向量三角形五心试题

向量

三角形的四心：

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；

（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；

（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 1.O 是ABC ∆所在平面上一点，若0=++OC OB OA ，则O 是ABC ∆的（ ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

2.O 是ABC ∆所在平面上一点，若OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则O 为ABC ∆的（ ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

3.O 是ABC ∆所在平面上一点，且

a ,

b ,

c 是三角形的三条边长，

0=++OC c OB b OA a ，则0为ABC ∆的（ ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

4.O 是ABC ∆

==，

则O 是ABC ∆的（ ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

5.O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，

则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心

6.（03全国理4）O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P

满足AC AB OA OP +

+=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的

（ ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

7.O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满

足

AC AB OA OP +

+=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过

ABC ∆的（ ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

8. 已知O 是平面上的一定点，A

B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭

，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹

一定通过ABC △的（ ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心 9. P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC

△的（ ）

A ．外心

B ．内心

C

．重心

D ．垂心

10.若H 为△ABC ==

则点H 是△ABC 的（ ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

11.O 是ABC ∆所在平面上一点，

|

CB |CB |

CA |CA OC )|

BC |BC |

BA |BA OB )AC

AC |

AB |AB (

OA =⋅=⋅=⋅

则点O 的是ABC ∆的（ ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

12.设△ABC 的外心为O ，若)(3

1

OC OB OA OG ++=

，则点G 为△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心

13.设△ABC 的外心为O ，若OC OB OA OH ++=，则点H 为△ABC 的（ ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

14. 已知O 是平面上的一定点，A

B C ，，是平面上不共线的三个点，若2211

,22

AO AB AB AO AC AC =

=；则O 为ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心

练习：

1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为（ ）

A ．2

B ．

2

3

C ．3

D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则

=⋅OB OA ( )

A ．

21 B ．0 C ．1 D ．2

1- 3．点O 在ABC ∆内部且满足022=++OC OB OA ，则ABC ∆面积与凹四边形

ABOC 面积之比是（ ）

A ．0

B ．

23 C ．45 D ．3

4

4．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OC OB OA OH ++=，则H 是ABC ∆的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若

222OB BC OA =+2

22AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的（ ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

6.（06陕西）已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →

=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 ,

则△ABC 为( )

A ．三边均不相等的三角形

B ．直角三角形

C ．等腰非等边三角形

D ．等边三角形

7．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2

，则

ABC ∆为（ ）

A ．等腰三角形

B ．等腰直角三角形

C ．直角三角形

D ．既非等腰又非直角三角形

8.ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，

)(OC OB OA m OH ++=，则实数m =

9．已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a ·b=0，则|x|+|y|=__________.

10．设s, t 为非零实数，a, b 为单位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，则a 和b 的夹角为__________.

11．在△ABC 中，M 是AC 中点，N 是AB 的三等分点，且NA BN 2=，BM 与CN 交于D ，若BM BD λ=，则λ=__________.

12．已知OB OA ,不共线，点C 分AB 所成的比为2，OB OA OC μλ+=，则