数学思想方法介绍ppt课件

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数学证明的重要方法 ◆ 反证法与同一法 ◆ 数学归纳法
中学数学中几种常用的具体方法 ◆ 待定系数法 ◆ 配方法 ◆ 基本量法 ◆ 递推法
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三. 几类常用的数学思想方法介绍
有人这样给数学思想方法分类： 1. 操作性思想方法
例如：换元法、配方法、待定系数法、割补法、构造 法等； 2. 逻辑性思想方法
数学研究的基本方法 ◆ 数学抽象方法 ◆ 数学模型方法 ◆ 数学研究活动的一般方法
数学中的逻辑方法 ◆ 数学定义方法 ◆ 逻辑划分方法 ◆ 数学公理化方法
数学解题的思维方法 ◆ 数学推理方法（演绎法、 归纳法、类比法） ◆ 分析法与综合法 ◆ 数学实验方法 ◆ 数形结合方法 ◆ 关系影射反演原则（换元 法、初等变换方法）
2)Goldbach猜想（1742年）。
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☆数学归纳法：P(n)是一个含有自然数n的命题， 如果（1）P(n) 当n=1时成立； （2）若P(k)成立的假定下，则P(k+1)也成立。 那么P(n)对任意自然数n都成立。 这两个步骤，（1）称为归纳起点，（2）称为归纳推断。 数学归纳法是一种完全归纳法，其应用范围及其广泛。
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3）同态与同构 4）数的概念的扩充 5）多项式理论与整数理论的类比 整数
＋、－ 、× 带余除法 算术基本定理
多项式
＋、－ 、× 带余除法 代数基本定理
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3. 归纳法（逻辑学中的方法）
与数学归纳法（数学中的一般方法）
☆归纳就是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的 一种思维方法。归纳法是实验科学最基本的方法。 归纳法的特点：1）立足于观察和实验；2）结论具有猜 测的性质；3）结论超越了前提所包含的内容。 归纳法用于猜测和推断。 例子：1) Fermat数(1640年，Fn=22n+1, Fermat素数：3，5， 17，257，65537)；
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2.类比法（数学创造发现的方法）
☆类比是一种相似，即类比的对象在某些部分或关系上相 似。 ☆三个层次：描述、说理、数学上的类比。 ☆数学上的类比：两个系统，如果它们各自的部分之间， 可以清楚地定义一些关系，在这些关系上，它们具有共 性，那么，这两个系统就可以类比。 ★ 例子： 1）线段、三角形、四面体 2）Newton-Leibniz公式、Green公式、Gauss公式
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◆数学方法具有三个基本特征： （1）高度的抽象性和概括性； （2）精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性； （3）应用的普遍性和可操作性。
◆数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用： （1）提供简洁精确的形式化语言； （2）提供数量分析及计算的方法； （3）提供逻辑推理的工具。
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二. 中学数学中常用的数学方法
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☆使用各种化归方法时一般应遵循下面几个原则： a)熟悉化原则 b)简单化原则 c)和谐化原则 ☆实行化归的常用方法有：特殊化与一般，关系映射反 演（RMI），分解与组合…
《数学思想与数学文化》
数学思想方法介绍
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内容
一.前言 二.中学数学中常用的数学方法 三.几类常用的数学思想方法介绍
1.演绎法或公理化方法 2.类比法 3.归纳法与数学归纳法 4.数学构造法 5.化归法 6.数学模型方法
附：参考文献
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一. 前 言
☆ 数学思想---对数学的知识内容和所使用的方法的本质 认识，它是从某些具体数学认识过程中提炼和概括，而在 后继的认识活动中被反复证实其正确性，带有一般意义和 相对稳定的特征，是对数学规律的理性认识。 ☆ 数学方法---以数学为工具进行科学研究的方法，即用 数学的语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运 算与分析，以形成解释、判断和预言的方法。 ☆ 二者关系--- 数学思想直接支配着数学的实践活动。数 学方法是数学思想具体化的反映。简言之，数学思想是数 学的灵魂，数学方法是数学行为，数学思想对数学方法起 指导作用。
都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和。
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5. 化归法（基本数学方法）
（ 1)特殊化与一般化，2)关系映射反演方法 ）
☆化归原则是指把待解决的问题，通过某种转化过 程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题 中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。 ☆其过程就是将一个问题由繁化简，由难化易，由 复杂化简单，由未知化已知。 ☆化归有三个要素：化归的对象，化归的目标，化 归的手段。
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来自百度文库
数学归纳法用于证明。 例子：证明数列
2 ,2 2 ,2 2 2 , ,2 2 2 2 2 .
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单调增加有上界。
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《数学思想与数学文化》之第三讲——
数学思想方法介绍(续)
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4．数学构造法（基本数学方法）
☆数学构造法---数学中的概念或方法按固定的方式 经有限步骤能够定义或实现的方法。 ☆应用---构造概念、图形、公式、算法、方程、函 数、反例、命题等。 ☆构造法在数学中的地位不仅古老，而且重要。 ☆ 例子
例如：抽象、概括、分析、综合、演绎等； 3 .策略性思想方法
例如：方程与函数、化归、猜想、数形结合、整体与 系统等。
事实上，数学思想方法是有层次的。
操作性思想方法、逻辑性思想方法、策略性思想方法，从思维的
角度上看，层次是逐渐上升的。
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1. 演绎法或公理化方法（逻辑思维方法）
☆演绎法是由一般到特殊的推理，它在逻辑上的依据 是三段论。 ☆演绎法的重要性：1）数学理论都是用演绎推理组织 起来的；2）它能超越技术与仪器的限制。 ☆演绎法的基本构件：定义（概念）、公理和定理。 ☆公理化方法的例子： 欧几里德《几何原本》，希尔伯特《几何学基础》 柯尔莫哥洛夫《概率论基础》 ZFC《公理化集合论》
1）求一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)的根。 2）求两个正整数最大公因数的欧几里德辗转相除法。
3）勾股定理（毕氏定理）。
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宋刻本《周髀算经》， （上海图书馆藏）
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第24届“国际数学家大 会”会标
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例子： 4）导数的概念。 5）定积分的概念。 练习： 1. 求证在任何两个有理数a和b之间一定还有有理数。 2. 有没有2000个连续自然数，它们都是合数？ 3. 证明：素数的个数是无穷的。 4. 求证：对于定义域包含于实数集且关于原点对称的任何函数f(x)