生活中的数学-骗局与悖论
数学悖论与谬误的区别与联系
叫谬误。一般的，谬误是用来形容思维上的错误，把不正确的事情说 成是正确的。在数学中，谬误可以看做是一种看似正确但经过检验可 证其为错误的论证类型， 也就是说经过一系列错误的推理而必然得到 的结果。例如，某学生使用以下方法对分数进行化简：
在这种情况下，这个学生得到的是正确答案，但是这种方法没有 逻辑根据，于是在一般的情况下这种方法将失效。 任何一个论证都是为了说明它的结果是真的， 但这两种情形下是 不可能的：一种是论证的前提是虚假命题的时候，无论如何推理、过 程如何的正确，也无法确证它的结论为真；另外一种是论证的前提是 真命题，但结论却是假的，那么说明其中间的推理过程出现了问题， 也就是错误推理。习惯上，人们将“谬误”这个词用在那些虽然不正 但却具有一定说服力的论证。有些论证的错误是非常明显的，不能 欺骗和说服任何人。但是，谬误有时也是危险的，因为大多时候会被 某些谬误所愚弄。然而研究这些错误论证是非常有益的，因为当明确 理解它们后，就可以最有效地避开它们布下的陷阱。 由上述可知，数学悖论和谬误都是一种矛盾命题，但两者之间也 有不同之处。悖论是理论知识达到一定高度后的产物，随着科学体系 的的不断充实和完善悖论也就随之消失。 谬误在学习的任何过程中都 有可能出现，但经过严密的推理可以找到其错误的根源。 2．1．2．2 数学悖论与谬误的联系 在数学的推理过程中，谬误和悖论有时是同时存在的。数学常常
被用来解释现实世界，然而有时经验会告诉我们，当推理和数学论证 的结果与现实经验不一致时，这其中就可能存在一些比较复杂的谬 误，这些谬误在无法用数学知识解释是什么的时候，就被认为是一种 悖论。有些情况是发生在纯数学的领域，还有些时候会发生在语言学 或现实生活的其他方面。对于数学的大量悖论来说，如果能删除那些 “别扭"的谬误，那么数学就成为了一块“净土” 。所以在某些谬误不 能被解释之前，大多数的谬误可以被看成是悖论。例如： 如果 x2=Y2 那么这就是说，下面等式中至少有一个是成立的 X = Y，X = -y，-X =-y，-x=Y 这些等式中有两个是等效的，因此它们可以减少为 X =Y，X = -y 除非 x=0，否则要么这两个等式中有一个是错误的， 要么就是这个等式有两个解。这个推导的过程中存在谬误，因为忽 略了取平方根的规则或者不熟悉负数，从而不知道它是怎么变成错 误的时候，就是一个悖论。 这在数学这门学科不断完善的过程中是经常会遇到的， 当0还 没被发现之前，某些运算，如被除中有 0 的运算中出现的谬误，就 是一个悖论，在 O 出现以后，这些还没被纠正的错误就是谬误。这 样的情形在取平方根、根式的运算、虚数的运算等均能被发现。 前面曾提到数学悖论的起源最早可以追溯到古希腊和我国的 先秦时期。在此之后的两千多年发展历史中，因为悖论的产生，以 严谨著称的数学经历了三次数学危机。以下的几节内容当中将对这
十大数学悖论之欧阳学文创编之欧阳索引创编
欧阳索引创编2021.02.02十大数学悖论欧阳家百（2021.03.07）1．理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。
试问：理发师给不给自己理发？如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。
这样，理发师陷入了两难的境地。
2．说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。
”如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。
所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。
:公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是假的。
”同上，这又是难以自圆其说！说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家。
说谎者悖论有许多形式。
如：我预言：“你下面要讲的话是‘不’，对不对？用‘是’或‘不是’来回答。
”又如，“我的下一句话是错（对）的，我的上一句话是对（错）的”。
3．跟无限相关的悖论：{1，2，3，4，5，…}是自然数集：{1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。
这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗？4.伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。
由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC 上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。
为什么？5.预料不到的考试的悖论：一位老师宣布说，在下一星期的五天内（星期一到星期五）的某一天将进行一场考试，但他又告诉班上的同学：“你们无法知道是哪一天，只有到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。
你能说出为什么这场考试无法进行吗？6.电梯悖论：在一幢摩天大楼里，有一架电梯是由电脑控制运行的，它每层楼都停，且停留的时间都相同。
数学悖论小知识
数学悖论小故事“悖论”这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论。
那些结论会使我们惊讶无比。
悖论主要有三种形式：1.一种论断看起来好象肯定错了，实际上却是对的（佯谬）；2.一种论断看起来好象肯定对了，实际上却错了（似是而非）；3.一系列理论看起来好象无懈可击，却导致了逻辑上自相矛盾。
悖论有点象变戏法，人们看完以后，几乎没有一个不惊讶得马上就想知道：“这套戏法是怎么搞成的？”当把技巧告诉他后，他便不知不觉地被引进深奥而有趣的数学世界中。
下面几个例子，可以让大家体会这其中的趣味。
1、唐·吉诃德悖论小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家，它有一条奇怪的法律，每个旅游者都要回答一个问题：“你来这里做什么？”回答对了，一切都好办；回答错了，就要被绞死。
一天，有个旅游者回答：“我来这里是要被绞死。
”旅游者被送到国王那里。
国王苦苦想了好久：他回答得是对还是错？究竟要不要把他绞死。
如果说他回答得对，那就不要绞死他——可这样一来，他的回答又成了错的了！如果说他回答错了，那就要绞死他——但这恰恰又证明他回答对了。
实在是左右为难！2、强盗的难题强盗抢劫了一个商人，他将商人捆在树上，预备在杀掉他之前，先戏弄一番．强盗头子对他说："我本想立即杀掉你，但在临死之前，再给你一个机会．你说我会不会杀掉你，如果你说对了，我就放了你，决不反悔！如果说错了．我就杀掉你．"强盗以为，商人已逃不了一死，他怎么也没有想到，商人凭着自己的聪明才智逃过了这一劫．聪明的商人仔细一想，便说："你会杀掉我．"这下，轮到强盗发呆了，"如果我把你杀了，你就说对了，那么就应该放了你；如果把你放了，你就说错了，却又应该把你杀掉．"强盗想不到自己陷入了进退两难的境地，心下对商人顿生佩服的感情，于是将商人放了．这是古希腊哲学家嘴边常讲的故事．商人的一句："你会杀掉我的．"立马解除了眼前的困境，他是多么地聪明．假如他说："你会放了我的．"这样，强盗就说法，让强盗无论怎么做，都必定与许下的诺言自相矛盾．像这样有趣的问题还有许多．比如，上帝是万能的，你说上帝能创造一块他也举不起来的大石头吗？3、上帝不是万能的用反证法证明证明：假设上帝是万能的，那么上帝能造出一块他自己都举不起来的石头，否则上帝就不是万能的；但是上帝又举不起这块石头，因此上帝不是万能的，这与假设矛盾；所以原假设不成立，即上帝不是万能的4、说谎者悖论公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言："所有克里特人所说的每一句话都是谎话．"如果这句话是真实的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是断言却说：克里特人是不会说真话的．如果这句话是不真的，也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了句谎话，同时断言表明：克里特岛也有人不说谎．那么，他说的话又是真话．所以，怎样也难以自圆其说．这就是著名的说谎者悖论．公元前4世纪，希腊哲学家也提出了这个悖论："我现在正在说的这句话是谎话．"因为你说的话若是真话，按话的内容分析，那么它又应是一句谎话；反之，若你说的话是谎话，那么你的话又应是真话．说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家．说谎者悖论有许多形式．比如，我预言："你下面要讲的话是'不'，对不对？用'是'或者'不'来回答！"如果你说："不"那表明你不同意我的预言．也就是说你应说"是"，这样与你的本意相矛盾．如果你回答说："是！"这意味着你同意我的预言，那么你要的话就应当"不"，于是又产生矛盾5、梵学者的预言一天，梵学者与他的女儿苏耶发生了争论。
有趣的数学悖论
问题就在于亚里士多德的观念是错的
▪ 现在我们都知道在不计空气阻力的情况下， 不管物体质量大小，物体下落速度总是相同 的。
毕达哥拉斯悖论
▪ 毕达哥拉斯是公元前5世纪的数学家和哲学家。 他曾创立了著名的毕达哥拉斯学派。该学派认为任 何两条线段都是可通约的，即万物皆数。然而其学 派中一个成员希帕索斯却发现边长为一的正方形的 对角线与边长是无法比的。在当时这与毕达哥拉斯 学派的数学观点不符，于是人们就将其称为毕达哥 拉斯悖论或希帕所斯悖论。还因此引发了第一次数 学危机。
卖亏了
▪ 一个商贩卖 葱，1元钱1斤。过来个买葱人说： 这一大捆葱我都要了，不过要分开秤，葱白7 角钱一斤，葱叶3角钱一斤。这样葱白加葱叶 还是1元，对不对？商贩想，7角加3角正好是 1元，没错，就同意了。结果买葱人走后，商 贩发现少卖了许多钱。商贩为什么卖亏了？
知道为什么吗？
其实道理很简单，我们假设葱白葱叶 一样重。那么葱1元1斤相当与斤葱白 斤葱叶卖1元，也就是说1斤葱白+1斤 葱叶要卖2元钱，而按买葱人的算法1 斤葱白+1斤葱叶只卖1元钱，当然要 亏了。
什么是悖论（paradox）？
▪ 即同人们通常的见解相抵触的理论，观点， 或说法。
பைடு நூலகம்悖论主要有三中类型
第一种：似是而非型
▪ 这种悖论论断看起来是正确的，实际上却错 了，这种讲假话的悖论也称假语悖论。这类 悖论的生成都是通过一个微妙而隐蔽的推理 错误生成一个矛盾。
下面看几个例子
1元钱到哪去了？
▪ 三个学生住店，服务员收费30元，于是三个 学生每人交10元。后来老板说今天特价，只 收25元，要服务员把多的5元退给三人。爱贪 小便宜的服务员想：“5元给三人也不好分， 自己留下2元，给他们每人1元刚好。”于是， 服务员退还了学生3元并私吞了2元。现在的 结果是：每位学生只出了9元，一共27元，加 上服务员的2元，才29元。剩下的1元钱到哪 去了？
悖论大集合
悖论大集合悖论大集合（1）米堆悖论。
如果一粒米不算一堆米，两粒米不算一堆米，三粒米不算一堆米……那么照此逻辑，一万粒米也不算一堆米。
与之相对的是（2）沙丘悖论。
如果有一堆沙，拿走一颗沙这还是一堆沙，拿走两颗沙这还是一堆沙，那么，拿走n颗也算是一堆沙，所以一颗沙也叫一堆沙。
和我们的认识抵触。
（2）赌徒的谬误。
假设有一个赌徒，他在赌博中连续赢了9次，请问第10次他会输还是赢？这个问题一般有两种答案，第一，他会赢，因为很多人觉得前9次赢了，说明他运气来了，下一次要赢了。
第二，他会输，因为风水轮流转，不可能一直好运，这样才能平衡。
这和买彩票号码是一样的，有人认为要买前几次出现过的号码，觉得这是热门号码。
而有人则认为应该买其他号码，因为既然前几次是那个号码，那么后来就肯定不是了。
这种对不确定的事情以前面的结果进行推测就叫赌徒的谬误。
其实，第10次赌徒到底是输还是赢还是一件未知的事情，所谓运气楼主也不知道到底存不存在这种东西。
你们呢？觉得运气存在么？（3）怕老婆悖论。
电台举行节目，要求所有男性出场。
要求怕老婆的就站左边，不怕的站右边。
中国男性以怕老婆为荣。
于是纷纷走向左边。
只有唯一一个男性在右边。
主持人不解问他是不是不怕老婆，他说：“我老婆不让我去人多的地方。
”这下主持人犯了难。
到底他是怕老婆还是不怕呢？（4）万能溶液悖论。
（很多经典的悖论有可能大家见过就当复习吧，蹭）一位科学家的弟子好高骛远，于是有一天他非常骄傲的对老师说，我要发明一种能溶解任何东西的万能溶液。
他的老师只是轻轻的说：那你用什么容器装它呢？（5）鳄鱼悖论。
一头鳄鱼抓住了一个小孩，它对小孩妈妈说：“你猜我吃不吃他？猜对了我就不吃他。
猜错了我就吃了它。
”小孩妈妈说：“我猜你要吃了我的孩子。
”鳄鱼说：“哈哈，那我要吃了它。
”小孩妈妈说：“我猜对了那你就不应该吃他。
”鳄鱼这下糊涂了，如果还给她孩子，那他就猜错了我应该吃了它，但是我吃了他她就猜对了不应该吃他，最后鳄鱼还给了她孩子。
数学史上十个有趣的悖论
数学史上十个有趣的悖论1. 赫拉克利特悖论：你永远无法踏入同一条河流。
因为河流的水流不断更替，所以你每次接触到的都是不同的水。
2. 亚里士多德悖论：有一只鸟，如果它每天吃一只虫子就会活下去，那么它连续吃两只虫子会发生什么？它会死亡，因为它每天只需要一只虫子来维持生命。
3. 形而上学悖论：如果一个人把一艘船的每一块木头一块一块地替换掉，那么到最后是否还是同一艘船呢？4. 希尔伯特问题的悖论：是否存在一个包含所有数学真理的最终公式列表？如果是，那么这个列表将包含说真话的几句话和谎言。
但如果它不能说出哪句话是真话，哪句话是谎言，那么这个列表就不完整。
5. 斯特芬兹悖论：如果你有一个无穷的房间，房间里有一个无穷大的桶，里面装满了无穷多的球，但只有两种颜色：红和白。
你是否能用有限的步骤将球分成两堆，一堆红的，一堆白的？6. 孪生数悖论：对于任何一个素数，若将它加一或减一，它们之间的差值必定是二。
因此，两个素数之间一定有一个偶数。
7. 吉尔伯特-陶逊悖论：如果一个村庄中只有男人和小孩，那么这个村庄中一定存在一个人至少有红色头发吗？实际上是可以的，因为这个悖论只是一个错综复杂的抽象预测。
8. 无穷大悖论：如果你将自然数的所有数字分成偶数和奇数，你会发现奇数会比偶数多一些。
但是，当你将这些数字除以二，结果是每个数字都是整数，因此奇数和偶数应该在数量上相同。
9. 托勒密悖论：在托勒密的地球中心宇宙模型中，一颗星星的轨道被假定为匀速圆周运动。
这导致了一个悖论，因为我们观察到的星星的视差应该与其轨道的半径有关，但实际上并非如此。
10. 蒙提霍尔悖论：你在面前有三个门，其中一个门后面是奖品，另两个门后面没有奖品。
你选择了一个门，然后主持人打开了另一个没有奖品的门。
你是否应该更改你的选择以提高你获得奖品的机会？是的，你应该更改你的选择，因为这将让你获得奖品的机会增加到2/3。
中学《生活中的数学》校本课程教材
《生活中的数学》校本课程目录第一讲: 生活中的趣味数学第二讲:数学中的悖论第三讲：对称自然美的基础第四讲：斐波那契数列第五讲：龟背上的学问第六讲：巧用数学看现实第七讲：运用数学函数方程解决生活中的问题第八讲:生活中的优化问题举例第一讲：生活中的趣味数学1•“荡秋千”问题：我国明朝数学家程大位（1533〜1606年）写过一本数学著作叫做《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是用《西江月》词牌写的：平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？词写得很优美，翻译成现代汉语大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（每5尺为一步），秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，如果这时秋千的绳索拉得很直，试问它有多长？下面我们用勾股定理知识求出答案：如图，设绳索AC=AD=x（尺），贝U AB= （x+1）-5 （尺），BD=10 （尺）在Rt△ ABD中，由勾股定理得A B"+B D=A D，即（x-4 ）2+102=x2,解得x=14.5，即绳索长为14.5尺.2 •方程的应用：小青去植物园春游，回来以后爸爸问他春游花掉多少钱。
小青并不直接回答，却调皮地说：“我带出去的钱正好花了一半，剩下的元数是带出去角数的一半，剩下的角数与带出去元数相同。
”爸爸踌躇一下，有些为难。
你能否帮助他把钱数算出来，小青到底带了多少钱？花了多少钱？还剩多少钱？方法一：设带出去x元,y角.根据”剩下的元数是带出去角数的一半”知道y是偶数花了的钱分x为奇数与偶数情况(1)x是奇数时候,花一半就是花了=剩下=(x-1)/2 元,(y/2+5)角根据后面两句话知道,剩下=y/2元,x角有二元一次方程组：(x-1)/2=y/2,y/2+5=x 解得x=9,y=8(2)x是偶数时候，花一半就是花了=剩下=x/2元,(y/2+5)角剩下的同上面情况有二元一次方程组:x/2=y/2,y/2+5=x 解得x=y=10 但是没有10角钱说法不符合实际(舍)• ••答案是9元8角方法二：设带出去X元Y角，还剩a元b角按照用掉一半还剩一半的等式：10a + b = ( 10x + y)/ 2又因为：a = y / 2b = x带入等式化简即可得：x / y = 9 / 8因为y只能是小于10的整数所以，小青带了9元8角！用了4元9角，还剩4元9角！3. 工资的选择：假设你得到一份新的工作，老板让你在下面两种工资方案中进行选择：(A)工资以年薪计，第一年为4000美元以后每年加800美元；(B)工资以半年薪计，第一个半年为2000美元，以后每半年增加200美元。
从概率论角度解决生活中的悖论
从概率论角度解决生活中的悖论【摘要】在生活中常常会遇到一些看似矛盾的情况，这就是悖论。
通过概率论，我们可以解决许多生活中的悖论。
文章首先介绍了悖论的概念和概率论在生活中的应用。
接着详细解释了蒙提霍尔悖论以及概率论是如何解决这一悖论的。
蒙提霍尔悖论在生活中的影响也被探讨了。
文章还对锚定效应进行了解释，并提出了概率论的解决方案。
结论部分强调了概率论在解决生活中的悖论中的重要性，并提出了如何更好地利用概率论避免逻辑上的混淆。
通过这篇文章，读者可以更深入地了解悖论的实质，以及如何运用概率论在日常生活中解决各种疑难问题。
【关键词】悖论、概率论、蒙提霍尔悖论、锚定效应、逻辑混淆、生活应用1. 引言1.1 悖论的概念悖论是指在逻辑上出现矛盾或不合理的情况，常常让人感到困惑和无法理解。
悖论通常是由于相互矛盾的前提或假设所导致的，挑战人们对事实和逻辑的认知。
悖论在日常生活中也时常出现，例如著名的蒙提霍尔悖论和锚定效应。
悖论在概率论中也有着重要的意义。
概率论是研究随机事件发生规律的数学分支，可以用来解释和预测种种现象。
通过概率论的分析，我们可以发现许多悖论背后隐藏的规律和原因。
概率论不仅可以帮助我们理解悖论的成因，还可以为我们提供解决悖论的方法和途径。
在接下来的我们将以蒙提霍尔悖论和锚定效应为例，从概率论的角度分析并解决这些悖论带来的困惑。
通过探讨这些实例，我们将更深入地理解悖论和概率论之间的关系，以及概率论在解决生活中悖论中的重要性。
将成为我们探讨这一主题的出发点，引领我们深入分析悖论背后的数学逻辑和现实意义。
1.2 概率论的应用概率论的应用范围非常广泛，涉及到各个领域，包括统计学、经济学、生物学、物理学等等。
在面对生活中的悖论时，我们可以通过运用概率论的知识和方法来分析和解决问题。
通过对事件发生的可能性进行量化和计算，我们可以更加客观地评估情况，做出更合理的决策。
概率论的应用不仅在理论领域有所突破，也在实际生活中有着重要的影响。
日常生活中的悖论问题
5、飞矢不动悖论 芝诺问他的学生：“一支射出的箭是动的还是不动的？” “那还用说，当然是动的。” “确实是这样，在每个人的眼里它都是动的。可是，这支箭在每一个瞬间 里都有它的位置吗？” “有的，老师。” “在这一瞬间里，它占据的空间和它的体积一样吗？” “有确定的位置，又占据着和自身体积一样大小的空间。” “那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的？” “不动的，老师” “这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢？” “也是不动的，老师” “所以，射出去的箭是不动的？”
卢曼把自己的社会系统看作"自我指涉"系统。"自我指涉"也叫"自体再生 "，它依靠一些通过系统而相互关联的要素生产出另外一些通过系统而相 互关联的要素。自我指涉系统是作为一个要素生产的封闭网络而存在的。 这一网络不断地生产一些要素，而后者又被用来继续生产另外一些要素。 由此，该网络便把自身作为一个网络再生产出来。（通过自己制造出自己） 在科学史上，还没有一种悖论像自我指涉的悖论那样引起广泛的注意。 自我指涉合法存在于人们日常语言中，数学基础上和认知科学里，随处可 见，造成的矛盾在逻辑上无懈可击，历经了两千多年，对此除了尽量规避 之外，至今专家们仍然没有妥善的解决方案。它构造矛盾的方法成为证明 中的重要技巧，在一些令人惊异的重要定理中起着关键的作用。这个系列 介绍这一类悖论，剖析哲人们对它的思考 和因此带来的科学进步。 谎言悖论是历史上最早的自我指涉悖论，它是一个语义的悖论，其核心 结构是自我指涉，在说道自己时否定了自己，它的断言总是与自身矛盾。
日常生活中的悖论问题
日常生活中的悖论问题如果你搭乘时空飞机回到过去杀死了你的祖父，那你还会存在吗？蝴蝶振翅可是我们幸免于可预测的未来？明明是双胞胎，其中一个人居然比另一个大十岁？猫竟可以同时处于活着和死亡两种状态？这些不合理的问题，也许颠覆了你现有的知识和逻辑，它们正是科学上所谓的“悖论”。
“悖论”来自于希腊语，意思是“多想一想”相信只要你仔细思考，一定能破解其中的奥秘。
生日悖论问题是这样的：如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。
这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。
对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。
先让我们用直观的常识来分析一下。
一年三百六十五天，可以想象为房间中有三百六十五个座位，一百个学生进入房间，每人随机选择座位。
没有学生会选择已经做有人的座位，两位同学抢座位的几率更是微小。
类比发现，其应用于生日中一百位学生当中任何人与别人生日在同一天生日的机会十分微小。
只有当房间中进入三百六十六人时，我们才能确定至少有两人生日在同一天。
事实上，房间中只需57人，就能让两人一天生日的几率超过99%！这就好比57人没人拿着一张365个座位的房间的座位表，在不知道别人会选择什么座位的条件下，两人选择同一座位的几率。
不计特殊的年月，如闰二月。
先计算房间里所有人的生日都不相同的概率，那么第一个人的生日是365选365第二个人的生日是365选364第三个人的生日是365选363:第n个人的生日是365选365-(n-1)所以所有人生日都不相同的概率是：(365/365)× (364/365) ×(363/365) ×(362/365)× ... ×【(365-n+1）/365】那么，n个人中有至少两个人生日相同的概率就是：1-(365/365)× (364/365) ×(363/365) ×(362/365)× ... ×【(365-n+1）/365】所以当n=23的时候，概率为0.507当n=100的时候，概率为0.9999996对于已经确定的个人，生日不同的概率会发生变化。
日常生活中的悖论问题
日常生活中的悖论问题如果你搭乘时空飞机回到过去杀死了你的祖父，那你还会存在吗？蝴蝶振翅可是我们幸免于可预测的未来？明明是双胞胎，其中一个人居然比另一个大十岁？猫竟可以同时处于活着和死亡两种状态？这些不合理的问题，也许颠覆了你现有的知识和逻辑，它们正是科学上所谓的“悖论”。
“悖论”来自于希腊语，意思是“多想一想”相信只要你仔细思考，一定能破解其中的奥秘。
生日悖论问题是这样的：如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。
这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。
对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。
先让我们用直观的常识来分析一下。
一年三百六十五天，可以想象为房间中有三百六十五个座位，一百个学生进入房间，每人随机选择座位。
没有学生会选择已经做有人的座位，两位同学抢座位的几率更是微小。
类比发现，其应用于生日中一百位学生当中任何人与别人生日在同一天生日的机会十分微小。
只有当房间中进入三百六十六人时，我们才能确定至少有两人生日在同一天。
事实上，房间中只需57人，就能让两人一天生日的几率超过99%！这就好比57人没人拿着一张365个座位的房间的座位表，在不知道别人会选择什么座位的条件下，两人选择同一座位的几率。
不计特殊的年月，如闰二月。
先计算房间里所有人的生日都不相同的概率，那么第一个人的生日是365选365第二个人的生日是365选364第三个人的生日是365选363:第n个人的生日是365选365-(n-1)所以所有人生日都不相同的概率是：(365/365)某(364/365)某(363/365)某(362/365)某...某【(365-n+1）/365】那么，n个人中有至少两个人生日相同的概率就是：1-(365/365)某(364/365)某(363/365)某(362/365)某...某【(365-n+1）/365】所以当n=23的时候，概率为0.507当n=100的时候，概率为0.9999996对于已经确定的个人，生日不同的概率会发生变化。
数学悖论的例子
数学悖论的例子
以下是 8 条关于数学悖论的例子：
1. 龟兔赛跑悖论啊！就像兔子速度明明超级快，乌龟慢得要死，按常理兔子肯定能赢，可要是让乌龟先跑一段路，兔子再去追，神奇的是，从数学角度分析，兔子竟然永远追不上乌龟！你说这怪不怪？
2. 理发师悖论呀！说一个理发师只给那些不给自己理发的人理发，那他到底给不给自己理发呢？这可真是把人都绕晕了！
3. 芝诺悖论知道不？比如阿强要从 A 点走到 B 点，明明距离是固定的，但
按他的理论，阿强得先走到一半，再走到剩下的一半的一半，这样一直分下去，阿强永远也到不了 B 点，这不是很荒唐吗！
4. 说谎者悖论简直绝了！阿珍说“我现在说的这句话是谎话”，那她这句话到底是真是假呢？这不是让人抓狂么！
5. 集合悖论也很有意思呀！比如说有一个集合，它包含所有不包含自身的集合，那它包不包含它自己呢？哎呀，头都大了！
6. 硬币悖论懂吗？想象一下，把一枚硬币不停地翻转，正面之后肯定是反面，反面之后肯定是正面，那岂不是意味着它永远也停不下来了？这合理吗！
7. 祖父悖论也很神奇呢！要是阿明穿越回去杀了自己年轻的祖父，那阿明还会出生吗？这问题好棘手啊！
8. 无限旅馆悖论也超有趣！一个旅馆有无限个房间，而且都住满了人，这时又来了一个人，按照数学逻辑竟然还可以住下，难道房间还能凭空变出来？太不可思议了吧！
我觉得这些数学悖论真的是让人大开眼界，它们挑战着我们的常规思维，让我们对数学的奇妙之处有了更深的认识啊！。
日常生活中的悖论问题
日常生活中的悖论问题如果你搭乘时空飞机回到过去杀死了你的祖父，那你还会存在吗？蝴蝶振翅可是我们幸免于可预测的未来？明明是双胞胎，其中一个人居然比另一个大十岁？猫竟可以同时处于活着和死亡两种状态？这些不合理的问题，也许颠覆了你现有的知识和逻辑，它们正是科学上所谓的“悖论”。
“悖论”来自于希腊语，意思是“多想一想”相信只要你仔细思考，一定能破解其中的奥秘。
生日悖论问题是这样的：如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。
这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。
对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。
先让我们用直观的常识来分析一下。
一年三百六十五天，可以想象为房间中有三百六十五个座位，一百个学生进入房间，每人随机选择座位。
没有学生会选择已经做有人的座位，两位同学抢座位的几率更是微小。
类比发现，其应用于生日中一百位学生当中任何人与别人生日在同一天生日的机会十分微小。
只有当房间中进入三百六十六人时，我们才能确定至少有两人生日在同一天。
事实上，房间中只需57人，就能让两人一天生日的几率超过99%！这就好比57人没人拿着一张365个座位的房间的座位表，在不知道别人会选择什么座位的条件下，两人选择同一座位的几率。
不计特殊的年月，如闰二月。
先计算房间里所有人的生日都不相同的概率，那么第一个人的生日是365选365第二个人的生日是365选364第三个人的生日是365选363:第n个人的生日是365选365-(n-1)所以所有人生日都不相同的概率是：(365/365)× (364/365) ×(363/365) ×(362/365)× ... ×【(365-n+1）/365】那么，n个人中有至少两个人生日相同的概率就是：1-(365/365)× (364/365) ×(363/365) ×(362/365)× ... ×【(365-n+1）/365】所以当n=23的时候，概率为0.507当n=100的时候，概率为0.9999996对于已经确定的个人，生日不同的概率会发生变化。
生活中的数学-骗局与悖论
美国魔术师杰瑞· 安德鲁斯 发明了一个“疯狂的板条 箱”。他怎么能把那么多竖 直的支撑杆似那么不可能的 方式连起来呢
拿 着 放 光 球 的 手
是静的还是动的
诺布的不可能的架子 中间到底是凹进去的， 还是凸出来的？
桥渐变成了船。 此图属于“背景错觉”。
在这幅图中，你看见了什么？你看见的是男人的腿，还是女人的腿？
逻辑悖论之沙堆悖论
有一堆1，000,000颗沙粒组成的沙堆。如果我们 拿走一颗沙粒，那么还是有一堆；如果我们再拿 走一颗沙粒，那么还是一堆。如果我们就这样一 次拿走一颗沙粒，那么当我们们取得只剩下一颗 沙粒，那么它还是一堆吗？ 回答：设定一个固定的边界。如果我们说10,000 颗沙粒是一堆沙，那么少于 10 ， 000 颗沙粒组成 的就不能称之为一堆沙。显然这样区分9999颗沙 和 10001 颗沙就有点不合理。那么就有一个解决 方案了 ——设定一个可变的边界，但是这个边界 是多少，并不需要知道。
C C 我们先来计算一下：抽取“黑5红5”的概率 0.344 ； C 绝 10 而 C 大 抽取“黑10”的概率： 10 门 0 . 000005413 ； 部 您 票 抽取“红10”的概率： C10 分 明 游 优 20 惠 9 1 客 白 券 C C 都 抽取“黑9红1”的概率： 10 10 起 些 0 . 0005412 ； 是 到 抽取“红9黑1”的概率： C10 交 了 钱 了 20 很 8 2 吧 或 大 C10C10 抽取“黑8红2”的概率： 者 的 ？ 0 . 01096 ； 得 拉 抽取“红8黑2”的概率： C 10 到 动 20 门 7 3 作 C C 票 用 抽取“黑7红3”的概率： 10 10 优 0 . 07794 ； ！ 抽取“红7黑3”的概率： C 10 惠 20 券 6 4 ！ C C 抽取“黑6红4”的概率： 10 10 ； 吸引更多的人游玩， 抽取“红6黑4”的概率： 10 0.2387 吸引更多的人上当！ C20
生活中的有趣的悖论问题
悖论的几种形式
４.名实不符的悖论．公孙龙在＂坚白石论＂中主张：＂ “诡辩是一种欺骗，乍一听，它蛮有道理， 坚＂为石头的特性，＂白＂为石头的颜色．白色由视觉而得，坚 并因其刺激、新奇而令人心惊，但随后， 硬由触觉而来，坚与白不能同时被认知．因此，公孙龙认为坚白 当其虚饰之伪装被揭穿，就会自取其 石不存在，而只能是坚石或白石． 辱。” 有学生问他的希腊老师：“什么是诡辩？”老师反问到： “有甲乙两人，甲很干净，乙很脏。如果请他们洗澡，他 们中间谁会洗？” 这里有四种可能，一是甲洗，因为他有爱干净的习惯； 二是乙洗，因为他需要；三是两人都洗，一个是因为习惯， 另一个是因为需要；四是两人都没洗，因为脏人没有洗澡 的习惯，干净人不需要洗。这四种可能彼此相悖，无论学 生作出怎样的回答，老师都可以予以反驳，因为他不需要 有一个客观的标准，这就是诡辩。
悖论(paradox)来希腊自语“para+dokein”，意思是“多想一想”
悖论有点像魔术中的变戏法，它使人们在看完之 后，几乎没有—个不惊讶得马上就想知道：“这套戏 法是怎么搞成的？”当把技巧告诉他时，他就会不知 不觉地被引进深奥而有趣的数学世界之中。 正是因为悖论的存在， 数学才能越来越严密，可以说，
红衣女人是真实 的还是拼图里的 ?
两列火车会相撞吗？
美国魔术· 安德鲁斯创造了这个精彩的幻觉作品
球和影幻觉：两幅幻觉图中，球相对于背景的位置一样吗？
折叠的棋盘：你从上面还是从下面看到棋盘呢?
不可能的楼梯：走一 走这个奇怪的楼梯， 会发生什么？最低一 级和最高一级台阶分 别在哪儿？
曲折的悖论：这是一个奇 妙的不可能成立的曲折体， 由匈牙利艺术家托马斯· 伐 克期创作。
悖论的几种形式
３.引入无限的悖论．德国数学家康托尔说：＂一厘米线段上 有无数个点，而太平洋上也有无数个点．＂所以＂一厘米线段内 的点与太平洋面上的点一样多．＂ “一尺之捶，日取其半，万世不竭” 这是《庄子。天下》中 惠施的一句名言。二千多年前中国古人同样运用了无限的概 念。
日常生活中的悖论举例
日常生活中的悖论举例悖论是指两个看似正确的观点互相矛盾，无法统一。
下面列举一些在日常生活中经常出现的悖论：1.巴塞尔悖论巴塞尔悖论源于一组数学中的数列，其中每一个数字的平方加起来会得到一组新的数列。
这个悖论的矛盾在于，新的数列的值不趋于无穷大，而是趋向于一个固定的数。
2.劝降悖论劝降悖论是指，如果您想说服某人放弃一个观点或做法，您需要首先让该人明白自己在错误的道路上，但是这将使这个人更加坚定自己的立场。
3.月球悖论月球悖论是指，如果一张大月正好在半空中出现，那么此时的月亮一定和地球表面的大小是一样的，但是如果在月亮以其他角度出现的情况下，它的大小并不是一样的。
这个悖论的矛盾在于，月亮的大小看起来似乎是变化的。
4.艾佛森悖论艾佛森悖论来源于篮球比赛中的一个大事件，在这个事件中，艾佛森被问及他是如何能够跳过高个子球员扣篮。
他回答说：“我只是跳得比他们高而已。
”这个回答看似是正确的，但实际上它的矛盾在于，高大的球员显然比矮小的球员更有跳跃能力。
5.货车悖论货车悖论是指，在一条车道上行驶的货车与一辆汽车相撞时，货车远不如汽车安全。
然而，如果同样的货车与一架飞机发生碰撞，货车却更为安全。
这个悖论存在的原因是，在这种情况下，时速越快对货车越有利。
6.莫比乌斯带莫比乌斯带是一种数学模型，它有一个奇妙的特点，就是将该环面的内侧与外侧一起描绘出来，你会发现演练出来的模型的外侧与内侧其实是连续的一条线，没有连接点。
这个矛盾表明，有时候直觉和证明之间的差别可能是巨大的。
总之，悖论在我们的日常生活中随处可见，准确地理解悖论、掌握其背后的逻辑结构，对我们学习和思考都有着非常重要的意义。
十大数学悖论(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】十大数学悖论1．理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。
试问：理发师给不给自己理发？如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。
这样，理发师陷入了两难的境地。
2．说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。
”如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。
所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。
:公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是假的。
”同上，这又是难以自圆其说！说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家。
说谎者悖论有许多形式。
如：我预言：“你下面要讲的话是‘不’，对不对？用‘是’或‘不是’来回答。
”又如，“我的下一句话是错（对）的，我的上一句话是对（错）的”。
3．跟无限相关的悖论：{1，2，3，4，5，…}是自然数集：{1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。
这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗？4.伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。
由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。
为什么？5.预料不到的考试的悖论：一位老师宣布说，在下一星期的五天内（星期一到星期五）的某一天将进行一场考试，但他又告诉班上的同学：“你们无法知道是哪一天，只有到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。
你能说出为什么这场考试无法进行吗？6.电梯悖论：在一幢摩天大楼里，有一架电梯是由电脑控制运行的，它每层楼都停，且停留的时间都相同。
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美国魔术师杰瑞· 安德鲁斯 发明了一个“疯狂的板条 箱”。他怎么能把那么多竖 直的支撑杆似那么不可能的 方式连起来呢
拿 着 放 光 球 的 手
是静的还是动的
诺布的不可能的架子 中间到底是凹进去的， 还是凸出来的？
桥渐变成了船。 此图属于“背景错觉”。
在这幅图中，你看见了什么？你看见的是男人的腿，还是女人的腿？
在这幅图像中，一个大个子正在追赶一个 小个子，对吗？
其实，这两 个人完全是 一模一样的！ （不信？用 尺子量量 看！）
你看到了螺旋，还是同心圆？ 乍一看，图中是一个螺旋，实际上 它是同心圆。 此图属于“Fraser螺旋错觉”。
统计悖论之选举悖论
假定有三个人—阿贝尔、伯恩斯和克拉克竞选总统。民意测验表明， 选举人中有2/3愿意选A不愿选B，有2/3愿选B不愿选C。是否愿选A不 愿选C的最多？
逻辑悖论之理发师悖论
一个男理发师的招牌上写着： 告示：城里所有不自己剃头的男人都由我给 他们剃头，我也只给这些人剃头。 谁给这位理发师剃头呢？
如果他自己剃头，那他就属于自己剃头的那 类人。但是，他的招牌说明他不给这类人剃头， 因此他不能自己来剃头。如果另外一个人来给他 剃头，那他就是不自己剃头的人。但是，他的招 牌说他要给所有这类人剃头。因此其他任何人也
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不能给他剃头。看来，没有任何人 发师剃头了！
能给这位理
几何悖论
几何悖论所构造的图案是仅存在于 2维平面世界里的图形，是一种通 过素描，线描等立体绘画手法表现出 3维立体世界中不可能存在的图 像。
在这个台阶里，永远找不到最高阶 和最低阶，“不可能台阶”永远没有 尽头。。。。。。
红衣女子是真实的 还是在拼图里的？
统计悖论之选举悖论
不一定！如果选举人下表那样排候选人，就会引 起一个惊人的逆论。 三分之一的人，对选举人的喜好是：A，B，C； 另外三分之一的人，对选举人的喜好是：B，C， A； 最后三分之一的人，对选举人的喜好是：C，A， B。 所以，有2/3宁愿选A而不愿选B；同样，有2/3宁 愿选B而不愿选C；有2/3宁愿选C而不愿选A！
5 10
5 10 10 20
你喜欢买彩票吗？
以最诱人的双色球为例 看看中奖情况吧！
福彩中心对双色球资金的分配为：50%用 于彩民奖金，15%用于彩票发行费，35% 彩票公益金。
一等奖：浮动，单注奖金不超过500万. 二等奖：浮动，单注奖金不超过500万. 0.0000056% 0.0000846%
两列火车会相撞吗？
美国魔术· 安德鲁斯创造了这个精彩的幻觉作品
球和影幻觉：两幅幻觉图中，球相对于背景的位置一样吗？
折叠的棋盘：你பைடு நூலகம்上面还是从下面看到棋盘呢?
这是一个奇妙的不可能成立的曲折体，
瑞典艺术家奥斯卡· 卢特 斯瓦尔德，给了我们不可 能的三角形中又一种变化。
超级橱窗
此图属于“不可能三角形”的一种变体。
注意：【本景区门票50元优惠券】不能与其他优惠同时使用！景区门票120元.
黑5红5【佛像一块】
务必交10元领走此好运，方可继续抽奖！
由于景区著名，游客非常多， 此抽奖处也是进行的火热！
可是，半年过去了，发现iPhone6plus 及三星note4无一人抽中！游客抽到的 最大奖为100元话费，且为极少数！景 区收入却变相增加100余万元！您知道 其中的骗局吗？
逻辑悖论之沙堆悖论
有一堆1，000,000颗沙粒组成的沙堆。如果我们 拿走一颗沙粒，那么还是有一堆；如果我们再拿 走一颗沙粒，那么还是一堆。如果我们就这样一 次拿走一颗沙粒，那么当我们们取得只剩下一颗 沙粒，那么它还是一堆吗？ 回答：设定一个固定的边界。如果我们说10,000 颗沙粒是一堆沙，那么少于 10 ， 000 颗沙粒组成 的就不能称之为一堆沙。显然这样区分9999颗沙 和 10001 颗沙就有点不合理。那么就有一个解决 方案了 —— 设定一个可变的边界，但是这个边界 是多少，并不需要知道。
生活中的数学
数学骗局与悖论（一）
主讲：董兴华
生活中的
数学骗局
有一年，河南省新乡市回龙景区新建了一座迷魂阵， 设立百万巨奖等人前来破解。迷魂阵是由七座桥构成， 如果谁能从其中一座桥出发，不重复地走遍七座桥且 回到原地，谁就能获得100万元的现金大奖。参赛资格： 购买景区门票！ 望但 消 而都 息 归无 传 。功 出 而后 返， ，不 高少 兴人 而前 来来 ，破 失迷 ，
悖论是缺憾的美！
悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立， 就可推出它的命题的否定成立；反之，如果承认这个 命题的命题的否定成立，又可推出这个命题成立 如果 承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它 是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理， 却又得出它是真的。
一般地说，由于悖论是一种形式矛盾，即是某些特殊的 思想规定的产物，它们就不可能是事物辩证性质的直接反映； 进而，我们也就不能把它们说成是“特殊的客观真理”，而 只能说它们是“歪曲了的真理”。
奖品很丰厚哦！
奖品列表
黑10：【iPhone6plus一部】红10：【三星note4一部】 黑9红1：【iPhone4一 部】 黑8红2：【100元话费】 黑1红9：【iPad mini】 黑2红8：【100元话费】
黑7红3：【50元话费】
黑3红7：【50元话费】
黑6红4：【本景区门票50元优惠券】 黑4红6：【本景区门票50元优惠券】
数学期望大约为：
三等奖：3000元.
四等奖：200元. 五等奖：10元. 六等奖：5元. 不中奖：0角.
0.0009142%
0.0434228%
﹣0.79元
也就是说，每花2元 0.7757707% 钱，就会有0.79元奉 5.8892547% 献给了 社会，买得越 多赔得越多，除非运 93.290547% 气极佳，一夜暴富！
逻辑悖论之“鸡生蛋，蛋生鸡”
传统的“先有鸡，还是先有蛋？”的循环式悖论 问题! 它里面也隐含着一个不相容的前提假设：“鸡是 由蛋孵化出来的，蛋又是由鸡生出来的。”单独来 看都符合日常观察，但合在一起却是一对不自洽的 假设。
这个互为因果的循环推理本身无法自我解脱，需 要实际的考证，如考古学和生物学的研究成果等， 才能打破这一循环。
世界著名的“七桥问题”
著名数学家欧拉终于解答了这道难题：答案是本题无解， 也就是不可能做到。
某著名景区举办了一个“免费游戏”。供游客娱乐！
将这有颜色的十只筷子统一放在一个盒子里，有颜色的头朝下！
“免费游戏”规则
1.凭景区门票即可免费抽取筷子十支！ 2.写有以下文字的卡片：黑10，黑9红1，黑8红2，黑7红3， 黑6红4，黑5红5，黑4红6，黑3红7，黑 2红8，黑1红9，红 10，分别代表抽签筷子的颜色及个数。 3.旅客抽取后即可得到相应卡片，凭卡片即可得到对应奖品.
生活中的
数学悖论
悖论(paradox)来希腊自语“para+dokein”，意思是“多想一想”
悖论有点像魔术中的变戏法，它使人们在看完之 后，几乎没有—个不惊讶得马上就想知道：“这套戏 法是怎么搞成的？”当把技巧告诉他时，他就会不知 不觉地被引进深奥而有趣的数学世界之中。 正是因为悖论的存在， 数学才能越来越严密，可以说：