三角形“五心”的充要条件的向量表示
完整版三角形的五心向量结论证明
三角形的五心向量结论证明1. O是RP2R的重心UJU uuir umr rOp OP, OP3 0(其中a,b,c 是PP2P3 三边)P2 PP3uu uur uur r证明：充分性：OR OF2 OP30 O是PP2F3的重心uuu uir uur r uur uur uur uuur uur若OR OP，OP3 0 ，则O R OP2 OR，以OR，OF2OP1P3 ' P2，设OP3与RP2交于点P3，则F3为RF2的中点，有即O,R, P,p四点共线，故PP2P3的中线，同理,uur uuuOP3 OP3 ，为邻边作平行四边形uurOP1uur uuur,OP2OP3，得PO, P2O亦为PP2P3的中线，所以，O为的重心。
2•在ABC中，给uurADuur uuuAB AC ,等于已知AD是ABC 中BC边的中线；————uur* △ ABC中AB AC 一定过BC的中点，通过△ABC的重心luuAPuuBP*PUG1 uuu(AB31 uuu-(BA31 uur -(PAuurAC),uurBC),P为VABC的重心uur uirPB PC)uuu uu uur uur uur urir uur uur uur uur uuu uuu uuu uurPG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC)-G是厶ABC的重心uur uuu uuu r UU uur uuu r 亦uur uuu uuu uuu-GA GB GC = 0 AG BG CG : =0，即3PG PA PB PCG ABC的重心（P是平面上任意点）.证明（反之亦然（证略））uurPBuirPC).uur 1 uur 由此可得PG (PA3S*若O是ABC的重心，则BOC S AOC S AOB1SS ABC3uuu umrAPgBC 0 2. uuu uuirBPgAC 0则0是厶ABC 的垂心证明：由 OA '\BC 3 = 003 +CA J ,得 -0?)3 = OB \COC -OA )2 ,所以.■ .' ■''"。
三角形五“心”向量形式的充要条件
结论 5 若 O 是 △A B C 所在平面上一
点 ,则 O 是 △A B C 的旁心的充要条件是
OA ·OB
=
b+ b
cOA 2
-
c b
OA
·O
C
=
a
+ a
cOB 2
-
c a
OB
·O
C
(或 OB ·O C =
a+ b
bO C2
-
a b
OA
·O C
=
a
+ c
cOB 2
-
a c
OA
·OB 或
OA
·OC
∴ OA ·( OB -
OA )
=
c b
OA
·(
OC
-
OA ) ,
即 OA ·OB -
OA 2 =
c b
O
A
·O
C
-
c b
OA
2
.
∴ OA ·OB = c OA ·O C + b - cOA 2 .
b
b
同理可得
OA ·OB
=
c a
OB
·O
C
+
aa
cOB 2.
充分性 :可仿照必要性的过程逆推.
5 旁心
由 OA + OB + OC = 0 ,
得 OA + OB = - OC.
∴ - O C = O C′.
∴ C 、O 、C′三点共线 ,而 D 在 O C′上 ,
∴ C , O , D 共线 ,即 CD 为 △A B C 的边
A B 上的中线.
设 A O , BO 的延长线交对边分别为 E ,
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质(总11页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除向量的重心、垂心、内心、外心、旁心三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。
重心：ABC ∆中、每条边上所对应的中线的交点； 垂心：ABC ∆中、每条边上所对应的垂线上的交点；内心：ABC ∆中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）； 外心：ABC ∆中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。
一、重心1、O 是ABC ∆的重心⇔=++若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC ∆=∆=∆=∆31故=++,)(31PC PB PA PG ++=⇔G 为ABC ∆的重心.2、 P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=.证明：+=+=+=⇒)()(3+++++= ∵G 是△ABC 的重心∴=++⇒=++，即++=3由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略））3、已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心.例1 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心二、垂心1、O 是ABC ∆的垂心⇔OC OA OC OB OB OA •=•=•若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则 故0tan tan tan =++OC C OB B OA A2、H 是面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理⊥，⊥.故H 是ABC ∆的垂心. （反之亦然（证略））3、P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的垂心．由PA PB PB PC ⋅=⋅，得()0PB PA PC ⋅-=，即0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥． ∴P 是ABC △的垂心．如图1.4、已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．图1A例2 P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（） A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心三、内心1、O 是ABC ∆的内心的充要条件是=⎫⎛•=⎫⎛•=⎫⎛•引进单位向量，使条件变得更简洁。
三角形五心的向量表示
三角形五心的向量表示J DZ 小飞在空间中，如果一个向量所在直线平行于一个平面或在一个平面内，则称这个向量平行于该平面.我们把平行于同一平面的一组向量称为共面向量，不平行于同一平面的一组向量称为不共面向量.定理1（平面向量基本定理）：如果向量,a b 不共线，那么向量r 与向量,a b 共面的充要条件是λµ=+r a b ，（1）其中,λµ是被向量,a b 和r 唯一确定的数量.推论1：三个向量a b c 、、共面的充要条件是存在三个不全为零....的实数λµν、、，使λµν++=a b c 0.（2）推论2：三个向量a b c 、、其中无二者共线，则共面的充要条件是存在三个全不为零....的实数λµν、、，使λµν++=a b c 0.（3）推论3：如果三个不共面向量a b c 、、满足：λµν++=a b c 0，其中,,R λµν∈，那么0λµν===.推论4：平面O 、A 、B 三点不共线，则点C 在平面OAB 上的充要条件是OC OA OB λµ=+������������，（4）其中,λµ是被向量OA ����，OB ����和OC ����唯一确定的数量.【注意】《共面向量·推论4》与《共线向量·推论4》是有区别的。
《共线向量·推论4》：平面O 、A 、B 三点不共线，则点C 在直线AB 上的充要条件是OC OA OB λµ=+������������，其中,λµ是被向量OA ����，OB ����和OC ����唯一确定的数量，且1λµ+=.定理2(平面向量基本定理的面积表示)：已知ABC ∆，则点M 在平面ABC 上的充要条件是.AMC ABMABC ABCS S AM AB AC S S ∆∆∆∆=+�������������i i （5）其中ABM S ∆、AMC S ∆和ABC S ∆是有向面积。
必修4-向量-三角形的五心
PA BC ( PD DA) BC
P A
DA BC
B
D
C
2 2 1 5 1 ( AC AB ) ( AC AB ) ( AB AC ) 2 2 2
问题4 : 在ABC中,已知AB 3, AC 2, 点H , P分别是ABC的垂心和外心, 求 PH BC .
三角形“五心”向量形 式的充要条件 设O为ABC所在平面上一点，角 A、B、C所对边长 分别 为a、b、c，则：
2 2 2
（ 1）O为ABC的外心 OA OB OC ；
（2）O为ABC的重心 OA OB OC 0
（3）O为ABC的垂心 OA OB OB OC OC OA;
问 题2 : 点P为ABC的 外 心 , | AB | 3, | AC | 2, 求 AP BC的 值.
P A
r 2 uuu r2 1 uuu 5 ( AC - AB ) B 2 2
D
C
问题3 : 在ABC 中, AB 3, AC 2, P是 BC中垂线上任一点, 则 PA BC ____ .
（4）O为ABC的内心 a OA b OB c OC 0
（5）O为ABC的A的旁心 a OA b OB c OC
问题1 : 在ABC中, AB 3, AC 2, P是BC中点, 则 AP BC ____ .
r 2 uuu r2 1 uuu 5 ( AC - AB ) 2 2
PH BC ( PA AH ) BC
PA BC AH BC PA BC PA ( AC AB)
A
AP AC AP AB
三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质
向量的重心、垂心、内心、外心、旁心三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。
重心：厶ABC中、每条边上所对应的中线的交点；垂心：ABC中、每条边上所对应的垂线上的交点；内心：UABC中、每个角的角平分线的交点(内切圆的圆心)；外心：.IABC中、每条边上所对应的中垂线的交点(外接圆的圆心) 一、重心1、O 是. ABC 的重心= OA OB 0C = 0若0是ABC 的重心，贝「BOC = ：AOC = ：AOB =»：ABC 故OA OB 0C = 0,31 PG (PA PB PC) = G 为- ABC 的重心.32、P是厶ABC所在平面内任一点上是厶ABC的重心u PC).3证明：PG 二PA AG 二PB BG = PC CG 二3PG 二(AG BG CG) (PA PB PC)•/ 6是厶ABC的重心••• GA GB GC = 0 二AG BG CG = 0，即3PG 二PA PB PC1由此可得PG =-(PA PB PC).(反之亦然(证略))33、已知O是平面上一定点，A, B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP =OA • ■ (AB AC)，‘(0, *)，则P的轨迹一定通过△ ABC的重心.例1若O为ABC内一点，OA • OB • OC = 0 ，则O是ABC的( )A.内心心B .外心D .重心C .垂1、O 是：ABC 的垂心=OA.OB =OB・OC =OA・OC若O是.：ABC （非直角三角形）的垂心，贝U故tan AOA tan BOB tanCOC = 02、H是面内任一点，HA HB二HB HC二HC HAu点H是厶ABC的垂心.由HA HB 二HB HC = HB （HC - HA）二0= HB AC 二0= HB _ AC,同理HC_AB , HA_BC.故H是厶ABC的垂心.（反之亦然（证略））3、P是厶ABC 所在平面上一点，若PA P^PB P^PC PA，贝U P是厶ABC的垂心.•»—-------------------------------------------------------------------- ・l ---------- ■]由PA PB 二PB PC，得PB （PA -PC 0，即FB CA = 0 ,所以PB 丄CA .同理可证PC丄AB，PA丄BC .••• P是厶ABC的垂心.如图1.B图14、已知O是平面上一定点，A, B, C是平面上不共线的三个点，动点P满足---------- —* —K . ——-OP=OA + h |一A--------- 十一，扎w（0,+血），则动点P的轨迹一定通过J AB|cos B |AC|COS C△ ABC的垂心.例2 P是厶ABC所在平面上一点，若PA卩B = PB卩PC PA，贝U P是厶ABC的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心1、O 是 ABC 的内心的充要条件是的内心的充要条件可以写成OA ・ e i e a = OB ・ e i e ? = OC ・ e ?巨=0 2、O 是 ABC 的内心的充要条件也可以是 a ・OA • b ・OB • c ・OC =0。
高考数学专题突破：三角形的五心与向量【精编版】
高考数学专题突破：三角形的五心与向量一、 外心1.定义：三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，都等于三角形的外接圆半径．AB CO2.性质：① 锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外． ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
③OA=OB=OC=R④∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA⑤S△ABC=abc/4R⑥||||||==(或222O O O ==)⑦C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S A OB A OC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++二、内心1.定义：三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．IK H E F AB C M2.性质： 内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，r=2S/(a+b+c)特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )． ②∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2③S△ABC=[(a+b+c)r]/2 (r 是内切圆半径)④O 是内心ABC ∆的充要条件是0|CB ||CA ||BC ||BA |AC |AB |=-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e (O )e e (O )e e (O 322131=+⋅=+⋅=+⋅ ⑤O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++⑥若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S A OB A OC BOC ：：：：=∆∆∆ 故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;⑦||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ ABC ∆的内心; ⑧向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠ 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；三、垂心2.性质：①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外② 垂心O 关于三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上 ③△ABC 中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO ·OE=CO ·OF④ H 、A 、B 、C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质精编版
向量的重心、垂心、内心、外心、旁心三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。
重心：ABC ∆中、每条边上所对应的中线的交点； 垂心：ABC ∆中、每条边上所对应的垂线上的交点；内心：ABC ∆中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）； 外心：ABC ∆中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。
一、重心1、O 是ABC ∆的重心⇔0=++OC OB OA若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC ∆=∆=∆=∆31故=++,)(31PC PB PA PG ++=⇔G 为ABC ∆的重心.2、 P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31++=.证明：+=+=+=⇒)()(3+++++= ∵G 是△ABC 的重心∴0=++GC GB GA ⇒0=++CG BG AG ，即PC PB PA PG ++=3由此可得)(31++=.（反之亦然（证略））3、已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心.例1 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++= ，则O 是ABC ∆ 的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心1、O 是ABC ∆的垂心⇔∙=∙=∙若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则 故tan tan tan =++C B A2、H 是面内任一点，⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理⊥，⊥.故H 是ABC ∆的垂心. （反之亦然（证略））3、P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的垂心．由PA PB PB PC ⋅=⋅，得()0P B P A P C ⋅-=，即0P B C A ⋅=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥． ∴P 是ABC △的垂心．如图1.4、已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．例2 P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（） A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心图1A1、O是ABC∆的内心的充要条件是=⎫⎛∙=⎫⎛∙=⎫⎛∙OCOBOA引进单位向量，使条件变得更简洁。
向量与三角形五心证明及知识运用(精华版AAA)精品资料
则实数 m =
7．（06
陕西）已知非零向量A→B与A→C满足(|AA→→BB|
A→C +|A→C|
)·B→C=0
且|AA→→BB|
·|AA→→CC|
1 =2
,
则
△ABC 为( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
8．已知 ABC 三个顶点
A、B、C ，若
2
AB
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(4)若存在常数
,满足
MG
MA
AB
AC
0,则点 G 可能
AB cosB AC cosC
通过 ABC的__________.
例 5、若 O 点是 ABC的外心, H 点是 ABC的垂心,
且 OH m(OA OB OC) ,求实数 m 的值.
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AP (
AB
AC
), 0
1．
AB AC
P为 ABC的内心 ;
BP t(
BA BA
BC BC
)，t 0
2. D、E 两点分别是 ABC的边 BC、CA上的中点,且
DP PB DP
PC P为
ABC的外心 ;
EP PC EP PA
3.
AP
BP
1 3 1 3
( AB (BA
AC ),
BC )，
P为
ABC的重心 ;
4.
AP
BC
0
P为
ABC的垂心 .
BP AC 0
5．已知 A、B、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形 ABC 的重心，动点 P 满 u
(完整版)三角形的五心向量结论证明
三角形的五心向量结论证明1. O 是123PP P ∆的重心⇔1230OP OP OP ++=(其中,,a b c 是123PP P ∆三边)证明：充分性: 1230OP OP OP ++=⇒O 是123PP P ∆的重心若1230OP OP OP ++=，则123OP OP OP +=-，以1OP，2OP 为邻边作平行四边形132'OPP P ，设3OP 与12PP 交于点3P '，则3P '为12PP 的中点，有'123OPOP OP +=，得'33OP OP =-，即'33,,,O P P P 四点共线，故3P P 为123PP P ∆的中线，同理，12,PO P O 亦为123PP P ∆的中线，所以，O 为的重心。
* △ABC 中AC AB +一定过BC 的中点，通过△ABC 的重心1(),31()3AP AB AC P ABC BP BA BC ⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩为的重心， *1()3PG PA PB PC =++⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上任意点).证明 PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+⇒3()()PG AG BG CG PA PB PC =+++++∵G 是△ABC 的重心∴GA GB GC ++=0⇒AG BG CG ++=0，即3PG PA PB PC =++ 由此可得1()3PG PA PB PC =++.(反之亦然(证略))*若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===P 12PP 3O PABC∆()1,2AD AB AC =+ABC ∆2.在中，给等于已知AD 是中BC 边的中线;2. 00AP BC P ABC BP AC ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的垂心* 点O 是123PP P ∆的垂心⇔122331OPOP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅ 证明：O 是123PP P ∆的垂心⇔312OPPP ⊥, 31232132310()0OP PP OP OP OP OP OP OP OP ⋅=⇔⋅-=⇔⋅=⋅同理123OP P P ⊥⇔3112OP OP OP OP ⋅=⋅ 故当且仅当122331OP OP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅.* O 是△ABC 所在平面内一点222222→→→→→→+=+=+ACOB BA OC BC OA则O 是△ABC 的垂心 证明：由，得，所以。
向量五心
A. 外心 B. 内心 解：由已知得：
(O A O B ) (O B O A ) = (O B O C ) (O C O B ) = (O C O A ) (O A O C ) = 0
OB OA OC OB =OA OC = 0
| O A | | O B | | O C | . 所以 O 点是△ABC 的外心. 选 A .
同理 OA CB ， OB AC . 故选 A . 11：已知 O 是△ABC 所在平面上的一点，若 ( O A O B ) A B = ( O B O C ) B C = ( O C O A ) C A = 0，则 O 点是 △ABC 的( ) C. 重心 D. 垂心
AB AC
三角形五“心”向量形式的充要条件 设 O 为 ABC 所在平面上一点，角 A , B , C 所对边长分别为 a , b , c ，则 （1） O 为 ABC 的外心 O A O B O C . （2） O 为 ABC 的重心 O A O B O C 0 . （3） O 为 ABC 的垂心 O A O B O B O C O C O A . （4） O 为 ABC 的内心
4： 已知 O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上 不共线的三个点，动点 P 满足
OP OA ( AB | A B | cos B AC | A C | cos C ) , [0, ) , 则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的(
)
A. 重心
B. 垂心
C. 外心
D. 内心
2
2
2
2
2
2
12 ：已知 O 是△ABC 所在平面上的一点，若 aO A bO B cO C = 0 ，则 O 点是△ABC 的( A. 外心 B. 内心 C. 重心
三角形的五心向量结论证明
三角形的五心向量结论证明1. O 是123PP P ∆的重心⇔1230OP OP OP ++=(其中,,a b c 是123PP P ∆三边)证明：充分性: 1230OP OP OP ++=⇒O 是123PP P ∆的重心若1230OP OP OP ++=，则123OP OP OP +=-，以1OP，2OP 为邻边作平行四边形132'OPP P ，设3OP 与12PP 交于点3P '，则3P '为12PP 的中点，有'123OPOP OP +=，得'33OP OP =-，即'33,,,O P P P 四点共线，故3P P 为123PP P ∆的中线，同理，12,PO P O 亦为123PP P ∆的中线，所以，O 为的重心。
* △ABC 中AC AB +一定过BC 的中点，通过△ABC 的重心1(),31()3AP AB AC P ABC BP BA BC ⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩为的重心， *1()3PG PA PB PC =++⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上任意点).证明 PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+⇒3()()PG AG BG CG PA PB PC =+++++∵G 是△ABC 的重心∴GA GB GC ++=0⇒AG BG CG ++=0，即3PG PA PB PC =++ 由此可得1()3PG PA PB PC =++.(反之亦然(证略))*若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===P 12PP 3O PABC∆()1,2AD AB AC =+ABC ∆2.在中，给等于已知AD 是中BC 边的中线;2. 00AP BC P ABC BP AC ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的垂心* 点O 是123PP P ∆的垂心⇔122331OPOP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅ 证明：O 是123PP P ∆的垂心⇔312OPPP ⊥, 31232132310()0OP PP OP OP OP OP OP OP OP ⋅=⇔⋅-=⇔⋅=⋅同理123OP P P ⊥⇔3112OP OP OP OP ⋅=⋅ 故当且仅当122331OP OP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅.* O 是△ABC 所在平面内一点222222→→→→→→+=+=+ACOB BA OC BC OA则O 是△ABC 的垂心 证明：由，得，所以。
三角形五心的向量表达式
三角形五星的向量表达式1若P是△ABC的重心PA+PB+PC=02若P是△ABC的垂心PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积）3若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）4若P是△ABC的外心|PA|²=|PB|²=|PC|²（AP就表示AP向量|AP|就是它的模）5AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞)则直线AP经过△ABC内心6AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞)经过垂心7AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）或AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+∞)经过重心8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点【以下是一些结论的有关证明】1.O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量充分性：已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，延长CO交AB于D，根据向量加法得：OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：a(OD+DA)+b(OD+DB)+cOC=0,因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,上式可化为(ka+kb+c)OC+(aDA+bDB)=0向量,向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。
必要性：已知O是三角形内心,设BO与AC相交于E，CO与AB相交于F，∵O是内心∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE过A作CO的平行线，与BO的延长线相交于N，过A作BO的平行线，与CO的延长线相交于M，所以四边形OMAN是平行四边形根据平行四边形法则，得向量OA=向量OM+向量ON=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量02.已知△ABC为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},求P点轨迹过三角形的垂心OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},AP=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{(AB•BC/|AB|＾2*sin2B)+AC•BC/(|AC|＾2*sin2C)}, AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180°-B)/(|AB|＾2*sin2B)+|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)},AP•BC=入{-|AB|•|BC|cos B/(|AB|＾2*2sinB cos B)+|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},AP•BC=入{-|BC|/(|AB|*2sinB)+|BC|/(|AC|*2sinC)},根据正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC ∴-|BC|/(|AB|*2sinB)+|BC|/(|AC|*2sinC)=0，即AP•BC=0，P点轨迹过三角形的垂心3.OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线根据正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,所以|AB|sinB=|AC|sinC,所以AP与AB+AC共线AB+AC过BC中点D，所以P点的轨迹也过中点D，∴点P过三角形重心。
平面向量基本定理中关于三角形五“心”的向量性质及推论
ｔ ａ ｎＡ ＋ｔ ａ ｎＢ ＋ｔ ａ ｎＣ ＇
皇±
．
（ ５ ）证明过程类比 （ ２ ） ，此处略．
Ｂ Ｄ Ｃ
（ １ ）若 Ｐ为 Ｂ Ｃ的重 心 Nhomakorabea￣ ｌ ｘ ＋ ｙ＝ ；
图 ４
图 ５
（ ２ ）若 Ｐ为 ｚ Ｘ Ａ Ｂ Ｃ的内心，
贝 ０ ＋ Ｙ＝ ｓ ｉ ｎ Ｂ＋ｓ ｉ ｎ Ｃ ．
，
＝
＝ ；
０ｌ ｌ
一
２预备知识 引理 １ ［ ４ 】如 图 １ ， 已知 Ｐ为 Ａ Ａ Ｂ Ｃ所在 平 面 内的 点 ，且直 线 Ａ Ｐ交直 线 Ｂ Ｃ于 ０，设 ＝Ａ Ｔ ６（ ∈
Ｒ） ，若 ： ＋ ｙ Ｔｄ，则 系 数 Ｘ， Ｙ满 足 的充 要
（ ２ ）若 Ｐ为 △ Ｃ的 内心 ，由文 ［ ２ 】 中性质 ２的
则Ｘ ＋Ｙ：
Ｂ＋ｔ ａ ｎＣ ｔ ａ ｎ
— —
贝 ｕ ＋ ＝ 耋 ＿ １
（ ３ ）若 Ｐ为 Ａ Ａ Ｂ Ｃ的外 心 ，
；
；
；
。
— —
ｔ ａ ｎ
ｔ ａ ｎＢ ＋ ｔ ａ ｎＣ ’
（ ５ ）如图 ４ ，若 尸为 Ａ Ａ Ｂ Ｃ的旁心 ，则
①旁心 Ｊ ，Ｘ ＋ ＝ ｓ ｉ ｎＢ ＋ ｓ ｉ ｎＣ —ｓ ｉ ｎ ② 旁 心 ， ＋ Ｙ＝ ｓ ｉ ｎ
质 及 推论 ．
③旁心 ｃ ， ＋ ＝ ｓ ｉ ｎ Ａ ＋ ｓ ｉ ｎ Ｂ
Ｓ １ ｎ ＋ Ｓ １ ｎ 一 Ｓ １ ｎ（ 一
・
证明
知 ，故
（ １ ）若 尸为 Ａ Ａ Ｂ Ｃ的重心，则由重 心性质
Ｉ ｐ Ｏ ｌ
手 ， 由 定 理 知 ＋
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三角形“五心”的充要条件的向量表示
江苏省姜堰中学 张圣官（225500）
让我们先来赏析一道颇有趣的向量题：
命题1：在ΔABC 内任取一点O ，证明：0=⋅+⋅+⋅OC S OB S OA S C B A …①（其中S A 、S B 、S C 分别表示ΔBOC 、ΔCOA 、ΔAOB 的面积）。
解：记OC OB OA ,,方向上的单位向量依次为321,,e e e ，并
记∠BOC 、∠COA 、∠AOB 依次为α1、α2、α3，则 121sin ||||αOC OB S A ⋅=
， 221sin ||||αOA OC S B ⋅=
， （图1） 321
sin ||||αOB OA S C ⋅= 。
所以，①式等价于0sin sin sin 332211=++αααe e e …②
如图1，在OA 上取点D ，使11sin αe OD =，过D 作DE ∥OB 交CO 延长线于E ，则 在ΔODE 中，32sin ,sin αα==OE DE ，∴3322sin ,sin ααe EO e DE ==，于是，11sin αe 、22sin αe 、33sin αe 恰好构成一个三角形，它们的和为零向量。
故命题得证。
评注：如果把②式放到力学背景中，将321,,e e e 看作是大小
为1个单位的力，那么②式正好等价于三个共点力11sin αe 、
22sin αe 、33sin αe 平衡，我们还可以从物理学的角度给出其证
明。
根据图2可知，11sin αe 、22sin αe 在33sin αe 反方向上的
分量分别为2120
1cos sin )180cos(sin αααα-=-和 （图2） 12102cos sin )180cos(sin αααα-=-；在垂直于33sin αe 方向上的分量分别为21sin sin αα和12sin sin αα 。
由于πααα2321=++，故1221cos sin cos sin αααα-- 321sin )sin(ααα=+-=，而21sin sin αα=12sin sin αα显然成立，因此三个共点的力确实平衡，这样从物理学的角度知命题获证。
这真是一道向量题横跨数理天地！然而且慢，该题另有玄机！联系到不少刊物上纷纷将三角形“五心”用各种形式的向量来表示，其实由以上结论出发倒可以很简便地得到三角形“五心”的一种向量表示。
真是“踏破铁鞋无觅处，得来全不费功夫”啊！
命题1中的点O 是ΔABC 所在平面内一点，并且在ΔABC 内部，其实，若O 在ΔABC 的周界上时结论也成立。
当点O 在ΔABC 形外时，类似地还可以得到：
命题2：若点O 是ΔABC 的形外一点且与点A 位于直线BC 的两侧，则有结论0=⋅+⋅+⋅-OC S OB S OA S C B A …②（其中S A 、S B 、S C 分别表示ΔBOC 、ΔCOA 、ΔAOB 的面积）。
（证明略）
只要将以上两个结论中的点O 逐一看作为ΔABC 的“五心”，就可以得到三角形“五心”充要条件的向量表示。
命题3：设O 是ΔABC 所在平面内一点，则
（Ⅰ）O 是ΔABC 的重心⇔0=++OC OB OA ；
（Ⅱ）O 是ΔABC 的外心⇔02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A ；
（Ⅲ）O 是ΔABC 的内心⇔0sin sin sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A ；
（Ⅳ）O 是斜ΔABC 的垂心⇔0tan tan tan =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A ；
（Ⅴ）O 是ΔABC 的旁心⇔0sin sin sin =⋅+⋅+⋅-OC C OB B OA A 或0sin sin sin =⋅+⋅-⋅OC C OB B OA A 或0sin sin sin =⋅-⋅+⋅OC C OB B OA A 。
利用三角形面积公式和等式①、②，容易证明上面五个结论成立。
由于ΔABC 的外心可以在三角形内部，也可以在外部或一边上，情形较多，以下就选结论（Ⅱ）给出其证明，其余几个结论请读者自证。
证明：设O 是ΔABC 的外心，先证必要性，对ΔABC 分两类情形讨论。
（1）若ΔABC 是锐角三角形或直角三角形，则外心O 在形内或周界上，此时，
A R S A 2sin 221
=，B R S B 2sin 221=，C R S C 2sin 221=，根据命题1中的等式①易得结论02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A 成立；
（2）若ΔABC 是钝角三角形，不妨设A>900，则外心O 在ΔABC 形外且与A 位于直线BC 的两侧，此时，A R A R S A 2sin )(2sin 221221
-=-=π，B R S B 2sin 221=，
C R S C 2sin 221=，
代入命题2中的②得02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A 成立。
现在再来证明充分性。
若ΔABC 所在平面内一点O '满足02sin 2sin 2sin ='⋅+'⋅+'⋅C O C B O B A O A ，则由以上证明知，ΔABC 的外心O 一定满足等式0
2sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A 。
两式相减，得0
)2sin 2sin 2(sin ='⋅++O O C B A ，而在ΔABC 中，0sin sin sin 22sin 2sin 2sin ≠=++C B A C B A ，故0='O O ，即点O '与外心O 重合，
也就是说，点O'即为ΔABC的外心。
从而，O是ΔABC的外心的充要条件是⋅OC
+
C
OB
A。
OA
B
⋅
⋅
sin
2
2
sin
sin=
2
+。