结构化学 第一章练习题答案..

现代结构化学 2010.9

第一章 量子力学基础知识

练习题

1.（北师大95）微观粒子体系的定态波函数所描述的状态是（ B ） A. 波函数不随时间变化的状态 B ．几率密度不随时间变化的状态 C. 自旋角动量不随时间变化的状态 D. 粒子势能为零的状态

2.（北大93）ψ是描述微观体系（运动状态）的波函数。

3.（北师大20000）若11i e αψψψ=+，其中α为实常数，且1ψ已归一化，求

ψ的归一化常数。

解：设11()i A e αψψψ=+是归一化的，

2*21

111()()(2)1i i i i d A e e d A e e ααααψψτψψψψτ*-=++=++=⎰⎰

A =

4.（东北师大99）已知一束自由电子的能量值为E,写出其德布罗意波长表达式，并说明可用何种实验来验证（10分）

h h P mv λ=

== E=1/2mv 2 (mv)2=2mE 电子衍射实验 5.（中山97）（北大98）反映实物粒子波粒二象性的关系式为（,h

E hv P λ

==

）

6．（中山97）一维势箱长度为l ，则基态时粒子在(2

l

)处出现的几率密度

最大。

（中山2001）一维势箱中的粒子，已

知n x

l

πψ=，则在(

3(21),,.......,222l l n l n n n

-)处出现的几率密度最大。 解法1：ψ的极大和极小在ψ2中都为极大值，所以求ψ的极值（包括极大和极小）位置就是几率密度极大的位置。

n x

l πψ=

'cos 0

(21)

0,1,2,3 (2)

(21) 0,1,2,3...

2 0 (21)2n n x l l n x m m l m l

x m n

x l m n

ππψππ==+==+==≤≤∴+≤

解法2：

n x l

πψ= 几率密度函数

2

22sin n x P l l πψ== 求极值：(sin2α=2Sin α•cos α)

22'2s i n c o s

22sin 022sin 0 = 0,1,2,3,...

22= 0 20,212 1,3,5 (21)

2n x n x n P l l l l n n x l l n x n x m m l l ml x n x m x l m n l n

m n m m ml

x m n n

πππ

πππππ======

≤≤∴≤===∴==- 为边界，不是极值点为极大值，为极小值...

极大值位置为 7.（北大93）边长为l 的立方势箱中粒子的零点能是(2

2

38h E ml

=) 8.（北大94）两个原子轨道1ψ和2ψ互相正交的数学表达式为(120d ψψτ*=⎰) 9. 一维谐振子的势能表达式为21

2

V kx =，则该体系的定态薛定谔方程中的哈密顿算符为（ D ）

A. 212kx

B.

222122kx m ∇- C. 222

122

kx m -∇- D. 2222122d kx m dx -+ E. 222

2

122

d kx m dx --

10.(北师大04年) 设算符123ˆˆ,,A A A ∧

和4

ˆA 对任意f 的作用为

1

234ˆˆˆˆ2,,df A f A f f A f A f f f dx

====⨯, 指出哪些算符为线性算符(23

ˆˆ,A A ) 11.1,2ψψ是某原子的可能状态,下列哪些组合也是该原子的可能状态? a. 12ψψ- b. 12ψψ⨯ c . 12ψψ÷ d. 12ψψ+ (a, d)

12. 写出一个电子在长度为a 的一维势箱中运动的Hamilton 算符.

2

22

ˆ2d H m dx

=- 13.（北师大02年）

(1) 给出用原子单位表示的下列算符表达式

(a)电子的动量平方算符为 2222222222

ˆˆˆˆ()x y z

P P P P x y z ∂∂∂=++=-++∂∂∂ (b) 原子核看作不动，He 原子的Hamilton 算符

2212

1212

11221ˆ22a a H r r r =-∇-∇--+ (c)角动量在z 方向分量的算符 z z

ˆM M ()ˆ 1y x z

xp yp i x y y x

M i φ

∂∂=-=-+∂∂∂=-=∂ 或 (2). H 原子处于态

122s s ψψ=，1s ψ和2s ψ分别为H 原子的1s 和2s 原子轨道，对应的能量分别为1,2s s E E ，给出H 原子的平均能量。 解法一 ˆH d E d ψψτ

ψψτ

**

=

⎰⎰

1212111221221212ˆˆ(2)(2)ˆˆˆˆ46400610

2355s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s s s s H d H d E d H d H d H d H d E E E E ψψτ

ψψτψψτψψτψψτψψτψψτ

**

+==

+++=

+++=

=+⎰⎰解法二

122s s ψψ= 组合系数2i c 表示物理量i ψ对总物理量ψ的贡献。

将ψ归一化， 1d ψψτ*=⎰， 则归一化后

12s s ψ'=

因此，1s E 对E 的贡献为410，2s E 对E 的贡献为610。 1223

55

s s E E E =+ 14. （北师大05年）

(1).1,2,3ψψψ是体系的可能状态，下列哪种组合也是体系的可能状态（ d ） a. 123ψψ- b. 23ψψ+ c. 1232ψψψ-+ d.以上三种均是

(2). 在边长为l 的三维势箱运动的微观粒子，当能量为2

2

68h E ml =时，简并

度为（ c ）

a.1

b.2

c.3

d.4 解 2

222

2

()8x y z n n n h

E ml

++=

222

6x y z n n n ++=

1 1 2

(3). 某波函数为12(23)c ψφφ=+，1φ和2φ是正交归一化的，那么常数c 的值为（

）