导数的综合运用高考题

导数的综合应用 高考真题

26．(2018全国卷Ⅰ)已知函数1

()ln f x x a x x

=

-+． (1)讨论()f x 的单调性；

(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：1212

()()

2-<--f x f x a x x ．

27．(2018全国卷Ⅱ)已知函数2

()e =-x

f x ax ．

(1)若1=a ，证明：当0≥x 时，()1≥f x ； (2)若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．

28．(2018全国卷Ⅲ)已知函数2

()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++-．

(1)若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； (2)若0x =是()f x 的极大值点，求a ．

29．(2018北京)设函数2

()[(41)43]x

f x ax a x a e =-+++．

(1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围．

30．(2018天津)已知函数()x

f x a =，()lo

g a g x x =，其中1a >．

(1)求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；

(2)若曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线与曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线平行，证明122ln ln ()ln a

x g x a

+=-

； (3)证明当1

e

e a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y

f x =的切线，也是曲线()y

g x =的切线．

31．(2018江苏)记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()

f x

g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”． (1)证明：函数()f x x =与2

()22g x x x =+-不存在“S 点”； (2)若函数2

()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；

(3)已知函数2

()f x x a =-+，e ()x

b g x x

=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与

()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．

32．(2018浙江)已知函数()ln f x x =

．

(1)若()f x 在1x x =，2x (12x x ≠)处导数相等，证明：12()()88ln 2f x f x +>-；

(2)若34ln 2a -≤，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点．

33．（2017新课标Ⅰ）已知函数2()(2)x

x f x ae

a e x =+--．

(1)讨论()f x 的单调性；

(2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．

34．（2017新课标Ⅱ）已知函数2

()ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥．

(1)求a ；

(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2

20()2e f x --<<．

35．（2017新课标Ⅲ）已知函数()1ln f x x a x =--．

(1)若()0f x ≥，求a 的值；

(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，21

11(1)(1)(1)222n

m ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值．

36．（2017浙江）已知函数()(x f x x e -=-1()2

x ≥．

（Ⅰ）求()f x 的导函数；

（Ⅱ）求()f x 在区间1

[,)2

+∞上的取值范围．

37．（2017江苏）已知函数3

2

()1f x x ax bx =+++(0,)a b >∈R 有极值，且导函数()f x ' 的极值

点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：2

3b a >；

（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于7

2

-，求a 的取值范围．

38．（2017天津）设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数4

3

2

()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内

有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数． （Ⅰ）求()g x 的单调区间； （Ⅱ）设00[1,)

(,2]m x x ∈，函数0()()()()h x g x m x f m =--，求证：0()()0h m h x <；

（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且

00[1,)(,2],p

x x q

∈ 满足041|

|p x q Aq

-≥．

39．（2017山东）已知函数()22cos f x x x =+，()()cos sin 22x g x e x x x =-+-，其中 2.71828

e =是

自然对数的底数．

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())f ππ处的切线方程；

（Ⅱ）令()()()h x g x af x =-()a R ∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

40．(2016年山东)已知()2

21

()ln ,R x f x a x x a x -=-+

∈． （I ）讨论()f x 的单调性；

（II ）当1a =时，证明()3

()'2

f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立．

41．(2016年四川) 设函数2

()ln f x ax a x =--，其中a R ∈.

（I ）讨论()f x 的单调性；

（II ）确定a 的所有可能取值，使得11()x

f x e x

->

-在区间(1,)+∞内恒成立(e=2.718…为自然对