向量三角形五心试题
三角形五心的经典考题
有关三角形五心的经典试题三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. 例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP=NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点N 是△P ′PC 的外心.有∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ，∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC . ∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形O 1PO 2QO 3S 后再由外心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K =21(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2) A B C PP M N 'A B C QK P O O O ....S 123=21∠PO 1S =∠A ； 同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC . 二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别 作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′. 易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′，∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF .例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连DE到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF .(1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′. 不妨设a ≥b ≥c ，有 CF =2222221c b a -+， BE =2222221b ac -+， AD =2222221a cb -+. 将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =a 23，BE =b 23，AD =c 23. ∴CF :BE :AD =a 23:b 23:c 23=a :b :c .故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列.AA 'F F 'GE E 'D 'C 'P C B D当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′， ∴∆∆S S '＝(aCF )2. 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有∆∆S S '=43.∴22aCF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c2⇒a 2+c 2=2b 2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.例5．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.(1992，全国高中联赛) 分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知13212sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4； 由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2. 易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2， 故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称. 同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.例6．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2. 求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH2∥=∥=.OA A A A 1234H H 12H H HM AB BA ABC CC F12111222D E=r 2+(AM 2-MH 2)， ①又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2 =AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ② 而ABHAH ∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A ,Aa sin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有A 21A =r 2+bca cb 2222-+·bc -(4R 2-a 2)=21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2， 21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 故有AA 1=BB 1=CC 1.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I =A ′B =A ′C .换言之，点A ′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例7．ABCD 为圆内接凸四边形，取△DAB ，△ABC ，△BCD ， △CDA 的内心O 1， O 2，O 3， O 4.求证：O 1O 2O 3O 4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题)证明见《中等数学》1992；4例8．已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切.试证：EF 中点P 是△ABC之内心.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB =AC .当AB ≠AC ，怎样证明呢？A B C D O O O 234O 1如图，显然EF 中点P 、圆心Q ，BC 中点K 都在∠BAC 平分线上.易知AQ =αsin r . ∵QK ·AQ =MQ ·QN ，∴QK =AQQNMQ ⋅=αsin /)2(r rr R ⋅-=)2(sin r R -⋅α.由Rt △EPQ 知PQ =r ⋅αsin .∴PK =PQ +QK =r ⋅αsin +)2(sin r R -⋅α=R 2sin ⋅α. ∴PK =BK .α利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心. 五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.例9．在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p .式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p (p -c )=(p -a )(p -b ).∵p (p -c )=21(a +b +c )·21(a +b -c ) =41[(a +b )2-c 2]=21ab ； (p -a )(p -b )=21(-a +b +c )·21(a -b +c ) =41[c 2-(a -b )2]=21ab . ∴p (p -c )=(p -a )(p -b ). ①观察图形，可得 r a =AF -AC =p -b ， r b =BG -BC =p -a ，AααMBCK NE R OQFrP Kr r r r O O O 213AOE CBabcr c =CK =p .而r =21(a +b -c ) =p -c . ∴r +r a +r b +r c=(p -c )+(p -b )+(p -a )+p =4p -(a +b +c )=2p . 由①及图形易证.例10．M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明：11q r ·22q r =qr . (IMO -12)分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知OD =OA ′·2'sinA =A ′B ′·'''sin 2'sinB O A B ∠·2'sin A =A ′B ′·2''sin2'sin2'sin B A B A +⋅， O ′E = A ′B ′·2''sin2'cos2'cos B A B A +. ∴2'2''B tg A tg E O OD =. 亦即有11q r ·22q r =2222Btg CNB tg CMA tgA tg ∠∠ =22B tg A tg=qr. 六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =FA .试证：(1)AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点；A ...'B 'C 'O O 'ED(2)AB +BC +CD +DE +EF +FA ≥AK +BE +CF . (1991，国家教委数学试验班招生试题)分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分线，I 为△ACE的内心.从而有ID =CD =DE ， IF =EF =FA ， IB =AB =BC .再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 不等式有：BI +DI +FI ≥2·(IP +IQ +IS ).不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2IS .∴BI +DI +FI ≥IA +IE +IC . ∴AB +BC +CD +DE +EF +FA=2(BI +DI +FI ) ≥(IA +IE +IC )+(BI +DI +FI )=AD +BE +CF .I 就是一点两心.例12．△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心.证明OE 丄CD . (加拿大数学奥林匹克训练题)分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点F ，E 必在DF 上且DE :EF =2:1.设CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心. 连GE ，MF ，MF 交DC 于K .易证： DG :GK =31DC :(3121-)DC =2:1. ∴DG :GK =DE :EF ⇒GE ∥MF . ∵OD 丄AB ，MF ∥AB ，∴OD 丄MF ⇒OD 丄GE .但OG 丄DE ⇒G 又是△ODE 之垂心. 易证OE 丄CD . 例13．△ABC 中∠C =30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .求证：OI 丄DE ，OI =DE .(1988，中国数学奥林匹克集训题)分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，∠AID =∠AIB =∠EIB . 利用内心张角公式，有∠AIB =90°+21∠C =105°，∴∠DIE =360°-105°×3=45°. ∵∠AKB =30°+21∠DAO =30°+21(∠BAC -∠BAO ) Erdos ..I P AB CD E FQ SA B CD E F OKGO A BC DEFI K30°=30°+21(∠BAC -60°) =21∠BAC =∠BAI =∠BEI . ∴AK ∥IE .由等腰△AOD 可知DO 丄AK ，∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高. 同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE . 由∠DIE =∠IDO ，易知OI =DE .例14．锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂.求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重. 分析：这里用三角法.设△ABC 外接圆半径为1，三个内角记为A ，B ， C . 易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3 =cos A +co sB +cos C ，∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ① ∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C ， 同样可得BH 2·CH 3.∴3d 重=△ABC 三条高的和=2·(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ② ∴BCHBHsin =2，∴HH 1=cos C ·BH =2·cos B ·cos C . 同样可得HH 2，HH 3. ∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3=2(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B ) ③ 欲证结论，观察①、②、③，须证(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B )+( cos A + cos B + cos C )=sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B .即可.练 习 题1.I 为△ABC 之内心，射线AI ，BI ，CI 交△ABC 外接圆于A ′， B ′，C ′.则AA ′+BB ′+CC ′＞△ABC 周长.(1982，澳大利 亚数学奥林匹克)2.△T ′的三边分别等于△T 的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)3.I 为△ABC 的内心.取△IBC ，△ICA ，△IAB 的外心O 1，O 2，O 3.求证：△O 1O 2O 3与△ABC 有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)4.AD 为△ABC 内角平分线.取△ABC ，△ABD ，△ADC 的外心O ，O 1，O 2.则△OO 1O 2是等腰三角B C O IA O G H O G H GO G H 123112233。
向量与三角形的五心
7、设ABC的外心为O, 取点M , 使OA OB OC OM , 求证 : (1)点M 是ABC的垂心; (2)此三角形的外心、重心、垂心在一直线上.
A O GM
证明 : 如图, 设OA a, OB b, OC c, B C P O是ABC的外心,| OA || OB || OC |, 即 | a || b || c | .
OA AB OA AC 2 解 :由已知得( ) | AB | | AC | OB BA OB BC 2 OC CA OC CB 2 ( ) ( ) 0, | BA | | BC | | CA | | CB |
心.
OA AB OA AC OB BA OB BC OC CA OC CB 即: 0, | AB | | AC | | BA | | BC | | CA | | CB |
(1) AM OM OA (a b c) a b c,
2 2 2 2
BC OC OB c b, AM BC (b c)(c b) c b | c | | b | 0, AM BC ,即AM BC ,同理BM AC , CM AB, 点M 是ABC的垂心.
| AO | | AB | cos AO, AB | AO | | AC | cos AO, AC , | AB | | AC | cos AO, AB cos AO, AC ,
C O A
而两向量的夹角 [0, ], O在A的平分线上,
B
同理 : 点O同时在ABC的三个内角平分线上, 即点O是ABC的内心.
即AO在 AB与 AC方向上的投影相等, 可知O到AB、AC的距离相等, O在ABC的B
三角形'五心'的向量表示
三角形"五心"的向量表示江苏省姜堰中学张圣官（225500）让我们先来赏析一道颇有趣的向量题：命题1：在ΔABC内任取一点O，证明： ...①（其中SA、SB、SC分别表示ΔBOC、ΔCOA、ΔAOB的面积）。
解：记方向上的单位向量依次为，并记∠BOC、∠COA、∠AOB依次为α1、α2、α3，则，，（图1）。
所以，①式等价于 ...②如图1，在OA上取点D，使，过D作DE∥OB交CO延长线于E，则在ΔODE中，，∴，于是，、、恰好构成一个三角形，它们的和为零向量。
故命题得证。
评注：如果把②式放到力学背景中，将看作是大小为1个单位的力，那么②式正好等价于三个共点力、、平衡，我们还可以从物理学的角度给出其证明。
根据图2可知，、在反方向上的分量分别为和（图2）；在垂直于方向上的分量分别为和。
由于，故，而=显然成立，因此三个共点的力确实平衡，这样从物理学的角度知命题获证。
这真是一道向量题横跨数理天地！然而且慢，该题另有玄机！联系到不少刊物上纷纷将三角形"五心"用各种形式的向量来表示，其实由以上结论出发倒可以很简便地得到三角形"五心"的一种向量表示。
真是"踏破铁鞋无觅处，得来全不费功夫"啊！命题1中的点O是ΔABC所在平面内一点，并且在ΔABC内部，其实，若O在ΔABC的周界上时结论也成立。
当点O在ΔABC形外时，类似地还可以得到：命题2：若点O是ΔABC的形外一点且与点A位于直线BC的两侧，则有结论 ...②（其中SA、SB、SC分别表示ΔBOC、ΔCOA、ΔAOB的面积）。
（证明略）只要将以上两个结论中的点O逐一看作为ΔABC的"五心"，就可以得到三角形"五心"的向量表示。
命题3：设O是ΔABC所在平面内一点，则（Ⅰ）O是ΔABC的重心；（Ⅱ）O是ΔABC的外心；（Ⅲ）O是ΔABC的内心；（Ⅳ）O是斜ΔABC的垂心；（Ⅴ）O是ΔABC的旁心或或。
初中数学，三角形五心，必刷题集（含答案），中考自招拉分项
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初中⼏何，三⾓形五⼼会和圆的知识点结合起来，所以难度会相对较⾼
在中考压轴题、⾃主招⽣命题中常考
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三⾓形五⼼主要有：
①重⼼：三条中线的交点
②内⼼：三条⾓平分线交点
③外⼼：三边垂直平分线交点
④垂⼼：三条⾼交点
⑤旁⼼：旁切圆圆形
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数学初中竞赛《三角形的五心》专题训练(包含答案)
数学初中竞赛《三角形的五心》专题训练一．选择题1．如图，已知直线MN∥AB，把△ABC剪成三部分，点C在直线AB上，点O在直线MN上，则点O是△ABC的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心2．课本第5页有这样一个定义“三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心”．现在我们继续定义：①三角形三边上的高线的交点叫做三角形的垂心；②三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心；③三角形三边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心．在三角形的这四“心”中，到三角形三边距离相等的是（）A．重心B．垂心C．内心D．外心3．如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（）A．△ACD的重心B．△ABC的外心C．△ACD的内心D．△ABC的垂心4．如图，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF等于（）A．a：b：c B．：：C．sin A：sin B：sin C D．cos A：cos B：cos C5．在△ABC中，两中线AD与CF相交于点G，若∠AFC＝45°，∠AGC＝60°，则∠ACF的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°6．如图，已知△ABC的三个顶点分别在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，那么△ABC的（）也一定在该函数图象上．A．重心B．内心C．外心D．垂心7．如图，已知H是△ABC的垂心，△ABC的外接圆半径为R，△BHC的外接圆半径为r，则R 与r的大小关系是（）A．R＝r B．R＞r C．R＜r D．无法确定8．以Rt△ABC的两条直角边AB、BC为边，在三角形ABC的外部作等边三角形ABE和等边三角形BCF，EA和FC的延长线相交于点M，则点B一定是三角形EMF的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心9．如图，锐角△ABC的垂心为H，三条高的垂足分为D、E、F，则H是△DEF的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心10．三个等圆O 1，O 2，O 3有公共点H ，点A 、B 、C 是其他交点，则H 是三角形ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心二．填空题11．在半径为1的⊙O 中内接有锐角△ABC ，H 是△ABC 的垂心，角平分线AL 垂直于OH ，则BC ＝ ．12．如图，ADCFBE 是某工厂车间的一种剩余残料，且∠ACB ＝90°，现需要利用这块残料在△ABC 的外部制作3个等边△ADC 、△CBF 、△ABE 的内切圆⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3，若其中最大圆⊙O 3的半径为0.5米，可使生产成本节约3元（节约成本与圆面积成正比），照此计算，则10块这样的残料可使生产成本节约 元．13．如图，在△ABC 中M 为垂心，O 为外心，∠BAC ＝60°，且△ABC 外接圆直径为10，则AM ＝ ．14．如图，锐角三角形ABC 内接于半径为R 的⊙O ，H 是三角形ABC 的垂心，AO 的延长线与BC 交于点M ，若OH ⊥AO ，BC ＝10，OA ＝6，则OM 的长＝ ．15．设凸四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ，△OAB ，△OBC ，△OCD ，△ODA 的重心分别为E ，F ，G ，H ，则S EFGH ：S ABCD ＝ ．16．如图，I 是Rt △ABC （∠C ＝90°）的内心，过I 作直线EF ∥AB ，分别交CA 、CB 于E 、F ．已知EI＝m，IF＝n，则用m、n表示S△ABC＝．17．已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1、B1、C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点，若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于．三．解答题18．如图所示，已知锐角△ABC的外接圆半径R＝1，∠BAC＝60°，△ABC的垂心和外心分别为H、O，连接OH、BC交于点P（1）求凹四边形ABHC的面积；（2）求PO•OH的值．19．如图，AD，BE，CF是△ABC的高，K，M，N分别为△AEF，△BFD，△CDE的垂心，求证：△DEF≌△KMN．20．如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点．21．如图，△ABC的三边满足关系BC＝（AB+AC），O、I分别为△ABC的外心、内心，∠BAC 的外角平分线交⊙O于E，AI的延长线交⊙O于D，DE交BC于H，求证：（1）AI＝BD；（2）OI＝AE．22．如图，H是锐角△ABC的垂心，O为△ABC的外心，过O作OD⊥BC，垂足为D．（1）求证：AH＝2OD；（2）若AO＝AH，求∠BAC的度数．23．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且∠FDE ＝∠A ，∠DEF ＝∠B ．又设△AFE ，△BDF ，△CED 均为锐角三角形，它们的垂心依次为H 1，H 2，H 3，求证：1．∠H 2DH 3＝∠FH 1E ；2．△H 1H 2H 3≌△DEF ．24．如图，△ABC 为锐角三角形，CF ⊥AB 于F ，H 为△ABC 的垂心．M 为AH 的中点，点G 在线段CM 上，且CG ⊥GB ．（1）求证：∠MFG ＝∠GCF ；（2）求证：∠MCA ＝∠HAG ．25．如图，已知H 为锐角△ABC 的垂心，D 是使四边形AHCD 为平行四边形的一点，过BC 的中点M 作AB 的垂线，垂足为N ，K 为MN 的中点，过点A 作BD 的平行线交MN 于点G ，若A ，K ，M ，C 四点共圆．求证：直线BK 平分线段CG ．参考答案一．选择题1．解：如图1，过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F∵MN∥AB，OD＝OE＝OF（夹在平行线间的距离处处相等）如图2，过点O作OD'⊥BC于D'，作OE'⊥AC于E'，作OF'⊥AB于F'，由裁剪知，OD＝OD'，OE＝OE'，OF＝OF'，∴OD'＝OE'＝OF'，∴图2中的点O是三角形三个内角的平分线的交点，∴点O是△ABC的内心，故选：C．2．解：内心是三角形的三条内角平分线的交点，而角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以在三角形的四“心”中，到三角形三边距离相等的是内心；到三个顶点的距离相等的是外心．故选：C．3．解：如图，连接OA、OB、OC、OD，设每一个小方格的边长为1，由勾股定理可求得OA＝OB＝OC＝，OD＝2，∴O点在AB、AC、BC的垂直平分线上，∴点O为△ABC的外心，∵OA＝OC≠OD，∴点O即不是△ACD的重心，也不是△ACD的内心，故选：B．4．解：如图，连接OA、OB、OC；∵∠BOC＝2∠BAC＝2∠BOD，∴∠BAC＝∠BOD；同理可得：∠BOF＝∠BCA，∠AOE＝∠ABC；设⊙O的半径为R，则：OD＝R•cos∠BOD＝R•cos∠A，OE＝R•cos∠AOE＝R•cos∠B，OF＝R•cos∠BOF＝R•cos∠C，故OD：OE：OF＝cos∠A：cos∠B：cos∠C，故选：D．5．解：∵点G是△ABC的重心，∴＝2，作CE⊥AG于点E，连接EF，∴△CEG是直角三角形，∵∠EGC＝60°，∴∠ECG＝30°，那么EG＝CG＝GF，∴GE＝GF，∠FGE＝120°，∴∠GFE＝∠FEG＝30°，而∠ECG＝30°，∴EF＝EC，∵∠EFA＝45°﹣30°＝15°，∠FAD＝∠AGC﹣∠AFC＝15°，∴∠FAD＝∠EFA，∴EF＝AE，∴AE＝EC，∵△AEC是等腰直角三角形，∴∠ACE＝45°，∴∠ACF＝∠ACE+∠ECF＝30°+45°＝75°，故选：D．6．解：结论：△ABC的垂心也一定在该函数图象上；理由：∵A、B、C都在y＝上，∴可设A、B、C的坐标依次是：（a，）、（b，）、（c，）．令H的坐标为（x，y）．容易得出：AB的斜率＝＝﹣，BC的斜率＝＝﹣，AH的斜率＝，CH的斜率＝，∵AH⊥BC，CH⊥AB，∴＝，＝，∴a•＝c•，∴（k﹣ay）（c﹣x）＝（k﹣cy）（a﹣x），∴ck﹣kx﹣acy+axy＝ak﹣kx﹣acy+cxy，∴（a﹣c）xy＝（a﹣c）k．显然，a﹣c≠0，∴xy＝k，即：y＝．∴点H（x，y）在反比例函数y＝的图象上．故选：D．7．解：如图，延长AD交△ABC的外接圆于G，连接BG，CG，∴△ABC的外接圆的半径等于△BGC的外接圆的半径，∵△ABC的外接圆半径为R，∴△BGC的外接圆半径为R，∵点H是△ABC的垂心，∴AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠CAD+∠ACB＝90°，∠CBE+∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠CBE，∵∠CBG＝∠CAD，∴∠CBE＝∠CBG，同理：∠BCF＝∠BCG，在△BCH和△BCG中，，∴△BCH≌△BCG（ASA），∴△BHC的外接圆的半径等于△BGC的外接圆的半径，∵△BHC的外接圆半径为r，∴△BGC的外接圆的半径为r，∴R＝r，故选：A．8．解：如图，连接CE，AF，延长EB交MF于G，延长FB交ME于H，∵以Rt△ABC的两条直角边AB，BC为边作等边△ABE和等边△BCF，∴∠CBE＝90°+60°＝150°，∠FBE＝360°﹣90°﹣60°﹣60°＝150°，在△CBE与△FBE中，，∴△CBE≌△FBE（SAS）；∴CE＝FE，∠FEB＝∠CEB，∴BE⊥CF于G，∴EG是△MEF的边FM上的高，同理：FH是△MEF的边EM上的高，∴点B是△MEF的三边的高，即：点B是△MEF的垂心．故选：A．9．解：∵BE丄AC，CF丄AB，∴四点B、C、E、F共圆（以BC为直径），∴∠EBF＝∠FCE，∵HD丄BD，HF丄BF，∴四点B、D、H、F共圆（以BH为直径），∴∠HBF＝∠FDH，同理，四点C、D、H、E共圆，（以CH为直径），∠HDE＝∠HCE，∴∠HDE＝∠HDF，∴DA平分∠EDF即可．同理可证EB平分∠DEF，FC平分∠EFD，∴H是△DEF的角平分线的交点，∴H是△DEF的内心．故选：C．10．解：延长AH交BC于E点，延长CH交AB于F点，如图，∵三个等圆O1，O2，O3有公共点H，∴∠1所对的弧BH与∠4所对的弧BH为等弧；∠2所对的弧CH与∠5所对的弧CH为同弧；∠3所对的弧AH与∠6所对的弧AH为同弧，∴∠1＝∠4，∠2＝∠5，∠3＝∠6，∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝180°，∴2∠2+2∠3+2∠4＝180°，2∠1+2∠3+2∠2＝180°，∴∠2+∠3+∠4＝90°，∠1+∠3+∠2＝90°，∴AE⊥BC，CF⊥AB，∴点H为△ABC的垂心．故选：C．二．填空题（共7小题）11．解：设AL与⊙O交于点D，与OH交于点N，连接OD，交BC于点M，连接CO并延长交⊙O于点G，连接GA、GB、AO，如图所示，∵CG是⊙O的直径，∴∠CBG＝∠CAG＝90°，∴BG⊥BC，AG⊥AC．∵H为△ABC的垂心，∴AE⊥BC，BF⊥AC，∴AE∥BG，AG∥BF，∴四边形AGBH是平行四边形，∴BG＝AH．∵AL平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，根据垂径定理的推论可得：OD⊥BC．∵AE⊥BC，∴OD∥AE，∴∠ODA＝∠EAD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EAD．∵AL垂直于OH，∴∠ANO＝∠ANH＝90°．在△ANO和△ANH中，，∴△ANO≌△ANH（ASA），∴AO＝AH，∴BG＝AH＝AO＝1．在Rt△GBC中，∵BG＝1，GC＝2，∴BC＝＝．故答案为：．12．解：由勾股定理和相似图形的性质可知，⊙O1的面积+⊙O2的面积＝⊙O3的面积，∵⊙O3可使生产成本节约3元，∴1块这样的残料可使生产成本节约6元．则10块这样的残料可使生产成本节约6×10＝60元．故答案为：60．13．解：延长AM交BC于D，延长CM交AB于E，作直径BF，连结AF，如图，∵BF为⊙的直径，∴∠BAF＝90°，∴sin F＝＝，∴AB＝10•sin F＝10•sin∠ACB，又∵点M为△ABC的垂心，∴AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∴△AEM∽△ADB，∴＝，即AM＝，在Rt△AEC中，∠EAC＝60°，AC＝2AE，即AE＝AC，在Rt△ADC中，sin∠ACD＝，即AD＝AC•sin∠ACD，∴AM＝＝5．故答案为5．14．解：如图，连接BO并延长交圆于F，连接CF，AH，连接AF，CH，过点O作ON⊥BC于N，∵BF是⊙O的直径，∴∠BCF＝∠BAF＝90°，∴ON∥FC，∵OB＝OF，∴ON是△BCF的中位线，∴CF＝2ON．∴BN＝CN＝BC＝5，在Rt△OBN中，OB＝OA＝6，BN＝5，∴ON＝＝，∴CF＝2ON＝2，∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，∵CF⊥BC，∴AH∥CF，同理可得：CH∥AF，∴四边形AHCF是平行四边形，∴AH＝CF＝2∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，∵ON⊥BC，∴AH∥ON，∴∠OAH＝∠NOM，∵OH⊥AM，∴∠AOH＝∠ONM＝90°，∴△AOH∽△ONM，∴，∴，∴OM＝．故答案为．15．解：如图：∵E、F分别是△OAB与△OBC的重心，∴，∴EF∥AC，同理：FG∥BD，HG∥AC，HE∥BD，∴ERUQ，RUSF，USGT，THQU，EFGH是平行四边形，∵，∴，同理：，∴，∴，同理：，，．∴．16．解：如图，过I分别作三边的垂线，垂足为D、F、G，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，ID＝IH＝IG＝r，由△ABC∽△EIG∽△IFH，得＝，＝，解得a＝，b＝，由勾股定理，得c2＝a2+b2，得1＝+，解得r＝，又ab＝2S△ABC＝r（a+b+c），∴＝r（++c），解得c＝m+n+＝m+n+，∴S△ABC＝ab＝＝（）2（m+n+）2＝．故答案为：．17．解：∵I是锐角三角形ABC的内心，∴∠DBI＝∠ABC，∵A1、B1、C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点，∴ID＝A1D＝IA1，∠BDI＝90°，∵点B在△A1B1C1的外接圆上，∴IB＝IA1，∴ID＝IB，∴∠IBD＝30°，∴∠ABC＝60°．故答案为：60°．三．解答题（共8小题）18．解：（1）如图：连接BO并延长交⊙O于点G，连接AG、CG、CO，延长CH交AB于F，延长BH交AC于E，延长AH交BC于N，作OM⊥BC于M．∵BG是直径，∴GA⊥AB，GC⊥BC，∵H为垂心，∴BE⊥AC，CF⊥AB，AN⊥BC，∴GA∥CH，GC∥AH，∴AGCH是平行四边形，∴AG＝GC，∵∠BA C＝60°，OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴OM＝OB＝，BM＝，∴BC＝，又∵OM＝CG，∴AH＝2OM＝1，设凹四边形的面积为S，则S＝S△AHB+S△AHC＝×AH×BN+×AH×CN＝×AH×BC＝，（2）∵BE⊥AC，CF⊥AB，AN⊥BC，∠BAC＝60°，∴∠ACF＝30°，∴∠CHE＝60°，∴∠BHC＝120°，∴B、C、H、O四点共圆，∵∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠CHP＝∠OBC＝30°，∴∠OHC＝∠OCP＝150°，∴△OHC∽△OCP，∴OH•OP＝OC2＝1．19．证明：如图：∵OD⊥BC，FM⊥BC，∴OD∥FM，∵OF⊥AB，DM⊥AB，∴OF∥DM，∵DMFO是平行四边形，同理OFKE，ODNE均为平行四边形，∴MD∥KE，MD＝KE，∴MDEK也是平行四边形，∴DE＝MK，同理DF＝KN，EF＝MN∴△DEF≌△KMN（SSS）．于点Q，20．证明：如图，延长AP交⊙O2连接AH，BD，QB，QC，QH．因为AB为⊙O的直径，1所以∠ADB＝∠BDQ＝90°．（5分）故BQ为⊙O的直径．2于是CQ⊥BC，BH⊥HQ．（10分）又因为点H为△ABC的垂心，所以AH⊥BC，BH⊥AC．所以AH∥CQ，AC∥HQ，四边形ACQH为平行四边形．（15分）所以点P为CH的中点．（20分）21．证明：（1）作IG⊥AB于G点，连BI，BD，如图，∴AG＝（AB+AC﹣BC），而BC＝（AB+AC），∴AG＝BC，又∵AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角，∴∠EAD＝90°，∴O点在DE上，即ED为⊙O的直径，而BD弧＝DC弧，∴ED垂直平分BC，即BH＝BC，∴AG＝BH，而∠BAD＝∠DAC＝∠DBC，∴Rt△AGI≌Rt△BHD，∴AI＝BD；（2）∵∠BID＝∠BAI+∠ABI，而∠BAI＝∠DBC，∠ABI＝∠CBI，∴∠DBI＝∠BID，∴ID＝DB，而AI＝BD，∴AI＝ID，∴OI为三角形AED的中位线，∴OI＝AE．22．（1）证明：如图1，连接BH并延长交AC于E，∴BE⊥AC，过O作OF⊥AC于F，则F为AC的中点，连接CH，取CH中点N，连接FN，DN，则FN∥AM，AH＝2FN，DN∥BE，∵AM⊥BC，OD⊥BC，∴OD∥AM，∴FN∥OD，∵BE⊥AC，OF⊥AC，∴BE∥OF，∵OD⊥BC，∴D为BC中点，∵N为CH中点，∴DN∥BE，∴DN∥OF，∴四边形ODNF是平行四边形，∴OD＝FN，∵AH＝2FN，∴AH＝2OD．（2）解：如图2，连接OB，OC，∴OA＝OB，∵OA＝AH，∴OB＝AH，由（1）知，AH＝2OD，∴OB＝2OD，在Rt△ODB中，cos∠BOD＝＝，∴∠BOM＝60°，∵OD⊥BC，∴∠BOC＝2∠BOD＝120°，∴∠BAC＝∠BOC＝60°．23．证明：（1）∵H2是△BDF的垂心，⊥BF，∴DH2DB＝90°﹣∠B，∴∠H2同理：∠H 3DC ＝90°﹣∠C ，∴∠H 2DH 3＝180°﹣∠H 2DB ﹣∠H 3DC ＝∠B +∠C ， ∵H 1是△AEF 的垂心，∴∠H 1EF ＝90°﹣∠AFE ，∠H 1FE ＝90°﹣∠AEF ， ∴∠EH 1F ＝180°﹣∠H 1EF ﹣∠H 1FE ＝180°﹣（90°﹣∠AFE ）﹣（90°﹣∠AEF ） ＝180°﹣∠A ＝∠B +∠C ，∴∠H 2DH 3＝∠FH 1E ；（2）如图，由（1）知，∠FH 1E ＝∠B +∠C ， ∵∠FDE ＝∠A ，∠A +∠B +∠C ＝180°，∴∠FH 1E +∠EDF ＝180°，∴H 1在△DEF 的外接圆上，同理：H 2，H 3也在△DEF 的外接圆上，∴D ，H 2，F ，H 1，E ，H 3六点共圆，由（1）知，∠EH 1F ＝∠H 2DH 3，∴EF ＝H 2H 3，同理：DF ＝H 1H 3，DE ＝H 1H 2，∴△DEF ≌△H 1H 2H 3（SSS ）．24．证明：（1）如图延长AH 交BC 于T ．∵H 是△ABC 的垂心，∴∠THC ＝∠HFA ＝90°，∵∠THC ＝∠AHF ，∴∠HCT ＝∠FAH ，在Rt △AFH 中，∵AM ＝MH ，∴FM＝AM＝MH，∴∠FAH＝∠MFA，∴∠MFA＝∠HCT，∵BG⊥CM，∴∠BFC＝∠BGC＝90°，∴B、C、G、F四点共圆，∴∠AFG＝∠BCG，∴∠AFM+∠MFG＝∠HCT+∠MCF，∴∠MFG＝∠GCF．（2）∵∠FMG＝∠FMC，∠MFG＝∠MCF，∴△MFG∽△MCF，∴＝，∴MF2＝MG•MC，∵MA＝MF，∴MA2＝MG•MC，∴＝，∵∠AMG＝∠AMC，∴△MAG∽△MCA，∴∠MCA＝∠HAG．25．证明：如图，设BK交CG于E，连接AG，AK，∵A，K，M，C四点共圆，∴∠AC B＝∠AKG（外角等于内对角），∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC，CH⊥AB，∵四边形AHCD是平行四边形，∴CH∥AD，AH∥CD，∴CD⊥BC，AD⊥AB，∴∠BCD＝∠BAD＝90°，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴点A，B，C，D四点共圆，∴∠5＝∠ACB＝∠AKG，∵AH⊥BC，MN⊥AB，AD⊥AB，∴∠1＝∠2＝∠4，∵AG∥BD，∴∠3＝∠4＝∠2，在△ANG和△ANK中，，∴△ANG≌△ANK，∴GN＝KN＝MK，∴MK＝KG，∵直线BKE截得△GMC，由梅涅劳斯定理得：，∵点M是CB中点，∴CB＝2BM，∴GE＝EC，∴直线BK平分线段CG．。
必修4-向量-三角形的五心
PA BC ( PD DA) BC
P A
DA BC
B
D
C
2 2 1 5 1 ( AC AB ) ( AC AB ) ( AB AC ) 2 2 2
问题4 : 在ABC中,已知AB 3, AC 2, 点H , P分别是ABC的垂心和外心, 求 PH BC .
三角形“五心”向量形 式的充要条件 设O为ABC所在平面上一点，角 A、B、C所对边长 分别 为a、b、c，则：
2 2 2
（ 1）O为ABC的外心 OA OB OC ；
（2）O为ABC的重心 OA OB OC 0
（3）O为ABC的垂心 OA OB OB OC OC OA;
问 题2 : 点P为ABC的 外 心 , | AB | 3, | AC | 2, 求 AP BC的 值.
P A
r 2 uuu r2 1 uuu 5 ( AC - AB ) B 2 2
D
C
问题3 : 在ABC 中, AB 3, AC 2, P是 BC中垂线上任一点, 则 PA BC ____ .
（4）O为ABC的内心 a OA b OB c OC 0
（5）O为ABC的A的旁心 a OA b OB c OC
问题1 : 在ABC中, AB 3, AC 2, P是BC中点, 则 AP BC ____ .
r 2 uuu r2 1 uuu 5 ( AC - AB ) 2 2
PH BC ( PA AH ) BC
PA BC AH BC PA BC PA ( AC AB)
A
AP AC AP AB
三角形的五心问题(le)
三角形的五心问题三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．一、重心(G)：三角形三条中线交点. 性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
即：:2:1AG GD =2.重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
即：ABC GACGAB GBC S S S S ∆∆∆∆===313.以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。
即：0=++GC GB GA4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数. 即:重心坐标为)3y ,3(C B A c B A y y x x x ++++5.中线与三边的关系式：2222412121BC AC AB AD -+=推广：(1)2222221()3GA GB GC AB AC BC ++=++（2)2222222222333()3BC GA CA GB AB GC AB AC BC +=+=+=++6.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
即： 222GA GB GC ++最小。
性质证明：1.过点G 做GD 的延长线DH,使得DH=GD,连接BH=CHG DF EABCAGGD GHGD GHAG AH G AC E CH GE BGCH CDBD 2121//=∴==∴∴∴= 又中点。
即为中点为又为平行四边形四边形又2.ABC AGC AGC CGD AGC ABC ACD CGD AGC S S S S S S S S S DG AG ∆∆∆∆∆∆∆∆∆=∴=+===∴=31232122 3.()()()031313132),(21=++∴+=+=+=∴=+=C G B G A G BC A C G C CB A B G B CA B A G A DA AG C AB A D A同理：由 4.)3,3(0=------∴=++c B A G c B A G y y y y x x x x C G B G A G∴)3y ,3CB A G c B A G y y y x x x x ++=++=5.()()22222222222222412121)21((241)))((2(4124121CB C A B A D A C B D A C A B A B D D A C D D A C A B A B A C A C A B A C A B A D A-+=∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++++=∙++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 2222412121BC AC AB AD -+=∴推广：.222222222222222222222222222222223911142242219992219992219991()32333()3GA AD AG AB AC BC AG AB AC BC AB BC AC CG AC BC AB AG BG CG AB BC CA BC GA CA GB AB GC AB BC CA =∴=+-∴=+-=+-=+-∴++=++∴+=+=+=++同理BG6.设三角形三个顶点为112233(,),(,),(,)x y x y x y 平面上任意一点为(),x y 则该点到三顶点距离平方和为：()()()()()()()()()()22222211223322222222123123123123222222221231231231232212312332()32()1133331133x x y y x x y y x x y y x x x x x y y y y y x x x y y y x x x x y y y y x x x y y y x x x y y y -+-+-+-+-+-=-+++-++++++++⎛⎫⎛⎫=-+++-++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-++-++显然当123123y ,)33x x x y y x y ++++==重心坐标）时上式取得最小值。
向量三角形五心试题
A ．外心
B．内心
C ．重心
D ．垂心
6.（ 06 陕西）已知非零向量
→ AB
与
A→C
满足
( A→B |A→B
|
A→C +|A→C |
→
A→B
)·BC =0 且 |A→B |
A→C · |A→C |
1 =2
,
则△ ABC 为 ( )
A ．三边均不相等的三角形
B ．直角三角形
C ．等腰非等边三角形
D ．等边三角形
一定通过 △ ABC 的（
A ．外心
） B．内心
C ．重心
D ．垂心
9. P 是 △ ABC 所在平面上一点， 若 PA PB PB PC PC PA ，则 P 是 △ ABC
的（ ）
A ．外心
B．内心
C ．重心
D ．垂心
2
2
2
2
2
2
10.若 H 为△ ABC所在平面内一点，且 HA BC HB CA HC AB
向量
三角形的四心：
（ 1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成
2： 1；
（ 2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（ 3）内心——角平分线的交点 （内切圆的圆心） ：角平分线上的任意点到角两边的
距离相等；
（ 4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
1. O是 ABC 所在平面上一点，若 OA OB OC 0 ，则 O 是 ABC 的（ ）
ABOC 面积之比是（
A．0
）
3
B．
2
5
C．
4
4
D．
3
三角形五心题解
A. 垂心
B. 重心
OP OA (AB AC ) , [0, ) . 则 P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
3：已知 O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足
OP
OA (
1
(PA
PB
PC )
(其中
P
为平面上任
3
意一点), 则 O 点是△ABC 的( )
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
9：已知 O 是△ABC 所在平面上的一点，若 OA OB OB OC OC OA ，则 O 点是△
C
D
图 10
（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到 垂心的距离是重心到外心距离的 2 倍。
在△ABC 中，已知 Q、G、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H 三点
共线，且 QG:GH=1:2。
向量专题复习
一、与三角形“四心”相关的向量问题
1：已知 O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足
=
S
AOB
=
1 3
S ABC
4.内角平分线定理：:在 ABC 中，AD 是交 A 的平分线 BC 于 D,则 BD AB CD AC
三角形五“心”向量形式的充要条件
设（1O）为O为ABCAB所C在的平外面心上一点OA，2角OA,BB2,CO所C对2 边. 长分别为 a,b, c ，则 （2） O 为 ABC 的重心 OA OB OC 0 .
三角形五心的向量表达式
三角形五星的向量表达式1若P是△ABC的重心PA+PB+PC=02若P是△ABC的垂心PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积）3若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）4若P是△ABC的外心|PA|²=|PB|²=|PC|²（AP就表示AP向量|AP|就是它的模）5AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞)则直线AP经过△ABC内心6AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞)经过垂心7AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）或AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+∞)经过重心8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点【以下是一些结论的有关证明】1.O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量充分性：已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，延长CO交AB于D，根据向量加法得：OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：a(OD+DA)+b(OD+DB)+cOC=0,因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c)OC+(aDA+bDB)=0向量,向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。
必要性：已知O是三角形内心,设BO与AC相交于E，CO与AB相交于F，∵O是内心∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE过A作CO的平行线，与BO的延长线相交于N，过A作BO的平行线，与CO的延长线相交于M，所以四边形OMAN是平行四边形根据平行四边形法则，得向量OA=向量OM+向量ON=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量02.已知△ABC为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},求P点轨迹过三角形的垂心OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},AP=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{(AB•BC/|AB|＾2*sin2B)+AC•BC/(|AC|＾2*sin2C)}, AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180°-B)/(|AB|＾2*sin2B)+|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{-|AB|•|BC|cos B/(|AB|＾2*2sinB cos B)+|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},AP•BC=入{-|BC|/(|AB|*2sinB)+|BC|/(|AC|*2sinC)},根据正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC ∴-|BC|/(|AB|*2sinB)+|BC|/(|AC|*2sinC)=0，即AP•BC=0，P点轨迹过三角形的垂心3.OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线根据正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,所以|AB|sinB=|AC|sinC,所以AP与AB+AC共线AB+AC过BC中点D，所以P点的轨迹也过中点D，∴点P过三角形重心。
(完整版)三角形的五心向量结论证明
三角形的五心向量结论证明1. O 是123PP P ∆的重心⇔1230OP OP OP ++=(其中,,a b c 是123PP P ∆三边)证明：充分性: 1230OP OP OP ++=⇒O 是123PP P ∆的重心若1230OP OP OP ++=，则123OP OP OP +=-，以1OP，2OP 为邻边作平行四边形132'OPP P ，设3OP 与12PP 交于点3P '，则3P '为12PP 的中点，有'123OPOP OP +=，得'33OP OP =-，即'33,,,O P P P 四点共线，故3P P 为123PP P ∆的中线，同理，12,PO P O 亦为123PP P ∆的中线，所以，O 为的重心。
* △ABC 中AC AB +一定过BC 的中点，通过△ABC 的重心1(),31()3AP AB AC P ABC BP BA BC ⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩为的重心， *1()3PG PA PB PC =++⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上任意点).证明 PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+⇒3()()PG AG BG CG PA PB PC =+++++∵G 是△ABC 的重心∴GA GB GC ++=0⇒AG BG CG ++=0，即3PG PA PB PC =++ 由此可得1()3PG PA PB PC =++.(反之亦然(证略))*若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===P 12PP 3O PABC∆()1,2AD AB AC =+ABC ∆2.在中，给等于已知AD 是中BC 边的中线;2. 00AP BC P ABC BP AC ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的垂心* 点O 是123PP P ∆的垂心⇔122331OPOP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅ 证明：O 是123PP P ∆的垂心⇔312OPPP ⊥, 31232132310()0OP PP OP OP OP OP OP OP OP ⋅=⇔⋅-=⇔⋅=⋅同理123OP P P ⊥⇔3112OP OP OP OP ⋅=⋅ 故当且仅当122331OP OP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅.* O 是△ABC 所在平面内一点222222→→→→→→+=+=+ACOB BA OC BC OA则O 是△ABC 的垂心 证明：由，得，所以。
三角形的五心向量结论证明
三角形的五心向量结论证明1. O 是123PP P ∆的重心⇔1230OP OP OP ++=(其中,,a b c 是123PP P ∆三边)证明：充分性: 1230OP OP OP ++=⇒O 是123PP P ∆的重心若1230OP OP OP ++=，则123OP OP OP +=-，以1OP，2OP 为邻边作平行四边形132'OPP P ，设3OP 与12PP 交于点3P '，则3P '为12PP 的中点，有'123OPOP OP +=，得'33OP OP =-，即'33,,,O P P P 四点共线，故3P P 为123PP P ∆的中线，同理，12,PO P O 亦为123PP P ∆的中线，所以，O 为的重心。
* △ABC 中AC AB +一定过BC 的中点，通过△ABC 的重心1(),31()3AP AB AC P ABC BP BA BC ⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩为的重心， *1()3PG PA PB PC =++⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上任意点).证明 PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+⇒3()()PG AG BG CG PA PB PC =+++++∵G 是△ABC 的重心∴GA GB GC ++=0⇒AG BG CG ++=0，即3PG PA PB PC =++ 由此可得1()3PG PA PB PC =++.(反之亦然(证略))*若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===P 12PP 3O PABC∆()1,2AD AB AC =+ABC ∆2.在中，给等于已知AD 是中BC 边的中线;2. 00AP BC P ABC BP AC ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的垂心* 点O 是123PP P ∆的垂心⇔122331OPOP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅ 证明：O 是123PP P ∆的垂心⇔312OPPP ⊥, 31232132310()0OP PP OP OP OP OP OP OP OP ⋅=⇔⋅-=⇔⋅=⋅同理123OP P P ⊥⇔3112OP OP OP OP ⋅=⋅ 故当且仅当122331OP OP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅.* O 是△ABC 所在平面内一点222222→→→→→→+=+=+ACOB BA OC BC OA则O 是△ABC 的垂心 证明：由，得，所以。
向量五心终极版本(老师)讲解学习
向量五心终极版本(老师)收集于网络，如有侵权请联系管理员删除向量与三角形内心、外心、重心、垂心、旁心知识的交汇一、五心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
(5) 旁心——三角形两条外角平分线和一条内角平分线的交点二、 “重心”的向量风采【命题1】 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r，则G 是ABC△的重心．如图⑴.A'A【命题2】 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心.【解析】 由题意()AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，当(0)λ∈+∞，时，由于()AB AC λ+u u u r u u u r表示BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心，如图⑵.二、“垂心”的向量风采【命题3】 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的垂心．【解析】 由PA PB PB PC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，得()0PB PA PC ⋅-=u u u r u u u r u u u r，即0PB CA ⋅=u u u r u u u r ，所以PB CA u u u r u u u r ⊥．同理可证PC AB u u u r u u u r ⊥，PA BC u u u r u u u r⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.【命题4】 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．【解析】 由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，由于0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 图⑴图⑵图⑶图⑷A收集于网络，如有侵权请联系管理员删除即0cos cos AB BCAC BCBC CB AB B AC C⋅⋅+=-=u u u r u u u r u u u r u u u ru u u u r u u u u r u u u ru u u r,所以AP u u u r 表示垂直于BC uuu r 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷.三、“内心”的向量风采【命题5】 已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=u u r u u r u u r，则I 是ABC △的内心．【解析】 ∵IB IA AB =+u u r u u r u u u r ，IC IA AC =+u ur u u r u u u r ，则由题意得()0a b c IA bAB c AC ++++=u u r u u u r u u u r ，∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB AC⎛⎫ ⎪+=⋅+⋅=⋅⋅+⎪⎝⎭u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴bc AB AC AI a b c AB AC⎛⎫⎪=+⎪++⎝⎭u u u r u u u r u u r u u u r u u u r ．∵AB AB u u u r u u u r 与ACACu u u ru u u r 分别为AB u u u r 和AC u u u r 方向上的单位向量，∴AI u u r与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC ∠．同理可证：BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心，如图⑸.【命题6】 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心． 【解析】 由题意得AB AC AP AB AC λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴当(0)λ∈+∞，时，AP u u u r 表示BAC ∠的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹.四、“外心”的向量风采【命题7】 已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC ==u u u u r u u u u r u u u u r ，则O 是ABC △的外心．【解析】 若222OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r ，则222OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r ，∴OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r，则O 是ABC △的外心，如图⑺。
三角形的五心及相关习题.doc2
三角形的五心及相关习题三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍． 三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)． 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =Sp．特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )．3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2． 4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)． 每个三角形都有三个旁切圆． A 类例题 例1 证明重心定理。
证法1 如图，D 、E 、F 为三边中点，设BE 、CF 交于G ，连接EF ，显然EF ∥=12BC ，由三角形相似可得GB ＝2GE ，GC =2GF ．又设AD 、BE 交于G '，同理可证G 'B =2G 'E ，G 'A =2G 'D ，即G 、G '都是BE 上从B 到E 的三分之二处的点，故G '、G 重合．即三条中线AD 、BE 、CF 相交于一点G ．证法2 设BE 、CF 交于G ，BG 、CG 中点为H 、I ．连EF 、FH 、HI 、IE ，AB COABCDEFG AB CDEFI aIK HE FABCMABCDEFG因为EF ∥=12BC ，HI ∥=12BC ， 所以 EFHI 为平行四边形．所以 HG =GE 、IG=GF ，GB =2GE ，GC =2GF ．同证法1可知AG =2GD ，AD 、BE 、CF 共点． 即定理证毕．情景再现1．设G 为△ABC 的重心，M 、N 分别为AB 、CA 的中点，求证：四边形GMAN 和△GBC的面积相等．2．三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍．B 类例题例3 过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N . 作点P 关于MN 的对称点P '.试证：P '点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》) 分析 分析点M 和N 的性质，即能得到解题思路。
(完整版)用向量表示三角形的五心
用向量表示三角形的五心如图，ABC ∆中，E 是AC 上一点，F 是AB 上一点，且ln EC AE l m FB AF ==,（通分总可以把异分母分数化为同分母分数）.连接BE 、CF 交于点D ，确定点D 的位置. 解:设.,b AC a AB == DF CD DE BD μλ==,由定比分点的向量表达式,得b a m l m a m l m b AB ml m AC AF AC AD b n l n a AC nl n AB AE AB AD μμμμμμμμμμμλλλλλλλλ++++=++++=+⋅+++=++=++++=+⋅+++=++=11))(1())(1(11)(1111))(1(11)(1111 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++++=+∴n m l m n l n l n m l m μλμλλμμλ解得11))(1())(1(11 代入得:b nm l n a n m l m AD +++++= 设O 是平面上任意一点,则有.,,OA OC b OA OB a OA OD AD -=-=-= 上式可化为:OC nm l n OB n m l m OA n m l l OD ++++++++= (*) 由(*)式出发,可得三角形五心的向量表达式.(1).若BE 、CF 是∆ABC 两边的中线,交点D 是三角形的重心.则1,1====FBAF l m EC AE l n )(31OC OB OA OD ++=(2)若BE 、CF 是∆ABC 两内角的平分线，交点D 是三角形的内心.则ab BC AC FB AF l m ac BC AB EC AE l n ======, 代入(*)式得:.OC cb ac OB c b a b OA c b a a OD ++++++++=(3)若BE 、CF 是∆ABC 两边上的高，交点D 是三角形的垂心. A B C D E F则Aa B bFBAF l m A a C c C a A c EC AE l n cos cos ,cos cos cos cos ===⋅⋅==同理. OC Cc B b A a C cOB C c B b A a B b OA C c B b A a A a OD cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos ++++++++=∴ (4)若BE 、CF 的交点D 是∆ABC 的外心,即三边中垂线的交点,则有:DA=DB=DC. 根据正弦定理有:A C A A C C BDC A ADBC CBE C BE EBA A BE EC AE l n 2sin 2sin cos sin cos sin )(21sin sin )(21sin sin sin sin sin sin =⋅⋅=∠-⋅∠-⋅=∠⋅∠⋅==ππ 同理AB FB AF l m 2sin 2sin == OC CB AC OB C B A B OA C B A A OD 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ++++++++=∴(1) 重心O:0=++OC OB OA(2) 内心O:0=++OC c OB b OA a(3) 垂心O:0cos cos cos =++OC Cc OB B b OA A a (4) 外心O:02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A(5) A 对的旁心O:0=++-OC c OB b OA a ; B 对的旁心O:0=+-OC c OB b OA aC 对的旁心O:0=-+OC c OB b OA a . E。
高中数学平面几何--三角形的五心的重要结论及经典例题
三角形“五心”的重要结论及经典例题1．重心(中线交点)①G 是△ABC 的重心⇔0GA GB GC ++= 证明 作图如右，图中GB GC GE +=连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GB GC GE +=代入GA GB GC ++=0，得GA EG +=0⇒2GA GE GD =-=-，故G 是△ABC 的重心.(反之亦然(证略))②1()3PG PA PB PC =++⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上的点).证明 PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+⇒3()()PG AG BG CG PA PB PC =+++++ ∵G 是△ABC 的重心∴GA GB GC ++=0⇒AG BG CG ++=0，即3PG PA PB PC =++由此可得1()3PG PA PB PC =++.(反之亦然(证略)例、已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证 △P 1P 2P 3是正三角形.(《数学》第一册(下)，复习参考题五B 组第6题)证明 由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =12-， 同理2OP ·3OP =3OP ·1OP =12-， ∴|12P P |=|23P P |=|31P P△P 1P 2P 3是正三角形.反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |.即O 是△ABC 所在平面内一点，1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正 △P 1P 2P 3的中心.三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别 作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′. 易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′，∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF . 例．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF . (1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′.AA 'F F 'GE E 'D 'C 'P C B D不妨设a ≥b ≥c ，有CF =2222221c b a -+， BE =2222221b ac -+，AD =2222221a cb -+.将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =a 23，BE =b 23，AD =c 23. ∴CF :BE :AD =a 23:b 23:c 23=a :b :c .故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′， ∴∆∆S S '＝(aCF )2. 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有∆∆S S '=43.∴22aCF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2⇒a 2+c 2=2b 2.2．垂心(高线交点)三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.H 是△ABC 的垂心⇔HA HB HB HC HC HA •=•=• 由()00HA HB HB HC HB HC HA HB AC HB AC ⋅=⋅⇔⋅-=⇔⋅=⇔⊥, 同理HC AB ⊥，HA BC ⊥.故H 是△ABC 的垂心.(反之亦然(证略))若H 是△ABC (非直角三角形)的垂心，则 S △BHC ：S △AHC ：S △AHB =tanA ：tanB ：tanC 故tanA ·HA +tanB ·HB +tanC ·HC =0 例、设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛) ABC DH ABCDO A A 12分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知13212sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4；由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2. 易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2，故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称. 同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.例、H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2. 求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)， ①又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2 =AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ② 而ABH AH∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A ,Aasin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有 A 21A=r 2+bca cb 2222-+·bc -(4R 2-a 2)=21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.∥=∥=H H HM AB B A A BC CC F12111222D E故有AA 1=BB 1=CC 1.3．外心(边垂直平分线交点，外接圆圆心)三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. O 是△ABC 的外心⇔|OA |=|OB |=|OC |(或OA 2=OB 2=OC 2)(点O 到三边距离相等) ⇔(OA +OB )·AB =(OB +OC )·BC =(OC +OA )·CA =0(O 为三边垂直平分线) 若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sinBOC ：sinAOC ：sinAOB =sin 2A ：sin 2B ：sin 2C故sin 2A ·OA 2sin 2B ·OB +sin 2C ·OC =0 例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP=NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点N 是△P ′PC 的外心.有∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ，∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC .∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似. (B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形O 1PO 2QO 3S 后再由外心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K =21(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2)=21∠PO 1S =∠A ；A B C PP MN 'A B C QK P O O O ....S 123同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC .4．内心(角平分线交点，内切圆圆心)三角形内切圆的圆心，简称为内心. O 是△ABC 的内心充要条件是()()()0||||||||||||AB ACBA BCCA CBOA OB OC AB AC BA BC CA CB •-=•-=•-=引进单位向量，使条件变得更简洁。
向量补充：三角形的五心
三角形的五个“心” 重心：三角形三条中线交点• 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点 内心：三角形三内角的平分线相交于一点 垂心：三角形三边上的高相交于一点旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点考试内容：向量.向量的加法与减法.实数与向量的积.平面向量的坐标表示.线段的定比 分点. 平面向量的数量积.平面两点间的距离、平移.考试要求：(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念. (2) 掌握向量的加法和减法.(3) 掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4) 了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5 )掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、 角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.(6)掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用 掌握平移公式.知识要点1. 本章知识网络结构2. 向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 AB ;字母表示：a ；坐标表示法 a =xi + y j =(x , y ). ⑶向量的长度：即向量的大小，记作丨 a | .⑷ 特殊的向量：零向量 a = 0=| a |= Q单位向量a 。
为单位向量：二| a o |= 1.⑹ 相反向量：a =- b ：二 b =- a ：= a +b =0⑺平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量 为共线向量. 3. 向量的运算平面向量⑸相等的向量：大小相等，方向相同(x1,y 1)=( x 2,.记作a // b .平行向量也称(1) 平面向量基本定理e, e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有对实数入1,入2,使a =入i e i+入2e\ (2) 两个向量平行的充要条件a// b= a=入b(b工0)= x i y2 —X2y i= O.(3) 两个向量垂直的充要条件a丄b= a • b= 0= x1x2+ y1y2= O.(4) 线段的定比分点公式设点P分有向线段所成的比为入，即RP =入PF2，贝U—1 一1 一0P = —r OR + —r0巳(线段的定比分点的向量公式)1 - . 1 ■+ 妝2x = -- 1,\1+丸 (线段定比分点的坐标公式)■ y = ----------- y[….当入=1时，得中点公式:X 1 x 22y iy 2 2(5) 平移公式设点F (x , y)按向量a =( h , k )平移后得到点 P'( x ', y '),—- ——- X r = x + h 则OP' = OP +a 或丿 'y ' = y + k.曲线y = f (x )按向量a = ( h , k )平移后所得的曲线的函数解析式为：y — k = f (x — h )空间向量1 •空间向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量 . 注：⑴空间的一个平移就是一个向量 *⑵向量一般用有向线段表示 +同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2.空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下OB = OA AB = a b BA = OA -OB = a - b OP = a( ■ R)运算律：⑴加法交换律： a • b = b a⑶数乘分配律： (a b^b3共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平 行向量.a 平行于b 记作a//b .当我们说向量a 、b 共线(或a 〃 b )时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是 同一直线，也可能是平行直线.4 •共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量 a 、b 丰0，a // b 的充要条件是存在实数(OR + OP ?)⑵加法结合律:(a b) c = a (b c) 入使a = xb .:：a, b2，则称a 与b 互相垂直，记作：a _ b .9.向量的模: 设OA =a ，则有向线段0A 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：常|.10.向量的数量积:a b =怡| ]b| cos ：a,b ■.已知向量AB=a 和轴丨，e 是丨上与丨同方向的单位向量，作点A 在丨上的射影A ，作点B在丨上的射影B ［贝U A B •叫做向量AB 在轴丨上或在e 上的正射影.ABhlAB可以证明的长度|| cos ：： a,e =|a e|.11.空间向量数量积的性质:(1) a e a | cos ：： a, e -. (2) a _ b = a b = 0 . (3) | a |2 = a a .推论：如果丨为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线，那么对于任意一点 0,点P 在直线丨上的充要条件是存在实数 t 满足等式 OP " =0A t a •其中向量a 叫做直线I ① 式叫做平面 MAB 的向量表达式. 7空间向量基本定理：如果三个向量 a,b,c 不共面，那么对空间任一向量x,y,z ，使 p =xa yb zc ・推论：设0,A, B,C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x, y, z ，使 OP 二 xOA yOB zOC+8空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量a,b ，在空间任取一点 0，作0A 二a,OB=b ，则.AOB 叫做向量a 与记作::a,b -；且规定 0 _：：： a,b _「：，显然有：:：a,b =b, a ；若的方向向量.5. 向量与平面平行：,已知平面:-和向量a ,作OA 二a ,如果直线OA 平行于或在〉内，那么我们说向量 a 平行于平面：•，记作：a//〉.通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 *说明：空间任意的两向量都是共面的 . 6. 共面向量定理： 彳 如果两个向量a,b 不共线，p =xa yb.推论：空间一点P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对T —TT T=xMA yMB 或对空间任一点 0，有OP = OM xMA yMB ① MP与向量a,b 共面的充要条件是存在实数x, y 使x, y ，使，存在一个唯一的有序实数组b 的夹角，12•空间向量数量积运算律：（i）（ a b =%（a b）=a（■ b）•（2）a b =b a （交换律）（3）a （b c^a b a c（分配律）.空间向量的坐标运算一.知识回顾：（1 ）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）①令 a =（a1,a2,a3）,b =（b i,b2,b3），则a b =（a i _b i,a2 _b2,a3_b3）■ a =（，a i, £2, ■ a3）（,；.. R） a b =a i b i a2b2 a3b3 a IIa i a? a 3 -bua i =，b i,a2 二b2,a^，b3（= R） a _b：= a i b i a2b2 a3b^0b i b2 b3a =ja a 2七 2 2七32（用到常用的向量模与向量之间的转化：|彳2=玄an =Va石）ab,_a i bi_a2b2_a3b3_cosgb 二|a| ,|bl v'a i2 +a；+a[ Jb：代；+b[（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面、丄，则称这个向量垂直于平面②空间两点的距离公式： d =（X2 -X i）2（y2 -y i）2（z? -z j2•如果al「.、那么向量a叫做平面:-的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面:-的法向量，AB是平面:-的一条射线，其中Ah*,则点B到平面「的距离为1 AB n| .|n|②利用法向量求二面角的平面角定理：设n i, n2分别是二面角二「I - ：中平面「，：的法向量,则n i, n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n i, n?方向相同，则为补角，n i, n?相反方向，则为其夹角）•③证直线和平面平行定理：已知直线 a •匚平面〉，A B a,C D:，且CDE三点不共线，则a l :-的充要条件是存在有序实数对■」使AB二，CD，iCE •（常设AB二，CD •」CE求解',」若’，「存在即证毕，若’，」不存在，则直线AB与平面相交）•。
向量与三角形的五心 (1)
xy
10、已知点O为ABC的外心,且 | AC | 4,| AB | 2,
则AO BC等于(
)
A
A.2 B.4 C.6 D.8
O
C
D
B
解: 过O作OD BC于D,则D为BC中点,
AO BC (AD DO) BC AD BC
1
( AB
AC )( AC
AB)
1
(
2
AC
2
AB )
6.
2
2
N
M
G
x
y
B
C
设G为三角形的重心, AG 1 (AB AC) 1 AM 1 AN,
3
3x
3y
又 M、G、N共线, 1 1 1,即 1 1 3.
3x 3y
xy
(法3)设G为三角形的重心故AG 1 ( AB AC), A
3
MG AG AM 1 (AB AC) x AB
N
(1
A.9 B.6 C.4 D.3
解 : FA FB FC 0, F是ABC的重心,
y
D
A
B
oF
x
xA xB xC 1,
C
3
| FA | | FB | | FC |
1 xA 1 xB 1 xC 6.
B
13、在ABC中,已知A(x1, y1)、B(x2, y2 )、C(x3, y3),
P
C
O是ABC的外心,| OA || OB || OC |,即| a || b || c | .
(1) AM OM OA (a b c) a b c,
BC OC OB c b,
AM
BC
(b
c)(c
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向量三角形的四心：（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
1.O 是ABC ∆所在平面上一点，若0=++OC OB OA ，则O 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心2.O 是ABC ∆所在平面上一点，若OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则O 为ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心3.O 是ABC ∆所在平面上一点，且a ,b ,c 是三角形的三条边长，0=++OC c OB b OA a ，则0为ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心4.O 是ABC ∆==，则O 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5.O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心6.（03全国理4）O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心7.O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心8. 已知O 是平面上的一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 9. P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC△的（ ）A ．外心B ．内心C．重心D ．垂心10.若H 为△ABC ==则点H 是△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心11.O 是ABC ∆所在平面上一点，|CB |CB |CA |CA OC )|BC |BC |BA |BA OB )ACAC |AB |AB (OA =⋅=⋅=⋅则点O 的是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心12.设△ABC 的外心为O ，若)(31OC OB OA OG ++=，则点G 为△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心13.设△ABC 的外心为O ，若OC OB OA OH ++=，则点H 为△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心14. 已知O 是平面上的一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，若2211,22AO AB AB AO AC AC ==；则O 为ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心练习：1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为（ ）A ．2B ．23C ．3D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 3．点O 在ABC ∆内部且满足022=++OC OB OA ，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是（ ）A ．0B ．23 C ．45 D ．344．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OC OB OA OH ++=，则H 是ABC ∆的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6.（06陕西）已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 ,则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形7．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形8.ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m =9．已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a ·b=0，则|x|+|y|=__________.10．设s, t 为非零实数，a, b 为单位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，则a 和b 的夹角为__________.11．在△ABC 中，M 是AC 中点，N 是AB 的三等分点，且NA BN 2=，BM 与CN 交于D ，若BM BD λ=，则λ=__________.12．已知OB OA ,不共线，点C 分AB 所成的比为2，OB OA OC μλ+=，则=-μλ__________.13．已知OB a OA ,==b, a ·b=|a-b|=2，当△AOB 面积最大时，a 与b 的夹角为______. 14．把函数y=2x 2-4x+5的图象按向量a 平移后得到y=2x 2的图象，c =(1, -1), 若b a ⊥，c ·b=4，则b 的坐标为__________.15．将向量a =(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转4π得到向量b ，则b 的坐标为__________.16．在Rt △BAC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，试问PQ 与BC 的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值。
17．在四边形ABCD 中，d DA c CD b BC a AB ====,,,，如果a ·b=b ·c=c ·d=d ·a ，试判断四边形ABCD 的形状。
18．已知]),0[)(cos 1,sin 1(),sin ,(cos πθθθθθ∈++==OQ OP ，则|PQ |的取值范围是__________.19．已知a=(2, 1), b =(λ, 1)，若a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________.20．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则)(OC OB OA +⋅的最小值为__________.21．在直角坐标系内，O 为原点，点A ，B 坐标分别为（1，0），（0，2），当实数p, q 满足111=+qp 时，若点C ，D 分别在x 轴，y 轴上，且OB q OD OA p OC ==,，则直线CD 恒过一个定点，这个定点的坐标为___________.22．p 为△ABC 内心，角A ，B ，C 所对边长分别为a, b, c. O 为平面内任意一点，.,,z OC y OB x OA ===则OP =___________（用a, b, c, x, y, z 表示）23．已知平面上三个向量a, b, c 均为单位向量，且两两的夹角均为1200，若|k a+b+c|>1(k ∈R)，则k 的取值范围是___________.24．平面内四点A ，B ，C ，D 满足9||,11||,7||,3||====DA CD BC AB ，则BD AC ⋅的取值有___________个.25．O 为△ABC 所在平面内一点，A ，B ，C 为△ABC 的角，若sinA ·OA +sinB ·OB +sinC ·O OC =，则点O 为△ABC 的___________心. 26．在△ABC 中，b CA c BC a AB ===,,，又(c ·b)：(b ·a)：(a ·c)=1：2：3，则△ABC 三边长之比|a|：|b|：|c|=____________.27.（2007年全国高中联赛）在AEF 中，B 是EF 的中点，1AB EF ==，6BC =，CA =，若2AB AE AC AF +=，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于．CDBAC BDADD BCDA练习：1--10：CDCDD DC 1，52+,2π 11-15：54,31-,3π,(6，2)，)223,22(, 16--20：0 0，矩形，[]6,2，221≠->λλ且，21-21--25：（1,2），c b a zc y b x a OP ++++=，K<O 或K>2，1，内心，26--27：5:3:2，32。