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放缩法证明不等式

高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n knk (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn(5)nn n n 21121)12(21--=- (6) n n n -+<+221 (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n nnnnnn <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+ (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n说明：1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境．例如证明4712111222<+++n ．由k k k11112--<，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第2项放缩，可得小于2．当放缩方式不同，结果也在变化．2、放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和．例18 求证2131211222<++++n ．分析：此题的难度在于，所求证不等式的左端有多项和且难以合并，右边只有一项．注意到这是一个严格不等式，为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律，这只需从21n 下手考查即可．证明：∵)2(111)1(11112≥--=-<⋅=n nn n n n n n ， ∴ +⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<++++312121111131211222n 212111<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+n n n201417. (12分)已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+.(I)证明{12}n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(II)证明2111132n a a a +++<.【答案解析】解析：(I)∵131n n a a +=+11331111)223(22n n n n a a a a ++∴⇒+=+++=+ 1112132a a =+⇒= ∴{12}n a +是首项为32，公比为3的等比数列∴1*131333,2222n n n n n a a n N --⋅+==∈=⇒ (II)由(I)知，*13,2n n a n N -=∈，故 121213*********(13)n n a a a +++=++-+-- 12110331112()3333n n --+-≤+-+12111()11131331(1()).133323213nn n --=++++==⋅-<- 例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn412141361161412-<++++(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以)12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222n nn -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先n n n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<1211212144411222n n n n n ,所以 35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n。

放缩法证明不等式

放缩法证明不等式1、运用放大、缩小分母或分子的办法来达到放缩的目的分式的放缩对于分子分母均取正值的分式，如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可．还可利用真分数的分子和分母加上同一个正数，则分数值变大；假分数的分子和分母加上同一个正数，则分数值变小来进行放缩．例1、若a ，b ，c ，d 是正数．求证：12a b c d a b ca b db c da c d<+++<++++++++证明：a b c d a b c a b db c d a c d+++++++++++1abc da b c d a b c d a b c d a b c d>+++=++++++++++++又2a b c d a b c da b c a b d b c d a c d a b a b c d c d+++<+++=++++++++++++ 或a b c d a b ca b d b c da c d +++++++++++2a bb ca cb d a bcd a b c da b c da b c d++++<+++=++++++++++++（利用(0)a a mm b b m+<>+） ∴12a bcda b ca b d b c d a c d <+++<++++++++例2、求证：213121112222<++++n证明：∵nn n n n111)1(112--=-<∴2222111111*********232231nn nn++++<+-+-++-=-<-【变式】2222111171234n++++<∵nn n n n111)1(112--=-<∴2222211111111151171()()1232231424nn nn++++<++-++-=+-<-本题说明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即放不能太宽、缩不能太窄，真正做到恰到好处。

用放缩法证明数列中的不等式

用放缩法证明数列中的不等式数列的放缩法是一种通过递推关系以及寻找合适的不等式对数列进行估计的方法。

该方法在不失一般性的情况下，常常可以将原数列与一个已知数列进行比较，从而推导得出数列的性质。

本文将通过数学归纳法，对给定的数列进行放缩法证明，并给出详细推导过程。

假设我们有一个数列${a_n}$，其中$n \geq 1$。

我们要证明数列中的不等式，即要证明对于任意的$n \geq 1$，有$a_n \leq b_n$，其中${b_n}$是一个已知的数列。

我们将使用数学归纳法来证明这个结论。

首先，我们对$n=1$进行证明，即证明$a_1 \leq b_1$。

因为$n=1$是最小的情况，所以我们直接检验$a_1$和$b_1$的大小关系即可。

接下来，我们假设当$n=k$时，不等式$a_k \leq b_k$成立，即数列前$k$项满足不等式。

然后，我们要证明当$n=k+1$时，不等式$a_{k+1} \leq b_{k+1}$也成立。

根据数列的递推关系，我们可以推导出数列前$k+1$项的关系式：$$a_{k+1}=f(a_k)$$其中$f(x)$是一个函数，表示数列的递推关系。

由于我们已经假设在$n=k$时$a_k \leq b_k$成立，因此我们可以得到：$$a_{k+1} = f(a_k) \leq f(b_k)$$这是因为$f$是一个单调递增的函数，所以不等式保持不变。

根据已知数列${b_n}$的性质，我们可以得到：$$f(b_k) \leq b_{k+1}$$这里的不等式是基于对已知数列的假设，即已知数列${b_n}$满足这个不等式。

综合以上的不等式关系$$a_{k+1} \leq f(b_k) \leq b_{k+1}$$因此，当$n=k+1$时不等式$a_{k+1} \leq b_{k+1}$也成立。

根据数学归纳法原理，我们可以得出结论：对于任意的$n \geq 1$，数列${a_n}$满足不等式$a_n \leq b_n$。

【优质文档】026不等式证明方法-放缩法

例 2、（ 1）化简： 1 1
1
2 2 3 34
1
(n
；（2）求证： 1)n
1
1 12
1 22
1 32
④利用基本不等式，如： lg3 lg5 (
)2
⑤利用函数的单调性 ,
lg4 ；
⑥利用函数的有界性：如： sin x ≤ 1 x R ；
⑦绝对值不等式： a b ≤ a b ≤ a b ；
⑧利用常用结论：如： 1
由题目分析、多次尝试得出 , 要注意放缩的适度 . 常用的方法有：①添加或舍去一些项，如： a2 1 a ， n(n 1) n，
②将分子或分母放大（或缩小）如：
1
1
1
n(n 1) n2 n( n 1)
③应用“糖水不等式” ：“若 0 a b， m 0 ，则 a a m b b b m,a
b m” am
11
1
(2)求证： 2 n 1 n 2
1 1(n N)
2n
教学过程 :
一、引入放缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。在证明过程中，适当地进
行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。
n2
三、教学小结
4、若正数 a,b,c 满足 a+b>c 求证 : a
b
c
1a1b 1c
课后练习：
c
a
b
2.
1、已知 a、b、c 分别是一个三角形的三边之长，求证： a b b c c a

放缩法证明数列不等式

似，只不过放缩后的 bn 是可求积的模型，能求积的常见的数列
模型是 bn

cn1 cn
（分式型），累乘后约简为
n i 1
bi

cn1 c1
.
n
（三）形如 a f (n) i
i 1
例6
求证：1 3 5 2n 1 1 (n N)
246
2n 2n 1
1 3 5 2n 1 1
对 1 放缩方法不同，得到的结果也不同. 显然 5 7 2 ，
n2
34
故后一个结论比前一个结论更强，也就是说如果证明了变式 3，
那么变式 1 和变式 2 就显然成立.
对1 n2
的 3 种放缩方法体现了
三种不同“境界”，得到
n k 1
1 k2
的三个“上界”.
【方法总结之二】
放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程中，很多时候要“留一手”，即采用“有所保留” 的方法，保留数列的第一项或前两项，从数列的第二项或第三项开始放缩，这样才不致使结果放得过大或缩得过小.
求证：(11)(1 1)(1 1) (1 1 ) 3 3n 1 (n N*)
47
3n 2
课堂小结
本节课我们一起研究了利用放缩法证明数列不等式，从中我们可以感受到在平时的学习中有意识地去积累总结一些常用的放缩模型和放缩方法非常必要，厚积薄发，“量变引起质变”
例如：我们可以这样总结本节课学到的放缩模型：
23
100
分析不能直接求和式 S ，须将通项 1 放缩为裂项相消模型后求和. n
思路为了确定S的整数部分，必须将S的值放缩在相邻的两个
整数之间.
例4 (2012广东理19第(3)问) 求证： 1 1 1

不等式证明放缩法.doc

不等式的证明（放缩法）1．设x 0, y 0 ， A x y , B xx y ，则 A, B 的大小关系是（）1 x y 1 1 yA. A BB. A BC. A BD. A B2．已知三角形的三边长分别为a, b, c ，设 M a b , N c , Q a b ，1 a 1 b 1 c 1 a b 则M,N与Q的大小关系是（）A.MNQB. MQNC. QNMD. N Q M 3．设不等的两个正数a, b 满足a3 b3 a2 b2，则a b 的取值范围是（）A. (1, )B. (1, 4C. [1,4D. (0,1] ) ]1 1 1 3134．设A L ，则 A 与1的大小关系是.210 210 1 210 2 211 15．设S 1 1 1L1，则 S 的整数部分为.2 3 1006．已知a,b,c均为正数，且a2 b2 c2 ，求证：c3 a3 b3 c3 .27．设n N1 1 1 1. ，求证：L(2n 1)2 49 258．设n N1 1 1L11 . ，求证：n 1 n 2 2n29．设n N1 1L11. ，求证：42 (2 n)22210．设S n 1 2 2 3 L n ( n 1) ，求证：不等式n( n 1)S n(n 1)22 2对所有的正整数n 都成立.简答：1． B 提示：Ax yxyxyB1 x y 1 x y 1 x y 1 x 1 y2． D 提示：由 ab c ，得1 1 ， 1 a 1 a b 1 c 11 1a b c b a b cc3． B提示：由条件得 a 2ab b 2 a b ，所以 (a b)2a 2 ab b 2a b ，故a b1 . 又 ( a b)2 0 ，可得 3(a 2 ab b 2) 4( a 2 ab b 2 ) ，从而3( a b)2 4( a b) ，所以 ab4 ，故 1 a b 4 .334． A<15． 18提示：因为 n 2 时，n n 1 2 n n n 1 ，所以21 2 ，即 2( n 1n ) 1n 1)nn 1 n n n2( n1n故18 12( 1012)11 1L1 1 2( 100 1)1923 100所以所求整数部分为 18.6．解：由已知可知， 0a c,0b c, a ba 2b 2c 2c, ab2，所以23 3 2222 3332 ab 22c 2 )c 3 ab aga bgb c(ab )c ，a b(a b)(ab )c(c2 2所以原不等式得证 .7．提示：由1 4k2 1 1 4k1 (11) ，累加即得 .(2 k 1)2 4k 1 4k 24 k k 18．提示：1n1 1L1 1 1 L 1 1 1 L 1 n 1.2 2n 2n 2n 2n n 1 n22n n n n n9．提示：1 1 1 1) 11，累加即得 .(2 n)2n 2 n(n n 1 n10．提示：k2 k(k 1) k (k 1)2不等式证明五（放缩法、反证法）目的：要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。

证明不等式稿——放缩技巧(网上搜集)

放缩技巧一直接放缩例题1已知数列a 1=3,a n *N ∈a 1+n =(a n -1)2+1,求证：a 1a 2∙…∙a n <2n2例题2数列{a n }满足S n =2n a n ，（n *N ∈），S n 是数列{a n }的前n 项和，a 2=1, (1)求S n ；（2）证明：23<(1+1a 21+n )n <2例题3已知数列{a n }满足a n 》0，且对一切的n *N ∈有∑=ni i 13a=S 2n,其中S n =∑=n i i 1a ，∑=ni i13a=a 31+a 32+…+a 3n(1) 求证：对一切的n *N ∈，都有a 21n +-a 1+n =2 S n ;(2)求数列{a n }的通项公式；（3）求证：∑+=11k 2n kak<3二裂项放缩常见裂项公式：111)1(1+-=+n n n n)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n)211(21)2(1+-=+n n n n ])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n!)!1(!n n n n -+=⋅)!1(1!1)!1(+-=+n n n n in i n i n C C C 111----=n n n-+=++11n 1例题4已知数列{a n }满足a 0=21, a n =a 1n -+21na 21n -, n *N ∈，求证：21n ++n < a n <n例题5数列{a n }为等差数列，a n 为正整数，其前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，且a 1=3， b 1=1，数列{b n a }是公比为64的等比数列，b 2S 2=64, (1)求a n ,b n (2) 求证：+1S 1+2S 1…+n S 1<43,例题6在数列{a n },{b n }中，a 1=2，b 1=4，且a n ,b n ，a 1+n 成等差数列，b n ，a 1+n ，b 1n +成等比数列（n *N ∈）（1）a 2, a 3, a 4及b 2, b 3, b 4,由此猜测{a n },{b n }的通项公式，并证明你的结论；（2）证明++++22111a 1b a b …+n n b a +1<125,例题7设函数f(x)=(1+n 1)n （n *N ∈且n ≥I, x N ∈）, (1)当x=6时，求(1+n1)x 的展开式中二项式系数最大的项；（2）对任意的实数x ，证明：)((),(2)2()2(''x f x f f x f >+是f(x)的导函数）；（3）是否存在a N ∈，使得an<k nk )11(1k ∑=+<(a+1)n 恒成立？若存在，证明你的结论，并求出a 的值；若不存在，说明理由。

放缩法证明不等式

用放缩法证明不等式的方法与技巧放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。

常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。

一．常用公式 1．)1(11)1(12-<<+k k k k k 2．12112-+<<++k k kk k3．22k k≥()4≥k 4．1232kk ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯≥(4k ≥) 5．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≤！！（！k k k 1)11211（待学） 6．b a b a +≤+ 二．放缩技巧所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤，由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”. 常用的放缩技巧（1）若0,,t a t a a t a >+>-<（2）<>11>n >= （3）21111111(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-=<<=->++--（4）=<=<=（5）若,,a b m R +∈，则,a a a a m b b m b b+><+ （6）21111111112!3!!222n n -+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+（7）2221111111111(1)()()232231n n n+++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+--（因为211(1)n n n <-）（7）1111111112321111nn n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=<+++++++或11111111123222222n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+==+++（8）1++>++==三．常见题型（一）．先求和再放缩: 1．设11112612(1)n S n n =+++++ ，求证：1n S <2．设1n b n =（n N *∈），数列2{}n n b b +的前n 项和为n T ，求证：34n T <（二）．先放缩再求和: 3．证明不等式：11112112123123n++++<⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯4．设222111123n S n =++++（1）求证：当2n ≥时，21n nS n <<+；（2）试探究：当2n ≥时，是否有65(1)(21)3n n S n n <<++？说明理由.5．设135212462n n b n -=⋅⋅⋅⋅，求证：（1）n b <（2）1231n b b b b ++++<6．设n a n =，212()n n n b a a +=+求证（1）12n n a a +<+（2）*123()1n nb b b b n N n ++++<∈+7．设2(1)n b n =+，(1)n a n n =+，求证:1122111512n n a b a b a b +++<+++…8．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 个图的蜂巢总数.（1）试给出(4),(5)f f 的值，并求()f n 的表达式（不要求证明）；（2）证明：11114(1)(2)(3)()3f f f f n ++++< .9．（10广州）设n S 为数列}{n a 的前n 项和，对任意的∈n N *，都有()1n n S m ma =+-m(为常数，且0)m >．（1）求证：数列}{n a 是等比数列；（2）设数列}{n a 的公比()m f q =，数列{}n b 满足()1112,n n b a b f b -== (2n ≥，∈n N *)，求数列{}n b 的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求证：数列{}2nb 的前n 项和8918nT<．10．（010深圳）在单调递增数列{}n a 中，11a =，22a =，且21221,,n n n a a a -+成等差数列，22122,,n n n a a a ++成等比数列，1,2,3,n = ．（1）分别计算3a ，5a 和4a ，6a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式（将n a 用n 表示）；（3）设数列1{}n a 的前n 项和为n S ，证明：42n nS n <+，n *∈N ．2．证：1n b n=21111()(2)22n b b b n n n n +==-++1324352n n n T b b b b b b b b +=+++11111111111[()()()()()]2132435462n n =-+-+-+-++-+11113(1)22124n n =+--<++ .3．略4．解：（1）∵当2n ≥时，21111(1)1n n n n n<=--- ∴2221111111111[(1)()()]232231n n n ++++<+-+-++-- ＝12n-2<又∵21111(1)1n n n n n >=-++ ∴11111(1)()()2231n S n n >-+-++-+ 1111nn n =-=++ ∴当2n ≥时，21n nS n <<+.（2）∵22144112()4(21)(21)2121n n n n n n =<=--+-+ ∴222111*********[()()()]2335572121n n n ++++<+-+-++--+ ＝52321n -+53< 当2n ≥时,要6(1)(21)n n S n n >++只需61(1)(21)n nn n n >+++ 即需216n +>，显然这在3n ≥时成立而215144S =+=,当2n ≥时6624(1)(21)(21)(41)5n n n ⨯==++++ 显然5445> 即当2n ≥时6(1)(21)n nS n n >++也成立综上所述：当2n ≥时，有65(1)(21)3n n S n n <<++.5．证法一：∵22414,n n -<∴222(21)(21)4(21)(21)4(21).n n n n n n n -+<⇒-+<-∴212n n -<∴135212462n n -⋅⋅⋅⋅<= .………………10分证法二：212n n -<=，下同证法一. …………10分证法三：（利用对偶式）设135212462n n A n -=⋅⋅，246235721n nB n =⋅⋅+ ，则121n n A B n =+.又22414n n -<，也即212221n n n n -<+，所以n n A B <，也即2121n n n A A B n <=+，又因为0n A >，所以n A <.即135212462n n -⋅⋅⋅⋅< ………………10分证法四：（数学归纳法）①当1n =时, 112x =<,命题成立; ②假设n k =时,命题成立,即135212462k k -⋅⋅<则当1n k =+时,13521212124622(1)2(1)2(2)k k k k k k k -++⋅⋅⋅<=+++ 2222222211(21)(23)4(1)4(1)234(23)(1)(483)(484)104(23)(1)4(23)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k +++-+-=++++++-++-==<++++22114(1)23k k k +∴<++<即135212124622(1)k k k k -+⋅⋅⋅<+ 故当1n k =+时，命题成立.综上可知，对一切非零自然数n ，不等式②成立. ………………10分<<所以kb<<从而121)1nb b b++<+++=.也即121nb b b++<………………14分6．证明：（法一）112112322211(),9(1)(1)1111223(1)n nn nnn nna aa aba a n n n nb b bn n++++>∴<=+∴<<+++∴++++<+++⋅⋅+即分b11111111223111nn n n n=-+-++-=-=+++………………12分（法二）（1）当212411,(),21192n b=====⨯+时右右，显然成立…………5分（2）假设n k=时，21212()123kkb b bk k++++<+++………………7分22222222221()1232(2)(23)4(1)(2)(1)(23)(1)(23)(2)(23)[(2)(1)]4(32)(1)(23)(2)k kk k kk k k k k k kk k kk k k k k kk k k++-++++++++-++=++⋅+++-++++=++⋅+221211(1)(23)(2)21()123211112(1)1kk k kk kk k kk kb b bk k+-=<++⋅++∴+<+++++∴+++<=+++分即当1n k=+时，不等式成立，由（1）（2）可得原不等成立。

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利用放缩法证明数列型不等式一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。

裂项放缩法主要有两种类型：（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。

例1设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =。

设2nn nT S =，1,2,3,n =，证明：132ni i T =<∑。

证明：易得12(21)(21),3n nn S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++==-----， 112231113113111111()()221212212121212121nn i i i n n i i T ++===-=-+-++---------∑∑=113113()221212n +-<-- 点评：此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1112121n n +---，然后再求和，即可达到目标。

（2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。

例 2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ，2n n n T S S =-；（I ）求证：1n n T T +>；（II ）求证：当2n ≥时，2n S 71112n +≥。

证明：（I ）1111111()2322122n n T T n n n n n n+-=+++-++++++++ 11121221n n n =+-+++10(21)(22)n n =>++ ∴1n n T T +>．（II ）112211222222,n n n n n n S S S S S S S S ---≥∴=-+-++-+1221122n n T T T T S --=+++++由（I ）可知n T 递增，从而12222n n T T T --≥≥≥，又11217,1,212T S T ===，12211222n n n S T T T T S --∴=+++++21171711(1)(1)112212n n T T S n +≥-++=-++=即当2n ≥时，2n S 71112n +≥。

点评：此题（II ）充分利用（I ）的结论，n T 递增，将2n S 裂成1122112222n n n n S S S S S S S ----+-++-+的和，从而找到了解题的突破口。

2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。

用于解决积式问题。

例3 已知数列{}n a 的首项为13,a =点()1,+n n a a 在直线)(03*N n y x ∈=-上。

若3*3log 2(),n n c a n N =-∈证明对任意的*n ∈N，不等式12111(1)(1+)(1+)nc c c +⋅⋅> 证明： 32n c n =-，331313133131(1+)()323231332n n n n n n c n n n n n --++=>⋅⋅=---- 所以3121114731[(1)(1+)(1+)]311432n n n c c c n ++⋅⋅>⋅⋅⋅=+-即12111(1)(1+)(1+)nc c c +⋅⋅> 点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。

33131(1+)()32n n c n -=-可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，3313133131()323231332n n n n n n n n n n --++>⋅⋅=----，而通项式为31{}32n n +-的数列在迭乘时刚好相消，从而达到目标。

3、迭代放缩法：通过放缩法构造递推不等关系，进行迭代，从而求解。

例4 已知数列{}n x 满足，1111,,*21n n x x n N x +==∈+，证明：1112||()65n n n x x -+-≤⋅。

证明：当1n =时，1211||||6n n x x x x +-=-=，结论成立。

当2n ≥时，易知1111101,12,12n n n n x x x x ---<<+<=>+111115(1)(1)(1)(1)212n n n n n x x x x x ----∴++=++=+≥+1111||11||||11(1)(1)n n n n n n n n x x x x x x x x -+---∴-=-=++++211112122212||()||()||()55565n n n n n n x x x x x x ----≤-≤-≤≤-=点评：此题将目标式进行放缩得到递推不等关系，进行迭代，找到解题途径。

4、等比公式放缩法：先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标转化。

例5已知数列{}n a 的各项均为正数，且满足111122,(),1n nn n a a a n N a a *++-==∈-记2n n n b a a =-，数列{}n b 的前n 项和为n x ，且1()2n n f x x =．（I ）数列{}n b 和{}n a 的通项公式；（II ）求证：12231()()()1()2()()()2nn f x f x f x n nn N f x f x f x *+-<+++<∈．略解：（I ） 2nn b =，12n a =，()21nn f x =-。

证明：（II ）11()21211, 1()2122(2)2n n n n n n f x f x ++--==<--12231()()()()()()2n n f x f x f x nf x f x f x +∴+++<．111()2111()2122(21)n n n n n f x f x +++-==---1111111, 22(22)22n n n +++=->-+- 12231231()()()111111()=(1)()()()22222222n n n n f x f x f x n n n f x f x f x ++-∴+++>-+++--> ∴12231()()()12()()()2n n f x f x f x n nf x f x f x +-<+++<．反思：右边是2n ，感觉是n 个12的和，而中间刚好是n 项，所以利用1211212n n +-<-；左边是12n -不能用同样的方式来实现，想到11(())(()0)222n n f n f n -=-+>，试着考虑将12121n n +--缩小成1({}2n n c c -是等比数列），从而找到了此题的突破口。

5、二项式定理放缩法：在证明与指数有关的数列型不等式时，用二项式定理放缩特别有效。

二项式定理放缩法有两种常见类型：（1）部分二项式定理放缩法：即只在式子的某一部分用二项式定理放缩。

例6已知数列{}n a 满足a a =1(2)a ≠-，1(46)41021n n n a n a n ++++=+（n *∈N ）．（Ⅰ）证明数列221n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等比数列，并求出通项n a ；（Ⅱ）如果1a =时，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试求出n S ，并证明当3n ≥时，有34111110n S S S +++<．略解： 223)12)(2(1-⋅++=-n n n a a （*n N ∈），则(21)(21)nn S n =--． nn n n n n n C C C C ++++=-1102 ，∴当3≥n 时，01122(1)n n nnn n n C C C C n -=+++≥+，则1212+≥-n n ． )12)(12(+-≥∴n n S n ，则)121121(21)12)(12(11+--=+-≤n n n n S n ．因此，)]121121()9171()7151[(2111143+--++-+-≤+++n n S S S n 101)12151(21<+-=n ．反思：为什么会想到将11(21)(21)nn S n =--放缩成1(21)(21)n n -+？联想到1111111223(1)1n n n ++=-<⋅⋅⋅++，因为要证明110<，而34111nS S S +++是一个数列前n 项的和，最后通过放缩很可能变成1()(()0)10f n f n ->的形式，而110应是由31137S =⋅放缩后裂项而成，311111()35235S <=-⋅，111(21)(21)(21)(21)n n S n n n =≤---+111()22121n n =--+，此时刚好得到341111111()252110n S S S n +++≤-<+，接下来就要处理1212+≥-n n ，想到用二项式定理。

（2）完全二项式定理放缩法：整个式子的证明主要借助于二项式定理。

例7设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n N ∈，都有0,n n a S >=.(I)求12,a a 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（III ）证明：21221n n nn n n a a a +-≥+。

略解：（I ）（II ）121,2a a ==，n a n =；证明（III ）012233(1),n n n n n x C C x C x C x +=++++012233(1),n n n n n x C C x C x C x -=-+-+133551(1)(1)22222n n n n n n x x C x C x C xC x nx +--=++≥=，令12x n=，则有11(1)(1)122n n n n+--≥，从而(21)(2)(21)n n n n n n +≥+-，即21221n n nn n n a a a +-≥+。

点评：利用二项式定理结合放缩法证明不等式时，一定要紧密结合二项式展开式的特点，联系需证不等式的结构，通过化简、变形、换元等手段使问题得以解决。

6、比较放缩法：比较法与放缩法的结合，先进行比较（作差或作商），再进行放缩。

例8在单调递增数列}{n a 中，11=a ，22=a ，且12212,,+-n n n a a a 成等差数列，22122,,++n n n a a a 成等比数列， ,3,2,1=n ．（I ）分别计算3a ，5a 和4a ，6a 的值；（II ）求数列}{n a 的通项公式（将n a 用n 表示）；（III ）设数列}1{n a 的前n 项和为n S ，证明：24+<n nS n ，*n N ∈．略解：（I ）（II ）得33a =，492a =，56a =，68a =．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,8)2(,8)3)(1(2证明：（III ）由（II ），得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,)2(8,)3)(1(812．显然，2114341111+⨯=<==a S ；当n 为偶数时，42n n S n -=+22211111148244466(2)(2)2nn n n n ⎡⎤++++++-⎢⎥⨯⨯⨯+++⎣⎦ 1111114824244646(2)(2)2n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++++++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111111114824466822n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11480222n n n ⎛⎫=--= ⎪++⎝⎭；当n 为奇数（3≥n ）时，14144(1)8422(1)2(1)(3)2n n n n n n nS S n a n n n n n ---=+-<+-++-++++ 128401(1)(3)2(1)(2)(3)n n n n n n n n n ⎡⎤-=+-=-<⎢⎥+++++++⎣⎦. 综上所述，402n n S n -<+，即24+<n nS n ，*n N ∈．点评：此题在作差比较中实施裂项放缩，进而得到最后结果小于0，从而得证。