以判断①②④是正确的．
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考点3 待定系数法求二次函数解析式
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12.将抛物线 y＝x2＋1 的图象绕原点 O 旋转 180° ， 则旋转后的 抛物线的函数关系式为( D ) A．y＝－x2 B．y＝－x2＋1 C．y＝x2－1 D．y＝－x2－1
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考点1 二次函数的定义
≠0
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1.若二次函数 y＝x2＋2x－7 的函数值为 8， 则对应的 x 的值是 ( D ) A．3 B．4 C．5 或－3 D．3 或－5
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3． 一个正方形的边长是 12 cm.若从中挖去一个长为 2x cm， 宽 为(x＋1)cm 的小长方形．剩余部分的面积为 y cm2. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式，并指出 y 是 x 的什么函数； (2)当小长方形的长中 x 的值为 2,4 时，相应的剩余部分面积是 多少？
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14．抛物线 y＝－x2＋bx＋c 的图象如图 15－5 所示，则此抛物线 的解析式为_________________ y＝－x2＋2x＋3 ．
图 15－5
[解析] 由对称轴为 x＝1 可得 b＝2， 再把(3,0)代入 y＝－x2＋2x＋c 中可得 c＝3.
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[解析] 将(1,0)代入二次函数解析式，求得 c＝－8，再代入配 方求出顶点．
下 9． 抛物线 y＝3x2－2 的图象可由抛物线 y＝3x2 的图象向______ (0，－2) ，对称轴 2 个单位得到，它的顶点坐标是 _________ 平移______ y轴 ． 是_______
[解析] y＝3x2－2 的顶点为(0，－2)，y＝3x2 的顶点为(0,0)， 所以将 y＝3x2 的图象向下平移 2 个单位就得到 y＝3x2－2， 顶点为(0，－2)，对称轴是 y 轴．
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[解析] 因为函数 y＝－x2＋bx＋c 的图象过点 A(1,0)，B(0,3)，则 0＝－1＋b＋c， 有 解得 b＝－2；c＝3，则 y＝－x2－2x＋3； 3＝c， 当 x＝－1 时，y＝4，则顶点坐标为(－1,4)；因为此抛物线的对 称轴为 x＝－1，则当 x＜－1 时，y 随 x 的增大而增大，选项 C 是错误的；因为抛物线与 x 轴的交点坐标关于对称轴的距离相 等，则此抛物线与 x 轴的另一个交点是(－3,0)．
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4ac－b2 4a
4ac－b2 4a
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1 4.对于抛物线 y＝－ (x－5)2＋3，下列说法正确的是( A ) 3 A．开口向下，顶点坐标(5,3) B．开口向上，顶点坐标(5,3) C．开口向下，顶点坐标(－5,3) D．开口向上，顶点坐标(－5,3) 1 [解析] a＝－ <0，开口向下． 3
[解析] x2＋2x－7＝8，解得 x1＝－5，x2＝3. 2． 当 m 取何值时， 函数 y＝(m＋1)xm2－m－2x＋1 是二次函数？
解： 根据二次函数的定义，得
2 m －m＝2， m＋1≠0.
解 m2－m＝2，得 m1＝－1，m2＝2. 解 m＋1≠0，得 m≠－1, ∴m＝2. ∴当 m＝2 时，这个函数是二次函数， 其解析式是 y＝3x2－2x＋1.
[解析] 抛物线的顶点坐标为(0,1)，绕 O 点旋转 180° 后，顶 点坐标为(0，－1)，开口向下．
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13．[2011· 玉溪]如图 15－4，函数 y＝－x2＋bx＋c 的部分图象与 x 轴、y 轴的交点分别为 A(1,0)，B(0,3)，对 称轴是 x ＝－ 1 ，在下列结论中，错误的是 ( C ) A．顶点坐标为(－1,4) B．函数的解析式为 y＝－x2－2x＋3 C．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大 D．抛物线与 x 轴的另一个交点是(－3,0) 图 15－4
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则当 x＝1 时，y 的值为( D ) A．5 B．－3 C．－13 D．－27
[解析] 从表中选择三个点(－5，－3)，(－4,3)，(－3,5)代入 25a－5b＋c＝－3， a＝－2， 2 y＝ax ＋bx＋c，得16a－4b＋c＝3， 解得b＝－12， 9a－3b＋c＝5， c＝－13， 所以 y＝－2x2－12x－13，当 x＝1 时，y 的值为－27.
1 2 [解析] 由抛物线 y＝－ x ＋2 的对称轴是 x＝0，因为抛物线开 3 口向下， 在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而减小， 所以当 x＝1 时， 5 y 值最大，所以 y＝ . 3
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7． 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图 15－1 所示， 若点 A(1， y1)， B(2， y2)是它图象上的两点， 则 y1 与 y2 的大小关系是( C )
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15．已知二次函数 y＝－x2＋bx＋c 的图象如图 15－6 所示，它与 x 轴的一个交点坐标为(－1,0)，与 y 轴的交点坐标为(0,3)． (1)求出 b，c 的值，并写出此二次函数的解析式； (2)根据图象，写出函数值 y 为负数时，自变量 x 的取值范围．
图 15－6
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第15讲 │ 归类示例 归类示例
类型之一 二次函数的定义
命题角度： 1．二次函数的概念 2．二次函数的一般式 [2011· 泰安] 若二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的 x 与 y 的部分对应 值如下表：
x y －7 －27 －6 －13 －5 －3 －4 3 －3 5 －2 3
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11．如图 15－3 为二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程 ax2＋bx＋c＝0 的根为 x1＝－1，x2＝3；③a ＋b＋c＞0；④当 x＞1 时，y 随着 x 的增大 ①②④ ． ( 请写 而增大．正确的说法有 __________ 出所有正确说法的序号) 图 15－5
A．y1<y2 C．y1>y2
图 15－1 B．y1＝y2 D．不能确定
[解析] 由于抛物线开口向下，在对称轴的右侧，y 随 x 的增 大而减小，即 y1>y2，故选 C.
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8．抛物线 y＝2x2＋6x＋c 与 x 轴的一个交点为(1,0)，则这个抛 3 25 － ，－ 2 ． 物线的顶点坐标是______________ 2
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(1)用配方法把二次函数 y＝x2－4x＋3 变成 y＝(x－h)2＋k 的 形式； (2)在直角坐标系中画出 y＝x2－4x＋3 的图象； (3)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数 y＝x2－4x＋3 图象上的两点，且 x1<x2<1，请比较 y1、y2 的大小关系(直接写结果)； (4)把方程 x2－4x＋3＝2 的根在函数 y＝x2－4x＋3 的图象上表示 出来．
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第15讲 │ 归类示例
(1) 已知条件是图象上的三点的坐标 ( 或函数解析式三对对 应值)，代入二次函数的关系式 y＝ax ＋bx＋c 中，得关于 a、b、
2
c 的方程组是求函数解析式的常用方法．(2)选择点最好是坐标
轴上的点．
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类型之二 二次函数的图象与性质
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10．[2011· 舟山]如图 15－2，已知二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象经过点(－1,0)， (1， －2)， 当 y 随 x 的增大而增大时，x 的取值范围是 1 x> ______________. 2
[解析]把点(－1,0)，(1，－2)代入 y＝x2＋bx＋c， 图 15－2 1－b＋c＝0， b＝－1， 得 解得 1＋b＋c＝－2. c＝－2. －1 b 1 2 ∴y＝x －x－2.∴二次函数的对称轴为 x＝－ ＝－ ＝ . 2a 2 2 1 ∴当 y 随 x 的增大而增大时，x 的取值范围是 x＞ . 2