材料力学第六章 截面的几何性质惯性矩

z z1 z 2 117 2 17105 3.34105 cm4 ;
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小
结
S y z dA A zc ; 一、静矩： S z A y dA A yc ; A 性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；
二、极惯性矩： 实心圆截面： I P
I P 2 dA;
D 4
32
A
;
空心圆截面：I P
I y z 2 dA;
A
3
D 4
32
(1 4 ); (
d ) D
三、惯性矩： I z A y 2 dA;
3
矩形截面： I z bh ; I y hb ;
12
A
A
m 静矩为代数值。静矩单位： 3 ; mm3 ; 不同截面对同一坐标轴的静矩不同；同 一截面对不同坐标轴的静矩也不同。 若截面形心坐标为zc、yc，将面积视为平行力（即看作等 厚、均质薄板的重力），由合力矩定理可得：
S z y dA A yc ;
ALeabharlann Baidu
S y z dA A zc ;
A
2 Iz Iy
2


Iz I y
A
2 Iz I y
2
cos2 I zy sin 2 ;
cos2 I zy sin 2 ;
I z1 y1
Iz Iy 2
sin 2 I zy cos 2 ;
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第四节 主惯性轴和主惯性矩：
主惯性轴（主轴）—使截面对zo、yo轴的惯性积 I zo yo 0 的这对 正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。 特点：①两个形心主惯性矩是截面对过形心所有各轴的惯性矩 中的极大值和极小值； ②有一根对称轴的截面，形心主轴是对称轴和与之垂直 的形心轴； ③有两根对称轴的截面，形心主轴是两根对称轴； ④无对称轴的截面，由转轴公式求对形心的惯性积为零 的 o 角，即 形心主惯性轴。

2 I z1 z a 2 A; y1 y b A;
I z1 y1 I zy abA ;
注意：y、z轴必须是形心轴。 二、转轴公式：
2
I z1 y1 dA ( y cos z sin ) 2 dA;
I z1
I y1
Iz Iy
64 12 几何关系： I P 2 dA ( y 2 z 2 )dA I Z I y .
A A
圆形截面：I y I z
D 4
;
四、惯性积： I z y dA; zy A
五、平行移轴公式：
2 I z1 z a 2 A; y1 y b A;
七、平面图形几何性质的几何意义： 1. 静矩：图形的形心相对于指定坐标轴之间距离的远近程度； 2. 极惯性矩：图形的面积相对于指定坐标原点之间分布的集 中或分散程度； 3. 惯性矩：图形的面积相对于指定坐标轴之间分布的集中或分 散程度； 4. 惯性积：图形面积相对于指定的一对正交坐标轴之间分布的 集中或分散程度。
I zy z y dA;
A
特点：①惯性积是截面对某两个正交 坐标轴而言。不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的惯性积 均不同。惯性积是代数值。 ②若截面有一根为对称轴,则该截面对包括此对称轴在 内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。
4 4 单位： m , mm ;
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第五节 组合截面惯性矩的计算 工程中常遇到组合截面。计算其形心主惯性矩时，应先确定形 心位置、形心主轴，再求形心主惯性矩。
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例5–4:试计算图示T形截面的形心主惯性矩。 解:(1)确定形心坐标yc.
1 y1 2 y2 yc 1 2
500 5 500 10 25 20cm; 500 500
例5-2 求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=bdy,则：
bh3 I z y dA y bdy ; A h / 2 12
2 h/2 2
取微面积dA=hdz,则：
2 b/2 2
hb3 I y z dA z hdz ; A b / 2 12
A
当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的 静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心， 则截面对该轴的静矩为零。 返回 下一张 上一张 小结
二、形心公式：
Sy Sz yc ; z c . A A
n
三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：
S z Ai yci ;
2 2 2 2 R
R 4
D 4
I P 2 dA ( y 2 z 2 )dA I Z I y .
A A
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第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴和转轴公式
一、平行移轴公式：
A
z1 y1dA ( y a) 2 dA y 2 dA 2a ydA a 2 dA
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第二节 惯性矩和惯性积
一、极惯性矩： 定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐 标原点Ｏ的距离ρ平方的乘积ρ2dA,称为该面积 dA对于坐标原点o的极惯性矩。
截面对坐标原点o的极惯性矩为：
I P 2 dA;
A
简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。
实心圆截面： I P 2dA 32 ; D 4 d 空心圆截面： I P (1 4 ); ( )
取微面积dA=dzdy，则：I zy 0;
例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：
I z y dA 2 y R y dy ; A R 4 64 D 4 由对称性：I y I z ; 由几何关系： 2＝y 2 z 2 , 64
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第六章 截面的几何性质
第一节 • 静矩和形心 • 第二节 • 第三节 • 第四节 • • 第五节 • 惯性矩和惯性积 惯性矩和惯性积的 平行移轴和转轴公式 主惯性轴和主惯性矩 组合截面惯性矩的计算 小结 返回
第六章 截面的几何性质
• 第一节 静矩和形心
一、静矩(面积矩）定义： 微面积dA对 z轴和y轴的静矩分别为 y dA 和 z dA 截面（面积A)对z轴和y轴的静矩分 别为： S z y dA; S y z dA;
(2)计算形心主惯性矩：
(z、y轴即形心主轴） 50103 2 z1 z1 a12 1 20 5 500 1.17 105 cm4 ; 12 10 503 2 2 z 2 z 2 a2 2 35 20 500 2.17 105 cm4 ; 12
2 D 2 0
D 4
32
D
二、惯性矩： 定义：平面图形中任一微面积dA对z轴、y轴的惯性矩分别为： y2dA和Z2dA；则整个图形（面积为A)对z轴、y轴的惯性矩分别为：
I z y 2 dA;
A
I y z 2 dA;
A
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惯性矩是对某轴而言的，同一截面对不同轴的惯性矩值不同。 惯性矩单位：m4或mm4； 惯性矩恒为正值。 简单图形对轴的惯性矩由定义式积分计算。 三、惯性积： 定义:平面图形内，微面积dA与其两个 坐标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称 为该图形对z、y轴的惯性积。
i 1
S y Ai zci ;
i 1
n
四、组合截面形心公式：
yc
A y
i 1 i
n
ci
A
i 1
n
;
zc
A z
i 1 i
n
ci
i
A
i 1
n
;
i
例5-1 求图示T形截面形心位置。 解：取参考坐标轴y、z,由对称图形,zc=0。 分解图形为１、２两个矩形，则
A1 0.072m2 , y1 2.46m; A2 0.48m2 , y2 1.2m;
I z1 y1 I zy abA ;
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六、主惯性轴和主惯性矩： 主惯性轴（主轴）—使 I zo yo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴；
形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
yc
y 'c
若分解为１、２、３三个矩形，则
0.6 2.52 (1.26 1.2) 0.16 m; 0.6 2.52 2 0.2 2.4
A1 y1 A2 y2 0.072 2.46 0.481.2 1.36m; A1 A2 0.072 0.48