人教版数学七年级上册31《一元一次方程》全章复习与巩固(提高)知识讲解

《一元一次方程》全章复习与巩固（提高）知识讲解
【学习目标】
1．理解方程，等式及一元一次方程的概念，并掌握它们的区别和联系；
2．会解一元一次方程，并理解每步变形的依据；
3．会根据实际问题列方程解应用题．
【知识网络】
【要点梳理】
知识点一、一元一次方程的概念
1．方程：含有未知数的等式叫做方程．
2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．
要点诠释：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：
①只含有一个未知数，未知数的次数为1；
②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．
3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．
4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．
知识点二、等式的性质与去括号法则
1．等式的性质：
等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．
2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．
3．去括号法则：
（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．
（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反． 知识点三、一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．
(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．
(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax ＝b(a ≠0)的形式．
(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解b x a
=(a ≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．
知识点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型
1.行程问题：路程＝速度×时间
2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价
4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数
6.数字问题：多位数的表示方法：例如：32101010abcd a b c d =⨯+⨯+⨯+.
【典型例题】 类型一、一元一次方程的相关概念
1．已知方程(3m-4)x 2-(5-3m)x-4m ＝-2m 是关于x 的一元一次方程，求m 和x 的值．
【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．
【答案与解析】
解：因为方程(3m-4)x 2-(5-3m)x-4m ＝-2m 是关于x 的一元一次方程，
所以3m-4＝0且5-3m ≠0．
由3m-4＝0解得43m =
，又43m =能使5-3m ≠0，所以m 的值是43． 将43m =代入原方程，则原方程变为485333x ⎛⎫--⨯= ⎪⎝
⎭，解得83x =-． 所以43
m =，83x =-． 【总结升华】解答这类问题，一定要严格按照一元一次方程的定义．方程
(3m-4)x 2-(5-3m)x-4m ＝-2m 2是关于x 的一元一次方程，就是说x 的二次项系数3m-4＝0，而x 的一次项系数5-3m ≠0，m 的值必须同时符合这两个条件．
举一反三：
【变式】下面方程变形中，错在哪里：
(1)方程2x=2y两边都减去x+y，得2x-(x+y)=2y-(x+y), 即x-y=-(x-y).
方程 x-y=-(x-y)两边都除以x-y, 得1=-1.
（2）3721
2
23
x x
x
-+
=+，去分母，得3(3-7x)=2(2x+1)+2x，去括号得：9-21x=4x+2+2x.
【答案】（1）答：错在第二步，方程两边都除以x-y.
（2）答：错在第一步，去分母时2x项没乘以公分母6.
2.如果5(x+2)＝2a+3与(31)(53)
35
a x a x
+-
=的解相同，那么a的值是________．
【答案】7 11
【解析】由5(x+2)＝2a+3，解得
27
5
a
x
-=．
由(31)(53)
35
a x a x
+-
=，解得
9
5
x a
=-．
所以279
55
a
a
-
=-，解得
7
11
a=．
【总结升华】因为两方程的解相同，可把a看做已知数，分别求出它们的解，令其相等，转化为求关于a的一元一次方程．
举一反三：
【变式】（2015•温州模拟）已知3x=4y，则= ．
【答案】．
解：根据等式性质2，等式3x=4y两边同时除以3y，
得：=．
类型二、一元一次方程的解法
3．（2016春•淅川县期中）解方程﹣=．
【思路点拨】方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【答案与解析】
解：原方程可化为6x﹣=，
两边同乘以6得36x﹣21x=5x﹣7，
解得：x=﹣0.7．
【总结升华】此题考查了解一元一次方程，注意第一步用到的是分数的基本性质：分子和分母扩大相同的倍数，分数的值不变.
举一反三：
【变式1】解方程26752254436z z z z z +---++=- 【答案】
解：把方程两边含有分母的项化整为零，得
267522544443366
z z z z z +
++-=--+． 移项，合并同类项得：1122
z =，系数化为1得：z ＝1． 【变式2】解方程： 0.10.050.20.05500.20.54x x +--+=. 【答案】
解：把方程可化为：0.520.550254
x x +--+=， 再去分母得：232x =-
解得：16x =-
4．解方程3{2x-1-[3(2x-1)+3]}＝5．
【答案与解析】
解：把2x-1看做一个整体．去括号，得：
3(2x-1)-9(2x-1)-9＝5．
合并同类项，得-6(2x-1)＝14． 系数化为1得：7213x -=-，解得23
x =-． 【总结升华】把题目中的2x-1看作一个整体，从而简化了计算过程．本题也可以考虑换元法：设2x-1＝a ，则原方程化为3[a-(3a+3)]＝5．
类型三、特殊的一元一次方程的解法
1．解含字母系数的方程
5.解关于x 的方程：1
1()(2)34
m x n x m -=+ 【思路点拨】这个方程化为标准形式后，未知数x 的系数和常数都是以字母形式出现的，所以方程的解的情况与x 的系数和常数的取值都有关系．
【答案与解析】
解：原方程可化为：(43)462(23)m x mn m m n -=+=+
当34m ≠
时，原方程有唯一解：4643
mn m x m +=-； 当33,42
m n ==-时，原方程无数个解； 当33,42m n =≠-时，原方程无解； 【总结升华】解含字母系数的方程时，一般化为最简形式ax b =，再分类讨论进行求解，注意最后的解不能合并，只能分情况说明．
2．解含绝对值的方程
6. 解方程|x-2|＝3．
【答案与解析】
解：当x-2≥0时，原方程可化为x-2＝3，得x＝5．
当x-2＜0时，原方程可化为-(x-2)＝3，得 x＝-1．
所以x＝5和x＝-1都是方程|x-2|＝3的解．
【总结升华】如图所示，可以看出点-1与5到点2的距离均为3，所以|x-2|＝3的意义为在数轴上到点2的距离等于3的点对应的数，即方程|x-2|＝3的解为x＝-1和x＝5．
举一反三：
【变式1】若关于x的方程230
x m
-+=无解，340
x n
-+=只有一个解，450
x k
-+=
有两个解，
则,,
m n k的大小关系为： ( )
A. m n k
>> B.n k m
>> C.k m n
>> D.m k n
>>
【答案】A
【变式2】若9
x=是方程
1
2
3
x m
-=的解，则__
m=；又若当1
n=时，则方程
1
2
3
x n
-=
的解是．
【答案】1； 9或3．
类型四、一元一次方程的应用
7．李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟；若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站，求李伟此时骑摩托车的速度应是多少?
【思路点拨】本题中的两个不变量为：火车开出的时间和李伟从家到火车站的路程不变．【答案与解析】
解：设李伟从家到火车站的路程为y千米，则有：
1515
30601860
y y
+=-，解得：
45
2
y=
由此得到李伟从家出发到火车站正点开车的时间为
45
15
21
3060
+=(小时)．
李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站时，设李伟骑摩托车的速度为x千米/时, 则有：45
227
1010
11
6060
y
x===
--
(千米/时)
答：李伟此时骑摩托车的速度应是27千米/时．
【总结升华】在解决问题时，当发现某种方法不能解决问题时，应该及时变换思维角度，如本题直接设未知数较难时，应迅速变换思维的角度，合理地设置间接未知数以寻求新的解决问题的途径和方法．
8.（2015春•万州区校级月考）一项工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成，两人合做4天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？
【答案与解析】
解：设乙还需x天完成，由题意得
4×（+）+=1，
解得x=5．
答：乙还需5天完成．
【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是找到所求的量的等量关系．当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为1．
举一反三：
【变式】某商品进价2000元，标价4000元，商店要求以利润率不低于20%的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？
【答案】
解：设售货员可以打x折出售此商品，得：
⨯=+
40000.12000(120%),
x
x=
解得： 6.
答：售货员最低可以打六折出售此商品．。