数学华东师大版七年级下册行程和工程问题
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2x/40-2x/80＝3/4 解这个方程得：
x＝30. 3x＝90. 所得的答案与解法一相同.
【归纳结论】
1.行程问题中基本数量关系是： 路程＝速度×时间; 变形可得到： 速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度.
2.常见题型是相遇问题、追及问题，不管哪个题型都 有以下的相等关系： 相遇：相遇时间×速度和＝路程和; 追及：追及时间×速度差＝被追及距离.
4.甲、乙两队合挖一条水渠，5天可以完 成.如果甲队独挖8天可以完成，那么乙队 独挖几天可以完成？
分析：这一工程问题求的是工作时间.只要先 求出乙的工作效率. 根据：工作量＝工作效率×工作时间，就能列 出求乙的工作时间的方程.
解：设乙队单独挖需x天完成，由于两队合做 每天完成的工作量等于各队每天完成的工作量 的和，也就是说两队合做的工作效率等于各队 单独的工作效率的和，所以乙队的工作效率为：
2.一艘船由A地开往B地，顺水航行需5小时， 逆水航行要比顺水航行多用50分钟.已知船在静 水中每小时走12千米，求水流速度.
分析： 在水流问题中： 船的顺水速度＝船的静水速度＋水流速度， 船的逆水速度＝船的静水速度-水流速度. 等量关系： 船顺水航行的路程＝船逆水航行的路程.
解：设水流速度为x千米/时.根据题意， 得顺水航行的速度为(12+x)千米/时， 逆水航行的速度为(12-x)千米/时，
分析： (1)同时、同地、背向，甲、乙二人第一次相遇时，甲 和乙共跑了一圈(即400米)，等价于相遇问题，相等 关系：甲走的路程＋乙走的路程＝400米.
(2) 同时、同地、同向，甲、乙二人第一次相遇时， 甲比乙多跑了一圈(即400米)，等价于追及问题，等 量关系：甲走的路程-乙走的路程＝400米.
解：
(1)设两人同时、同地、背向出发，经过x秒后两 人首次相遇，根据题意，得6x＋4x＝400，解方 程，得x＝40. 答：两人同时、同地、背向出发，经过40秒后两 人首次相遇. (2) 设两人同时、同地、同向出发，经过x秒后两 人首次相遇，根据题意，得6x-4x＝400， 解方程，得x＝200. 答：两人同时、同地、背向出发，经过200秒后 两人首次相遇.
分是师徒两人合作完成的，而合作的时间我们不知 道，所以应设合作的时间为x，根据工作总量可列出 方程.从而求出他们各自工作的量，这样就可以求出 他们得到的报酬.
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解：设两人合作的时间是x天，根据题意可列出 方程：
1/6+（1/6+1/4）x=1 解得：x=2 经检验，它符合题意. 所以，徒弟工作时间为3天，完成工作总量的 1/6×3=1/2； 师傅工作时间为2天，完成工作总量的 1/4×2=1/2.
因为他们完成的工作量一样，所以报酬也应该 一样多，都是270元.
【归纳结论】 工程问题中的三个量，
根据工作量＝工作效率×工作时间，已知其中两 个量，就可以表示第三个量. 两人合作的工作效率＝每个人的工作效率的和.
巩固提升
1.有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、 第二两座铁桥，过第二座铁桥比过第一座铁桥 需多5秒，又知第二座铁桥的长度比第一座铁 桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长.
解：设第一座铁桥的长为x米，那么第二座铁桥的长 为（2x-50）米，过完第一座铁桥所需的时间为 x/600分. 过完第二座铁桥所需的时间为(2x-50)/600分. 依题意，可列出方程
x/600+5/60=(2x-50)/600 解方程
x+50=2x-50 得x=100
∴2x-50=2×100-50=150 答：第一座铁桥长100米，第二座铁桥长150米.
1/5-1/8. 根据题意，得
(1/5-1/8)x=1 解这个方程，得
3/40x=1,x=40/3. 答：乙队独挖40/3天可以完成.
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
6.3 实践与探索 第3课时 行程和工程问题
新课导入
1.行程问题中路程、速度、时间三者间有什么 关系？相遇问题中含有怎样的相等关系？追及 问题中含有怎样的相等关系呢？ 2.工作量、工作效率、工作时间之间有怎样的 关系?
推进新课
问题1：小张和父亲计划搭乘家门口的公 共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷.在行 驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽 车将会在火车开车后半小时到达火车站.随 即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结 果赶在火车开车前15分钟到达火车站.已知 公共汽车的平均速度是40千米/时，问小张 家到火车站有多远？
5(12+x)=(5+50/60)(12-x) 60+5x=35/6×12-35/6x
65/6x=10
x=12/13. 答：水流速度为12/13千米/时.
3.一条环形跑道长400米，甲、乙两人练习跑 步，甲每秒钟跑6米，乙每秒钟跑4米. (1)两人同时、同地、背向出发，经过多少时间， 两人首次相遇? (2) 两人同时、同地、同向出发，经过多少时 间，两人首次相遇?
吴小红同学给出了一种解法： 设小张家到火车站的路程是x千米，由实际时 间比原计划乘公共汽车提前了45分钟，可列出 方程： 解这个方程：
x/40-x/120-x/120=3/4 3x-x-x＝90 x＝90
经检验，它符合题意. 答：小张到火车站的路程是90千米.
张勇同学又提出另一种解法：
设实际上乘公共汽车行驶了x千米，则从小张家到 火车站的路程是3x千米，乘出租车行使了2x千米. 注意到提前的3/4小时是由于乘出租车而少用的， 可列出方程：
问题2：课外活动时李老师来教室布置作业,有 一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告牌， 请来两名工人.已知师傅单独完成需4天，徒弟 单独完成需6天”，就停住了.
现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得 到报酬450元.如果按各人完成的工作量计算报 酬，那么该如何分配？
分析：我们可以将工作总量看作“单位1”，根据 “工作效率=工作总量/工作时间”可以知道，师傅的 工作效率是1/4，徒弟的工作效率是1/6，整项工程分 了两个部分：第一部分是徒弟先做的一天，第二部
x＝30. 3x＝90. 所得的答案与解法一相同.
【归纳结论】
1.行程问题中基本数量关系是： 路程＝速度×时间; 变形可得到： 速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度.
2.常见题型是相遇问题、追及问题，不管哪个题型都 有以下的相等关系： 相遇：相遇时间×速度和＝路程和; 追及：追及时间×速度差＝被追及距离.
4.甲、乙两队合挖一条水渠，5天可以完 成.如果甲队独挖8天可以完成，那么乙队 独挖几天可以完成？
分析：这一工程问题求的是工作时间.只要先 求出乙的工作效率. 根据：工作量＝工作效率×工作时间，就能列 出求乙的工作时间的方程.
解：设乙队单独挖需x天完成，由于两队合做 每天完成的工作量等于各队每天完成的工作量 的和，也就是说两队合做的工作效率等于各队 单独的工作效率的和，所以乙队的工作效率为：
2.一艘船由A地开往B地，顺水航行需5小时， 逆水航行要比顺水航行多用50分钟.已知船在静 水中每小时走12千米，求水流速度.
分析： 在水流问题中： 船的顺水速度＝船的静水速度＋水流速度， 船的逆水速度＝船的静水速度-水流速度. 等量关系： 船顺水航行的路程＝船逆水航行的路程.
解：设水流速度为x千米/时.根据题意， 得顺水航行的速度为(12+x)千米/时， 逆水航行的速度为(12-x)千米/时，
分析： (1)同时、同地、背向，甲、乙二人第一次相遇时，甲 和乙共跑了一圈(即400米)，等价于相遇问题，相等 关系：甲走的路程＋乙走的路程＝400米.
(2) 同时、同地、同向，甲、乙二人第一次相遇时， 甲比乙多跑了一圈(即400米)，等价于追及问题，等 量关系：甲走的路程-乙走的路程＝400米.
解：
(1)设两人同时、同地、背向出发，经过x秒后两 人首次相遇，根据题意，得6x＋4x＝400，解方 程，得x＝40. 答：两人同时、同地、背向出发，经过40秒后两 人首次相遇. (2) 设两人同时、同地、同向出发，经过x秒后两 人首次相遇，根据题意，得6x-4x＝400， 解方程，得x＝200. 答：两人同时、同地、背向出发，经过200秒后 两人首次相遇.
分是师徒两人合作完成的，而合作的时间我们不知 道，所以应设合作的时间为x，根据工作总量可列出 方程.从而求出他们各自工作的量，这样就可以求出 他们得到的报酬.
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解：设两人合作的时间是x天，根据题意可列出 方程：
1/6+（1/6+1/4）x=1 解得：x=2 经检验，它符合题意. 所以，徒弟工作时间为3天，完成工作总量的 1/6×3=1/2； 师傅工作时间为2天，完成工作总量的 1/4×2=1/2.
因为他们完成的工作量一样，所以报酬也应该 一样多，都是270元.
【归纳结论】 工程问题中的三个量，
根据工作量＝工作效率×工作时间，已知其中两 个量，就可以表示第三个量. 两人合作的工作效率＝每个人的工作效率的和.
巩固提升
1.有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、 第二两座铁桥，过第二座铁桥比过第一座铁桥 需多5秒，又知第二座铁桥的长度比第一座铁 桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长.
解：设第一座铁桥的长为x米，那么第二座铁桥的长 为（2x-50）米，过完第一座铁桥所需的时间为 x/600分. 过完第二座铁桥所需的时间为(2x-50)/600分. 依题意，可列出方程
x/600+5/60=(2x-50)/600 解方程
x+50=2x-50 得x=100
∴2x-50=2×100-50=150 答：第一座铁桥长100米，第二座铁桥长150米.
1/5-1/8. 根据题意，得
(1/5-1/8)x=1 解这个方程，得
3/40x=1,x=40/3. 答：乙队独挖40/3天可以完成.
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
6.3 实践与探索 第3课时 行程和工程问题
新课导入
1.行程问题中路程、速度、时间三者间有什么 关系？相遇问题中含有怎样的相等关系？追及 问题中含有怎样的相等关系呢？ 2.工作量、工作效率、工作时间之间有怎样的 关系?
推进新课
问题1：小张和父亲计划搭乘家门口的公 共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷.在行 驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽 车将会在火车开车后半小时到达火车站.随 即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结 果赶在火车开车前15分钟到达火车站.已知 公共汽车的平均速度是40千米/时，问小张 家到火车站有多远？
5(12+x)=(5+50/60)(12-x) 60+5x=35/6×12-35/6x
65/6x=10
x=12/13. 答：水流速度为12/13千米/时.
3.一条环形跑道长400米，甲、乙两人练习跑 步，甲每秒钟跑6米，乙每秒钟跑4米. (1)两人同时、同地、背向出发，经过多少时间， 两人首次相遇? (2) 两人同时、同地、同向出发，经过多少时 间，两人首次相遇?
吴小红同学给出了一种解法： 设小张家到火车站的路程是x千米，由实际时 间比原计划乘公共汽车提前了45分钟，可列出 方程： 解这个方程：
x/40-x/120-x/120=3/4 3x-x-x＝90 x＝90
经检验，它符合题意. 答：小张到火车站的路程是90千米.
张勇同学又提出另一种解法：
设实际上乘公共汽车行驶了x千米，则从小张家到 火车站的路程是3x千米，乘出租车行使了2x千米. 注意到提前的3/4小时是由于乘出租车而少用的， 可列出方程：
问题2：课外活动时李老师来教室布置作业,有 一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告牌， 请来两名工人.已知师傅单独完成需4天，徒弟 单独完成需6天”，就停住了.
现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得 到报酬450元.如果按各人完成的工作量计算报 酬，那么该如何分配？
分析：我们可以将工作总量看作“单位1”，根据 “工作效率=工作总量/工作时间”可以知道，师傅的 工作效率是1/4，徒弟的工作效率是1/6，整项工程分 了两个部分：第一部分是徒弟先做的一天，第二部