三角形五心的向量表示

三角形五心的向量表示
J DZ 小飞
在空间中，如果一个向量所在直线平行于一个平面或在一个平面内，则称这个向量平行于该平面.我们把平行于同一平面的一组向量称为共面向量，不平行于同一平面的一组向量称为不共面向量.
定理1（平面向量基本定理）：如果向量,a b 不共线，那么向量r 与向量,a b 共面的
充要条件是
λµ=+r a b ，
（1）
其中,
λµ是被向量,a b 和r 唯一确定的数量.
推论1：三个向量a b c 、、共面的充要条件是存在三个不全为零....的实数λµν、、，使
λµν++=a b c 0.
（2）
推论2：三个向量a b c 、、其中无二者共线，则共面的充要条件是存在三个全不为零....的实数λµν、、，使
λµν++=a b c 0.
（3）
推论3：如果三个不共面向量a b c 、、满足：λµν++=a b c 0，其中,,R λµν∈，那么
0λµν===.
推论4：平面O 、A 、B 三点不共线，则点C 在平面OAB 上的充要条件是
OC OA OB λµ=+������������
，
（4）
其中,λµ是被向量OA ����，OB ����和OC ����
唯一确定的数量.
【注意】《共面向量·推论4》与《共线向量·推论4》是有区别的。

《共线向量·推论4》：平面O 、A 、B 三点不共线，则点C 在直线AB 上的充要条件是
OC OA OB λµ=+������������，
其中,λµ是被向量OA ����，OB ����和OC ����
唯一确定的数量，且1λµ+=.
定理2(平面向量基本定理的面积表示)：已知ABC ∆，则点M 在平面ABC 上的充要条件是
.
AMC ABM
ABC ABC
S S AM AB AC S S ∆∆∆∆=+�������������
i i （5）
其中ABM S ∆、AMC S ∆和ABC S ∆
是有向面积。

图1
证明：由定理1易知其充分性成立.下面证明其必要性.
1）当点M 在直线BC 上时，由《共线向量·推论9》即知命题成立.
2）当直线AM 与直线BC 相交时（如图1），设直线AM 与直线BC 交于点D ，则
由《共线向量·定理1》知，
A M D 、、三点共线AM AM AD AD
⇔=���������，()
AD ≠0����
，
由《共线向量·推论9》知，
B C D 、、三点共线ADC ABD
ABC ABC S S AD AB AC S S ∆∆∆∆⇔=⋅+⋅������������
，
ADC ABD
ABC ABC S S AM AM AM AD AB AC S S AD AD ∆∆∆∆⎛⎞==+⎜
⎟⎝⎠∴�����������������i ,AMC ADC ABM ABD
ADC ABC ABD ABC
S S S S AB AC S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆=+��������
i i i ,
AMC ABM
ABC ABC
S S AB AC S S ∆∆∆∆=+��������
i .
3）当直线AM 与直线BC 平行时，延长BA 至B ′，使AB BA ′=，作直线CB ′.
若点M 在直线B C ′上时，由《共线向量·推论9》知，
.
ACM AMB ACB ACB S S AM AC AB S S ′
∆∆′′
∆∆′=+�������������
i i 若直线AM 与直线BC 相交（如图1），则设直线AM 与直线'B C 交与点D ，由上面2）
的结论知，
'
''
ACM AMB ACB ACB S S AM AC AB S S ∆∆∆∆′=+�������������
i .
∵AB BA ′=，∴,
AMB ABM ACB ABC S S S S ∆′∆∆′∆==，
又∵'ACM AMC AB AB S S ∆∆=−=−���������
，，∴AMC ABM
ABC ABC
S S AM AB AC S S ∆∆∆∆=+�������������
.
综上所述，其必要性成立.证毕.
定理3：（面积坐标基本定理）已知ABC ∆，点P 在平面ABC 外，则点M 在平面ABC
上的充要条件是
,.MBC AMC ABM
MBC AMC ABM ABC ABC ABC ABC
S S S PM PA PB PC S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆=++++=�����������������
i i i （6）
即，点M 在平面ABC 上的充要条件是点M 的面积坐标是
()::::,MBC AMC ABM
MBC AMC ABM ABC ABC ABC S S S M M S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆⎛⎞
=⎜⎟⎝⎠
（7）
且满足MBC AMC ABM ABC S S S S ∆∆∆∆++=.
【注】点M 的面积坐标()::MBC AMC ABM M S S S ∆∆∆也记作：{},,MBC AMC ABM M S S S ∆∆∆。

证明：∵点P 在平面ABC 外，∴向量PA PB PC ������������
、、不共面.
∴点M 在平面ABC 上，
AMC ABM
ABC ABC
S S AM AB AC S S ∆∆∆∆⇔=+�������������
i ，
（定理2），
()()
AMC ABM
ABC ABC
S S PM PA PB PA PC PA S S ∆∆∆∆⇔−=−+−�������������������������
，
1AMC AMC ABM
ABM
ABC ABC ABC ABC S S S
S PM PA PB PC S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆⎛⎞⇔=−−+
+⎜⎟⎝⎠
�����������������i i i ，,MBC AMC ABM
MBC AMC ABM ABC ABC ABC ABC
S S S PM PA PB PC S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆==+⇔+++�����������������
i i i .
证毕.
推论5：已知ABC ∆，点M 在平面ABC 上的充要条件是
0,MBC AMC ABM MBC AMC ABM ABC S MA S MB S MC S S S S ∆∆∆∆∆∆∆=⋅+⋅+⋅=++��������������
．
（8）
推论6：已知ABC ∆，点P 在平面ABC 外，以a b c 、、分别表示ABC ∆三角
A B C 、、的对边.则有
（i）点G 为ABC ∆重心的充要条件是
3PA PB PC
PG ++=
����������������，（9）
0GA GB GC ++=�������������.
（10）
（ii）点I 为ABC ∆内心的充要条件是
sin sin sin sin sin sin aPA bPB cPC A PA B PB C PC
PI a b c A B C ++⋅+⋅+⋅==
++++���������������������������.（11）
sin sin sin 0aIA bIB cIC A IA B IB C IC ++=⋅+⋅+⋅=�������������������
.
（12）
（iii）点a I 为ABC ∆角A 内的旁心的充要条件是
a aPA bPB cPC
PI a b c
−++=
++������������
����，（13）
0a a a aI A bI B cI C −++=�������������
.(其余类推).
（14）
（iv）点H 为ABC ∆垂心的充要条件是
tan tan tan tan tan tan A PA B PB C PC
PH A B C ⋅+⋅+⋅=
++������������
����，（15）
tan tan tan 0A HA B HB C HC ⋅+⋅+⋅=�������������.
（16）
（v）点O 为ABC ∆外心的充要条件是
sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2A PA B PB C PC
PO A B C ⋅+⋅+⋅=
++������������
����，（17）
sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=�������������.
（18）
推论7：若ABC ∆的三个顶点的平面直角坐标分别为()11A x y ，，()22B x y ，，
()33C x y ，，点M 在平面ABC 上，点M 的平面直角坐标为()M x y ，，点M 面积坐标
为{}M αβγ，，.则
1231
23
x x x y y y x y αβγαβγαβγαβγ
++++=
=++++，.（19）
推论8：ABC ∆的三个顶点的面积坐标分别为{}1,0,0A 、{}0,1,0B 、{}0,0,1C ，则
ABC ∆内部的点的面积坐标的符号为{},,+++，其他七个区域的符号如下图2.
图2。