专题函数常见题型归纳(教师版)

专题函数常见题型归纳

本专题热点考点可总结为六类：一是分段函数的求值问题，二是函数的性质及其应用，三是基本函数的图像和性质，四是函数图像的应用，五是方程根的问题，六是函数的零点问题。

考点一 分段函数求值问题

【例1】 已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

2x ，x >0，x ＋1，x ≤0. 若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )

【解析】 由已知，得f (1)＝2；又当x >0时，f (x )＝2x >1，而f (a )＋f (1)＝0，∴f (a )＝－2，且a <0，∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3 【例2】设f (x )＝⎩⎨⎧ lg x ，x ＞0，

10x

，x ≤0，

则f (f (－2))＝________.

【解析】 f (x )＝

⎩⎨⎧

lg x ，x >0，

10x

，x ≤0，

－2<0，∴f (－2)＝10－2；10－2>0，

∴f (10－2

)＝lg10－2

＝－2.

【解题技巧点睛】求f(g(x))类型的函数值时,应遵循先内后外的原则,而对于分段函数的求值问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解,特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性.

考点二 函数性质的基本应用

【例3】下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x | 【答案】B

【解析】 A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2

＋1是偶函数，但在()0，＋∞上

是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

12|x |是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数．故

选B.

【例4】若函数f (x )＝

x 2x ＋1

x －a

为奇函数，则a ＝( )

【解析】 法一：由已知得f (x )＝x

2x ＋1x －a 定义域关于原点对称，由

于该函数定义域为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪

⎪⎪

x ≠－

1

2且x ≠a ，知a ＝1

2，故选A.

法二：∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，又f (x )＝x

2x 2

＋

1－2a x －a

，

则

－x 2x 2

－1－2a

x －a ＝

－x

2x 2

＋1－2a x －a

,因函数的定义域内恒成立，可得

(12)12,120,a a a --=-∴-=a ＝1

2

.

【例5】函数1

1y x

=-的图像与函数2sin y x π=（24x -≤≤）的图像所有交点的

横坐标之和等于( )． A ．2 B ．4

C ．6

D ．8

【解题技巧点睛】在解决与函数性质有关的问题中,如果结合函数的性质画出函数的简图,根据简图进一步研究函数的性质,就可以把抽象问题变得直观形象、复杂问题变得简单明了,对问题的解决有很大的帮助. (1)一般的解题步骤:利用函数的周期性把大数变小或小数变大,然后利用函数的奇偶性调整正负号,最后利用函数的单调性判断大小; (2)画函数草图的步骤:由已知条件确定特殊点的位置,然后利用单调性确定一段区间的图象,再利用奇偶性确定对称区间的图象,最后利用周期性确定整个定义域内的图象.

考点三 基本函数的性质与图像

【例6】已知324log 0.3

log 3.4

log 3.6

15

,5

,,5a b c ⎛⎫

=== ⎪

⎝⎭

则( )．

A ．a b c >>

B ．b a c >>

C ．a c b >>

D ．c a b >> 【答案】C

【解析】根据对数函数的运算性质可知：3

2210log log 3.4

log 3.6

3

5,5

,5

,a b c ===再由指

数函数

()5x f x =为单调递增函数，因为22log 3.6log 41<=．22log 3.4log 21>=，

3

310log log 313>=，且3221010

log log log 3.433

<<，所以a c b >>． 【例7】 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎨

⎧

a ，a －

b ≤1，b ，a －b >1.

设函数f (x )

＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )

【解析】本题考查二次函数的性质和图像。 f (x )

＝

⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2－2，x 2

－2－()x －x 2≤1，x －x 2，x 2－2－()x －x 2

>1＝

⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2

－2，－1≤x ≤3

2，x －x 2

，x <－1，或x >32，

则f ()x 的图象如图：

∵y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点， ∴y ＝f (x )与y ＝c 的图象恰有两个公共点， 由图象知c ≤－2，或－1

.

考点四 函数图像的应用

【例8】 设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图像可能是( )