几种常见的放缩法证明不等式的方法
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几种常见的放缩法证明不等式的方法
一、 放缩后转化为等比数列。
例1. {}n b 满足:2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+
(1) 用数学归纳法证明:n b n ≥
(2) 1231111...3333n n T b b b b =
++++++++,求证:12n T < 解:(1)略
(2)
13()2(3)n n n n b b b n b ++=-++ 又 n b n ≥
132(3)n n b b +∴+≥+ , *n N ∈
迭乘得:11132(3)2n n n b b -++≥+≥ *111,32
n n n N b +∴≤∈+ 234111111111...2222222n n n T ++∴≤
++++=-< 点评:把握“3n b +”这一特征对“21(2)3n n n b b n b +=--+”进行变形,然后去掉一个正项,这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法,似乎是不可能的,为什么?值得体味!
二、放缩后裂项迭加
例2.数列{}n a ,1
1(1)n n a n +=-,其前n 项和为n s
求证:2n s <
解:2111111...234212n s n n =-
+-++-- 令12(21)
n b n n =-,{}n b 的前n 项和为n T
当2n ≥时,1111()2(22)41n b n n n n
≤=--- 2111111111111()()...()2123043445641n n s T n n ∴=≤
+++-+-++--
71104n =-< 点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数,也是常用的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大,得不到证题结论,前三项不变,从第四项开始放大,命题才得证,这就需要尝试和创新的精神。
例3.已知函数()(0)b f x ax c a x
=++>的图象在(1,(1))f 处的切线方程为 1y x =-
(1)用a 表示出,b c
(2)若()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立,求a 的取值范围
(3)证明:1111...ln(1)232(1)
n n n n +
+++>+++ 解:(1)(2)略 (3)由(II )知:当)1(ln )(,2
1≥≥≥x x x f a 有时 令).1(ln )1(21)(,21≥≥-==x x x
x x f a 有 且当.ln )1(21,1x x
x x >->时 令)],1
11()11[(21]11[211ln ,1+--+=+--<++=k k k k k k k k k x κ有 即.,,3,2,1),1
11(21ln )1ln(n k k k k k =++<-+ 将上述n 个不等式依次相加得
,)
1(21)13121(21)1ln(++++++<
+n n n 整理得 .)
1(2)1ln(131211+++>++++n n n n 点评:本题是2010湖北高考理科第21题。近年,以函数为背景建立一个不等关系,然后对变量进行代换、变形,形成裂项迭加的样式,证明不等式,这是一种趋势,应特别关注。当然,此题还可考虑用数学归纳法,但仍需用第二问的结论。
三、 放缩后迭乘
例4
.*1111,(14)16
n n a a a n N +==++∈. (1) 求23,a a
(2)
令n b ={}n b 的通项公式
(3) 已知1()63n n f n a a +=-,求证:1(1)(2)(3)...()2
f f f f n >
解:(1)(2)略 由(2)得2111()()3423
n n n a =
++ 13231()21142424
n n n n n f n ∴=++---=- 121111111211(1)(1)11144444411114111444
n n n n n n n n n n ------+++-+-==>+++
1114()114n n f n -+∴>+ 211111*********(1)(2)...() (111122)
1144n n n f f f n -++++∴>∙=>+++ 点评:裂项迭加,是项项相互抵消,而迭乘是项项约分,其原理是一样的,都似多米诺骨牌效应。只是求n 项和时用迭加,求n 项乘时用迭乘。
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