用放缩法证明不等式Word版
放缩法证明不等式
高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n knk (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn(5)nn n n 21121)12(21--=- (6) n n n -+<+221 (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n nnnnnn <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+ (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n说明：1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境．例如证明4712111222<+++n ．由k k k11112--<，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第2项放缩，可得小于2．当放缩方式不同，结果也在变化．2、放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和．例18 求证2131211222<++++n ． 分析：此题的难度在于，所求证不等式的左端有多项和且难以合并，右边只有一项．注意到这是一个严格不等式，为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律，这只需从21n 下手考查即可． 证明：∵)2(111)1(11112≥--=-<⋅=n nn n n n n n ， ∴ +⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<++++312121111131211222n 212111<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+n n n201417. (12分)已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+.(I)证明{12}n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(II)证明2111132n a a a +++<.【答案解析】解析：(I)∵131n n a a +=+11331111)223(22n n n n a a a a ++∴⇒+=+++=+ 1112132a a =+⇒= ∴{12}n a +是首项为32，公比为3的等比数列∴1*131333,2222n n n n n a a n N --⋅+==∈=⇒ (II)由(I)知，*13,2n n a n N -=∈，故 121213*********(13)n n a a a +++=++-+-- 12110331112()3333n n --+-≤+-+12111()11131331(1()).133323213nn n --=++++==⋅-<- 例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn412141361161412-<++++(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以)12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222n nn -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先n n n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<1211212144411222n n n n n ,所以 35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n。
放缩法证明不等式
放缩法证明不等式1、运用放大、缩小分母或分子的办法来达到放缩的目的分式的放缩对于分子分母均取正值的分式，如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可．还可利用真分数的分子和分母加上同一个正数，则分数值变大；假分数的分子和分母加上同一个正数，则分数值变小来进行放缩． 例1、若a ，b ，c ，d 是正数．求证：12a b c d a b ca b db c da c d<+++<++++++++证明：a b c d a b c a b db c d a c d+++++++++++1abc da b c d a b c d a b c d a b c d>+++=++++++++++++又2a b c d a b c da b c a b d b c d a c d a b a b c d c d+++<+++=++++++++++++ 或a b c d a b ca b d b c da c d +++++++++++2a bb ca cb d a bcd a b c da b c da b c d++++<+++=++++++++++++（利用(0)a a mm b b m+<>+） ∴12a bcda b ca b d b c d a c d <+++<++++++++例2、求证：213121112222<++++n证明：∵nn n n n111)1(112--=-<∴2222111111*********232231nn nn++++<+-+-++-=-<-【变式】2222111171234n++++<∵nn n n n111)1(112--=-<∴2222211111111151171()()1232231424nn nn++++<++-++-=+-<-本题说明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即放不能太宽、缩不能太窄，真正做到恰到好处。
用放缩法证明数列中的不等式
用放缩法证明数列中的不等式数列的放缩法是一种通过递推关系以及寻找合适的不等式对数列进行估计的方法。
该方法在不失一般性的情况下，常常可以将原数列与一个已知数列进行比较，从而推导得出数列的性质。
本文将通过数学归纳法，对给定的数列进行放缩法证明，并给出详细推导过程。
假设我们有一个数列${a_n}$，其中$n \geq 1$。
我们要证明数列中的不等式，即要证明对于任意的$n \geq 1$，有$a_n \leq b_n$，其中${b_n}$是一个已知的数列。
我们将使用数学归纳法来证明这个结论。
首先，我们对$n=1$进行证明，即证明$a_1 \leq b_1$。
因为$n=1$是最小的情况，所以我们直接检验$a_1$和$b_1$的大小关系即可。
接下来，我们假设当$n=k$时，不等式$a_k \leq b_k$成立，即数列前$k$项满足不等式。
然后，我们要证明当$n=k+1$时，不等式$a_{k+1} \leq b_{k+1}$也成立。
根据数列的递推关系，我们可以推导出数列前$k+1$项的关系式：$$a_{k+1}=f(a_k)$$其中$f(x)$是一个函数，表示数列的递推关系。
由于我们已经假设在$n=k$时$a_k \leq b_k$成立，因此我们可以得到：$$a_{k+1} = f(a_k) \leq f(b_k)$$这是因为$f$是一个单调递增的函数，所以不等式保持不变。
根据已知数列${b_n}$的性质，我们可以得到：$$f(b_k) \leq b_{k+1}$$这里的不等式是基于对已知数列的假设，即已知数列${b_n}$满足这个不等式。
综合以上的不等式关系$$a_{k+1} \leq f(b_k) \leq b_{k+1}$$因此，当$n=k+1$时不等式$a_{k+1} \leq b_{k+1}$也成立。
根据数学归纳法原理，我们可以得出结论：对于任意的$n \geq 1$，数列${a_n}$满足不等式$a_n \leq b_n$。
【优质文档】026不等式证明方法-放缩法
例 2、（ 1）化简： 1 1
1
2 2 3 34
1
(n
；（2）求证： 1)n
1
1 12
1 22
1 32
④利用基本不等式，如： lg3 lg5 (
)2
⑤利用函数的单调性 ,
lg4 ；
⑥利用函数的有界性：如： sin x ≤ 1 x R ；
⑦绝对值不等式： a b ≤ a b ≤ a b ；
⑧利用常用结论：如： 1
由题目分析、多次尝试得出 , 要注意放缩的适度 . 常用的方法有：①添加或舍去一些项，如： a2 1 a ， n(n 1) n，
②将分子或分母放大（或缩小）如：
1
1
1
n(n 1) n2 n( n 1)
③应用“糖水不等式” ：“若 0 a b， m 0 ，则 a a m b b b m,a
b m” am
11
1
(2)求证： 2 n 1 n 2
1 1(n N)
2n
教学过程 :
一、引入 放缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。在证明过程中，适当地进
行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩 之后得不出结论或得出相反结论的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想 正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。
n2
三、教学小结
4、若正数 a,b,c 满足 a+b>c 求证 : a
b
c
1a1b 1c
课后练习：
c
a
b
2.
1、已知 a、b、c 分别是一个三角形的三边之长，求证： a b b c c a
放缩法证明数列不等式
似，只不过放缩后的 bn 是可求积的模型，能求积的常见的数列
模型是 bn
cn1 cn
（分式型），累乘后约简为
n i 1
bi
cn1 c1
.
n
（三）形如 a f (n) i
i 1
例6
求证：1 3 5 2n 1 1 (n N)
246
2n 2n 1
1 3 5 2n 1 1
对 1 放缩方法不同，得到的结果也不同. 显然 5 7 2 ，
n2
34
故后一个结论比前一个结论更强，也就是说如果证明了变式 3，
那么变式 1 和变式 2 就显然成立.
对1 n2
的 3 种放缩方法体现了
三种不同“境界”，得到
n k 1
1 k2
的三个“上界”.
【方法总结之二】
放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程 中，很多时候要“留一手”， 即采用“有所保留” 的方法，保留数列的第一项或前两项，从数列的第 二项或第三项开始放缩，这样才不致使结果放得过 大或缩得过小.
求证：(11)(1 1)(1 1) (1 1 ) 3 3n 1 (n N*)
47
3n 2
课堂小结
本节课我们一起研究了利用放缩法证明数列不等 式，从中我们可以感受到在平时的学习中有意识地去 积累总结一些常用的放缩模型和放缩方法非常必要， 厚积薄发，“量变引起质变”
例如：我们可以这样总结本节课学到的放缩模型：
23
100
分析 不能直接求和式 S ，须将通项 1 放缩为裂项相消模型后求和. n
思路 为了确定S的整数部分，必须将S的值放缩在相邻的两个
整数之间.
例4 (2012广东理19第(3)问) 求证： 1 1 1
不等式证明放缩法.doc
不等式的证明（放缩法）1．设x 0, y 0 ， A x y , B xx y ，则 A, B 的大小关系是（）1 x y 1 1 yA. A BB. A BC. A BD. A B2．已知三角形的三边长分别为a, b, c ，设 M a b , N c , Q a b ，1 a 1 b 1 c 1 a b 则M,N与Q的大小关系是（）A.MNQB. MQNC. QNMD. N Q M 3．设不等的两个正数a, b 满足a3 b3 a2 b2，则a b 的取值范围是（）A. (1, )B. (1, 4C. [1,4D. (0,1] ) ]1 1 1 3134．设A L ，则 A 与1的大小关系是.210 210 1 210 2 211 15．设S 1 1 1L1，则 S 的整数部分为.2 3 1006．已知a,b,c均为正数，且a2 b2 c2 ，求证：c3 a3 b3 c3 .27．设n N1 1 1 1. ，求证：L(2n 1)2 49 258．设n N1 1 1L11 . ，求证：n 1 n 2 2n29．设n N1 1L11. ，求证：42 (2 n)22210．设S n 1 2 2 3 L n ( n 1) ，求证：不等式n( n 1)S n(n 1)22 2对所有的正整数n 都成立.简答：1． B 提示：Ax yxyxyB1 x y 1 x y 1 x y 1 x 1 y2． D 提示：由 ab c ，得1 1 ， 1 a 1 a b 1 c 11 1a b c b a b cc3． B提示：由条件得 a 2ab b 2 a b ，所以 (a b)2a 2 ab b 2a b ，故a b1 . 又 ( a b)2 0 ，可得 3(a 2 ab b 2) 4( a 2 ab b 2 ) ，从而3( a b)2 4( a b) ，所以 ab4 ，故 1 a b 4 .334． A<15． 18提示：因为 n 2 时，n n 1 2 n n n 1 ，所以21 2 ，即 2( n 1n ) 1n 1)nn 1 n n n2( n1n故18 12( 1012)11 1L1 1 2( 100 1)1923 100所以所求整数部分为 18.6．解：由已知可知， 0a c,0b c, a ba 2b 2c 2c, ab2，所以23 3 2222 3332 ab 22c 2 )c 3 ab aga bgb c(ab )c ，a b(a b)(ab )c(c2 2所以原不等式得证 .7．提示：由1 4k2 1 1 4k1 (11) ，累加即得 .(2 k 1)2 4k 1 4k 24 k k 18．提示：1n1 1L1 1 1 L 1 1 1 L 1 n 1.2 2n 2n 2n 2n n 1 n22n n n n n9．提示：1 1 1 1) 11，累加即得 .(2 n)2n 2 n(n n 1 n10．提示：k2 k(k 1) k (k 1)2不等式证明五（放缩法、反证法）目的：要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。
证明不等式稿——放缩技巧(网上搜集)
放缩技巧一 直接放缩例题1已知数列a 1=3,a n *N ∈a 1+n =(a n -1)2+1,求证：a 1a 2∙…∙a n <2n2例题2数列{a n }满足S n =2n a n ，（n *N ∈），S n 是数列{a n }的前n 项和，a 2=1, (1)求S n ； （2）证明：23<(1+1a 21+n )n <2例题3已知数列{a n }满足a n 》0，且对一切的n *N ∈有∑=ni i 13a=S 2n,其中S n =∑=n i i 1a ，∑=ni i13a=a 31+a 32+…+a 3n(1) 求证：对一切的n *N ∈，都有a 21n +-a 1+n =2 S n ;(2)求数列{a n }的通项公式；（3）求证：∑+=11k 2n kak<3二 裂项放缩常见裂项公式：111)1(1+-=+n n n n)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n)211(21)2(1+-=+n n n n ])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n!)!1(!n n n n -+=⋅)!1(1!1)!1(+-=+n n n n in i n i n C C C 111----=n n n-+=++11n 1例题4已知数列{a n }满足a 0=21, a n =a 1n -+21na 21n -, n *N ∈，求证：21n ++n < a n <n例题5数列{a n }为等差数列，a n 为正整数，其前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，且a 1=3， b 1=1， 数列{b n a }是公比为64的等比数列，b 2S 2=64, (1)求a n ,b n (2) 求证：+1S 1+2S 1…+n S 1<43,例题6在数列{a n },{b n }中，a 1=2，b 1=4，且a n ,b n ，a 1+n 成等差数列，b n ，a 1+n ，b 1n +成等比数列 （n *N ∈）（1）a 2, a 3, a 4及b 2, b 3, b 4,由此猜测{a n },{b n }的通项公式，并证明你的结论； （2）证明++++22111a 1b a b …+n n b a +1<125,例题7设函数f(x)=(1+n 1)n （n *N ∈且n ≥I, x N ∈）, (1)当x=6时，求(1+n1)x 的展开式中二项式系数最大的项； （2）对任意的实数x ，证明：)((),(2)2()2(''x f x f f x f >+是f(x)的导函数）； （3）是否存在a N ∈，使得an<k nk )11(1k ∑=+<(a+1)n 恒成立？若存在，证明你的结论，并求出a 的值；若不存在，说明理由。
放缩法证明不等式
用放缩法证明不等式的方法与技巧放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。
常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。
一．常用公式 1．)1(11)1(12-<<+k k k k k 2．12112-+<<++k k kk k3．22k k≥()4≥k 4．1232kk ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯≥(4k ≥) 5．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≤！！（！k k k 1)11211（待学） 6．b a b a +≤+ 二．放缩技巧所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤， 由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”. 常用的放缩技巧（1）若0,,t a t a a t a >+>-<（2）<>11>n >= （3）21111111(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-=<<=->++--（4）=<=<=（5）若,,a b m R +∈，则,a a a a m b b m b b+><+ （6）21111111112!3!!222n n -+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+（7）2221111111111(1)()()232231n n n+++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+--（因为211(1)n n n <-） （7）1111111112321111nn n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=<+++++++或11111111123222222n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+==+++（8）1++>++==三．常见题型（一）．先求和再放缩: 1．设11112612(1)n S n n =+++++ ，求证：1n S <2．设1n b n =（n N *∈），数列2{}n n b b +的前n 项和为n T ，求证：34n T <（二）．先放缩再求和: 3．证明不等式：11112112123123n++++<⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯4．设222111123n S n =++++（1）求证：当2n ≥时，21n nS n <<+；（2）试探究：当2n ≥时，是否有65(1)(21)3n n S n n <<++？说明理由.5．设135212462n n b n -=⋅⋅⋅⋅，求证： （1）n b <（2）1231n b b b b ++++<6．设n a n =，212()n n n b a a +=+求证（1）12n n a a +<+（2）*123()1n nb b b b n N n ++++<∈+7． 设2(1)n b n =+，(1)n a n n =+， 求证:1122111512n n a b a b a b +++<+++…8． 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 个图的蜂巢总数.（1）试给出(4),(5)f f 的值，并求()f n 的表达式（不要求证明）； （2）证明：11114(1)(2)(3)()3f f f f n ++++< .9．（10广州）设n S 为数列}{n a 的前n 项和，对任意的∈n N *，都有()1n n S m ma =+-m(为常数，且0)m >．（1）求证：数列}{n a 是等比数列；（2）设数列}{n a 的公比()m f q =，数列{}n b 满足()1112,n n b a b f b -== (2n ≥，∈n N *)，求数列{}n b 的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求证：数列{}2nb 的前n 项和8918nT<．10．（010深圳）在单调递增数列{}n a 中，11a =，22a =，且21221,,n n n a a a -+成等差数列，22122,,n n n a a a ++成等比数列，1,2,3,n = ．（1）分别计算3a ，5a 和4a ，6a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式（将n a 用n 表示）；（3）设数列1{}n a 的前n 项和为n S ，证明：42n nS n <+，n *∈N ．2．证：1n b n=21111()(2)22n b b b n n n n +==-++1324352n n n T b b b b b b b b +=+++11111111111[()()()()()]2132435462n n =-+-+-+-++-+11113(1)22124n n =+--<++ .3．略4．解：（1）∵当2n ≥时，21111(1)1n n n n n<=--- ∴2221111111111[(1)()()]232231n n n ++++<+-+-++-- ＝12n-2<又∵21111(1)1n n n n n >=-++ ∴11111(1)()()2231n S n n >-+-++-+ 1111nn n =-=++ ∴当2n ≥时，21n nS n <<+.（2）∵22144112()4(21)(21)2121n n n n n n =<=--+-+ ∴222111*********[()()()]2335572121n n n ++++<+-+-++--+ ＝52321n -+53< 当2n ≥时,要6(1)(21)n n S n n >++只需61(1)(21)n nn n n >+++ 即需216n +>，显然这在3n ≥时成立 而215144S =+=,当2n ≥时6624(1)(21)(21)(41)5n n n ⨯==++++ 显然5445> 即当2n ≥时6(1)(21)n nS n n >++也成立综上所述：当2n ≥时，有65(1)(21)3n n S n n <<++.5．证法一：∵22414,n n -<∴222(21)(21)4(21)(21)4(21).n n n n n n n -+<⇒-+<-∴212n n -<∴135212462n n -⋅⋅⋅⋅<= .………………10分证法二：212n n -<=，下同证法一. …………10分 证法三：（利用对偶式）设135212462n n A n -=⋅⋅，246235721n nB n =⋅⋅+ ， 则121n n A B n =+.又22414n n -<，也即212221n n n n -<+，所以n n A B <，也即2121n n n A A B n <=+， 又因为0n A >，所以n A <.即135212462n n -⋅⋅⋅⋅< ………………10分 证法四：（数学归纳法）①当1n =时, 112x =<,命题成立; ②假设n k =时,命题成立,即135212462k k -⋅⋅<则当1n k =+时,13521212124622(1)2(1)2(2)k k k k k k k -++⋅⋅⋅<=+++ 2222222211(21)(23)4(1)4(1)234(23)(1)(483)(484)104(23)(1)4(23)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k +++-+-=++++++-++-==<++++22114(1)23k k k +∴<++<即135212124622(1)k k k k -+⋅⋅⋅<+ 故当1n k =+时，命题成立.综上可知，对一切非零自然数n ，不等式②成立. ………………10分<<所以kb<<从而121)1nb b b++<+++=.也即121nb b b++<………………14分6．证明：（法一）112112322211(),9(1)(1)1111223(1)n nn nnn nna aa aba a n n n nb b bn n++++>∴<=+∴<<+++∴++++<+++⋅⋅+即分b11111111223111nn n n n=-+-++-=-=+++………………12分（法二）（1）当212411,(),21192n b=====⨯+时右右，显然成立…………5分（2）假设n k=时，21212()123kkb b bk k++++<+++………………7分22222222221()1232(2)(23)4(1)(2)(1)(23)(1)(23)(2)(23)[(2)(1)]4(32)(1)(23)(2)k kk k kk k k k k k kk k kk k k k k kk k k++-++++++++-++=++⋅+++-++++=++⋅+221211(1)(23)(2)21()123211112(1)1kk k kk kk k kk kb b bk k+-=<++⋅++∴+<+++++∴+++<=+++分即当1n k=+时，不等式成立，由（1）（2）可得原不等成立。
放缩法证明不等式
放缩法证明不等式放缩法是一种非常常用的证明不等式的方法，它通过逐步削弱不等式的一侧，使得最后的不等式很容易得到证明。
本文将通过一些例子来说明放缩法的使用。
例1：证明Cauchy不等式Cauchy不等式的表述为：对于任意的实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn，有：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2) >=(a1b1+a2b2+...+anbn)^2证明方法如下：首先，我们注意到不等式的左边是一个平方形式，而右边是一个乘积形式。
我们可以利用这个观察来放缩不等式。
由平均值不等式，我们有：(a1^2+a2^2+...+an^2)/n >=(a1+a2+...+an)^2/n^2同样，(b1^2+b2^2+...+bn^2)/n >= (b1+b2+...+bn)^2/n^2将这两个不等式相乘，得到：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2) >=[(a1+a2+...+an)(b1+b2+...+bn)/n]^2注意到右边的中括号内的部分就是(a1b1+a2b2+...+anbn)/n，我们可以进一步放缩为：[(a1+a2+...+an)(b1+b2+...+bn)/n]^2 >= (a1b1+a2b2+...+anbn)^2因此，我们得到了Cauchy不等式的证明。
例2：证明AM-GM不等式AM-GM不等式的表述为：对于非负实数a1,a2,...,an，有：(a1+a2+...+an)/n >=(a1a2...an)^(1/n)证明方法如下：我们首先注意到不等式的左边是一个平均值形式，而右边是一个几何平均值的形式。
我们可以利用这个观察来放缩不等式。
由平均值不等式，我们有：(a1+a2+...+an)/n >= √(a1a2...an)对于任意的i，我们可以用a1a2...an的值来替换ai，则不等式仍然成立：(a1+a2+...+an)/n >= √(a1a2...an)因此，我们得到了AM-GM不等式的证明。
几种常见的放缩法证明不等式的方法文件.doc
For personal use only in study and research; not for commercialuse几种常见的放缩法证明不等式的方法一、放缩后转化为等比数列。
例1. {b n} 满足： 2b1 1, b n 1 b n (n 2) b n 3（1）用数学归纳法证明：b nn（2）Tn1 1 1 1...3 b 3 b 3 b 3 b1 2 3 n，求证：Tn12解：(1) 略(2) b 1 3 b (b n) 2(b 3)n n n n又b n nb b ，1 3 2( 3)n nn N *迭乘得：n 1 n 1b 3 2 (b 3) 2n 1b n 1 1n3 21, n N *1 1 1 1 1 1 1T ...n 2 3 4 n 1 n 12 2 2 2 2 2 2点评：把握“b 3”这一特征对“n2b 1 b (n2)b 3”进行变形，然后去掉n n n一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。
这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的, 为什么？值得体味！二、放缩后裂项迭加例2．数列{a } ，n ann( 1)11n，其前n项和为sns 求证： 2n2 2s 解： 2n1 1 1 1 11 ...2 3 4 2n 1 2n令b n12n(2n 1) ，{b n} 的前n项和为T n当n2时，11(11)bn2n(2n2)4n1ns T 2n n 111111111111()()...() 212304344564n1n712104n2点评:本题是放缩后迭加。
放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。
值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。
b例3.已知函数()(0)f x ax c ax的图象在(1,f(1))处的切线方程为y x1（1）用a表示出b,c（2）若f(x)ln x在[1,)上恒成立，求a的取值范围（3）证明：111n 1...ln(n1)23n2(n1)解：（1）（2）略1（3）由（II）知：当,()ln(1)a时有f x x x2111令)ln(1).a,有f(x)(x x x22x11且当)ln.x1时,(x x2xk111k1k111令)], x,有ln[][(1)(1k k2k k12k k 1111即),1,2,3,,.ln(k1)ln k(k n2k k1将上述n个不等式依次相加得ln(n 1)12(12131n)12(n1),整理得112131nln(n1)n2(n1).点评：本题是2010湖北高考理科第21题。
高中数学讲义：放缩法证明数列不等式
放缩法证明数列不等式一、基础知识：在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。
本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（此性质为放缩法的基础，即若要证明a c >，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b ，使得a b >，从而将问题转化为只需证明b c >即可 ）（2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和：若()()()121,2,,n a f a f a f n >>>L ，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++L L （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：① 等差数列求和公式：12nn a a S n +=×，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数）② 等比数列求和公式：()()1111n n a q S q q -=¹-，n n a k q =×（关于n 的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差´等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
(完整word版)高考数学数列不等式证明题放缩法十种办法技巧总结,推荐文档
1.均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n Λ求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n 例2 已知函数bxa x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f Λ 例3 求证),1(221321N n n n C C C Cn n nnnn∈>⋅>++++-Λ.例4 已知222121n a a a +++=L ，222121n x x x +++=L ，求证：n n x a x a x a +++Λ2211≤1.例5 求证例6 例7 例8 }{n a 满足：1a 再如： 例9 设nnn n 3. 部分放缩例10 设++=a n a 21111,23a aa n ++≥L ,求证：.2<n a 例11 设数列{}n a 满足()++∈+-=N n na a a n n n 121，当31≥a 时证明对所有,1≥n 有：2)(+≥n a i n ； 21111111)(21≤++++++n a a a ii Λ.4 . 添减项放缩例12 设N n n∈>,1，求证)2)(1(832(++<n n n.例13 设数列}{na 满足).,2,1(1,211Λ=+==+n a a a a nn n 证明12+>n a n 对一切正整数n 成立；5 利用单调性放缩: 构造函数例14 已知函数223)(x ax x f -=的最大值不大于61，又当]21,41[∈x 时.81)(≥x f（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设*+∈=<<N n a f a a n n ),(,21011，证明.11+<n a n 例15（I 例16 例17 设 例18 设例19 例20 （1例21 （Ⅰ）写出数列}{n a 的前3项321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a Λ. 9. 借助数学归纳法例22（Ⅰ）设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； （Ⅱ）设正数n p p p p 2321,,,,Λ满足12321=++++n p p p p Λ，求证：10. 构造辅助函数法例23 已知()f x = 2ln 243x x +-,数列{}n a 满足()()*11 2 ,0211N n a f a n an ∈=<<-++（1）求()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-021，上的最大值和最小值; （2）证明：102n a -<<; （3）判断n a 与1()n a n N *+∈的大小，并说明理由.例24 已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =L，，．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x>，21121(1)3n na x xx ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥，12n =L ，，；21+<k 则411()11(0)141422x x x xf x x ==->-≠++•1(1)()(122f f n ⇒++>-⨯L 211(1)(1)2222n +-++-⨯⨯L 例3 简析 不等式左边123nnn n n C C C C ++++L =12222112-++++=-n n Λn n n 122221-⋅⋅⋅⋅⋅>Λ=212-⋅n n ，故原结论成立.例4 【解析】使用均值不等式即可：所以有22222211221122222n n n n a x a x a x a x a x a x ++++++≤+++L L其实，上述证明完全可以改述成求n n x a x a x a +++Λ2211的最大值。
恰当运用放缩法证明导数不等式
恰当运用放缩法证明导数不等式
放缩法是一种常用的证明技巧，它依赖于转换（或放缩）函数、几何形状或是实数的对称性来推断出一个初始问题的结果。
放缩法可以用来证明导数不等式。
接下来，我们将使用放缩法来证明一个导数不等式：设f(x)和g(x)为定义在[0,1]上的连续函数：
f′(x)≤g′(x),x∈(0,1)
则有f(x)≤g(x)，x∈[0,1]。
首先我们观察该导数不等式：
如果f′(x)≤g′(x),
那么积分得到f(x)≤g(x)。
因此，在这里，我们需要证明f(x)≤g(x)，x∈[0,1]。
我们选择一个放缩函数：
φ(x)=f(ax+b)
其中a,b∈R，a>0，0≤b<1
接下来，我们需要证明φ′(x)≤g′(x)，x∈[0,1]。
首先，记f(x)=y
那么φ′(x) =ayf′(ax+b)。
又因为f′(x)≤g′(x),
所以ayf′(ax+b)≤ayg′(ax+b)。
接下来，我们将ayf′(ax+b) 替换为g′(x) ayg′(ax+b) = g′(x)
因此ayf′(ax+b)≤g′(x)。
同样的，我们可以将ayg′(ax+b) 替换为f′(x) ayf′(ax+b) = f′(x)
因此φ′(x)≤f′(x)，x∈[0,1]。
最后，因为φ(x) = f(ax+b)
我们可以得出f(x)≤g(x)，x∈[0,1]。
经过以上推导，我们已经证明了原式的正确性：设f(x)和g(x)为定义在[0,1]上的连续函数：
f′(x)≤g′(x),x∈(0,1)
则有f(x)≤g(x)，x∈[0,1]。
放缩法证明数列不等式经典例题
放缩法证明数列不等式经典例题放缩法证明数列不等式放缩法是一种证明数学不等式的方法，它利用一些基本的放缩技巧来推导出更复杂的不等式。
下面介绍几种常用的放缩技巧：1.$\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$证明：将右边的式子化简得到$\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{2n}-\frac{1}{2(n+1)}$，再将右边的两项合并得到$\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$。
2.$\frac{n}{n+1}<\sqrt{\frac{n}{n+1}}<\frac{n+1}{n}$证明：将右边的式子平方得到$\frac{n}{n+1}<\frac{n}{n+1}<\frac{(n+1)^2}{n(n+1)}$，再将中间的式子平方根得到$\frac{n}{n+1}<\sqrt{\frac{n}{n+1}}<\frac{n+1}{n}$。
3.$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{(n+1)n}$证明：将右边的式子通分得到$\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{(n+1)n}=\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{n(n-1)}$，再将右边的两项合并得到$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{(n+1)n}$。
4.$\frac{2}{n(n-1)}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$证明：将右边的式子通分得到$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}=\frac{2}{n(n+1)}$，再将右边的式子倒数得到$\frac{2}{n(n-1)}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$。
高考数学放缩法证明数列不等式之常数型与函数型(解析版)
放缩法证明数列不等式之常数型与函数型◆题型一:放缩法证明数列不等式之常数型方法解密:放缩法证明数列不等式属于数列大题中较有难度的一种题型.大部分是以证明某个数列和大于或小于一个常数类型,小部分是证明某个数列前n项和或者积大于或小于一个函数(下一专题详解).本专题我们来介绍最常见的常数类型.放缩的目的有两个:一是通过放缩使数列的和变换成比如裂项相消等可以简单求和的形式,这样可以方便比较大小.二是两者之间无法直接比较大小,这样我们需要通过寻找一个媒介,来间接比较大小.放缩的原则:放缩必然会导致数变大或者变小的情况,我们的原则是越精确越好.在证明过程中,为了使放缩更精确,往往会第一项不变,从第二项或者第三项开始放缩(例题会有讲解).放缩的方法:(1)当我们要证明多项式M<A时,我们无法直接证明两者的大小,这时我们可以将多项式M放大为N1,当我们能够证明N1<A,也间接证明了M<A.切不可将M缩小为N2,即使能够证明N2<A,M与A的关系无法得证.(2)当我们要证明多项式M>A时,这时我们可以将多项式M缩小为N1,当我们能够证明N1>A,也间接证明了M>A.需要放缩的多项式多以分式形式出现,要使得分式的值变大,就是将分母变小,常见是将分母减去一个正数,比如1.常见的放缩形式:(1)1n2<1n-1n=1n-1-1n n≥2；(2)1n2>1n n+1=1n-1n+1；(3)1n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1；(5)1n =2n+n<2n-1+n=2-n-1+nn≥2；(6)1n =2n+n>2n+n+1=2-n+n+1；(7)1n =2n+n<2n-12+n+12=222n-1+2n+1=2-2n-1+2n+1；(8)2n2n-12=2n2n-12n-1<2n2n-12n-2=2n-12n-12n-1-1=12n-1-1-12n-1n≥2；(12)12n-1<2n-12n-1-12n-1=12n-1-1-12n-1n≥2.类型一:裂项放缩【经典例题1】求证112+122+132+.....+1n2<2【解析】因为1n2<1n2-n=1n n-1=1n-1-1n n≥2,所以112+122+132+.....+1n2<112+1 22-2+132-3+.....+1n2-n=1+1-12+12-13+.....+1n-1-1n=2-1n<2,所以原式得证.为什么第一项没有经过放缩,因为分母不能为0,所以只能从第二项进行放缩.总结:证明数列之和小于常数2,式子左侧我们进行放大处理,各个分式分母减去n ,可以变换成裂项相消的形式,同时又能作为媒介与2比较大小.同时要注意从第几项开始放缩的问题.【变式1】求证112+122+132+.....+1n 2<74【解析】因为1n 2<1n 2-1=1n +1 n -1=121n -1-1n +1 n ≥2,所以112+122+132+....+1n 2<112+122-1+132-1+....+1n 2-1=1+121-13+12-14+13-15....+1n -1-1n =1+121+12-1n -1n +1 <74,所以原式得证. 总结:证明数列之和小于常数2,式子左侧我们进行放大处理,各个分式分母减去n ,可以变换成裂项相消的形式,同时又能作为媒介与2比较大小.同时要注意从第几项开始放缩的问题.【变式2】求证112+122+132+.....+1n 2<53【解析】因为1n 2<1n 2-1=1n +1 n -1=121n -1-1n +1 n ≥2 ,所以112+122+132+....+1n 2<112+122+132-1+....+1n 2-1=1+122+1212-14+13-15+14-16+....+1n -1-1n =1+14+1212+13-1n -1n +1 =53-121n +1n +1 <53,注意这是保留前两项,从第三项开始放缩.总结:通过例1和变式题我们发现,我们对分式的进行放大,分母我们依次减去的数是n ,1.不难发现,这些数递减,所得的结果也是递减的.说明减去的数越小,所得的结果越精确.同时通过两道变试题我们也发现,保留前几项不动,这样放缩的精度也会高一些.有些模拟题中,经常出现保留前2项到3项不动的情况.那么作为学生如何判断从第几项开始放缩呢?这需要学生去尝试和试错,如果第一项不行,那就尝试第二项,第三项.【经典例题2】已知a n =n 2,b n =n 2,设c n =1a n +b n,求证:c 1+c 2+⋯+c n <43. 【解析】已知a n =n2,b n=n 2,因为c n =22n 2+n=2n (2n +1)=42n (2n +1)<4(2n -1)(2n +1)=212n -1-12n +1 所以c 1+c 2+⋯+c n <23+213-15+15-17+⋯+12n -1-12n +1 =23+23-22n +1<43,故不等式得证.【经典例题3】已知数列a n 满足a 1=1，a n -1=n -1na n (n ≥2,n ∈N *)，(1)求a n ;(2)若数列b n 满足b 1=13，b n +1=b n +1a 2n(n ∈N *)，求证：b n <2512．【答案】(1)a n =n ；(2)证明见解析．【详解】(1)由题意a n a n -1=nn -1(n ≥2)，∴a n =a 1×a 2a 1×a 3a 2×⋯×a n a n -1=1×21×32×⋯×n n -1=n ，a 1=1也适合．所以a n =n (n ∈N *)；(2)由已知b 1=13<2512，b 2=b 1+1=43<2512，b 3=b 2+122=43+14=1912<2512，当n ≥3时，b n +1-b n =1n2<1n (n -1)=1n -1-1n ，因此b n +1=b 3+(b 4-b 3)+(b 5-b 4)+⋯+(b n +1-b n )<1912+12-13 +13-14 +⋯+1n -1-1n=2512-1n <2512，则b n =b n +1-1n2<2512综上，b n <2512．类型二:等比放缩所谓等比放缩就是数列本身并非为标准的等比数列,我们将数列的通项经过一定的放缩使之成为一个等比数列,然后再求和,我们通过例题进行观察了解.【经典例题4】证明:121-1+122-1+123-1+...+12n -1<53【解析】令a n =12n -1,则a n +1a n =2n -12n +1-1<2n -12n +1-2=12⇒a n +1<12a n又因为a 1=1,a 2=13,由于不等式右边分母为3,因此从第三项开始放缩,得a 1+a 2+⋯+a n <a 1+a 2+12a 2+⋯+12 n -2a 2=1+131-12n -1 1-12<53故不等式得证.【经典例题5】已知数列a n 满足：a 1=2，a n +1=2a n +2n +1，n ∈N *.(1)求证a n2n 是等差数列并求a n ；(2)求数列a n 的前n 项和S n ；(3)求证：1a 2-a 1+1a 3-a 2+1a 4-a 3+⋅⋅⋅+1a n +1-a n <12.【答案】(1)证明见解析，a n =n ⋅2n ；(2)S n =(n -1)2n +1+2；(3)证明见解析.【详解】(1)证明：a n +12n +1-a n 2n =2a n +2n +12n +1-a n 2n =2a n 2n +1+1-a n2n=1，∴a n 2n 是首项为a 121=1，公差为1的等差数列，∴a n 2n =1+(n -1)1=n ，∴a n =n ⋅2n .(2)∵S n =1×21+2×22+3×23+⋅⋅⋅⋅⋅⋅n ⋅2n ，∴2S n =1×22+2×23+3×24+⋅⋅⋅⋅⋅⋅n ⋅2n +1，两式相减得：-S n =21+22+23+⋅⋅⋅⋅⋅⋅2n -n ⋅2n +1，-S n =21-2n1-2-n ⋅2n +1，∴S n =(n -1)2n +1+2.(3)证明：∵a n =n ⋅2n ，∴a n +1=(n +1)⋅2n +1，∴a n +1-a n =(n +2)⋅2n ，当n ∈N *时，n +2>2，∴(n +2)⋅2n >2n +1，∴1(n +2)⋅2n <12n +1，∴1a 2-a 1+1a 3-a 2+1a 4-a 3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅1a n +1-a n <122+123+124+⋅⋅⋅⋅⋅⋅12n +1=141-12 n 1-12=121-12 n <12.【练习1】已知数列{a n }中，a 1=1，其前n 项的和为S n ，且当n ≥2时，满足a n =S 2nS n -1．(1)求证：数列1S n 是等差数列；(2)证明：S 21+S 22+⋯+S 2n <74．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】(1)当n ≥2时，S n -S n -1=S 2nS n -1，S n -1-S n =S n S n -1，即1S n -1S n -1=1从而1S n 构成以1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)可知，1S n =1S 1+n -1 ×1=n ，∴S n =1n ．则当n ≥2时S 2n =1n 2<1n 2-1=121n -1-1n +1 ．故当n ≥2时S 21+S 22+⋯+S 2n <1+121-13 +1212-14 +⋯+121n -1-1n +1=1+121+12-1n -1n +1 <1+12⋅32=74又当n =1时，S 21=1<74满足题意，故S 21+S 22+⋯+S 2n <74．法二：则当n ≥2时S 2n =1n 2<1n 2-n=1n -1-1n ，那么S 21+S 22+⋯+S 2n <1+14+12-13 +13-14 +⋯1n -1-1n =74-1n <74又当n =1时，S 21=1<74，当时，S 21=1<74满足题意.【练习2】已知数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =12na n+a n -1．(1)求数列a n 的通项公式；(2)若数列2a 2n的前n 项和为T n ，证明：T n <32．【答案】(1)a n =n +1n ∈N * ．(2)见解析【解析】(1)当n =1时，S 1=12a 1+a 1-1，即a 1=2，当n ≥2时，S n =12na n +a n -1①，S n -1=12n -1 a n -1+a n -1-1②，①-②，得：2a n =na n -n -1 a n -1+2a n -2a n -1，即na n =n +1 a n -1，∴a n n +1=a n -1n ，且a 12=1，∴数列a n n +1 是以每一项均为1的常数列，则a nn +1=1，即a n =n +1n ∈N * ；(2)由(1)得a n =n +1，∴2a 2n =2n +12<2n n +2 =1n -1n +2，∴T n <1-13+12-14+13-15+⋯+1n -1n +2=1+12-1n +1-1n +2<32.【练习3】已知函数f (x )=x 3-2x ，数列a n 中，若a n +1=f (a n )，且a 1=14.(1)求证：数列1a n-1是等比数列；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ，求证：S n <12.【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】(1)由函数f (x )=x3-2x ，在数列a n 中，若a n +1=f (a n )，得：a n +1=a n 3-2a n，上式两边都倒过来，可得：1a n +1=3-2a n a n =3a n-2，∴1a n +1-1=3a n -2-1=3a n -3=31a n -1 ．∵1a 1-1=3．∴数列1a n -1 是以3为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)，可知：1a n -1=3n ，∴a n =13n +1，n ∈N *．∵当n ∈N *时，不等式13n +1<13n 成立．∴S n =a 1+a 2+⋯+a n =131+1+132+1+...+13n +1<131+132+...+13n =13⋅1-13n 1-13=12-12•13n <12．∴S n <12．【练习4】已知函数f (x )=x 2-2x ，数列a n 的前n 项和为S n ，点P n n ,S n 均在函数y =f x 的图象上．若b n=12a n +3 (1)当n ≥2时，试比较b n +1与2b n的大小；(2)记c n =1b n n ∈N *试证c 1+c 2+⋯+c 400<39.【答案】(1)b n +1<2bn ；(2)证明见解析.【详解】(1)∴f (x )=x 2-2x ，故S n =n 2-2n ，当n ≥2时，a n =S n -S n -1=2n -3，当n =1时，a 1=S 1=-1适合上式，因此a n =2n -3n ∈N * .从而b n =n ,b n +1=n +1,2b n=2n ，当n ≥2时，2n =1+1 n =C n 0+C n 1+⋯>n +1故b n +1<2b n=2n(2)c n =1b n =1n，c 1=1，1n =2n +n <2n +n -1=2(n -n -1)n ∈N *,n ≥2 c 1+c 2+...+c 400<1+22-1 +23-2 +...+2400-399 =2400-1=39.◆题型二:放缩法证明数列不等式之函数型方法解密:数列放缩较难的的两类便是形如数列的前n 项和与函数f (n )的不等关系,即a 1+a 2+⋯+a n <f (n )或者数列前n 项积与函数f (n )的不等关系,即a 1⋅a 2⋅⋯⋅a n <f (n )的问题,其中,这里的前n 项和与前n 项积难求或者是根本无法求.面对这类题时,首先,我们可以将f (n )看成某个数列的和或者积,然后通过比较通项的大小来解决;其次,我们也可以对a n 进行变形,使之能求和或者求积.往往第二种方法难以把握,对学生综合素质要求较高.而第一种方法相对简单易行,所以本专题以“拆项”为主线详细讲解.【经典例题1】已知数列a 1=32,a n +1=3a n -1,n ∈N *(1)若数列b n 满足b n =a n -12,求证:数列b n 是等比数列。
数学所有不等式放缩技巧及证明方法
文档收集于互联网，已重新整理排版word 版本可编辑•欢迎下载支持.高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法一、裂项放缩畀 2 15例1.⑴求芥门 --------- 7的值； （2）求证：>2 7T V —・A=1 4* — 1Ar = l k3例2・⑴求证：1 +丄+丄+・・・+ —>1-一!一> 2）32 52⑵Li ）， 6 2（2n-1）1 1 1 1 114 16 364n 2 2 4n⑶求证丄+12+空+」"•…⑵i2 2-4 2-4-6 2-4-6••…2n例 3•求证: ---- - ---- <i + l +l + ... + -L<-(n +1)( 2/1 + 1)4 9 ir 3例4・（2008年全国一卷）设函数f ⑴二X-H1U.数列仇｝满足0<q<l ・％ 明：畋+】>b.例 5.已知"，加 e 他,兀 > -1,S,” 二 r n + T +3川 + …+ 心求证：/严 < (m +1)5,, <(〃 + 1严 -1例 6.已知® = 4" - T , T n= ------ 二 ----- ,求证：£+◎+◎人 < —.a { + a 2 + ・• • + a n2例7.已知坷=1, £ = < W (mi,"Z),求证：亠*亠+ •..+亠>逅(耐®訓) W - l(n = 2k 、k wZ) 护2 ・x 3 化・x 5.. 4丁 /、 In 2a In 3a In n a hr -n-l例 9.求证——<^—^^>2)例 10.求证:—+ - + ・・・ + —< ln(n + 1) < 1 + —4-・・• +」■2 3 77 + 1 2 n例 11.求证：(1 + \(1 +、•….(1 + ^-Xe 和(1 + ；)(1 + 厶)•….(1 + 点)<辰 2! 3! n\ 9 81 3" 例 12•求证：(1 +1 x 2) • (1 + 2 x 3) ••…[1 + n(n +1)] > 严I12例14.已知4=1。
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利用放缩法证明数列型不等式一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。
裂项放缩法主要有两种类型：（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。
例1设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =。
设2nn nT S =，1,2,3,n =，证明：132ni i T =<∑。
证明：易得12(21)(21),3n nn S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++==-----， 112231113113111111()()221212212121212121nn i i i n n i i T ++===-=-+-++---------∑∑=113113()221212n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1112121n n +---，然后再求和，即可达到目标。
（2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。
例 2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ，2n n n T S S =-； （I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 71112n +≥。
证明：（I ）1111111()2322122n n T T n n n n n n+-=+++-++++++++ 11121221n n n =+-+++10(21)(22)n n =>++ ∴1n n T T +>． （II ）112211222222,n n n n n n S S S S S S S S ---≥∴=-+-++-+1221122n n T T T T S --=+++++由（I ）可知n T 递增，从而12222n n T T T --≥≥≥，又11217,1,212T S T ===，12211222n n n S T T T T S --∴=+++++21171711(1)(1)112212n n T T S n +≥-++=-++=即当2n ≥时，2n S 71112n +≥。
点评：此题（II ）充分利用（I ）的结论，n T 递增，将2n S 裂成1122112222n n n n S S S S S S S ----+-++-+的和，从而找到了解题的突破口。
2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。
用于解决积式问题。
例3 已知数列{}n a 的首项为13,a =点()1,+n n a a 在直线)(03*N n y x ∈=-上。
若3*3log 2(),n n c a n N =-∈证明对任意的*n ∈N，不等式12111(1)(1+)(1+)nc c c +⋅⋅> 证明： 32n c n =-，331313133131(1+)()323231332n n n n n n c n n n n n --++=>⋅⋅=---- 所以3121114731[(1)(1+)(1+)]311432n n n c c c n ++⋅⋅>⋅⋅⋅=+-即12111(1)(1+)(1+)nc c c +⋅⋅> 点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。
33131(1+)()32n n c n -=-可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，3313133131()323231332n n n n n n n n n n --++>⋅⋅=----，而通项式为31{}32n n +-的数列在迭乘时刚好相消，从而达到目标。
3、迭代放缩法：通过放缩法构造递推不等关系，进行迭代，从而求解。
例4 已知数列{}n x 满足，1111,,*21n n x x n N x +==∈+，证明：1112||()65n n n x x -+-≤⋅。
证明：当1n =时，1211||||6n n x x x x +-=-=，结论成立。
当2n ≥时，易知1111101,12,12n n n n x x x x ---<<+<=>+111115(1)(1)(1)(1)212n n n n n x x x x x ----∴++=++=+≥+1111||11||||11(1)(1)n n n n n n n n x x x x x x x x -+---∴-=-=++++211112122212||()||()||()55565n n n n n n x x x x x x ----≤-≤-≤≤-=点评：此题将目标式进行放缩得到递推不等关系，进行迭代，找到解题途径。
4、等比公式放缩法：先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标转化。
例5已知数列{}n a 的各项均为正数，且满足111122,(),1n nn n a a a n N a a *++-==∈-记2n n n b a a =-，数列{}n b 的前n 项和为n x ，且1()2n n f x x =． （I ）数列{}n b 和{}n a 的通项公式； （II ）求证：12231()()()1()2()()()2nn f x f x f x n nn N f x f x f x *+-<+++<∈．略解：（I ） 2nn b =，12n a =，()21nn f x =-。
证明：（II ）11()21211, 1()2122(2)2n n n n n n f x f x ++--==<--12231()()()()()()2n n f x f x f x nf x f x f x +∴+++<．111()2111()2122(21)n n n n n f x f x +++-==---1111111, 22(22)22n n n +++=->-+- 12231231()()()111111()=(1)()()()22222222n n n n f x f x f x n n n f x f x f x ++-∴+++>-+++--> ∴12231()()()12()()()2n n f x f x f x n nf x f x f x +-<+++<．反思：右边是2n ，感觉是n 个12的和，而中间刚好是n 项，所以利用1211212n n +-<-；左边是12n -不能用同样的方式来实现，想到11(())(()0)222n n f n f n -=-+>，试着考虑将12121n n +--缩小成1({}2n n c c -是等比数列），从而找到了此题的突破口。
5、二项式定理放缩法：在证明与指数有关的数列型不等式时，用二项式定理放缩特别有效。
二项式定理放缩法有两种常见类型：（1）部分二项式定理放缩法：即只在式子的某一部分用二项式定理放缩。
例6已知数列{}n a 满足a a =1(2)a ≠-，1(46)41021n n n a n a n ++++=+（n *∈N ）．（Ⅰ）证明数列221n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等比数列，并求出通项n a ；（Ⅱ）如果1a =时，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试求出n S ，并证明当3n ≥时，有34111110n S S S +++<． 略解： 223)12)(2(1-⋅++=-n n n a a （*n N ∈）， 则(21)(21)nn S n =--． nn n n n n n C C C C ++++=-1102 ，∴当3≥n 时，01122(1)n n nnn n n C C C C n -=+++≥+，则1212+≥-n n ． )12)(12(+-≥∴n n S n ，则)121121(21)12)(12(11+--=+-≤n n n n S n ． 因此，)]121121()9171()7151[(2111143+--++-+-≤+++n n S S S n 101)12151(21<+-=n ． 反思：为什么会想到将11(21)(21)nn S n =--放缩成1(21)(21)n n -+？联想到1111111223(1)1n n n ++=-<⋅⋅⋅++，因为要证明110<，而34111nS S S +++是一个数列前n 项的和，最后通过放缩很可能变成1()(()0)10f n f n ->的形式，而110应是由31137S =⋅放缩后裂项而成，311111()35235S <=-⋅，111(21)(21)(21)(21)n n S n n n =≤---+111()22121n n =--+，此时刚好得到341111111()252110n S S S n +++≤-<+，接下来就要处理1212+≥-n n ，想到用二项式定理。
（2）完全二项式定理放缩法：整个式子的证明主要借助于二项式定理。
例7设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n N ∈，都有0,n n a S >=.(I)求12,a a 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（III ）证明：21221n n nn n n a a a +-≥+。
略解：（I ）（II ）121,2a a ==，n a n =；证明（III ）012233(1),n n n n n x C C x C x C x +=++++012233(1),n n n n n x C C x C x C x -=-+-+133551(1)(1)22222n n n n n n x x C x C x C xC x nx +--=++≥=，令12x n=， 则有11(1)(1)122n n n n+--≥，从而(21)(2)(21)n n n n n n +≥+-，即21221n n nn n n a a a +-≥+。
点评：利用二项式定理结合放缩法证明不等式时，一定要紧密结合二项式展开式的特点，联系需证不等式的结构，通过化简、变形、换元等手段使问题得以解决。
6、比较放缩法：比较法与放缩法的结合，先进行比较（作差或作商），再进行放缩。
例8在单调递增数列}{n a 中，11=a ，22=a ，且12212,,+-n n n a a a 成等差数列，22122,,++n n n a a a 成等比数列， ,3,2,1=n ．（I ）分别计算3a ，5a 和4a ，6a 的值；（II ）求数列}{n a 的通项公式（将n a 用n 表示）； （III ）设数列}1{n a 的前n 项和为n S ，证明：24+<n nS n ，*n N ∈．略解：（I ）（II ）得33a =，492a =，56a =，68a =．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,8)2(,8)3)(1(2证明：（III ）由（II ），得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,)2(8,)3)(1(812．显然，2114341111+⨯=<==a S ； 当n 为偶数时，42n n S n -=+22211111148244466(2)(2)2nn n n n ⎡⎤++++++-⎢⎥⨯⨯⨯+++⎣⎦ 1111114824244646(2)(2)2n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++++++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111111114824466822n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11480222n n n ⎛⎫=--= ⎪++⎝⎭； 当n 为奇数（3≥n ）时，14144(1)8422(1)2(1)(3)2n n n n n n nS S n a n n n n n ---=+-<+-++-++++ 128401(1)(3)2(1)(2)(3)n n n n n n n n n ⎡⎤-=+-=-<⎢⎥+++++++⎣⎦. 综上所述，402n n S n -<+，即24+<n nS n ，*n N ∈．点评： 此题在作差比较中实施裂项放缩，进而得到最后结果小于0，从而得证。