放缩法应用及定义

放缩法的应用范畴及其定义

杜林涛

【摘要】放缩法是针对不等式结构、性质，将一端向另一端进行放大或缩小，使问题解决的一种变形手段. 所以放缩法被认为只适用于证明不等式成立，不被

重视，它的应用范畴也大多集中在中小学的证明题. 但放缩法也是始终贯穿证明

不等式的指导变形方向的一种思考方法，从这作为出发点，对放缩法在数学分析、实变函数以及点集拓扑中进行了研究. 通过分析放缩法在一般分析学中的应用，

进而重新认识放缩法，发现它不仅适用于任何有关不等式的证明，还可以作为定

理用来求值或判别某种性质. 放缩法应用在不等式证明之外，脱离了不等式的结构、性质，那什么是放缩法，放缩法作为可以简化问题或解决问题的一种工具，

抽象成概念，即在保持某种条件不变的情况下，向特定方向进行不等变形的方法

是放缩法. 放缩法具有广泛的应用性，应重视运用放缩法解决问题.

【关键词】放缩法；不等式；收敛法；集合.

目录

1引言 (1)

2放缩法在数学分析中的应用举例 (1)

2.1放缩法在不等式证明中的应用 (1)

2.2放缩法在求值和判别原则中的应用 (6)

2.3放缩法在实数基本定理中的应用 (12)

3放缩法在实变函数中的应用举例 (14)

3.1放缩法在集合中的应用 (14)

3.2放缩法在测度中的应用 (15)

4放缩法在点集拓扑中的应用 (16)

5结论 (17)

参考文献 (18)

1 引言

近年来，放缩法的主要研究方向是在不等式中应用的技巧．放缩的思想已经应用在生活的各个方面，只是进行了放大或缩小就被认为使用了放缩法，这种想法是错误的．单纯的放大或缩小既不能使问题简化，也没有其它的研究价值．随意的进行放大或缩小的行为不是放缩法．

放缩法是不等式证明的一种方法．证明不等式A

2 放缩法在数学分析中的应用举例

2.1

放缩法在不等式证明中的应用

例2.1 证明不等式111

123n αα

α

+

+++

<2 ，1,2,n = 成立，其中实数

2α≥．

证明 222

1111111232311111122334(1)1111111

1(1)()()()

223341122.

n n n n

n n n αα

α+

+++

≤1++++≤+++++

???-?=+-+-+-+--=-

< 其中1,2,n =… ，证毕．

这道题利用了不等式的传递性，从左端向右端放大了三次得到了结果，有两个中间量，其实已经得到了两个更强的结论22211111

1

123

23

n n

ααα+

+++

≤1++++

和

1111

1223

n n

ααα+

+++

≤-，在体现了放缩法的基本思想．如果把α改成2，这就是一道运用放缩法的中学题目．

例2.2 设()f x 为[]0,1上的非负连续函数，且2

()12

()x

f x f t dt ≤+?

，

证明：

()1f x x ≤+,[0,1]x ∈.

证 令0

()12()x

F x f t dt =

+?

，则2()()f x F x ≤，且()2()F

x f x '

=≤，

于是

001x x dt x

'==≤=?

?? ,

因此()1f x x ≤≤+．

此题构造了一个中间量，从左向右放大了两次．这是典型的放缩法，证明A

例2.3 设 ()f x 在[]0,2π上具有一阶连续导数，且()0f x '≥，求证：对任意自然数n 有

[]20

2

()sin (2)(0)f x d nx f f n

π

π≤

-?

. 证 不等式左端＝[][]222000

20111()cos ()cos ()cos 11(2)(0)()2

(2)(0)f x d nx f x nx f x nxdx n n n f f f x dx n n f f n

π

ππ

π

ππ'=-'≤

-+=-???

即证．

本题向右端只放大了一次，就得到了结果．虽然没有中间量，但这也是放缩法，因为它利用了不等式的传递性并向右端进行放缩来得到证明结果．我们发现在不等式证明中只要向一端有选择性的进行放大或缩小的方法，就是放缩法．

定理2.1 （泰勒定理） 若函数f 在[],a b 上存在直至n 阶的连续导函数，在

(),a b 内存在()1n +阶导函数，则对任意给定的x ，[]0,x a b ∈，至少存在一点()ξ,a b ∈，使得

200000()(1)1000()

()()()()()2!

()(ξ)()().

!(1)!

n n n n f x f x f x f x x x x x f x f x x x x n n ++'''=+-+

-++-+-

+

（带有佩亚诺余项的）麦克劳林(Maclaurin)公式：

()2

(0)(0)()(0)(0)()2!!

n n n f f f x f f x x x o x n '''=+++

++．

我在这里介绍泰勒定理，是因为泰勒定理可以把满足条件的多项式()f x 分解成关于x 的一元多项式，在证明不等式()()f x g x >时，多项式()f x 按照泰勒定理分解后，在原不等式成立的条件下保留有限项，向右端进行放缩．而麦克劳林公式是泰勒公式的变形，至于它们的余项，在这里不用考虑，因为在不等式用放缩法的过程中是要舍掉的．二项式定理也具有同样的特点，例如()11n

λλ+>+，在这里就不作介绍了．在

某些不等式的证明中，带有佩亚诺余项的麦克劳林公式可以把不等式化简，给不等式证明带来了很大的便捷．我在这里举几个常用函数的麦克劳林公式：

2

1()2!

!n

x

n x x e x o x n =+++

++.

(2.1)

35

21

1

2sin (1)

()

3!5!(21)!m m m x x x x x o x m --=-++

+-+-.

24

221cos 1(1)()

2!4!

(2)!m

m

m x x x x o x m +=-++

+-+.

23

1

ln(1)(1)

()23

n

n n x x x x x o x n -+=-++

+-+.

例2.4 证明不等式:当0x ≠时,1x e x >+.

证明1 函数x e 在(),-∞+∞上存在直至1n +阶的连续导函数,则根据公式（ 2.1），当0x >时明显有

2

1()12!

!

n

n x x x o x x n +++

++>+, 当0x <时，设(0)x y y =->，即

()2

2222122

()()1()1()()2!

!2!!

1()2!(2)!(21)!11.

n n n

n m m m x x y y x o x y o y n n y y y y o y

m m y x ++--+++

++=+-++++-??=-+++-+ ?+??

>-=+

即证当0x ≠时1x e x >+．

这道题如果只证明0x >的情况，用这种方法进行放缩就很简单了．除了用麦克劳林公式进行放缩，这道题还有其他的方法．

证明2 设()(1)x f x e x =-+，则当0x >时，

()10x f x e '=->,

所以，()()(0)00f x f x >=>，即

1x e x >+ ()0x >.

同理可证，当0x <时，

1x e x >+.

总之，当0x ≠时，

1x e x >+.

此不等式的几何意义是,曲线x y e =位于曲线1y x =+的上方．在例2.1.3的分析中我们知道本题运用了放缩法，它是通过设立函数，利用微分判别函数的单调性，再对函数()f x 运用放缩法得到结果．这道题的特点是没有在原不等式两端进行放缩，而是移项后和0比较，函数之间运用放缩法．

例2.5 证明不等式：1a a e +<，式中a 为正有理数． 证明 ()11n

x nx +≥+（x >0,n 为正整数）.

设p

a q

=

，p ，q 为正整数，则由于 11q

e q ??>+ ???

,

故

111111qa p

a

p

e a q q q ????>+=+≥+=+ ? ?????

.

这道题利用了两个已知不等式关系进行放缩，如果把放缩法看成不等式证明的一个工具，在本题中利用已知不等式关系证明不等式就是放缩法．因为放缩法是始终贯穿证明不等式指导变形方向的一种思考方法，而利用不等式关系本身就是在指导变形方向．

例2.6 证明不等式：

1!2n

n n +??< ???

当1n >．

证 当2n =时,因为2219

(

)22!24

+=>= ,故不等式成立． 设n k =时,不等式成立,即

1!2k

k k +??

< ???

,

则对于1n k =+时,有

1

11(1)!(1)222k k k k k k +++????

+<+= ? ?

????

．

由于

1

1

211211k k k k k +++??

?

?=+> ? ?++??

??

(1,2,)k =，

从而有

1

(1)1(1)!2k k k +++??

+

，

即对于 1n k =+时，不等式也成立． 于是，对于任何自然数n ，有

1!2n

n n +??

< ???

．

该题目在不等式证明中用的是数学归纳法，没有直接用放缩法，但我们可以看出在证明1n k =+时，不仅运用了n k =时不等式成立的假设，还利用了一个不等式关系

1

1

211211k k k k k +++???

?=+> ? ?++??

??

(1,2,)k =，根据对例2.1.5的分析，这道题明显运

用了放缩法．

例2.7 证明：(){}2

22inf sin sin 1sin(2):0n n n n ++++∈

>．

证 方法1 反设

(){

}2

22inf sin sin 1sin(2):0n n n n ++++∈

=，

那么存在着自然数列{}n k ，使得

()()2

2

2

limsin limsin 1limsin 20n n n n n n k k k →∞

→∞

→∞

=+=+=．

由()()2

2

21122n n n ++--=得

()()22

2

sin 2sin sin 1sin 2n n n n n n k k k αβγ=++++，

其中，n α，n β，n γ皆为有界量．上式两边取极限后得sin 20=．矛盾． 方法2 注意到对任意的α，β，

()sin sin sin αβαβ+≥+，

于是

()()22

2sin 1sin 1sin n n n ++-+

()()()(){}

()()22

2222222

21sin 1sin 12sin 21sin 1sin 121sin 11221

sin 2.2n n n n n n n n n n ??≥

++-+?

?????

≥+-+--??????

≥++--??=

这道例题的第一种证明方法用的是反证法，在其中并没有运用到放缩法，说明不是所有证明不等式的就一定要用到放缩法．第二种证明方法用的就是放缩法,说明有关不等式的证明都可以用放缩法进行尝试.

由以上例子我们可以发现，在数列、函数、积分的不等式证明中都运用了放缩法，甚至任何有关不等式的证明中都用到了放缩法．这说明放缩法在证明不等式中至关重要，涉及有关不等式证明的都可以用放缩法进行尝试．

在不等式证明中无论是借助泰勒公式、函数的单调性还是已知的不等式关系，我们发现放缩法就是在保持原不等式成立的条件下，有选择性的进行放大或缩小的方法．

2.2 放缩法在求值和判别原则中的应用

在证明等式成立时有的也可以运用放缩法，等式的证明可以分成两个不等式的证明，即证明A=B 等价于证明A ≥B 和A ≤B ，这就相当于不等式B ≤A ≤B .这种形式类似于极限的迫敛性，证明极限的值也就是在证明等式成立．下面我们统称寻找适当的量B,使得B ≤A ≤B 的方法叫迫敛法．其中迫敛法就是A 向两端进行放缩寻找B 使得不等式成立的方法，即保持不等式两端相等（可以是值相等，也可以是两个极限值相等的不同的数列或函数），选择性的放大或缩小的方法，所以迫敛法本身就是放缩法．

例2.8 证明：2

112!!lim

2

n

n n n n n n e →∞+++

+

=.

证 由带积分余项的泰勒展开式知

()2

112!

!!n n n

n x n n e n e n x dx n n =+++

++-?， 因而原命题等价于证明

(

)0

1lim !

2

n n

n

x n e e n x dx n -→∞-=

?

. 再利用斯特林公式

12!n

n n n e e θ

?

=??

，()0,1θ∈，

知原命题等价于证明

()1

01n

x

n e x dx ??-=??

首先，注意到()()

2

2

10x x e

x e x -

≥-≥，于是

)222

2

lim 1lim nx t n

nx n n x e dx dx e dt +∞-

-

→∞→∞-≤==

?

?

?

其次，对任何1α>，考虑辅助函数

()22

()1x x f x x e e

α-

=--，0x ≥．

因为

2

2()1x x x

f x xe e αα+-??'=- ? ???

，

而2

20

lim 110x x x e ααα++-→??

-=-> ? ???

， 故存在着实数()0,1x α∈，使得当()0,x x α∈时，

22

10x x

e

αα+-

->．

因而，()f x 在[]0,x α中递增，故()[]()22

10,x x x e e

x x αα-

-≥∈．从而，

)22

2

2

lim 1lim n x x n

nx n n x e dx dx e

dx αα+∞-

-

→∞→∞-≥==

?

?

?． 再由α的任意性知

)

lim 1n

nx n x e dx →∞-≥

?

．

综上所述，可得()1

01n

x n e x dx ??-=

??．

这道题用的就是迫敛法，其中还运用了其他大量的放缩法，在上节中已经讲述．这里的迫敛法是极限的迫敛性和上极限、下极限的混合使用．

定理2.2 （迫敛性） 设收敛数列{}n a ，{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0n N >时有

n n n a c b ≤≤，

则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞

=．

级数的迫敛性就是向两端缩放寻找收敛数列n a ，n b ，从而得出数列n c 收敛及其极限值．数列极限的迫敛性本来是用来求极限的，它用的就是迫敛法即放缩法，所以放缩法也可以用来求数列的极限．函数的极限也具有迫敛性，和数列的类似，这里就不再赘述了．迫敛性又叫做夹逼定理．

例2.9 求数列的极限 ()21

lim !n n n →∞

．

解 由不等式

12n

x x x x n

++

+≤

，

有

121

2

n n n ++++≤

=，

于是

()11

1

11!2n

n n n n n +??≤≤≤ ???

． 由于

1lim 1n

n n →∞

=，

故由夹逼定理可得

()21

lim !1n n n →∞

=．

这是用数列极限迫敛性的典型的例子．其中1n a =，1n

n b n =，1的极限明显就是1本身，右端进行放缩求得的极限与左端一致，从而求出数列n c 的极限．也就是说通过放缩法求出了数列的极限． 定义2.1 （函数的上、下极限） 设函数()f x 在区间()00,x c x c -+()0c >上

有界，对任意的()0,c δ∈，令

()[]000

,sup

()x x x x M f x δδδ∈-+-=

，()[]000

,inf ()x x x x m f x δδδ∈-+-=

分别是δ的单调递减和递增有界函数，因此0

lim ()M δδ+→和0

lim ()m δδ+→存在，我们分

别称之为函数()f x 当x 趋于0x 时的上、下极限．记为

lim ()lim ()x x f x M δδ+

→→=，0

lim ()lim ()x x f x m δδ+→→=． 定理2.3 0

lim ()x x f x A →=的充要条件是

lim ()lim ()x x x x f x f x A →→==．

此定理可以用来验证一个函数在某点是否有极限，若有则同时求得函数的极限．数列的极限也适用．若将极限值A 改为函数在某点的值0()f x ，这就成了连续函数的等价定义了．

在例2.2.1中，运用的迫敛法是夹逼定理和上、下极限的混合方法．夹逼定理本身是用做求极限的，而上、下极限定理是用做验证和求数列或函数在某点的极限，两者有其互通性．夹逼定理就是迫敛法，即运用了放缩法；而上、下极限定理是等式形式，等式的证明有可能会用到放缩法，但是上、下极限定理无法单独用来证明极限的等式，在此题中它是结合了夹逼定理来证明的．回想一下夹逼定理，它是通过向两端进行放缩使两端的极限值一致，从而求出极限值；上、下极限定理也是上、下两个方向，但是它并没有进行放大和缩小，所以没有用放缩法．

例2.10 证明极限0

1

lim sin

x x

→不存在． 证 设1

n

x n π

'=，122

n

x n π

π''=+

()1,2,n =，则显然有

0n

x '→，0n x ''→ ()n →∞， 0

11limsin

lim sin 0n x x x →∞→=='，011

limsin limsin 1x n n

x x →→∞==''．

故由上、下极限的定理，极限0

1

lim sin

x x

→不存在． 这道题用的就是数列的上、下极限，虽然 000111

limsin

limsin limsin x x x x x x

→→→≤≤形式上

很像迫敛法，但过程中并没有进行放缩，因为01lim sin x x →是01

lim sin x x

→的最小值，

01lim sin x x →是01lim sin x x →的最大值，这个过程只是在求01

lim sin x x

→的最大最小值．保持不等式成立的条件下，有选择性的进行放大或缩小的方法是放缩法，而这道题的证明过程中不等式是恒成立的，但不具有选择性．

因此，利用上、下极限定理的过程中并没有运用放缩法．所以此题没有应用放缩法．

定理2.4 （比较原则） 设

n

u

∑和

n

v

∑是两个正项的级数，如果存在某个正数

N ，对一切n N >都有

n n u v ≤，

则

（i ） 若级数n v ∑收敛，则级数n u ∑也收敛； （ii ）

若级数n u ∑发散，则级数n v ∑也发散．

推论 设

12n u u u ++++ (2.2)

12n v v v ++

++

(2.3)

是两个正项级数，若

lim

n

n n

u l v →∞=， 则

（i ） 当0l <<+∞时，级数（2.5）、（2.6）同时收敛或同时发散； （ii ） 当0l =且级数（2.6）收敛时，级数（2.5）也收敛； （iii ）

当l =+∞且级数（2.6）发散时，级数（2.5）也发散．

级数的比较原则，若要证明

n

u

∑收敛，只要通过适当的放缩找到收敛级数

n

v

∑，

这很明显运用的是放缩法．根据上节对放缩法在不等式证明中的认识，比较原则就是

放缩法的应用．根据比较原则我们得到，在保持收敛性不变的情况下，向特定的方向进行不等变形的方法，也是放缩法．

比较原则的推论也是放缩法应用，虽然其中并没有不等式，但推论中要证明级数（2.5）的敛散性，n u 需要找到容易做比值取极限的n v ，所以n u 需要进行放缩找到合适的n v ，而正项级数（2.5）跟（2.6）的敛散性一致．在这过程中保持了敛散性不变，并向特定方向发生了不等变形，因此级数比较原则的推论也是放缩法．

例2.11 考察2

1

1

n n -+∑

的收敛性． 解 由于当2n ≥时，有

222

1111

1(1)(1)

n n n n n n n ≤=≤-+---． 因为正项级数

2

21

(1)

n n ∞

=-∑收敛，故由比较级数知，级数211n n -+∑也收敛． 此题用的就是级数的比较原则，很容易发现它运用的就是放缩法，所以放缩法也可以用来考察级数的敛散性．

级数除了比较原则还有比式判别法和根式判别法，这些判别法都是以比较原则为基础的，所以在比式判别法和根式判别法的证明中都运用了放缩法，但它们本身并不是放缩法，就像证明等式或不等式成立，虽然在证明过程中运用了放缩法，但等式或不等式本身和放缩法无关．这些判别式的证明就不再叙述了．

例2.12 判别级数

21111n n n ∞

+=??

- ? ???

∑ 的敛散性．

解 此级数为正项级数，由公式21()x e x o x =++ ()0x →知

2

2

21

ln 1122ln ln 1111n

n n n n

n a n e o n n ++????=-=-=+?? ?++?????

?，

于是便有2

lim 1ln 1

n n a n n →∞=+．因此由2

1ln 1n n n ∞=+∑的收敛性知2

1111n n n ∞+=??- ? ???

∑收敛． 这道题用的就是级数比较原则的推论，推论的放缩法用到了麦克劳林公式，它是利用麦克劳林公式进行放缩找到合适的级数

2

1ln 1

n n

n ∞

=+∑，这说明级数比较原则的推论就

是放缩法．并且我们发现脱离了不等号连接的形式，也能应用放缩法，说明放缩法还具有很大的应用性．

通过以上分析，我们发现极限的迫敛性，级数的比较原则及其推论都是放缩法的应用，也可以说它们就是放缩法，放缩法可以用来求极限和判别级数的敛散性．还有不是所有类似于A B C ≤≤形式的方法都是放缩法，放缩法必须一方通过另一方放缩得到，例如函数的上、下极限定理在求或验证函数极限时的应用．级数比较原则的推论使放缩法脱离了不等号连接的形式，以上都显示出放缩法的应用广泛，还有保持敛散性不变，向特定方向不等变形的方法也是放缩法．

2.3 放缩法在实数基本定理中的应用

定理2.5 （确界存在原理） 设S 为非空数集．若S 是上方有界，则S 一定存在上确界；反之亦然．

证 设S 含有非负数．由于S 有上界，故可以找到非负整数n ，使得

1）对于任何x S ∈有1x n <+； 2）存在0a S ∈，使得0a n ≥．

对半开区间[,1)n n +作10等分，分点为.1,.2,,.9n n n ，则存在0,1,2， (9)

的一个数1n ，使得

1）对于任何x S ∈有11.10

x n n <+

； 2）存在1a S ∈，使得11.a n n ≥．

继续不断地10等分在前一个步骤中所得到的半开区间，可知对任何1,2,k =，

存在0,1,2，…，9中的一个数k n ，使得

1）对于任何x S ∈有121.10

k k

x n n n n <+

； 2）存在k a S ∈，使得12

.k k a n n n n ≥．

将上述步骤无限进行下去，得到实数12

.k

n n n n η=．以下证明sup S η=．为

此只需要证明：

（i ） 对一切x S ∈有x η≤；

（ii ）

对任何αη<，存在a S '∈使得a α'<．

下面我就不再给出证明了，因为我想说明的是在区间10等分的过程．集合S 的上界是1n +，为了确定上确界把区间[,1)n n +进行10等分，然后选取区间使其包含上

确界，无限记性下去从而找到上确界．换成不等式形式就是1n n η<<+，最后

lim n n n a a η→∞

≤≤是B A B ≤≤的形式，所以用的就是迫敛法，也就是放缩法．

定理2.6 （布尔查诺-魏尔斯特拉斯（B.Bolzano-C.Weierstrass ）引理） 由任何有界数列12,,

,,n x x x 内恒能选出收敛于有限极限的部分数列12,,,,

n n nk x x x ．

（这种写法不致除去在所给数列内有相等的数的可能性）

证明 设一切数n x 都位于界限a 与b 之间．将区间[],a b 分成两半，则必有一半包

含着所给数列的无穷多个元素，因为，若不是这样，则在全区间[],a b 内所包含着的元素将是有限个数，但这是不可能的．因此设包含着无穷多个n x 的那一半是[]11,a b （若两个半区间都是如此，则任取其中之一）．

类似地，在区间[]11,a b 内分出它的一半[]22,a b ，使得在它里面包含着无穷多个n x ．继续这种步骤至于无穷，在第k 次分出的区间[],k k a b 内照样包含着无穷多个的n x ．

这样构成的区间（由第二个开始），每一个都包含在前一个之内，等于它的一半．此外，第k 个区间的长度等于

2k k k

b a

b a --=

． 它随着k 的增大而趋向零．把关于区间套的引理应用到这里来，便得结论：k a 及k b 趋向一个公共极限c ．

现在部分数列{}nk x 可由下列方法归纳地产生出来．在所给数列的元素n x 内任取

包含在[]11,a b 中的一个（例如，第一个）当作1n x ．在1n x 后面的元素n x 内任取包含在

[]22,a b 中的一个（例如，第一个）当作2n x ，等等．一般地说，在以前分出的1n x ，2n x ，…，1nk x -后面的元素n x 内包含在[],k k a b 中的一个（例如，第一个），当作

nk x ．这种产生数列方法是完全可能的：因为每一个区间[],k k a b 内包含着无穷多个n x ，

即包含着序号可为任意大的元素n x ．

再则，因为

k nk k a x b ≤≤，又lim lim k k a b c ==，

故必有lim nk x c =．此即所要证的．

这个引理就是致密性定理．在证明引理时，用了逐次等分所考察的区间的方法，称为布尔查诺方法．根据对定理2.5的分析，布尔查诺方法是放缩法，所以该定理的证明用了放缩法．在证明该定理中还用到了区间套原理．

定理2.7 （区间套原理） 设[],n n a b 是一串闭区间，满足：

（a ）[][]11,,n n n n a b a b ++?，1,2,n =，

（b ）()lim 0n n n b a →∞

-=，

则存在唯一的0x ，[]0,n n x a b ∈，()1,2,n =．

这个定理的证明很简单，不再给出证明过程，过程中用到只是列出来的满足条件，没有用到放缩法．因为已经给出了闭区间套，不需要布尔查诺方法，而且两个数列的极限值相等也给出．

实数空间的七个基本定理包括确界定理，单调有界定理，柯西收敛准则，区间套定理，聚点定理，致密性定理，有限覆盖定理．前六个定理都是用来直接论证函数局部性质的，而有限覆盖定理则是用来直接证明函数整体性质的，它的作用在于将函数在各点的局部性质扩展到整个闭区间上．有限覆盖定理的证明中也用到了布尔查诺方法即放缩法，在函数的“整体性质”和“局部性质”的证明中都用到了放缩法．数学分析是建立在实数上的，极限是数学分析的基础，不等式贯穿了整个数学分析，综上，放缩法在数学分析中具有广泛的应用性并且不可或缺．

3 放缩法在实变函数中的应用举例

3.1

放缩法在集合中的应用

下面出现的A,B,C,……大写字母都是指集合．

定义3.1 集合是指把具有某种性质或满足一定性质的所有对象或事物视为一个整体时，这一整体就称为集合，而这些事物或对象就称为属于该集合的元素．

集合之间的包含关系A B C ??是具有传递性的，可以类比不等式的传递性．集合之间的交和并也可以看做是集合的缩小和放大．所以集合的不等关系也可以运用放缩法进行证明．

定义3.2 设有集合A 与B ．若存在一个从A 到B 的一一映射，则称集合A 与B 对等(也就是说可以把A 与B 的全部元素通过映射一一对应起来），记为A

B ．

对等的意思就像数学分析中代数式的相等，A B 是指集合A 中的元素个数与集

合B 的相等．

定理3.1 （Cantor-Bernstein 定理） 若集合X 与Y 的某个真子集对等，Y 与

X 的某个真子集对等，则X Y ．

此定理本身没有用到放缩法，证明这个定理的方法有两种也都没有运用放缩法．我要说明的是伯恩斯坦定理的特例．

定理的特例：设集合A ，B ，C 满足下述关系：

C A B ??，

若B

C ，则B A ．

这个特例应用了放缩法，证明B A ，就要对集合A 进行缩小寻找集合C ，使得

B C 成立．这就像函数()()f b f c ≤证明()()f b f c =，只要对()f b 进行缩小找到

()f a 使得()()f a f c =，即利用了不等式的传递性，在保持等式关系成立的条件下，

向特定缩小的方向变形的方法．这个特例则是利用了集合的包含关系的传递性，在保持对等关系成立的条件下，向特定缩小方向变形的方法，明显就是运用了放缩法．因此，伯恩斯坦的特例就是放缩法．

例3.1 []

1,1-，这是因为已知()

1,1-，且有 ()[]1,11,1-?-?

．

如果我们要直接建立[]1,1-与

之间的一一对应关系，就会比较繁琐些．至少用

一个连续函数来表达是不可能的，因为闭区间上的连续函数之值域仍为一个闭区间．

由以上说明，放缩法在集合中也具有应用性．

3.2 放缩法在测度中的应用

定义3.3 点集

(){}1

2

,,

,:,1,2,

,n i i i x x x a x b i n <<=称为一个开区间(n 维)，

如将其中不等式一律换成i i i a x b ≤≤，1,2,,i n =（或i i i a x b <≤，1,2,

,i n =），

则称之为一个闭区间（或左开右闭区间）．当上述各种区间无区别的必要时，统称为

区间，记作I ．i i b a -()1,2,,i n =称为I 的第i 个“边长”，()1

n

i i i b a =-∏称为I 的

“体积”，记为I ．

定理3.2 设n E ?，则()()c m I m I

E m I E ***=+式对n

中任何开区间I

都成立的充要条件是对

n

中的任何点集T 都有

()()c m T m T

E m T

E ***=+．

证明 充分性显然成立．下证必要性．设T 为n

中的任意集合，则由外侧度定

义，对于任何0ε>，有一列开区间{}i I ，使得

1

i i T I ∞

=?

，且1

i i I m T ε∞

*=≤+∑．

但由于

()1

i i T

E I E ∞

=?

，()1

c

c i

i T

E I

E ∞

=?

，

故

()()1c i

i m T

E m I E ∞

*

*=≤∑， ()()1

c i

i m T

E m I E ∞

*

*=≤∑．

从而

()()

()()()()

1111

1

.

c c i

i i i c i

i

i i i i m T

E m T

E m I E m I E m I E m I E I m T ε**∞

∞*

*==∞

∞

*

*==∞

*=+≤+=+=≤+∑∑∑∑∑

由于ε的任意性，即得

()()c m T

E m T E m T ***+≤.

另一方面，显然有

()()c m T

E m T E m T ***+≥.

故

()()c m T

E m T E m T ***+=.

由上述引理，我们现在可以给出

n

中集合属于μ的定义，即可测定义．

这个定理的证明，利用了已知不等式关系，所以很明显是运用了放缩法． 由以上我们可以看出，放缩法在集合和测度中也具有应用性，实变函数是建立在集合上的，而测度又是实变函数的基础，所以放缩法在实变函数中也具有广泛的应用性．

4 放缩法在点集拓扑中的应用

定理4.1 设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ?满足条件Y Z Y ??．则

Z 也是X 的一个连通子集．

证 假设Z 是X 中的一个不连通子集．在X 中有非空隔离子集A 和B 使得

Z A B =． 因此Y A B ?．由于Y 是连通的，所以Y A ?，或者Y B ?．如果

Y A ?，由于Z Y A ??，所以Z B A B ?=?，因此B Z B ==?；同理如果

Y B ?，则A =?．这两种情形都与假设矛盾．即证．

我们已经知道集合具有传递性，也可以应用放缩法，本定理的证明过程中

Z Y A ??，所以Z B A B ?=?，运用的就是放缩法．该定理与级数的迫敛性很

相似，只不过迫敛性是求极限，该定理是验证子集的连通性，所以该定理用的就是迫敛法．因此放缩法也是，保持连通性不变，向特定方向不等变形的方法．

拓扑学的中心任务是研究拓扑不变性质，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质．上面的定理就是迫敛法，即放缩法，连通性是拓扑不变性，而点集拓扑是以集合为基础的，所以放缩法可以拓宽为，在保持某种拓扑不变性的情况下，向特定方向不等变形的方法．在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变性质，那么在连续映射下，是满射但不是一一映射，那么必定保持某种性质不变，而且特定方向是缩小的方向进行的不等变形，所以这也是放缩法．这具有广泛的应用性，适用很多种情况，例如在斜裁服装样板上面料缩率缩放新方法，其中有坐标取点放缩法和曲线轨迹法，这是建立在连续映射下进行的放大，所以运用了放缩法．

因此放缩法在点集拓扑中也具有广泛的应用性．让我们再结合例2.2.5的结论，保持敛散性不变，向特定方向不等变形的方法是放缩法，所以我们可以概括得出，保持某种性质不变，向特定方向不等变形的方法，是放缩法．

5 结论

通过对数学分析、实变函数、点集拓扑中放缩法的研究，重新认识放缩法．放缩法是保持某种条件不变向特定方向不等变形的方法．保持某种条件不变，可以是保持原不等式成立、夹逼定理的左右极限相等以及某种性质，这是为了让放缩有意义，有目的性，具有某种研究价值，在连续映射下不用考虑，因为在连续映射下就保持了拓扑不变性质；向特定方向即为放大或缩小的方向；不等变形指的是变成不等同、不相同，不相似的事物，即不是单纯的放大或缩小，例如一个圆，我又画了一个更大的圆，我就说是运用了放缩法，这是荒谬的．从放缩法的定义可以看出，放缩法不仅应用于不等式的证明，放缩法在分析学中具有广泛的应用性，而分析学是数学的理论基础，所以放缩法可以应用在整个数学．我们应该更加重视和理解放缩法在解决问题中的应用．

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