一维谐振子的本征值问题
谐振子相干态的粒子数算符的本征值
谐振子相干态的粒子数算符的本征值谐振子是量子力学中的重要模型，它具有许多独特的性质和特点。
在谐振子系统中，相干态是一种特殊的态，它具有一些特殊的性质和应用。
本文将围绕谐振子相干态的粒子数算符的本征值展开讨论。
谐振子相干态的粒子数算符是描述谐振子系统中粒子数分布的重要工具。
粒子数算符的本征值对应着系统中不同粒子数的概率分布。
在谐振子系统中，粒子数算符的本征值是非负整数，即0, 1, 2, 3, ...。
这些本征值对应着系统中存在的粒子数，可以用来描述谐振子系统中的态。
我们来介绍一下谐振子的基本性质。
谐振子是一种能量势能为二次函数的系统，它的势能函数可以表示为V(x) = 1/2 mω^2x^2，其中m是质量，ω是角频率，x是位置。
谐振子的哈密顿算符可以表示为H = (p^2)/(2m) + (1/2)mω^2x^2，其中p是动量。
谐振子的能谱是离散的，能量的取值为E_n = (n+1/2)ħω，其中n是非负整数，ħ是约化普朗克常数。
谐振子相干态是谐振子的一种特殊态，它具有相干性和经典振动的特点。
谐振子相干态通常可以用一组基态|n>的线性组合来表示，即|α> = Σ C_n|n>，其中C_n是相应系数，|α>表示相干态。
相干态的粒子数分布呈现出一定的概率分布，其中粒子数的期望值和方差与系数C_n有关。
粒子数算符的本征值可以用来描述相干态中的粒子数分布。
在相干态中，粒子数算符的本征值为n，对应着系统中存在n个粒子的概率。
粒子数算符的本征值是非负整数，且本征值为n的本征态记作|n>，表示系统中存在n个粒子的态。
粒子数算符的本征值和本征态可以用来描述谐振子相干态中的粒子数分布和概率。
谐振子相干态的粒子数算符的本征值有一些特殊的性质。
首先，粒子数算符的本征值是非负整数，它代表了系统中的粒子数。
其次，粒子数算符的不同本征值之间是正交的，即不同本征态之间是正交归一的。
这意味着不同粒子数的态之间不存在叠加的情况，它们是相互独立的。
一维谐振子的本征函数 传播因子
一维谐振子的本征函数传播因子一维谐振子的本征函数和传播因子是量子力学中非常重要的概念，对于理解和研究束缚系统以及量子力学基本原理具有重要意义。
本文将从深度和广度两个方面探讨一维谐振子的本征函数和传播因子，以便更全面地理解这一主题。
一、一维谐振子的本征函数1. 本征函数的定义和基本性质一维谐振子的本征函数是指满足薛定谔方程的解，描述了系统的可能状态。
本节将从数学角度介绍本征函数的定义和基本性质，为后续深入探讨打下基础。
2. 本征函数的物理意义本节将从物理学角度解释一维谐振子的本征函数代表着系统的可能状态，以及如何通过本征函数来描述系统的能量级和波函数。
3. 本征函数的计算方法介绍一维谐振子本征函数的计算方法，包括解薛定谔方程和使用数值方法等，帮助读者更加深入地理解本征函数的实际应用。
二、一维谐振子的传播因子1. 传播因子的定义和物理意义一维谐振子的传播因子描述了系统在空间中的传播特性，本节将介绍传播因子的定义和物理意义，包括传播速度和传播如何受势能影响等方面。
2. 传播因子的数学表达通过数学公式和推导，介绍一维谐振子的传播因子在数学上的表达方式，为读者展示传播因子的具体形式和计算方法。
3. 传播因子的应用介绍传播因子在物理学和工程领域的应用，包括波函数演化、能量传递和量子隧穿效应等，帮助读者理解传播因子在实际问题中的作用和意义。
总结与展望通过本文的介绍，我们全面地认识了一维谐振子的本征函数和传播因子，从数学和物理两个角度进行了深入探讨，帮助读者更好地理解这一重要的量子力学概念。
未来，我们可以进一步研究多维谐振子系统的本征函数和传播因子，以及在更加复杂情况下的应用，为量子力学的发展提供更多的思路和方法。
个人观点在研究和撰写这篇文章的过程中，我深刻地体会到一维谐振子的本征函数和传播因子对于量子力学的重要性。
通过深入地挖掘和解释这些概念，我对量子力学的基本原理和应用有了更加深刻的理解，也为我的学术研究提供了更多的思路和方法。
量子力学课件(7)( 一维线性谐振子)
) e
1 2
1 − α 2 x2 2
H n (α x ),
1 En = (n + )hω . 2
波函数
ψ n ( x) =
第二章 §8 一维线性谐振子 ，在经典情形下，粒子将被限制在|α薛定谔方程 以基态为例， 以基态为例 在经典情形下，粒子将被限制在|α x|< 1
范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx| 1)处 范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx| = 1)处，其势能 2 x2 = {1/2} ħω= E ，即势能等于总能量，动能 V(x)=(1/ 2)mω ω= 0 即势能等于总能量， 为零，粒子被限制在阱内。 为零，粒子被限制在阱内。
为简单计，引入无量纲变量ξ代替x 为简单计，引入无量纲变量ξ代替x，
令：
§8 一维线性谐振子
ξ =αx
第二章 薛定谔方程
其中
α =
mω ， h
方程可改：
d2 + [2ε − ξ 2 ]ϕ (ξ ) = 0 dξ 2
其中
E ε= hω
此式是一变系数 二阶常微分方程
取能量单位、 取能量单位、长度单位 设定边界条件、束缚态条件、 设定边界条件、束缚态条件、意思是谐振 子出现在无穷处的概率为零。 子出现在无穷处的概率为零。
9.3 谐振子的本征值和本征函数
§8 一维线性谐振子
第二章 薛定谔方程
ϕ n (ξ ) = c n H n (ξ ) e
−ξ 2 / 2
1 εn = n + 2
上式中,n=0,1,2,3,……。其中， 上式中,n=0,1,2,3,……。其中，归一化常数 ,n=0,1,2,3,……
c n = ( π 2 n !)
周 一维谐振子问题
[bk2 (k 1)(k 2) 2kbk bk ( 1)] k 0
k
即： bk2 (k 1)(k 2) 2kbk bk ( 1)=0
该式对任意ξ都 成立，故ξ同次
从而导出系数 bk 的递推公式：
幂前的系数均应 为零，
bk 2
2k 1
(k 1)(k 2) bk
由上式可以看出：
a
x
0
V0
取新坐标原点为(a, V0)，则势可表示为 标准谐振子势的形式：
V(x)
V ( x) 1 kx2 2
a
x
0
V0
可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往 可以用线性谐振动来近似描述。
在微观领域中，一维量子谐振子问题也是个基
本的问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观粒 子在稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的 普遍概括，而且更是将来场量子化的基础。
(II) ξ→±∞ 需要考虑无穷级数的收敛性
b k2 k2 bk k
2k 1 2 (k 1)(k 2)
k
22 k
为此考察相邻 两项之比：
考察幂级数exp[
exp[ 2 ] 1 2
4
k
k2
展开式的收敛性
1! 2!
(
k 2
)!
(
k 2
1)!
比较二级数可知：
相继两项之比：
k2
V0
若取V0 = 0，即平衡位置处于势 V = 0 点，则
V 1 m2x2
2
量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中 运动的粒子。
（2）为什么研究线性谐振子
自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平 衡位置附近的小振动，
分子振动 晶格振动 原子核表面振动 辐射场的振动
第9章 力学量本征值问题的代数解法
。 /2
利用式(8)的前一式，可证明与式(11)类似的式子
ˆ ˆ n (n 1)a ˆ n Na
(14)
ˆ ˆ 的本征态，本征值为(n+1)。 这说明 a n 也是N
7
联合式(13)与(14)，从 0 出发，逐次用 a ˆ 运算， ˆ 的全部本征态 可得出 N
0, 1, 2, j m j,, j 1 / 2, 3 / 2, 5 / 2, ˆ J ˆ iJ ˆ a ˆ (J ˆ ) a ˆ ˆ ˆ ˆ J a , J x y 1 2 2 a1 (14)
2 ˆ J jm j ( j 1) jm ˆ J z jm m jm
( 6)
14
利用声子对易关系可证 ˆ ,J ˆ ] i J ˆ ( , , 1,2,3 1) [J
这正是角动量的基本对易式，进一步可证 ˆ ˆ N N ˆ2 J ˆ2 J ˆ2 J ˆ 2 ( 1) J (7) x y z 2 2 ˆ N ˆ N ˆ a 其中 N ˆ a ˆ a ˆ a ˆ
ˆ 0 0 a
( x ip) 0 0
在坐标表象中基态波函数 0 ( x) x 0 满足 d x2 / 2 ( x ) 0 ( x) 0 0 ( x) e dx
10
将自然单位换为SI单位，并归一化则得 2 1 / 4 2 x 0 ( x) ( ) e
ˆ n n n N
(10)
5
利用
ˆ, a ˆ ] a ˆ 有 [N
ˆ,a ˆ ] n a ˆn [N
在坐标表象中处理一维线性谐振子问题
在坐标表象中处理一维线性谐振子问题初中物理题目：在坐标表象中处理一维线性谐振子问题作者单位：响水滩乡中心学校作者姓名：宁国强2019年9月28日在坐标表象中处理一维线性谐振子问题响水滩中心学校宁国强摘要：本文阐述了在坐标表象中处理一维线性谐振子问题的方法和思路，阐述了一般表象的概念。
关键词：一维线性谐振子；坐标表象；一、能量本征值、本征函数的求解取自然平衡位置为坐标原点, 并选原点为势能零点, 则一维线性谐振子的势能为V (x ) =12μωx （1）22其中μ是谐振子的质量，ω是经典谐振子的自然频率。
一维谐振子的哈密顿函数为H =p22μ12μωx （2）22体系的能量本征方程（亦即不含时Schr ödinger 方程）为⎛ 2d 2122ˆ-+μωx 22⎛2μdx⎛⎛ψ⎛(x )=E ψ(x ) （3）严格的谐振子势是一个无限深势阱（如图1所示），粒子只存在束缚态，即起波函数应满足以下条件：ψ(x )−−→0 （4）x →∞将方程（3）无量纲化，为此，令2ξ==αx ，α=λ=2E ω（5）（3）式可改写为d ψd ξ+λ-ξ(2)ψ=0 （6）这是一个变系数二阶常微分方程。
为了求解它，我们先看ψ在ξ→±∞时的渐进行为。
当⎛⎛ξ⎛⎛很大时, λ与ξ2相比可以略去，因而在ξ→±∞ 时，方程(6)可近似表示为d ψd ξ22-ξψ=02 （7）±ξ/22它的渐近解为ψ~e ξ→±∞时，所以ψ e ξ2。
因为波函数的标准条件要求当ξ→±∞时ψ应为有限，2/2不满足边界条件(4)式，应弃之。
波函数指数上只能取负号，即ψ e -ξ/2。
方程(6)在ξ为有限处的根据以上讨论，可令方程(6)在ξ为有限处的解有如下形式：ψ(ξ)=A eξ22H (ξ) （8）式中A 为归一化系数，（8）代入(6)式，得d2H2d ξ-2ξd H（9）+(λ-1)H =0d ξ用级数解法，即把H 展开成ξ的幂级数来求这个方程的解。
一维定态谐振子的数值解法及MATLAB指令
直到找到一个本征值，在这个本征值下生成的解和边界条件 的误差小于容许误差。
本文利用 ode45 指令来求解方程。一维定态谐振子的薛 定谔方程为：
为了方便数值计算，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程变换为：
取：
现在用一个初始的试验能量，能量步长和 A 值对若干 态进行搜寻。MATLAB 指令用法在大多数教科书中都详尽 地介绍过，这里就不再解释每一个指令的意义，直接给出一 个 MATLAB 程序：
function Untitled3 global e1 n=9; eold=-1; olddpsi=0.5; ab=1e-7; for k=1:n de=2*ab; e1=eold+abs(eold)/70; while abs(de)>ab xturn=-sqrt(2*(e1+1)); kk=(-1)^(k+1)*0.0001; [x1,u1]=ode45(@untitled3fun,[-1 xturn],[0 kk]); [x2,u2]=ode45(@untitled3fun,[1 xturn],[0 -0.0001]); dpsi=u1(length(x1),2)-u2(length(x2),2); de=-dpsi*de/(dpsi-olddpsi); olddpsi=dpsi; eold=e1; e1=e1+de; end
MATLAB 是一个功能强大，界面友好的数学软件，也 称之为科学技术计算机语言。在当今理论、实验、和科学计 算已经在物理研究中三足鼎立的时代，不会使用计算机计算， 必有诸多不便之处。
由于大多数课本都提供了一维定态谐振子的理论求解 过程，所以本文提供了一种数值解法和相应的 MATLAB 指令。
1 数值计算
一维线性谐振子
22()p p p ???=-==?? 1()2x p n ???=+h ， 对于基态， 2 x p ???=h 。 2.4 一维谐振子处在基态222 2 ()x i t x αωψ-=，求：
(1)势能的平均值222 1 x U µω= ； (2)动能的平均值µ 22 p T =； (3)动量的几率分布函数。 （解法一）： * 22*20 00022 01112221.422V m x dx m dx E x m ψωψψωψα ωω ∞ ∞-∞-∞=??=??===??h h L L L L 或者 222 * 002220221 442 p d T dx m m dx E m ψψαω==-===?h h h （二 ）（1）? ∞ ∞ --== dx e x x U x2 2 22222121α π α µωµω µωµωαµωα παπαµωη?==?=
023(,0)()()()x x x cu x ψ=++， 式中n u 是线性谐振子的第n 个本征函数。 （1）试求c 的数值； （2）写出在t 时刻的波函数； （3）在0t =时谐振子能量的平均值是多少？1t =秒时是多少？ 解：（1
(2 1 )(2)(27 ) (2 1)(222222224222224222 2 2222x E x x x x x x x x x x x x x x x x x x dx x d ψωψψµωψµωωψψµωψµωµψµµωψµωψαµψµαψµωψµ==+-= +-??=+-=+-=右边）（左边ηηηηηηηηη 只有当ωη2 7 =E 时，左边 = 右边，即 3n =。 )32(3)(3321 2 2x x e dx dxx ααπαψα -= -， 是线性谐振子的波函数，其对应的能量为ωη27 。 2.7： 0t =时，处于谐振子势2 12 V kx = 中的一粒子波函数波函数
第2章 一维定态问题
即 V0a2 2h2 / 2m
时，才能出现最低的奇宇称能级。
由以上分析可以看出，束缚态能级是分立的，它是束 缚态边界条件下求解定态波动方程的必然结果。
18
➢§2.3 线性谐振子
自然界中广泛碰到简谐运动，任何物体在平衡位 置附近的小振动(如分子的振动、晶格的振动、原 子表面振动及辐射场的振动等)在选择了适当的坐 标之后，往往可以分解成若干个相互独立的谐振 动。另外谐振动又是复杂运动的初步近似。所以 谐振动的研究无论在理论上还是在应用上，都是 极为重要的。谐振子的本征值问题，在历史上 Heisenberg首先用矩阵力学加以解决，后来Dirac 用算子代数的方法给出了极漂亮的解。
Th7：粒子在规则势场（V无奇点）中运动，如存 在束缚态，则必定是不简并的。 1 '2 2 '1 不包含 '1/ 1 '2/ 2 1 c2
说明：对多数常见的不规则势阱，上定理也成立， 但对某些常见的不规则势阱定理不成立。
6
➢§2.2 方位势
1 一维无限深势阱 分立谱
第2章 一维定态问题
本章我们将薛定谔方程应用到几个比较简单 的力学系统中去，求出方程的解和阐明这些 解的物理意义。具体分为如下问题
1 一维定态的一般性质 2 方位势 3 线性谐振子 4 一维散射问题
1
➢§2.1 一维定态的一般性质
一维情况下，定态薛定谔方程为
[
h2 2m
d dx2
(14)
15
据波函数及其导数在|x|=a/2处的连续性，可确定粒子的能量 本征值。若只讨论能量本征值，更方便的方法是利用
'/ 或ln'
量子力学周世勋习题解答第四章
第四章习题解答4.1.求在动量表象中角动量x L 的矩阵元和2x L 的矩阵元。
解：⎰⋅⋅'-'-=τπd e p z py e L r p i y z rp i p p x)ˆˆ()21()(3 ⎰⋅⋅'--=τπd e zp yp e r p i y z rp i)()21(3⎰⋅⋅'-∂∂-∂∂-=τπd e p p p p i e rp i zy y z r p i))(()21(3⎰⋅'-∂∂-∂∂-=τπd e p p p p i r p p i z y y z）（3)21)()(()()(p p p p p p i y z z y '-∂∂-∂∂= δ⎰''=τψψd L x L p x p p p x 2*2)()( ⎰⋅⋅'--=τπd e p z p y e r p i y z r p i23)ˆˆ()21(⎰⋅⋅'---=τπd e p z p y p z p y e r p i y z y z rp i)ˆˆ)(ˆˆ()21(3 ⎰''-∂∂-∂∂-=τπd e p p p p i p z p y e rp i yz z y y z r p i))()(ˆˆ()21(3⎰⋅⋅'--∂∂-∂∂=τπd e p z py e p p p p i r p i y z rp i y z z y)ˆˆ()21)()((3 ⎰⋅'-∂∂-∂∂-=τπd e p p p p r p p i y z z y）（322)21()()()(22p p p p p p yz z y '-∂∂-∂∂-=δ#4.2 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。
解：基矢：x a n a x u n πsin 2)(=能量：22222a n E n μπ =对角元：2sin 202a xdx a m x a x a mm ==⎰π 当时，n m ≠ ⎰⋅⋅=a mn dx ax x a m a x 0)(sin )(sin2π[][]1)1()(4)(1)(11)1(])(sin )()(cos )([ ])(sin )()(cos )([1)(cos )(cos 12222222022202220---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----=⎥⎥⎦⎤+++++-⎢⎢⎣⎡--+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=--⎰nm n m aaa n m m n an m n m a x a n m n m ax x a n m n m a x a n m n m ax x a n m n m a a dx x a n m x a n m x a ππππππππππππ[][]a n m m n i n m n m a a n i x a n m n m a x a n m n m a a n i dxx a n m x a n m a n i xdxa n x a m an i xdxan dx d x a m a i dx x u p x u p n m nm aa a a n m mn )(21)1(]1)1()(1)(1 )(cos)()(cos )()(sin )(sin cos sin 2sin sin 2)(ˆ)(2220202020*---=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-=⋅-=⋅-==--⎰⎰⎰⎰πππππππππππππππ#4.3 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。
52_7一维谐振子
n 2 U(x)
n很大
随量子数n增大，量子谐振子的
几率密度迅速震荡，其平均值与 经典结果趋于符合。相似性逐渐 增大。在原点速度最大，停留时 间短，粒子出现的几率小；在两 端速度为零，出现的几率最大。
n=3
n=2 n=1
0
x
符合玻尔对应原理。
10
* 线性谐振子波函数的宇称
n (x) n (x)
力学量测量值的偏差： 由不确定关系：
14
由不确定关系证明了一维谐振子的基态能：
15
• 力学量算符必须是线性厄米算符
1.力学量用算r符表r达ˆ
p pˆ i
与动量有关的经典力学量，其量子力学所
对应的算符可用动量的对应关系得出。
Ek
Tˆ
2 2m
2
2 2m
2 ( x2
Cn2为 (x)中包含n(x)状态的百分比。
力学量 A 的平均值
在状态 (x)上对力学量A作多次（大数）测量，
则
2
A Cn
n1
An 可证
A *( x)Aˆ ( x)d x
21
• 力学量算符必须是线性厄米算符
线性厄米算符的性质：
厄米算符
* 厄米算符的本征值必为实数。 * 厄米算符的平均值必为实数。
2m
就是能量算符的本征方程， Hˆ [ 2 2 U (r)]
2m
n就是能量取本征值En时的本征函数18动Fra bibliotek算符的本征值方程
式中 是动量算符的本征值，在直角坐标系下
为 px、py、pz均为实数。动量本征值方程的解
在坐标表象中：
量子体系本征值问题的解法
量子体系本征值问题的解法关键词：本征值；分析解法；矩阵解法；代数解法；线性谐振子摘要：处理量子体系的本征值和本征态是量子理论的中心问题，对其求解方法进行研究具有一定的实际意义。
本文对量子体系本征值问题的求解进行归纳与总结。
对于处理本征值问题的常见方法（解析法、矩阵法），给出例证说明。
另外，基于代数的方法，采用升降算符处理一维线性谐振子的本征值和本征态，进而推广到利用升降算符处理二维以及三维线性谐振子问题，得到二维以及三维线性谐振子的本征值；进一步基于代数方法对角动量的本征值问题进行研究。
Solution methods of the eigenvalues for Quantum SystemKeywords:Eigenvalue; Analytical method; Matrix method; Algebraic method; Linear harmonic oscillator Abstract:Solving eigenvalues and eigenfunctions for the quantum systems is mainly contents in the quantum theory. There are a lot of processing methods such as analytical method, matrix method and factorization method, and so on. In this paper, several kinds of different methods on solving eigenvalues for the quantum systems are given and compared, and further summarized. Furthermore, on the basis of algebraic solution, the expanding resolutions were obtained for one-dimensional linear harmonic oscillator, the two-dimensional linear harmonic oscillator, three-dimensional linear harmonic oscillator, and even n-dimensional linear harmonic oscillator. Moreover, the eigenvalues and eigenstates of the angular momentum were shown by algebraic solution..引言我们在初学量子力学时解决本征值问题我们通常选择分析解法或者矩阵解法，而在物理学的前沿领域广泛使用代数的方法处理本征值问题也是一种很重要的方法和思想，运用代数解法解决本征值问题可能会得到意想不到的效果，因此对于本征值问题的代数解法及其应用的研究具有重要的理论和实际意义.这就是这篇文章所要达到的要求.此外，这篇文章还在已知的用升降算符处理一维、二维线性谐振子求本征值问题的基础上，讨论是否在三维线性谐振子的算符解法求本征值进而为处理多维线性谐振子本征值问题提供了思路.1.量子体系本征值问题的分析解法运用分析方法求解本征值，其本质是讨论定态问题求出体系有可能存在的波函数以及在这些定态所对应的能量，归根到底可以概括为解定态薛定谔方程，下面通过研究无限深势阱来讲解分析解法求本征值.假设现在有一维无限深势阱为：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<∞≤≤-=.22,,22,0a x a x ax a x U 或者 （1-1） 我们知道一维无限深势阱的特点是在22ax a ≤≤-时，它的势能是零；在22ax a x >-<或时，其势能为无限大（如图①所示）. 定态薛定谔方程为：()()()()x E x x U x m dxd ψψψ=-222-2在阱内⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-22a x a时，()()()x E x x m dxd ψψψ=⋅+02-222 （1-2） 在阱外⎪⎭⎫ ⎝⎛>-<22a x a x 或者时，()()()x E x x m U dx d ψψψ=+⋅02222- （1-3）在（1-3）式∞→U.由波函数的标准条件我们知道应满足连续性和有限性，那么只有在0=ψ时，③式才成立.于是有 0=ψ， 22ax a x >-<或者 （1-4）显然，（1-4）式是求解（1-2）式的边界条件. 为了运算方便，我们通常引入符号2122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= mE k （1-5）则有 0222=ψψk x d d ， 22ax a ≤≤- .方程的解为 kx B kx A sin cos +=ψ， 22ax a ≤≤-. （1-6） 由边界条件（即0=ψ， 22a x a x >-<或者 ）知： 02=⎪⎭⎫⎝⎛±a ψ 于是， 时，2ax = 02sin 2cos 2=+=⎪⎭⎫⎝⎛a k B a kA a ψ 时，2ax -= 02sin 2cos 2=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-a k B a k A a ψ 由此解得.02sin ;02cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛k a B k a A （1-7）① 0,0==B A ;此时不管x 为何值ψ恒为零，因此应将这组解舍去.② 02sin ,0,0=⎪⎭⎫⎝⎛≠=k a B A 即 （1-8） 由此解得222π⋅=m k a ， ⋅⋅⋅±±=,2,1,0m （1-9） ③ 02cos ,0,0=⎪⎭⎫⎝⎛=≠k a B A 即 （1-10） 由此解得 2222ππ⋅+=m k a ， ⋅⋅⋅±±=,2,1,0m （1-11） 对第②种情况的解，显然m 为偶数；对于第③ 种情况的解，显然m 为奇数.0=m 对应的解ψ恒为零.而m 等于负整数时方程的解和m 等于正整数时方程的解只相差一个负号，即二者线性相关.因此，综合②、③ 得 22π⋅=n k a ， ⋅⋅⋅=,3,2,1n （1-12） 则 an k π=（1-13）由（1-5）式和（1-13）式可得22222mEan =π根据上式可以解得体系的能量为 a nE m n 222221π=（1-14） 上式对应于量子数n 的所有取值，有无穷多个n E 与之对应。
§9-2 一维谐振子
§9-2 一维谐振子 一维谐振子的哈密顿是222221Xm P m H ω+=(9.13)几种不同的方法求它的本征矢量和本征值.直接矢量计算 用X 和P 构造两个辅助算符:A =12m ω(m ωX +i P )(9.14) A †=12m ω(m ωX - i P )(9.15)于是X =2m ω(A †+ A )(9.16) P = i2ωm (A †-A ) (9.17)H =12 ω (A †A +AA †)= ω(A †A +12) (9.18) 用直接矢量计算的代数方法求 H的本征值和本征矢量。
得到谐振子的本征值谱:E n = ω(n +12) , n = 0,1,2,3, (9.26)A †对 |n 〉的作用:111†++=-=n n n A n n n A (9.27)上二式亦可写成nn n A nn n A n n 1110†0++=-=∑∑∞=∞= (9.28)从(9.27)知A (A †)是谐振子本征矢量的下降(上升)算符。
哈密顿H 的本征矢量就是A †A 的本征矢量,它们可以由一个基态 |0〉用A †算出:0)(!1†n A n n = (9.29)有了哈密顿H 的全部本征矢量,可以在希尔伯特空间中建立能量表象,用H 的本征矢量{|n 〉}作为基矢.A ,A †的矩阵元为1+,1,1+1+11n m nm n m n m n n n m n A m A n n n m n A m A δ=〉|+|〈=〉||〈=δ=〉-||〈=〉||〈=- (9.30)矩阵形式为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=03002000010000 , 300002000010†A A(9.31)矩阵的行列序号按0,1,2,3, 次序排列.算符X 和P 在能量表象中的矩阵元如下:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==03003020020100102)+(2†ωωm A A m X (9.32) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-=03003020020100102i )(2i †ωωm A A m P (9.33) 现在利用上面的结果,方便地求出谐振子的哈密顿各本征矢量的位置表象的形式 ψn (x )=〈x |n 〉,以便看出处于各本征态的粒子在物理空间中的概率分布.在位置表象的函数形式中,xP x X ∂∂-== i ˆ ,ˆ 把(9.27)写成位置表象形式:)()()d d (21)(ˆ1x n x x A n n n -=+=ψψξξψ (9.34) )(1)()d d (21)(ˆ1†x n x x A n n n ++=-=ψψξξψ (9.35)式中x mωξ=(9.36) 首先求ψ0(x )=〈x |0〉.由于|0〉满足A |0〉=0,此式的位置表象形式为0)()d d(210=+ξψξξ——一阶微分方程.选用 ξ 代替x 作自变量使运算过程中的常数简化.该方程的解是221410e )(ξωξψ-⎪⎭⎫ ⎝⎛π= m (9.37) 前面的系数使ψ0(x )归一化.有了ψ0(x ),可以利用(9.35)用上升算符 A†依次求出ψ1,ψ2,有)()ˆ(!1)(0†ξψξψn n A n =)(H e2!122141ξωξn n m n -⎪⎭⎫ ⎝⎛π=(9.38)式中22e d d e)1()(H ξξξξ--=n n n n (9.39)为厄米多项式;而ξ =()m x ω .在能量表象中计算 该方法的要点是, 采用H 表象，把有关的算符关系写成矩阵关系,设法用代数方法求出其矩阵元.采用H 表象的优点是算符H 在自己表象中成为对角矩阵,使矩阵元关系大大简化.推出结果:E i = ω ( i +12) , 0,1,2,i = (9.46)P i ,i +1 =m i ω21+ (9.47)其余的量为:P i ,i -1 =m i ω2X i ,i +1 = i21m i ω+X i ,i -1 = -i2m i ω当j ≠i ±1时X i j 和P i j 的矩阵元均为零.与其它方法的结果一致.在位置表象中计算 在位置表象中,谐振子的定态薛定谔方程是一个二阶微分方程:0)()2(+)(d d 222222=-x x m E x x m ψωψ (9.48)通常用级数解法直接解该方程.ψ(x )必须是束缚态这一条件导致能量E 只能取离散值:E n = ω (n +12) , n = 0,1,2,3, 而相应的本征函数ψn (x )就是(9.38).该解法在初等量子力学中常用.在动量表象中讨论 在动量表象的函数形式中,算符 X和 P 为 p P pX=∂ ∂=ˆ , i +ˆ 谐振子的哈密顿(9.13)式为H m p m p =-12122222ω d d 2若用φ (p )表示动量表象中的波函数,则φ (p )满足的薛定谔方程为)()(d d 212122222y E y p m p m φφω=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 改变自变量,令p =m ωy ,则上式成为0)(21+)(d d 222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-y y m E y y m φωφ 发现,动量表象中的薛定谔方程的形式完全同位置表象中的薛定谔方程(9.48)一样.这是谐振子本身的特点,即其哈密顿算符对X 和P 具有对称性所造成的.该方程与(9.48)形式相同,其解可以比照(9.48)的解写出;令α =m ω,则有E n = ω (n +12) , n =0,1,2,3,φn(y )=c n2221e y α-H n (αy )=c n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-p m n p m ωω1H e221(9.49)式中c n 是归一化常数,411!21⎪⎭⎫ ⎝⎛π=ωm n c n n 得知,一维谐振子在其每一个定态中,粒子的动量概率的分布情况与位置概率的分布情况具有相同的性质.。
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一维谐振子的本征值问题 姜罗罗 赣南师学院物理与电子信息科学系物理学专业2000级（2）班
摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schrödinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出aˆ的本征态即谐振子的相干态，并由降算符aˆ与升算符aˆ、光子数n与相位的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schrödinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。
在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schrödinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光学等领域]135[。 一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schrödinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出aˆ的本征态即谐振子的相干态，并由降算符aˆ与升算符aˆ、光子数n与相位的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 1.矩阵力学解法 取自然平衡位置为坐标原点，并选原点为势能零点，则一维谐振子势V可表成 22
1kxVx （１）
k为刻画简谐作用力强度的参数.设谐振子质量为，令 k （２）
它是经典谐振子的自然频率，则一维谐振子的Hamilton量可表为 图１．一维谐振子势
222ˆ
212
ˆˆxpH (3)
在能量Hˆ表象中，由于 ]ˆ),ˆ([ˆ)ˆ(pxfixxf (4a)
]ˆ),ˆ([ˆ)ˆ(xpfixpf (4b)
因此有
]ˆˆˆˆ[ˆˆˆ2HPPHixxH
(5a) ]ˆˆˆˆ[ˆˆˆHXXHippH
(5b)
取Hˆ表象的矩阵元ij，由于 ijijijEH (6) 故有
ijjiijpEEixˆ)(ˆ2
(7a)
ijjiijxEEipˆ)(ˆ
(7b)
由于Hˆ矩阵的对角性， (7a)，(7b) 两式中的矩阵乘法的取和消失了。且只是ij和ijp 两个未知量的方程，与x，p的其它矩阵元无关，这是谐振子特性的体现，从而使得求解矩阵元大为简化。得 jiEE
(8)
则有 )(iE
i
， ...2,1,0i 10 (9)
不为零的矩阵元为 )(1,1,ijijijijpp (10a) )(ˆˆ1,1,ijijijijxx (10b) 由(6)式得 )(2,121,ipp
iiii
(11)
此式的解为
211,icpii (12)
由(10b)式可知0i，为满足此条件应有 00,1p即0211c 得 21 (13) 则 )21(iEi， i=1，2… (14) 2. Dirac算符算子代数解法 2.1求解一维谐振子能量本征值 由(3)式，采用自然单位1，则 )(2122pxH (15) 因此H具有相空中的旋转不变性，令 )ˆˆ(21)ˆˆ(21ˆxddxpixa (16a)
)ˆˆ(21)ˆˆ(21ˆxddxpixa (16b) 利用ipx]ˆ,ˆ[，容易得 1]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[pxiaa (17) 对H进行因式分解 21ˆ)21ˆˆ(]1)ˆˆ)(ˆˆ[(21ˆNaaxxddxxddH (18)
式中 aaNˆˆˆ (19) 则 [Hˆ，Nˆ]=0 (20) 因为 0ˆˆˆˆ2aaaN (21) NaaaaNˆˆˆ)ˆˆ(ˆ (22) 所以Nˆ为正定Hermite算符，Hˆ亦为正定Hermite算符 设 nnnNˆ (23)
n为正数，n表示Nˆ的一个本征态，由(17)(18)式得 aaNˆ]ˆ,ˆ[ (24a) aaNˆ]ˆ,ˆ[
(24b)
nannNaaNnaNˆ)1()ˆˆ]ˆ,ˆ([ˆˆ (25a)
nannNaaNnaNˆ)1()ˆˆ]ˆ,ˆ([ˆ (25b)
因此可知，若n为Nˆ的本征态，且本征值为n，则naˆ与naˆ也是Nˆ的本征态，且本征值为n-1，n+1。 由(25a)式可知naˆ是Nˆ的本征态，从Nˆ的某个本征态n出发，逐次用降算符aˆ运算可得Nˆ的一系列本征态， n， naˆ， 2ˆ
an
， … (26)
相应的本征值为 n， n-1， n-2， … (27) 因为Nˆ为正定Hermite算符，它的所有本征值必须0。设Nˆ的最小本征值为0n，本征态为0n。故它的必须满足 0ˆ0na (28) 由此可得 0ˆˆˆ00naanN (29) 即0n是Nˆ的本征值，对应本征值为0n=0，因此0n可记为0。 由(25b)式可知，naˆ也是Nˆ的本征态，从Nˆ 的最小本征值 0n=0对应的本征态0出发，逐次运用算符aˆ可得Nˆ的全部本征态 0， aˆ0， 2)ˆ(a0， … (30) 相应本征值为 0， 1， 2， … (31) 可以得 Nˆ的归一化本征态
0)ˆ(!1nann (32) 它是Hˆ的本征态 0ˆnEnH
(33) 21nEn
， n=0，1，2…
(34) 添上能量单位， )21(nE
n
， n=0，1，2….
(35) 2.2求解波函数
由(28)式 aˆ0=0即00)ˆˆ(21px得，
0)()ˆˆ(210xxddx， (36) 解得 20022)(xeNx (37) 由归一化条件1)(2dxxn得，
210)2(N (38)
由(32)式得0)ˆ(!1nann，即 )()ˆ(!1)(0xanxnn=22122)()!2(xnnedxdxnn (39) 令x，则(36)式可写成:22122)()!2()(xnnneddnn =22)(eHNnn (40) nN=21)!2(nnn (41)
22)()1()(eddeHnn
n (42) 易得)(xn=n)1()(xn， 即n的奇偶性决定谐振子波函数的奇偶性。 2.3 Hermite多项式的递推关系
1)ˆˆ(21ˆnnnxddxna (43)
11)ˆˆ(21ˆnnnxddxna (44) 因此 211222)()()(21eHNneHN
d
d
nnnn (45)
211222)(1)()(21eHNneHN
d
d
nnnn (46)
由(45)(46)两式得 12121nnnnn (47)
即2112112222)(2)(21)(eHNneHNneHNnnnnnn
=212122)(22)()1(221eHNnneHnNnnnnn得 )(2)()(211nnnnHHH (48) 由(43)得
22)()(21eHNddnn=22)(21eHN
d
d
nn
=2112)(eHNnnn (49) 而